第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京109中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在(x+2x)4A.6 B.8 C.12 D.242.已知直線l的一個(gè)方向向量為a=(2,1)，則過(guò)點(diǎn)A(1,?1)且與l垂直的直線方程為(

)A.x?2y?3=0 B.x?2y+1=0 C.2x+y?3=0 D.2x+y?1=03.將三顆骰子各擲一次，設(shè)事件A=“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”，B=“至少出現(xiàn)一個(gè)3點(diǎn)”，則條件概率P(B|A)是(

)A.12 B.6091 C.5184.已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在A.0或?7 B.?7 C.0 D.75.已知(1+x)n的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為(

)A.210 B.211 C.2126.將6本不同的書(包括1本物理書和1本歷史書)平均分給甲、乙兩人，其中物理書和歷史書不能分給同一個(gè)人，則不同的分配種數(shù)是(

)A.6 B.12 C.18 D.247.已知函數(shù)f(x)=ln(2?x)+ax在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l，若l與圓(x+2)2+yA.1或3 B.5或?2 C.1或73 D.8.若函數(shù)F(x)=aex?x2(a∈R)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，A.0<x1<1 B.a的范圍是(?∞,2e)9.設(shè)函數(shù)f(x)=|lnx|,x>0ex(x+1),x≤0，若函數(shù)g(x)=f(x)?b有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)bA.(1,+∞) B.[?1e2,0] C.10.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上，直線OP與平面AA.[33,1] B.[6二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.(1+2x)7的展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)是______

(用數(shù)字作答12.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次.在已知有一次出現(xiàn)正面向上的條件下，兩次都是正面向上的概率是______．13.北京市某高中高一年級(jí)5名學(xué)生參加“傳承詩(shī)詞文化，賡續(xù)青春華章”古詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽，比賽包含“唐詩(shī)”、“宋詞”、“元曲”三個(gè)項(xiàng)目，規(guī)定每個(gè)項(xiàng)目至少有一名學(xué)生參加，則符合要求的參賽方法種類數(shù)為_(kāi)_____．14.12名同學(xué)站成前后兩排，前排4人，后排8人，現(xiàn)要從后排8人中選2人站到前排，若其他同學(xué)的相對(duì)順序不變，則不同的調(diào)整方法種數(shù)為_(kāi)_____種．15.已知函數(shù)f(x)=xlnx,x>0xex,x≤0，有下列命題：①f(x)的遞增區(qū)間是(?1,0)和(1e,+∞)；②f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；③不等式f(x)≥?1e的解集為R；④關(guān)于三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題12分)

現(xiàn)有4名男生和3名女生．

(1)若安排7名學(xué)生站成一排照相，要求甲乙排在一起，這樣的排法有多少種？

(2)若安排7名學(xué)生站成一排照相，要求3名女生互不相鄰，這樣的排法有多少種？

(3)若邀請(qǐng)7名學(xué)生中的4名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中男生甲和女生乙不能同時(shí)參加，求邀請(qǐng)的方法種數(shù)．17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x3?x2?ax+2在x=1時(shí)取得極值．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[?2,2]上的最小值；

(Ⅲ)若?(x)=f(x)+m，18.(本小題12分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，PA=1，AB=3，BC=1，AD=2，M是PD的中點(diǎn)．

(1)求證：CM//平面PAB；

(2)求平面PAB與平面PCD所成角的余弦值；

(3)在線段BD上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)D到平面PAQ的距離為22119.(本小題13分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，短軸長(zhǎng)為2，斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，直線BD與y軸交于點(diǎn)G，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(Ⅰ20.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=ex+cosx．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(Ⅱ)討論f(x)在區(qū)間(?π,+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(Ⅲ)若f(m)=n，其中m>0，求證：21.(本小題13分)

約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)m(m≠0)除得的商正好是整數(shù)沒(méi)有余數(shù)，我們就稱a為m的倍數(shù)，稱m為a的約數(shù).設(shè)正整數(shù)a有k個(gè)正約數(shù)，即為a1，a2，…ak?1，ak，(a1<a2<…<ak).

(Ⅰ)當(dāng)k≥3時(shí)，是否存在a1，a2，…，ak構(gòu)成等比數(shù)列，若存在請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的正整數(shù)a的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；

(Ⅱ)當(dāng)k≥4時(shí)，若a2?a1，a3?a2，…ak?ak?1參考答案1.D

2.D

3.A

4.B

5.A

6.B

7.C

8.B

9.D

10.B

11.280

12.1313.150

14.840

15.①③④

16.解：(1)利用捆綁法，則共有排法數(shù)為A22?A66=1440種；

(2)利用插空法，可得共有排法數(shù)為A44?A53=1440種；

(3)由題意可知：邀請(qǐng)這717.解：(Ⅰ)由題得f′(x)=3x2?2x?a，且f(x)定義域?yàn)镽．

由函數(shù)f(x)在x=1時(shí)取得極值，得f′(1)=1?a=0，解得a=1，

此時(shí)f′(x)=3x2?2x?1=(3x+1)(x?1)，顯然x=1是f′(x)的變號(hào)零點(diǎn)，即x=1是極值點(diǎn)，

因此a=1,f′(x)=3(x+13)(x?1)，

所以當(dāng)x<?13或x>1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)?13<x<1時(shí)，f′(x)<0，

所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(?∞,?13),(1,+∞)，遞減區(qū)間是(?13,1)．

(Ⅱ)由(1)知，函數(shù)f(x)=x3?x2?x+2，

且f(x)在[?2,?13),(1,2]上單調(diào)遞增，在(?13,1)上單調(diào)遞減，

又f(?2)=?8，f(1)=1，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[?2,2]上的最小值是?8．

(Ⅲ)因?yàn)?(x)=x3?x2?x+2+m，x∈[?2,2]，18.解：(1)證明：取AB的中點(diǎn)E，連接ME，因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)?，所以?/p>

所以四邊形BCME是平行四邊形，所以CM//BE，

又因?yàn)镃M?平面PAB，BE?平面PAB，

所以CM//平面PAB．

(2)由題意：PA⊥平面ABCD，且AB⊥AD，則AP，AB，AC兩兩垂直，

所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

又因?yàn)镻A=1，AB=3,BC=1,AD=2,M是PD的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,2,0)，C(3,1,0)，

所以平面PAB的法向量為n1=(0,1,0)，

設(shè)平面PCD的法向量為n2=(x,y,z)，

PC=(3,1,?1),PD=(0,2,?1)，由PC?n2=0,PD?n2=0，

則n2?PC=0n2?PD=0，則3x+y?z=02y?z=0，

令y=1，則n2=(33,1,2)，

所以cos<n1,n2>=113+1+4=34．

所以，平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為34．

(3)設(shè)BQBD=λ，且AB=(3,0,0)，BD=(?3,2,0)，

則BQ=λBD,AQ=AB+λBD=(3?3λ,2λ,0),AP=(0,0,1)，

設(shè)平面PAQ的法向量為n3=(x0,y0,z0)，

則n3?AQ=0n3?AP=0，可得(3?3λ)x0+2λy0=0z0=0，

令y0=1，所以n3=(?2λ20.(Ⅰ)由f(x)=ex+cosx，得f(0)=2且f′(x)=ex?sinx，

所以f′(0)=1，

所以曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y?f(0)=f′(0)(x?0)，即x?y+2=0；

(Ⅱ)①當(dāng)x>0時(shí)，ex>1，?1≤cosx≤1，

所以f(x)>0，

所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng)?π<x≤0時(shí)，ex>0，sinx≤0，

所以f′(x)=ex?sinx>0，

所以f(x)在區(qū)間(?π,0]上單調(diào)遞增．

又f(?π)=e?π?1<0，f(0)=2>0，

所以f(x)在區(qū)間(?π,0]上僅有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上，f(x)在區(qū)間(?π,+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

(Ⅲ)證明：設(shè)g(x)=f(x)?x?2(x>0)，即g(x)=ex+cosx?x?2，

所以g′(x)=ex?sinx?1，

設(shè)g′(x)=?(x)，則?′(x)=ex?cosx，

因?yàn)閤>0時(shí)，ex>1，?1≤cosx≤1，

所以?′(x)>0，

所以?(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，即g′(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，

故g′(x)>g′(0)=0，

所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，

故g(x)>g(0)=0，

所以f(x)?x?2>0，

因?yàn)閙>0，

所以f(m)?m?2>0，

又f(m)=n，

所以n?m>2．

21.解：(Ⅰ)存在，比如1，2，4，8，16為16的