北京一零一中2024-2025學年度第二學期期中考試

局一數(shù)學

（本試卷滿分120分，考試時間100分鐘）

命題：高二數(shù)學備課組審稿：賀麗珍

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.函數(shù)y=in（x+i）的導函數(shù)為（）

A.y=—^—B.y'=———C./=ln（x+l）D./=lnx

x+1x+1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復合函數(shù)求導公式求解即可.

【詳解】y=—（x+iY=—.

%+r7x+i

故選：A

2.一名老師和四名學生站成一排照相，學生請老師站在正中間，則不同的站法為（）

A.4種B.12種C.24種D.120種

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，只需將四名同學排序即可，進而根據(jù)排序問題求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，一名老師和四名學生站成一排照相，老師站在正中間，只需將四名同學排序，

所以，不同的站法為A：=4x3x2x1=24種.

故選：C

3.在（x-2）5的展開式中，x的系數(shù)為（）

x

A.40B.10

C.-40D.-10

【答案】A

【解析】

【分析】利用二項式定理的性質(zhì).

【詳解】設（X—2）5的通項M，則5T（_2/1，化簡得小=《.（—2?！?-2k

令左=2,則尤的系數(shù)為C：（—2『=40,即A正確.

故選：A

4.向高為〃的容器中注水，且任意相等的時間間隔內(nèi)所注入的水體積相等，若容器內(nèi)水面的高度y與注水時

間尤的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，則該容器的形狀可能是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知在相等時間間隔內(nèi)容器內(nèi)水面的高度增加量越來越大，結(jié)合容器形狀可確定選

項.

【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知，隨著注水時間x的增大，在相等時間間隔內(nèi)容器內(nèi)水面的高度y的增加量越

來越大，即v的變化率逐漸增大，

故該容器從下到上寬度應逐漸減小，選項c中容器符合要求.

故選：C.

5.已知函數(shù)/（司=X3+依2,若曲線丁=/（尤）在點p（—I⑼處的切線平行于直線3x+y=o,則該切線

方程為（）

A.3x+y-l=0B.3x+y+l=0

C.3x-y+l=0D.3%+y—2=0

【答案】B

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)切線的斜率得到參數(shù)〃，根據(jù)切點函數(shù)值得到參數(shù)6,由點斜式方程可得

切線的方程.

【詳解】由題意得了'(x)=3f+2ox,

???曲線在點P(—1,處的切線平行于直線3x+y=0,

???曲線在點尸處的切線斜率左=一3,即氏=/(-1)=3-2a=-3,

解得a=3,此時/(x)=d+3*,〃=/(—l)=—1+3=2,

即切點為P(—1,2),則切線方程為y—2=—3(x+l),即3x+y+l=0.

故選：B.

6.從4名高一學生和5名高二學生中，選3人參加社區(qū)垃圾分類宣傳活動，其中至少有1名高二學生參加

宣傳活動的不同選法種數(shù)為()

A.50B.70C.80D.140

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題設條件利用組合知識并借助排除法即可作答.

【詳解】由于選取的3人無順序性，求不同選法種數(shù)的問題是組合問題，

又3人中至少有1名高二學生，其對立事件是沒有高二學生，

所求不同選法種數(shù)，先從9人中任選3人有種選法，沒有高二學生的選法種數(shù)是C：,

aa9-8-7

所以不同選法種數(shù)為C；-C：=-------4=80

3,2,1

故選：C

7.已知函數(shù)〃尤)與/'(X)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/學()

A.在區(qū)間(—1,2)上減函數(shù)B.在區(qū)間上是減函數(shù)

C.在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù)D.在區(qū)間(—1,1)上是減函數(shù)

【答案】B

【解析】

【分析】對函數(shù)y=/學求導，結(jié)合圖象判斷"%）與/'（￡）的大小關(guān)系，從而得出函數(shù)y=/學的

單調(diào)性，進而可得出結(jié)果.

【詳解】由y

一eZx彳寸丁=e2x=ex，

由題中圖象可知，當x＜—。時，/（%）＞/（%）,所以y=''（x）—/（*〉0,則函數(shù)y=/區(qū)單調(diào)遞

2exex

增；

當一:＜x＜工時，/'（￡）＜/（￡）,所以y=/'（x）_:（x）＜0,則函數(shù)y=/區(qū)單調(diào)遞減；

22exex

當《＜x＜3時，/'（x）＞/（x）,所以〈=/'（——/（》）〉0,則函數(shù)y=單調(diào)遞增;

2exe*

當X>3時，/(%)</(%),所以y=/'(x)_/(x)<0,則函數(shù)y=。單調(diào)遞減;

exex

故ACD都錯，B正確,

故選：B

8.現(xiàn)給如圖所示的五個區(qū)域A,B,C,D,E涂色，有5種不同的顏色可供選擇，每個區(qū)域只涂一種顏

色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案種數(shù)為（）

A.420B.340C.260D.120

【答案】A

【解析】

【分析】討論AE同色、瓦。同色，A,E、3,。一組同色一組不同色，A瓦CD,E的顏色互不相同,

結(jié)合排列組合數(shù)求對應涂色方法，應用分類加法求不同涂色方案數(shù).

【詳解】若A,E同色、民。同色，有A；,此時C有3種涂法，共有3A；=60種,

若AE同色、民。不同色，有C；,此時B有A：種涂法，共有C；A：=120種,

同理3,。同色、不同色也有120種，

若A3,CAE的顏色互不相同,則有A；=120種,

綜上，共有60+120+120+120=420種.

故選：A

9.新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）嚴重影響了人類正常的經(jīng)濟與社會發(fā)展.我國政府對此給予了高度

重視，采取了各種防范與控制措施，舉國上下團結(jié)一心，疫情得到了有效控制.人類與病毒的斗爭將是長

期的，有必要研究它們的傳播規(guī)律，做到有效預防與控制，防患于未然.已知某地區(qū)爆發(fā)某種傳染病，當

地衛(wèi)生部門于4月20日起開始監(jiān)控每日感染人數(shù)，若該傳染病在當?shù)氐膫鞑ツＰ蜑槲唬?蕓%（z（0

表示自4月20日開始/（單位：天）時刻累計感染人數(shù)，4，）的導數(shù)⑺表示/時刻的新增病例數(shù)，

山9。2.1972）,根據(jù)該模型推測該地區(qū)新增病例數(shù)達到頂峰的日期所在的時間段為（）

A.4月30日~5月2日B.5月3日~5月5日

C.5月6日~5月8日D.5月9日~5月H日

【答案】A

【解析】

【分析】由題對?）=,2：叱求導得：、尸,1,根據(jù)基本不等式得：e-°-2,=l即可求

l+9e81e+9

出答案.

4500xe—4500

；02

【詳解】對i?）=1TB求導得："（l+9e--）-81e-o.2，+18+J_，

02r

丁e

f（0=—45°°12：45?！?4500=125

根據(jù)基本不等式得：81i+18+上2何三￡+1836'

191

當且僅當81片02=產(chǎn)，即81（e"2，y=i,即e-°z=—,即0.2f=ln9=>f

故選：A.

10.已知函數(shù)/（外=與去，設實數(shù)相滿足：存在左eR,使直線>=履+m是曲線y=/（x）的切線，

且丁=Ax+加之/（X）對xe[0,+oo）恒成立，則機的最大值為（）

112

A.—B.—C.—D.1

243

【答案】A

【解析】

【分析】利用導數(shù)求得“X）的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合“X）的圖象、切線以及不等式恒成立求得加的最大值.

【詳解】

1—x(x2+3)-yfxx4-x

3(l+x)1-x

當%>0時,/(力=

?(X2+3)2

所以/（九）在區(qū)間（0,1）上/'（x）＞0,/（x）單調(diào)遞增,

在區(qū)間（L+。）上r（X）＜0J（%）單調(diào)遞減.

xr（i）=o,/（i）=1,

所以y=/（x）的圖象在x=i處的切線方程為y=；，此時機=g.

同時，/（%解*=41）=（，因此—+m2；在Xe[0,+?）時恒成立,

3（l+x）1-x

直線y=履+機是曲線y=/（x）的切線，則左=一,卜2+3）2,

結(jié)合圖象可知，當左＜0時，丘+加2/（%）不恒成立.

當左=0時，m=g,+恒成立.

當上＞0時，m＜-,因此根W』，所以機的最大值為;.

222

故選：A

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

r

11.已知/（x）=xe*,f（xo）=O,貝!）/=.

【答案】-1

【解析】

【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則求導，再代值計算即可

【詳解】解：???/(元)=%?

f\x)=(1+x)ex,

.?.廣@)=(1+/=0

/=-1,

故答案為：-1

12.把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙

丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法有種.

【答案】36

【解析】

【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理，結(jié)合相鄰問題和不相鄰問題方法即可求出.

【詳解】根據(jù)題意，設5人為甲乙丙丁戊，

①，將乙丙看成一個整體，考慮2人之間的順序，有A；=2種情況，

②，將這個整體與丁戊全排列，有A；=6種安排方法，

③，排好后，有4個空位，由于甲乙安排在不相鄰的兩天，則只能從3個空中任選1個，安排甲，有

A；=3種安排方法，

不同的安排方案共有2x6x3=36種；

故答案為：36.

13.已知函數(shù)/(x)=三+minx在區(qū)間［2,3］上不單調(diào)，則機的取值范圍是.

【答案】(—81,—24)

【解析】

【分析】由題可得/'(x)=3/+'=3Y+(x〉0)，分加20,m<0討論，即得.

XX

【詳解】由=+7〃lnx可得y,(x)=3x2+—=+m(x>0).

XX

當〃在o時，r(x)>o,“大)在(0,+“)上單調(diào)遞增，不滿足題意；

當機<0時，由/>'(x)>0得,由得,

!m

所以/(%)在o,-7上單調(diào)遞減，在3-上單調(diào)遞增,

要使得函數(shù)/(X)=%3+mlnx在區(qū)間［2,3］上不單調(diào)，則2<<3,

解得-81<m<-24.

故答案為：(-81,-24).

14.將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為

,(用數(shù)字作答)

【答案】150

【解析】

【分析】先將5人分成3、1、1或1、2、2分成三組，再安排給3個不同的場館，即可求解.

【詳解】將5人分成3、1、1或1、2、2分成三組,

jjj

有?=25,

再分配到3個場館有25xA；=150,

故答案為：150

15.將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖所示的0-1三角數(shù)表.從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)

都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，第3次全行的數(shù)都為1的是第行，…，當

第"次出現(xiàn)全行的數(shù)都為1時，該行共有.個1.

行

第11

第2

行10

第

3行

11

第

4行

10001

第

5行

1o01

-??*??

【答案】①.7②.2"

【解析】

【分析】根據(jù)楊輝三角的性質(zhì)，歸納出規(guī)律即可得解.

【詳解】由題意，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行,

第2次全行的數(shù)都為1的是第3行,

楊輝三角中，第7行的數(shù)依次為1,7,21,35,35,21,7,1,

故對應。-1三角數(shù)表中，第7行的數(shù)全部為1,

第3次全行的數(shù)都為1的是第7行;

尋找規(guī)律，其中2-1=1，22—1=3，23—1=7，

經(jīng)驗證，第2,-1=15行全行的數(shù)均為1，第25-1=31行全行的數(shù)均為1，

所以第w次出現(xiàn)全行的數(shù)都為1的是第2"-1行，共有2"-1+1=2"個L

故答案為：7；2"

16.己知abwO,函數(shù)/(%)=必一以+芭*,給出下列四個結(jié)論：

①對任意。/eR,函數(shù)存在唯一極值點；

②當a=0時，函數(shù)"％)沒有零點；

③存在。力eR,使得曲線y=/(x)過原點的切線有且只有一條；

④當人―a>0時，函數(shù)/(N)的最小值為1.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】對于①，求導/"(X),再次求導發(fā)現(xiàn)了'(X)在R上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)值可確定存在唯一極值點；

對于②，當a=6時，結(jié)合f\x)單調(diào)遞增即尸(0)=0,可分析函數(shù)f(x)單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)

/(￡L=/(°)=1>。確定函數(shù)/(%)沒有零點；對于③，設切點(加，句，利用斜率構(gòu)建關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為

函數(shù)g("z)=e'7-1)+4的零點個數(shù)問題，求導分析單調(diào)性可確定有2個解，故有2條這樣的切線；

對于④，由函數(shù)/(|乂)為偶函數(shù)，再分析x>0時的單調(diào)情況可確定函數(shù)最小值.

【詳解】對于①，求導/(x)=2x—a+加"，令g(x)=r(x),

g'(%)=2+/e&>0,所以f\x)在R上單調(diào)遞增,

又當尤t?一8時，r(x)―>_”，當了f+^)時，r(x)f+oo,

故存在唯一極值點，故①正確；

對于②，當a=6時，/(%)-x2-ax+em,f\x)-2x-a+,

由①知〃龍)存在唯一的極值點x0,又/(0)=。，所以%=0,

即/(%)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+")單調(diào)遞增，

所以〃￡L=〃°)=i>°，故函數(shù)無零點，②正確；

對于③，因為/(o)=i,所以原點不在曲線上，且切點為(根,〃)，

m2bm

則切線斜率二=一°"z+e=f(m\=2m-a+bebm,

mm

整理得eb，"-1)+m2=0,令g(m)=e6m(bm—lj+m2,

g，(m)=M/e'"+2),+2>o，g'(m)=0n7〃=0,

所以g(m)在(一8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，故gWL=g(°)=T，

又當〃2—>-CO時，>+8,當"Zf+oo時，g(77Z)—>+8,

所以g(m)=e""'(Z?/n-l)+m2=0有兩個解，

故對任意a/eR,曲線y=/(x)過原點的切線有2條，故③錯誤；

對于④，b-a>0,/(W)為偶函數(shù)，當x>0時，f(x)=x2-ax+ebx,

/'(x)=2x-a+b0bx,結(jié)合①知r(x)在R上單調(diào)遞增，

所以f'(x)>r(0)=b-a>0,即/⑺在(0,+功單調(diào)遞增,

又/(%)為偶函數(shù)，所以/(%)在(-8,0)單調(diào)遞減，

/(XLn=/(0)=b故④正確；

故答案為：①②④

三、解答題共4小題，共50分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

5

17.已知(2%—I)=<70+<7jX+G0X~4---F.

(1)求旬的值;

(2)求小+“2+。4的值；

(3)求同+聞+同+同+同+|%］的值.

【答案】(1)-1

(2)-121

(3)243

【解析】

【分析】（1）令x=0可求為的值；

（2）分別令x=l和x=-1求各項系數(shù)和，兩式相加計算即可；

（3）通過二項式的通項公式分析可知，當左為偶數(shù)時，G,<0；當左為奇數(shù)時，/>0,可得出

|62Q|+1|+11+1|+1|1^51=—%+“1—%+%—&+%，即可得解.

【小問1詳解】

令1=0,則（0—1）5=%,所以%=-1；

【小問2詳解】

令x=l,得/+%+/+/+%+“5=（2—1）—1①.

令X=-19得％—Q］+%—〃3+〃4—〃5=（―3）=—243②，

由①+②,得2（4+%+。4）=1—243=—242,

所以。0+。2+，4=—121.

【小問3詳解】

5rr

（2x-1）的展開式通項為Tr+l=C；?（2x）?（-l）=q?（-l）-25fx51

則歿=CA（—1廣",其中OW左W5且leN,

當左為偶數(shù)時，/<0；當左為奇數(shù)時，取>0.

所以，0|+|%|+|d|+|生|+|。4］+|%|=—。0+%—。2+。3—。4+。5

=一（a0-q+/一4+%-%），由（2）知，/—q+a,—%+%—%=—243,

所以同+同+同+同+同+同=243.

18.已知函數(shù)/（X）=xsinx+cosx+m%2.

（1）當m—1時，

①求〃%）的單調(diào)區(qū)間；

②求了（%）在區(qū)間［-兀,2兀］上的最小值與最大值；

（2）若/（%）在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞增，求機的取值范圍.

【答案】（1）①函數(shù)/（幻單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,0）

②/(X)而n=1，/(X)max=l+4/

(2)-,+co|

［2J

【解析】

【分析】(1)①求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的正負即可得出單調(diào)區(qū)間；②由函數(shù)的單調(diào)性求閉區(qū)間上的最值

即可；

(2)根據(jù)單調(diào)性，建立關(guān)于導數(shù)的不等式，分離參數(shù)求解即可.

【小問1詳解】

(x)=sinx+xcosx-sinx+2mx=x(cosx+2m),

①當初=1時，//(x)=x(cosx+2),

因為cosx+2>0,

所以當x>0時，f'(x)>0,當x<0時，/f(x)<0,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+。)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),

②由①知，/(%)在［—兀,0］上單調(diào)遞減，在［0,2可上單調(diào)遞增，

所以/(%焉=/(0)=1，

又/(—兀)=一1+兀2"(2兀)=1+4兀2,所以以觀毆=1+47.

【小問2詳解】

由題意，/'(X)=x(cosx+2m)之。在［0,+oo)上恒成立，

即cosx+2/w>0,2加之一cosx在［0,+°o)上恒成立，

所以2m之1,即機上工.

2

所以根的取值范圍—,+°°^.

19.已知函數(shù)/10)=(1-a)lnx+0.

x

(1)當a=—l時，求曲線y=/(x)在點。，/⑴)處的切線方程；

(2)證明：當0<a<；時，3xe(O,l),使得/(x)<；；

⑶當0<o<(時，求函數(shù)五(x)=〃x)—口的零點個數(shù).

【答案】(1)y=3x-4

(2)證明見詳解(3)當0<a<；時，〃(力11m<0,此時函數(shù)以％)有2個零點，

當a=g時，7/(%)^=0,此時函數(shù)以％)有1個零點，

1Q

當Q<a<Z時，"磯而》0，此時函數(shù)無零點.

【解析】

【分析】(1)利用導數(shù)幾何意義可求在點(1,/。))處的切線方程；

(2)求導分析函數(shù)單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)函數(shù)/(%)在］言,1］單調(diào)遞增，由/(l)=a<g即可證明；

(3)根據(jù)⑵函數(shù)/(九)的單調(diào)性確定函數(shù)人⑴的最小值，再整理分析函數(shù)人⑴的最小值的正負即可確

定函數(shù)人(九)零點個數(shù).

【小問1詳解】

1,21

當〃二一1,/(%)=21nx--(x>0),則/(%)=—+F，

.-./(i)=-i,r(i)=3,

即曲線y=/(X)在點(1,/(1))處的切線方程為y=3%-4.

【小問2詳解】

證明：當0<a<工時，/'(幻=魚@—彳=支坐*加€(0,1),

2xxx

令/'(x)=0,=—=-l+—e(O,l),

1—a1—Q

所以當o<x<F時，ra)<°，函數(shù)/(龍)單調(diào)遞減，

當?shù)?lt;X<1時，/，(x)>o,函數(shù)八%)單調(diào)遞增，

1—a

所以/(X)min=/［匕］</(1)=。<；,

y1—uyZ

即當0<a<；時，3xe(O,l)，使得/(%)<；，

【小問3詳解】

由(2)知/"產(chǎn)/匕=(1一。)山匕+1”,

y1—uyl—cl

令/=q=—l+'/e(O,3),則1一。=,，

1—Q1—CL1+/

即“丈一一小且⑺二白皿+占討⑶，

1—uy1十r1-rr

,/\p/\1/\1I1112InfZ+1.、

所以4?^/〃、心正;且⑺正二幣儂+幣一萬二^^-,小(0,3),

2

令“⑺=21nf-r-3,?G(0,3)>M(/)=——1=O=>Z=2,

當fe(0,2)時，/⑺>0,單調(diào)遞增，當/e(2,3)時,“'⑺<0,M⑺單調(diào)遞減，

所以a(t)max="(2)=21n2-1>0,又u(l)=0,u(3)=21n3-2>0,

所以a")<0的解為te(O,l),u(t)>0的解為te(l,3)，

即當0<a<；時，h(x)^<0,此時函數(shù)/i(x)有2個零點，

當a=1?時，〃⑴*=°，此時函數(shù)人(%)有1個零點，

當5<a<W時，此時函數(shù)人(%)無零點.

20.若項數(shù)為左(左eN*,左23)的有窮數(shù)列｛/｝滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列｛%｝為Z數(shù)列:

性質(zhì)①：0Wq<出<%<…<為；

性質(zhì)②：對任意的i,j(iwiwjw左)，%+%與%-%至少有一個是數(shù)列｛a“｝中的項.

(1)分別判斷下面兩個數(shù)列是否為Z數(shù)列，并說明理由；

數(shù)列A：1,2,3；

數(shù)列4：0,1,2

(2)若數(shù)列｛4｝是Z數(shù)列，求證：ak=—(6^+a2~\---^/)；

k

(3)若數(shù)列｛4｝是Z數(shù)列，且｛4｝不是等差數(shù)列，求％的值.

【答案】(I)數(shù)列A不是Z數(shù)列，&是Z數(shù)列，理由見解析

(2)證明見解析⑶4

【解析】

【分析】(1)由數(shù)列A中，當，=/=3時，%+%.與4