湖南省衡陽(yáng)市衡東縣2024-2025學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)，本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．實(shí)數(shù)227A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．如圖，一束平行于主光軸的光線AB經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線BF與一束經(jīng)過(guò)光心O的光線CD相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為凸透鏡的焦點(diǎn)．若∠ABF=145°，∠COE=30°，則∠DPF的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．65° D．75°3．如圖，直線AB//CD，點(diǎn)E、F在AB上，點(diǎn)H在CD上，連接EH、FH，∠DHF=2∠EHF，若∠AEH=60°，則∠HFB的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．140° D．160°4．如圖，是紅、黃兩隊(duì)某局冰壺比賽結(jié)束后的冰壺分布圖．以大本營(yíng)內(nèi)的中心點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．按比賽規(guī)則，更靠近原點(diǎn)的冰壺為本局勝方，則決定勝負(fù)的那個(gè)冰壺所在位置位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．某次數(shù)學(xué)測(cè)試，抽取部分同學(xué)的成績(jī)（得分為整數(shù)），整理制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，根據(jù)圖示信息描述不正確的是（）A．頻數(shù)分布直方圖中組距是10B．本次抽樣樣本容量是60C．70.5—80.5這一分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)為18D．這次測(cè)試及格（不低于60分）率92%6．不等式3x﹣1＞5的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．7．若x<1，則下列結(jié)論正確的是（）A．1?x<0 B．?x<?1 C．x2<1 8．若x=2y=1A．3x+y=6 B．?2x+y=?3 C．6x+y=8 D．?x+y=19．已知關(guān)于x，y的方程組x+3y=4?ax?y=3a，下列結(jié)論：①當(dāng)a=-2時(shí)，x，y的值互為相反數(shù)：②若x=5y=?1是方程組的解，則a=2；③當(dāng)a=-1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=1的解；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．計(jì)算(3A．23 B．32 C．?2二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．如圖，某施工隊(duì)計(jì)劃在小區(qū)A處修建一條通向公路CD的道路AB，要使路程最短，道路AB應(yīng)與公路CD垂直，依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是．12．2025年第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)將在哈爾濱舉行．如圖是本屆亞冬會(huì)的會(huì)徽“超越”，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，若A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2,1,0,2，則點(diǎn)B13．若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是m+6和2m?15，則3m+7的算術(shù)平方根是．14．如圖，已知A村莊的坐標(biāo)為(2，?3)，一輛汽車(chē)從原點(diǎn)O出發(fā)在x軸上行駛．行駛過(guò)程中當(dāng)汽車(chē)離A村最近時(shí)，汽車(chē)所在的坐標(biāo)為15．關(guān)于x的不等式m﹣x2≤1﹣x有正數(shù)解，m的值可以是16．已知(x?2)2+y+4=0，則三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．解答下列各題（1）已知x?22+y?x+1（2）已知x，y為實(shí)數(shù)，且y=x?918．解下列方程組或不等式．（1）3x+2y=9（2）x?3219．【問(wèn)題背景】光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線與鏡面的夾角和反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有∠1=∠2．【初步探究】（1）如圖2，已知鏡子MN與鏡子PQ互相平行，請(qǐng)判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；【深入探究】（2）如圖3，有一口井，已知入射光線AO與水平線OC的夾角∠AOC為40°，問(wèn)如何放置平面鏡MN，可使反射光線OB正好垂直照射到井底？（即求MN與水平線OC的夾角∠COM）；【拓展探究】（3）如圖4，直線EF上有A、C兩點(diǎn)，分別引兩條射線AB、CD，∠BAF=120°，∠DCF=30°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)、C點(diǎn)以1度/秒和4度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，射線CD從開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到首次與射線CE重合這個(gè)過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻，使得CD與AB平行？若存在，求出滿足條件的時(shí)間t．20．在直角坐標(biāo)系中，將△ABC進(jìn)行平移變換，變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)的情況如下表：變換前△ABCA(1B(4C(4變換后△ABC（1）平移后點(diǎn)C'的坐標(biāo)是，并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出△（2）若P(m,n)是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，通過(guò)上述平移變換后，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'（3）連接BB'，CC'，則四邊形BB21．（1）解方程：x(x－2)＝3；（2）解不等式組5+3x>1822．隨著人工智能技術(shù)的快速發(fā)展，AI＋已成為推動(dòng)全球創(chuàng)新和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的重要力量．某校為了培養(yǎng)能夠適應(yīng)未來(lái)社會(huì)的創(chuàng)新人才，擬開(kāi)設(shè)“AI交互設(shè)計(jì)”“AI工程實(shí)踐”“AI綜合技能”“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”“AI軌跡普及”五項(xiàng)人工智能社團(tuán)課程．為了解學(xué)生對(duì)上述五項(xiàng)社團(tuán)課程的興趣情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（調(diào)查問(wèn)卷如圖所示），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（均不完整）．請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問(wèn)題．（1）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“AI軌跡普及”的百分比是，表示“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的扇形的圓心角度數(shù)為度．（3）學(xué)校對(duì)有意向參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試（滿分100分），并將成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：成績(jī)/分838790929597人數(shù)246831則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是分，中位數(shù)是分，眾數(shù)是分．（4）若該校學(xué)生的總?cè)藬?shù)是1200人，請(qǐng)你估計(jì)最有意向參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生有多少人？23．某中學(xué)開(kāi)展物理跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)，作有關(guān)大氣壓的測(cè)量實(shí)驗(yàn)，需要準(zhǔn)備紅色和黃色兩種氣球，學(xué)校計(jì)劃前往某超市購(gòu)買(mǎi)．通過(guò)調(diào)查，將獲取的相關(guān)數(shù)據(jù)整理如下表：購(gòu)買(mǎi)數(shù)量（單位：包）總費(fèi)用（單位：元）紅色氣球黃色氣球34852360（1）紅色氣球、黃色氣球每包各是多少元？（2）該中學(xué)決定購(gòu)買(mǎi)紅色和黃色兩種氣球共100包，且總費(fèi)用不超過(guò)1300元，那么該中學(xué)至少可以購(gòu)買(mǎi)多少包黃色氣球？24．根據(jù)以下素材，嘗試解決問(wèn)題.綜合與探究素材1如圖1，O是彈力墻MN上一點(diǎn)，魔法棒從OM的位置開(kāi)始繞點(diǎn)O向ON的位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到ON位置時(shí)，則從ON位置彈回，繼續(xù)向OM位置旋轉(zhuǎn)；當(dāng)轉(zhuǎn)到OM位置時(shí)，再?gòu)腛M的位置彈回，繼續(xù)轉(zhuǎn)向ON位置??如此反復(fù).按照這種方式將魔法棒進(jìn)行如下步驟的旋轉(zhuǎn)(如圖2)：第1步，從OA。(OA0在OM上)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)α至OA1；第2步，從OA1開(kāi)始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)2α至OA2；第3步，從OA2開(kāi)始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)3α至OA3……素材2例如：當(dāng)α=30°時(shí)，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如圖2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；當(dāng)α=20°時(shí)，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如圖3所示，其中第4步旋轉(zhuǎn)到ON后彈回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA5恰好與OA2重合.問(wèn)題解決問(wèn)題1(1)若α=35°，在圖4中借助量角器畫(huà)出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度數(shù)為°.問(wèn)題2(2)若α<30°，且OA1所在的射線平分∠A2OA3，在如圖5中畫(huà)出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值.問(wèn)題3(3)若α<36°，且∠A2OA4=20°，則對(duì)應(yīng)的α的值是.問(wèn)題4(4)當(dāng)OA；所在的射線是∠A，OA?(i，j，k是正整數(shù)，且OA?與OA?不重合)的平分線時(shí)，旋轉(zhuǎn)停止，請(qǐng)?zhí)骄浚簩?duì)于任意角α(α的度數(shù)為正整數(shù)，且α<180°)，旋轉(zhuǎn)是否可以停止?寫(xiě)出你的探究思路.25．規(guī)定：若P（x，y）是以x，y為未知數(shù)的二元一次方程ax+by=c的整數(shù)解，則稱此時(shí)點(diǎn)P為二元一次方程ax+by=c的“理想點(diǎn)”．請(qǐng)回答以下關(guān)于x，y的二元一次方程的相關(guān)問(wèn)題．（1）已知A（?1，2），B（4，?3），C（?3，4），請(qǐng)問(wèn)哪個(gè)點(diǎn)是方程2x+3y=6的“理想點(diǎn)”，哪個(gè)點(diǎn)不是方程2x+3y=6的“理想點(diǎn)”并說(shuō)明理由；（2）已知m，n為非負(fù)整數(shù)，且2n?m=1，若P（m，（3）已知k是正整數(shù)，且P（x，y）是方程2x+y=1和kx+2y=5的“理想點(diǎn)”，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】D10．【答案】A11．【答案】垂線段最短12．【答案】?1,?2???????13．【答案】214．【答案】（2，0）15．【答案】0（答案不唯一）16．【答案】817．【答案】（1）±2（2）518．【答案】（1）解：令3x+2y=9,①5x?y=15,②將x=3代入①，得9+2y=9，解得y=0，∴原方程組的解為x=3（2）解：去分母，得2(去括號(hào)，得2x?6?3x?1?8x?8，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得?9x??1，系數(shù)化為1，得x?119．【答案】解：（1）AB∥CD，

理由如下：由題意得，∠1=∠2，∠3=∠4，

∵鏡子MN與鏡子PQ互相平行，

∴∠2=∠3，∠CBP=∠BCN，

∴∠1=∠4，

∴∠ABC=∠BCD，

∴AB∥CD；

（2）∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，

∴∠AOM+∠BON=50°，

∴∠AOM=∠BON=25°，

∴∠COM=25°+40°=65°，

∴當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為65°時(shí)，可使反射光線OB正好垂直照射到井底；

（3）存在，

∵AB∥CD，

∴∠BAF=∠ACD，

∴120?t=180?4t?30，

解得t=10；

當(dāng)射線CD首次與射線CE重合時(shí)，射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)了180°?30°=150°，

∴150°÷4°=37.5，

∵10<37.5，符合題意，

∴射線CD從開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到首次與射線CE重合這個(gè)過(guò)程中，當(dāng)t=10時(shí)，CD與AB平行．20．【答案】（1）解：C'的坐標(biāo)是(9△A（2）(m+5（3）平行四邊形；2021．【答案】（1）x1＝3，x2＝－1；（2）13322．【答案】（1）解：∵總?cè)藬?shù)為：610∵“AI綜合技能”占比30%∴“AI綜合技能”人數(shù)：60×30%∴條形圖補(bǔ)全如下：（2）15（3）90.5（4）解：∵該校學(xué)生的總?cè)藬?shù)是1200人，∴參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生：2460答：估計(jì)最有意向參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生有480人23．【答案】（1）解：設(shè)紅色氣球每包為x元，黃色氣球每包為y元，根據(jù)題意得：3x+4y=852x+3y=60解得：x=15答：紅色氣球每包為15元，黃色氣球每包為10元；（2）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)黃色氣球?yàn)閙包，則購(gòu)買(mǎi)紅色氣球?yàn)?100?m)包，根據(jù)題意得：10m+15(100?m)≤1300，解得：m≥40，又∵m為正整數(shù)，∴m的最小值為40，答：該中學(xué)至少可以購(gòu)買(mǎi)40包黃色氣球．24．【答案】解：(1)45

如圖

（2）如圖所示，

∵α<30°，

∴∠A0OA3<180°，4α<180°，

∵OA平分∠A2OA3，

∴2(180°?6α)+32α=4，解得：α=72029°；

（3）207°或34013°或38013°

（4）不會(huì)停止；

對(duì)于角α=120°不能停止.

理由如下：

無(wú)論α為多少度，旋轉(zhuǎn)過(guò)若干次后，一定會(huì)出現(xiàn)OAi是∠AiOAk是的角平分線，所以旋轉(zhuǎn)會(huì)停止；

但特殊的，當(dāng)α為120°時(shí)，第一次旋轉(zhuǎn)120，∠MOA1=120°，第二次旋轉(zhuǎn)240°時(shí)，與OM重合，第三次旋轉(zhuǎn)360°，又與OM重合，第四次旋轉(zhuǎn)480°時(shí)，又與OA25．【答案】（1）解：∵2×(?1)+3×2=?2+6=4≠6，2×4+3×(?3)=8