北京市第一六一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期熱身階段測(cè)試數(shù)學(xué)試

題

班級(jí)_______________姓名學(xué)號(hào)

考生須知：1.本試卷共3頁，滿分150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.

2.試題答案一律書寫在答題紙上，在試卷上作答無效.

3.在答題紙上，選擇題用2B鉛筆作答，非選擇題用黑色字跡簽字筆作答.

4.考試結(jié)束后，將答題紙、試卷和草稿紙一并交回.

一、選擇題：本大題共10道小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)符合題目的要求.把正確答案涂寫在答題卡上相應(yīng)的位置.

]若集合A={1,2,3,4,5,9},8={x|x+leA},則()

A.[1,3,4}B.[2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4,9}

【答案】C

【解析】

【詳解】依題意得，集合B中的元素x滿足x+l=l,2,3,4,5,9,則x的可能取值為0,1,2,3,

4,8,即5={0,1,2,3,4,8},所以={1,2,3,4}.

2.若z(l+i)=2,則z虛部是()

A.-1B.1C.iD.-i

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,即得虛部.

22(l-i)

【詳解】由z(l+i)=2可得：z=-~~~i=l—i,故其虛部為一1.

1+1(l+i)(l-i)

故選：A.

3.下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是()

2無

A.y=l-xB.y=tan

C.y=xcosxD.y=e'+ef

【答案】D

【解析】

【分析】利用函數(shù)奇偶性和在區(qū)間上單調(diào)遞增逐項(xiàng)分析.

【詳解】選項(xiàng)A由令y=l-必的定義域?yàn)镽,

且/(-%)=1-(-1)-=1-%2，

由函數(shù)為二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為y軸，

所以在(o,+。)單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

故A錯(cuò)誤，

由y=tan九的定義域?yàn)?4ez1,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

且f(-x)=tan(-x)=一tanx=-f(x),

所以y=tanx為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

由丁=兀<25左的定義域?yàn)镽,

且/(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-/(x),

所以y=xcosx為奇函數(shù)，故c錯(cuò)誤，

由丁=1+-"的定義域?yàn)閰^(qū)，

且f(r)=er+e'X無),所以

y=e*+—*為偶函數(shù)，

且王<々，

x

所以f(x2)=e'+ef—卜也+e-^)

因?yàn)槭痚(0,l)，且王<々，

因?yàn)閥=e，在R上單調(diào)遞增，

所以e."—e?<0，l<eX1<e,l<e^<e,

所以1—^^>0,

e'e2

故/(%)-/(々)<0,

所以y=e，+er在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,

故選：D.

4.若質(zhì)>0,且。<匕，則下列不等式一定成立是()

11

A.a1<b~B.—<-

ab

baa+bI~~

C.-+->2D.------>yjab

ab2

【答案】C

【解析】

【分析】取。=-3/=-2即可判斷A、B、D選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，由基本不等式即可判斷C選項(xiàng)是正確的.

【詳解】取，=—3]=-2滿足">0,且此時(shí)/>〃，A錯(cuò)誤;

取〃二-3/二-2滿足">0,且avb,止匕時(shí)B錯(cuò)誤；

ab

ba八三"曰ba\ba八一十.

—>0M,—>0可得—I—>2.-----=2,C正確；

abab\ab

取1=-3/二-2滿足">0,且avb,此時(shí)“十<J茄，D錯(cuò)誤.

2

故選：C.

2

5.已知角。的終邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：兀后與角￡的終邊重合，且cos(a+/?)=l,則a的取值可以為

()

兀兀2兀5兀

A-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】

2〃

【分析】由題意易得a+——=B，列出余弦函數(shù)方程解出即可.

3

【詳解】由于角a的終邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);兀后與角夕的終邊重合，

2〃

所以。+——=〃

3

所以cos2a+上=1,即2。+—=2左肛左￡Z,解得。二一2+左肛左wZ,

<3J33

27r

當(dāng)左=1時(shí)，￡=孑，

故選：C.

6.“a>0”是“直線光—ay+2a—l=0（aeR）與圓必+產(chǎn)=］相交,，的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出a的取值范圍，再集合的包含關(guān)系得條件關(guān)系..

【詳解】由題知，圓的圓心為（0,0）,半徑為1,

設(shè)圓心至!］直線x—qy+2a—l=0（aeR）的距離為d

\2a-]\3

則d=///<1，解得:0<a<一.

3+（-。）4

而1a10<a<為｛a|a>0｝的真子集，

3

故“a>0”是“0<a<一”的必要不充分條件，

4

即“a>0”是“直線x—ay+2。-1=0（。eR）與圓V+/=1相交”的必要不充分條件,

故選：B

TT

7.已知邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，NDAB=—,點(diǎn)E為線段班）（含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E滿足

3

BE=3EC>則存.旗的最大值為（）

24

A.0B.C.3D.

33

【答案】C

【解析】

【分析】利用基底血，礪表示赤和麗，再求數(shù)量積.

［詳解］AF=AB+BF=AB+ABl5=AB+^AD-ABy

所以AF=（1—X）AB+AAD,0W%W1

__k3k3__

BE=-BC=-AD,

4_4

AFBE-[(1-2)AB+2AD]|AD,

=|(1-2)ABAD+|ZAD2

31

=-(1-2)X2X2X-+32,

33

——/iH—,0W/IW1,

22

當(dāng)4=1時(shí)，衣?麗取得最大值3.

故選：c

8.已知耳耳為橢圓M：J+匯=1和雙曲線N:5-y2=l的公共焦點(diǎn)，尸為它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且

m22n2

那么橢圓M和雙曲線N的離心率之積為（）

PFXLF{F2,

A.JlB.1C.史D.1

【答案】B

【解析】

2

【分析】根據(jù)題意得到PF2=|m|+1川,「片=|川-1〃],根據(jù)勾股定理得到|mn|=c,計(jì)算得到答案.

222

【詳解】耳入為橢圓M:二+匕=1和雙曲線N:j-V=l的公共焦點(diǎn)

m'2n2

故PF2+PFl=2\m\,PF2一尸片=21〃I,故PF2=|m\+\n\,PFl=\m\-\n\

PF[±故（|〃?|+1川y=（|〃?|-1川f+4c2即|nm|=c1

FXF2,

ccc1

e?=-------=-----=1

~\m\\n\|mn\

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓和雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

9.圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱

為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中Z>2，CG，B用，"是舉，。2，。。1，底1，34是相等

DD[n_CCX.BB[,AAi

的步，相鄰桁的舉步之比分別為栗=0.5,—^=。第=k2,-^='3?已知左，右，左3成公差為0.1的

UL)[ZJC]C/)1bA[

等差數(shù)列，且直線Q4的斜率為0.725,則a=（

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)ODX=DC]=CBX=BA^=1,則可得關(guān)于質(zhì)的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】設(shè)ODX=DC】=CB]=BA^=1,則CC、=k],BB}=k2,AA]=k3,

DD[+CC}+BB}+AA.

依題意,有g(shù)-0-2=匕，左3-0.1=左2,且OD+DC+=0，725,

C7￡7j+V+CiJj+nAj

0.5+3k、一0.3

所以-=--0--.-7-2-5--,-故--左-3=0.9,

4

故選：D

10.在一次體育水平測(cè)試中，甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加，其中：甲校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為70%,女

生成績(jī)的優(yōu)秀率為50%；乙校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為60%,女生成績(jī)的優(yōu)秀率為40%,對(duì)于此次測(cè)試，給

出下列三個(gè)結(jié)論：

①甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率；

②甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率；

③甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系，依次判斷各結(jié)論后得正確的選項(xiàng).

【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；

因?yàn)榧滓覂尚５哪猩膬?yōu)秀率均大于女生成績(jī)的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙

兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率，故②正確；

因?yàn)椴荒艽_定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀

率的大小關(guān)系，故③正確.

故選：C.

二、填空題：本大題共5小題，共25分.把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線上.

11.已知函數(shù)/(x)=lnx,若〃油)=1,則/僅4)=.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(x)=lnx,則=則ln"=l,即"=e；

又/(/)+/04)=如/+如〃=in(而『=Ine4=4.

故答案為：4.

12.在(1—3力”的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和等于64,貝ij〃=,此時(shí)f的系數(shù)是.(用

數(shù)字作答)

【答案】①.6②.135

【解析】

【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的和等于64,求解〃值，利用通項(xiàng)公式求解的系數(shù).

【詳解】由二項(xiàng)式系數(shù)的和等于64,則2"=64，〃=6；

通項(xiàng)公式為=C；-『.(-3x)r=C；(-3丫￡,

令廠=2,所以/的系數(shù)為CK—3)2=135.

故答案為：6；135.

13.設(shè)函數(shù)/(x)=sin2x+2cos2x,則函數(shù)八％)的最小正周期為一；若對(duì)于任意xeR,都有

成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的最小值為一.

【答案】①.萬②.V2+1

【解析】

【分析】利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)y=/(x)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得該函數(shù)的

周期，求出函數(shù)y=/(x)的最大值，可求得實(shí)數(shù)加的最小值.

【詳解】小…2―=2+2+13”+#1,

所以，函數(shù)y=/(x)的周期為T=g=萬，

函數(shù)y=/("的最大值為=夜+1，

由于對(duì)于任意xeR,都有/(x)Wm成立，則加之“尤)3=血+1.

因此，實(shí)數(shù)機(jī)的最小值為亞+1.

故答案為：萬；V2+1.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用不等式恒成立求參數(shù)，解答的關(guān)鍵就是利用

三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)y=/(x)的解析式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

14.正四面體ABC。中，棱長(zhǎng)為4,則此四面體的表面積為；點(diǎn)〃為8。中點(diǎn)，過M的截面

1與棱A2平行，點(diǎn)P在截面a上，若尸到棱AB和棱C。的距離都為d,則d的一個(gè)取值為.

【答案】?,16A/3②.亞(答案不唯一，在區(qū)間［后,0］中即可)

【解析】

【分析】先根據(jù)正四邊體的表面積的求出，求出表面積，再根據(jù)異面直線之間的距離，求出距離的最小值.

【詳解】正四面體棱長(zhǎng)為4,四個(gè)面都是正三角形，則三角形邊長(zhǎng)為4時(shí)，高為2g，則面積為

1X2^/3X4=4A/3,則表面積為4x46=166.

如圖所示，作A8,CD的中點(diǎn)瓦E,連接EC,EF,ED,FB,FA,

在正四面體中EC=ED=必=E4=28，所以AECDQFBA為等腰三角形,

所以歷，A3,EF，CD,則EF是異面直線AB,CD之間的距離,

可知在△EEB中，EB=2,BF=2區(qū)EBLEF,所以EF=dBF?—EB?=2夜，

所以平面a過A。,AC,5C中點(diǎn)時(shí)，d取得最小值，最小值為

過點(diǎn)M作MGLA5,在等邊△A3。中，MG=-ED=j3,

2

所以截面上的點(diǎn)到棱AB距離最大值為73，同理截面上的點(diǎn)到棱距離最大值為V3，

所以d取范圍為「五,6],故d的一個(gè)值可取也，

故答案為：166；A/2

15.曲線C是平面內(nèi)到原點(diǎn)。的距離與到直線x=l的距離的乘積等于常數(shù)/（。>1）的點(diǎn)的軌跡.給出下

列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C過點(diǎn)（0,1）；

②曲線。關(guān)于x軸對(duì)稱；

③曲線C存在漸近線；

④曲線。與被X軸截得的弦長(zhǎng)大于有.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】將所求點(diǎn)M（x,y）用直接表示出來，然后根據(jù)條件列出方程即可求出軌跡方程，令x=O,y=l可

判斷①，根據(jù)）用一，代入可判斷②，根據(jù)xwl,x->l,可得舊+產(chǎn)—二可判斷①;令y=O,可得

|七-即〉百,可判斷④.

【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為M（x,y）,

因?yàn)榍€C是平面內(nèi)到原點(diǎn)。的距離與到直線x=l的距離的乘積等于常數(shù)/（?！?）的點(diǎn)的軌跡，

所以+y2.|%-1|=?2（?>1）,

當(dāng)x=O,y=l時(shí)，V02+l2^0-l|=l^a2（a>l），曲線不過點(diǎn)（0,1），故①錯(cuò)誤；

將“2+y24—=「2伍>1）中的y用代入該等式不變,曲線關(guān)于X軸對(duì)稱，故②正確；

當(dāng)x=l時(shí)，+y~?|x—1|=0>方程Jx2+■dx—l|=a2(a>l)不成立，所以xwl,

又當(dāng)Xf1,可得Jl+y2=+8,所以x=l是曲線C的漸近線，故①正確；

FT

令y=0,可得&'.卜一1|=。2,所以剛X—1|=",所以卜(％—1)|=片，

當(dāng)xe[O,l)時(shí)，卜(％—1)t1,臥卜―1]=。2不成立，

當(dāng)xe(—8,0)u(l,+8)時(shí)，x(x-l)=a2,整理得/_%_a2=0,

設(shè)下,工2為方程/一1一。2=0的兩根，所以XI+%=1,%無2=—/，

所以上一馬|=J(X]+々)2-4為％=J1+4a2>A/5，

所以曲線C與被x軸截得的弦長(zhǎng)大于6.故④正確.

故答案為：②③④.

三、解答題：本大題共6題，共85分.把答案填在答題紙中相應(yīng)的位置上.

16.如圖，在三棱柱A5C—A3]G中，AC，BC,AC=BC=2,CCi=3,點(diǎn)。,E分別在棱A4和棱

CG上，且AD=1,CE=2,"為棱44的中點(diǎn).

(1)求證：。1加//平面片?！?；

(2)若CC]_1_平面A8C,

(i)求二面角5—四石一。的余弦值:

(ii)點(diǎn)B到平面。5也的距離.

【答案】(1)證明見解析;

(2)(i)邁(ii)V6

【解析】

【分析】(1)取用。中點(diǎn)G,連接MG,EG,可得四邊形MGEC]為平行四邊形，再由線面平行的判定定

理可得答;

(2)(i)建立空間直角坐標(biāo)系，即可求解平面。與E的法向量，利用二面角夾角公式求解二面角余弦;

(ii)由點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算求解.

【小問1詳解】

取耳。中點(diǎn)G,連接MG,EG,

則MGI=g4。=1，又因?yàn)镸/IGE,C[E=3-CE=\,,

所以MG〃GE,MG=GE,，所以四邊形MGECI為平行四邊形，所以CM//GE,

又GW平面用DE,6￡1平面用?！?

所以G"http://平面5]DE；

【小問2詳解】

(i)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，國(guó)礪,化■方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則5(0,2,0),5,(0,2,3),D(2,0,1),￡(0,0,2),

則庭=(0,-2,-1),函=(0,0,3),加=(2,0,-1).

設(shè)平面DB.E的法向量為n=(蒼y,z),

n-B[E=-2y—z=0

則取z=2,則為=(1,—1,2)

n-ED=2x-z=0

設(shè)平面耳BE的法向量為初=（1,0,0）,

設(shè)二面角3-用石―。為6,

則|cosq=(jB=.-|-1-+-0--+-0|_76

同同lXy/l2+(-l)12+226，

因?yàn)?。為銳角，所以cosd=X5；

6

（ii）由⑴平面E一個(gè)法向量為為=。,一L2）,

IH-B5J6f-

點(diǎn)B到平面DBE的距離d=1,,1=。=&

t同V6

17.VABC中，acosB+bcosA=y/2ccosC-

（1）求“；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得VA3C存在且唯一確定，求c和

sinA的值.

條件①:a=2形，AC邊上中線的長(zhǎng)為君；

條件②：/?=6,VA3C的面積為6；

條件③:cosB=—亞，AC邊上的高的長(zhǎng)為2.

10

注:如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答

計(jì)分.

JT

【答案】（1）zc=-

4

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換，即可求解；

（2）若選擇①，結(jié)合余弦定理，即可判斷；若選擇②結(jié)合面積公式，余弦定理，以及正弦定理，即可求解；

若選擇③結(jié)合三角恒等變換公式，以及直角三角形的三角公式，即可求解.

【小問1詳解】

在VA3C中，因?yàn)橐?=一；；

sinAsinBsinC

再由acosB+bcosA=6ccosC

可得sinAcosB+sinBcosA=0sinCeosC?

所以5皿人+3）=05皿。85。,即sinC=0"sinCcosC

因?yàn)閟inCwO,所以cosC=辛，Ce（0,7i）,

TT

所以NC=2.

4

【小問2詳解】

選擇條件①：設(shè)點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，則=BC=2枝,

△BCD中，根據(jù)余弦定理（指『=（2行『+℃2_4后xDCx日,

解得：或。。=3,

這樣AC=2或AC=6,則VABC不唯一確定；

選擇條件②：在VABC中，SA?r=—tzZJsinC=—xtzx6x^-=6>

“Be222

解得a=2萬

所以c?=〃+/—2"cosC=8+36—2x206xJ=20.

2

解得c=2百.

在VA3C中，因?yàn)橐籢=-^,所以sinA=@.

sinAsinC5

選擇條件③：在VABC中，因?yàn)閏osB二—典，巴＜/8＜兀,

102

所以sin5=A/1-COS2B=±4^,

10

在VABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

3M血M形小

-----------X----------------------X--------=--------

1021025

c=g=三=2后

在RtZXAB。中，可得sinA；

V

18.果酒由水果本身的糖分被酵母菌發(fā)酵而成.研究表明，果酒中的芳香氣味主要來自于酯類化合物.某學(xué)習(xí)

小組在實(shí)驗(yàn)中使用了3種不同的酵母菌（A型，8型，C型）分別對(duì)三組（每組10瓶）相同的水果原液進(jìn)行

發(fā)酵，一段時(shí)間后測(cè)定發(fā)酵液中某種酯類化合物的含量，實(shí)驗(yàn)過程中部分發(fā)酵液因被污染而廢棄，最終得到

數(shù)據(jù)如下（“X”表示該瓶發(fā)酵液因廢棄造成空缺）：

酵母菌類型該酯類化合物的含量（〃g/L）

A型X27472688XX28172679X26922721

B型1151X1308X994XXX1002X

C型2240XX23402318X25192162XX

根據(jù)發(fā)酵液中該酯類化合物含量，（〃g/L）是否超過某一值來評(píng)定其品質(zhì)，其標(biāo)準(zhǔn)如下:

酵母菌類型品質(zhì)高品質(zhì)普通

A型t>2700t<2700

B型f>1000t<1000

C型t>2300t<2300

假設(shè)用頻率估計(jì)概率

（1）從樣本未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，求其品質(zhì)高的概率；

（2）設(shè)事件。為“從樣本含A型，8型,C型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中各隨機(jī)抽取一瓶，這三瓶中至少

有一瓶品質(zhì)高”，求事件。發(fā)生的概率?（。）；

（3）設(shè)事件E為“從樣本未廢棄的發(fā)酵液中不放回地隨機(jī)抽取三瓶，這三瓶中至少有一瓶品質(zhì)高”試比

較事件E發(fā)生的概率尸（E）與（2）中事件。發(fā)生的概率P（。）的大小.（結(jié)論不要求證明）

3

【答案】（1）-

⑵或5

20

（3）p（E）＞p（r＞）

【解析】

【分析】（1）先求未廢棄的發(fā)酵液總數(shù)，再求品質(zhì)高的瓶數(shù)，結(jié)合古典概率求解可得答案;

（2）設(shè)出事件，利用對(duì)立事件求解概率可得答案;

（3）先求事件E的概率，比較大小可得答案.

【小問1詳解】

設(shè)事件F="從樣本未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，其品質(zhì)高”，

由題可知，未廢棄的發(fā)酵液共有6+4+5=15瓶，其品質(zhì)高的有9瓶，

93

所以「仍）=百=不

【小問2詳解】

事件A="從樣本含A型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，其品質(zhì)高”,

事件6="從樣本含B型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，其品質(zhì)高”,

事件C="從樣本含C型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶,其品質(zhì)高”,

3133

由題意得P（A）=—=—,P（B）=—,P（C）=—;

6245

P（Z））=1-P（ABC）=1-P（A）P（B）P（C）

【小問3詳解】

C3j8719

由題意尸（段=1-壽=1一所=而＞前所以尸（身＞尸（公

22（\\

19.設(shè)耳，鳥分別為橢圓E:0+]=l（a〉6〉O）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上，且點(diǎn)P和

耳關(guān)于點(diǎn)c]o,|＞寸稱.

（I）求橢圓E的方程；

（II）過右焦點(diǎn)歹2的直線/與橢圓相交于A,8兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)。，問

是否存在直線/,使得四邊形PA3Q的對(duì)角線互相平分？若存在，求出/的方程；若不存在，說明理由.

22

【答案】（I）—+^-=1（II）存在直線/為3x—4y—3=0滿足題意，詳見解析

43

【解析】

【分析】（I）根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)可，從而可得出橢圓E兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橢圓定義求出。的值，結(jié)合c

的值，可求出6的值，從而寫出橢圓E的方程;

3

(II)設(shè)直線/的方程為y=1),可得出直線PQ的方程為y—5=左(兀一1),設(shè)

將直線/的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，消去，，得出有關(guān)x的一元二次方程，并列出韋達(dá)定

理，同理將直線PQ的方程與橢圓E的方程聯(lián)立可得出點(diǎn)。的坐標(biāo)，由已知條件得出線段與PQ的中點(diǎn)

重合，從而可得出有關(guān)左的方程，求出左的值，即可得出直線/的方程.

【詳解】(I)解：由點(diǎn)尸(1二3)和左W0關(guān)于點(diǎn)C(0,3—)對(duì)稱，得耳(—1,0),

24

所以橢圓E的焦點(diǎn)為耳(一1,0),B(L0)，

由橢圓定義，得2a=|P￡|+|P￡|=4.

所以a=2,b=\la2—c2=-

22

故橢圓E的方程為土+匕=1；

43

(II)解：結(jié)論：存在直線/，使得四邊形B45Q的對(duì)角線互相平行.

理由如下：

由題可知直線/,直線尸。的斜率存在，

3

設(shè)直線I的方程為y=左(％-1),直線PQ的方程為y--=^(x-l)

[22

工+匕=1

由，43，消去y

y=k(x-V)

得(3+4左2)%2—8左2^+4左2—12=0,

由題意，可知A〉0，設(shè)B(x2,y2),

8k24F—12

貝UM=-------9xx9--------

1-3+4左2f23+4左2

由《二消去兒

3

y--=k(x-l),

、乙

得（3+4F）尤2—（8左2—12左）％+4左2—12左—3=0,

13

由A>0,可知5,設(shè)。(%，為),又A〉,),

8k2-T2k4k2-12k-3

則x3+1=

3+4423+4/2

若四邊形PA5Q的對(duì)角線互相平行，則PB與AQ的中點(diǎn)重合,

所以3=々［I,即％-々=1一天

故(%+%)——4玉%=(l-x,)2

8k2Y/4k2-12(4左2—12左一3丫

所以-------4-------廠=1---------3一

(3+4/yJ3+4k213+4k2J

解得左=工3

4

所以直線/為3x—4y—3=0,四邊形PA3Q的對(duì)角線互相平分.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，對(duì)于直線與橢圓的綜合問題，常采用韋

達(dá)定理法，本題中注意到四邊形為平行四邊形，利用兩對(duì)角線互相平分結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行求解，這是解題

的關(guān)鍵，同時(shí)在解題中也要注意韋達(dá)定理法適用的情形.

20.已知函數(shù)f(x)=ln(?-x).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求/(%)在元=1處的切線的傾斜角；

(2)若x=0是函數(shù)g(x)=W(x)的極值點(diǎn)，

(i)求實(shí)數(shù)。的值；

(ii)設(shè)函數(shù)砥％)=，、.證明：F(x)<l.

療(x)

3

【答案】(1)—兀；

4

(2)(i)1；(ii)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，進(jìn)而確定傾斜角大??；

(2)(i)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由已知有g(shù)'(0)=Ina=0求參數(shù)值，注意驗(yàn)證；(ii)將問題化為證明

x+(l——%)>0在X<1且無wO上恒成立，應(yīng)用換元法及導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立，即可證.

【小問1詳解】

由題設(shè)」(x)=ln(2—x),則F(%)=，,故切線斜率左=廣(1)=一1,

x-2

所以，結(jié)合直線傾斜角的范圍，易知/(%)在x=l處的切線的傾斜角為二3兀.

4

【小問2詳解】

(i)由題設(shè)g(%)=%ln(。-%),則g'(x)=ln(〃—x)+----，

x—a

由g'(O)=Ina=O,則。=1,故g(x)=xln(l-x)且九<1,

-V-]]—2

令人(x)=g1x)=ln(l—x)+--,則h'(x)=----~~-T=~2

x-1X-1(x-1)(X-1)

所以Mx)=g'(x)在(—8,1)上單調(diào)遞減，且g'(0)=0,

所以X<0時(shí)g'Q)>0,g(x)在(—8,0)上單調(diào)遞增，

0<x<1時(shí)g'(x)<0,gO)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以九=0是函數(shù)g(x)=W(x)的極值點(diǎn)，故。=1；

x+ln(l-x)11

(ii)F(x)=