第05講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點突破?題型探究.............................................................4

知識點1：對數(shù)式的運算.........................................................................4

知識點2:對數(shù)函數(shù)的定義及圖像................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................5

題型一：對數(shù)式的運算..........................................................................6

題型二：對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用..................................................................6

題型三：對數(shù)函數(shù)過定點問題....................................................................7

題型四：比較對數(shù)式的大小......................................................................8

題型五：解對數(shù)方程或不等式....................................................................9

題型六：對數(shù)函數(shù)的最值與值域問題..............................................................9

題型七：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題...............................................................10

題型八：對數(shù)函數(shù)的綜合問題...................................................................11

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................13

05課本典例高考素材............................................................13

06易錯分析答題模板............................................................15

易錯點：無視對數(shù)函數(shù)中底數(shù)和真數(shù)的范圍.......................................................15

答題模板：對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題...........................................................15

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年n卷第8題,5分

2024年北京卷第7題，4分從近五年的高考情況來看，對數(shù)運算與對

2024年天津卷第5題，5分?jǐn)?shù)函數(shù)是高考的一個重點也是一個難點，

（1）對數(shù)的概念及運算性質(zhì)

2023年北京卷第H題，5分常與二次函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角

（2）對數(shù)函數(shù)的圖象

2023年I卷第10題,5分函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方

（3）對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

2022年天津卷第6題，5分程問題.在利用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用

2022年浙江卷第7題，5分上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

2022年I卷I卷第7題，5分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）理解對數(shù)的概念及運算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).

（2）通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.

（3）了解指數(shù)函數(shù)丁=相與對數(shù)函數(shù)y=/og.x（a>0,且awl）互為反函數(shù).

//二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

般地，如果。"='3>0且"1）,那么數(shù)A?叫做以0為底N的對數(shù)，記作x

讀作以。為底N的對數(shù)，其中〃叫做對數(shù)的底數(shù),MU做真數(shù).

「（一般對數(shù):以。（。>0且"1）為底記為/哈，讀作以。為底N的對數(shù)）

Y常見對數(shù)）--（常用對數(shù):以10為底,記為?V）

1（自然對數(shù):以e為底,記為/菽）

當(dāng)G>1時，在（0,+8）上增函數(shù)

既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

老占突硒?力理慳宙

/-----------------Lru-u-Lru.

f知識固本JJ

知識點1:對數(shù)式的運算

(1)對數(shù)的定義：?般地，如果/=N(a>0且。*1),那么數(shù)》叫做以。為底N的對數(shù)，記作

x=log，N,讀作以。為底N的對數(shù)，其中。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)常見對數(shù)：

①一般對數(shù)：以a(a>。且〃力1)為底，記為log〉讀作以。為底N的對數(shù)；

②常用對數(shù)：以10為底，記為IgN；

③自然對數(shù)：以e為底，記為InN；

(3)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：

①log；=°；bg：=1；其中。>°且awl;

②a陶=N(其中a>o且"1，N>0)；

③對數(shù)換底公式：1°8/=魯1；

④log”(MV)=logaM+logaN-

⑤log0*=log0M-log”N；

⑥logb"=—logb(m,"eR)；

ama

⑦產(chǎn)力=匕和log/=Z?；

⑧l(xiāng)og，=J-;

log/

【診斷自測】(2024?青海?模擬預(yù)測)若，=log35,5=6,貝加幅2=()

A.1B.-1C.2D.12

知識點2：對數(shù)函數(shù)的定義及圖像

⑴對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=log“x（。>0且awl）叫做對數(shù)函數(shù).

（12）對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<a<l

171

圖象1\!(b0)

o/f(l,0)T。|

定義域：（0,+8）

值域：R

過定點（1,0）,即尤=1時,y=0

性質(zhì)

在（0,+8）上增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

當(dāng)0<x<l時，y<0,當(dāng)0<%<1時，y〉o,

當(dāng)了21時，”0當(dāng)了21時，y?。

（2024?廣東深圳?二模）已知。>0,且g1,則函數(shù)yTogJx+口的圖象一定經(jīng)過（）

a）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、匹像限

解題方法總結(jié)

1、對數(shù)函數(shù)常用技巧

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)。>1時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近x軸;當(dāng)0<a<l時，對數(shù)函數(shù)的

圖象隨。的增大而遠(yuǎn)離X軸.（見下圖）

I」,,Jr

臉［。增大

（題型洞察n

題型一：對數(shù)式的運算

【典例1-1】已知bg23=。,2"=5則bgi?45=.（用含a,人的式子表示）

【典例1-2】（2024.重慶.三模）若正實數(shù)a,b滿足（igaf+（lg4=lg5O,lga-lgb=lg0，則

（知電⑷=一

【方法技巧】

對數(shù)的有關(guān)運算問題要注意公式的正用、逆用及變形等應(yīng)用.

【變式1-1］化簡下列各式：

⑴41g2+31g5-lgg；

32

1Ofo3

（2）21og32-log3—+log38-5.

【變式1-2］已知7"=3,log72=/j,則log4948=.（用6表示）

131

【變式1-3］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知2工=3，=干=6,則一+—+—=_

xyz~

題型二：對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【典例2-1］已知函數(shù)①y=logax；②y=log/?x；③y=logcx；④y=logdx的大致圖象如圖所示，則下列

不等關(guān)系正確的是（）

A.〃+cVZ?+aB.a+dV/?+c

C.b+cVa+dD.b-\~d<a-\-c

【典例2?2】（2024.江蘇揚州?模擬預(yù)測）設(shè)方程2"+%+3=0和方程1唯1+兄+3=。的根分別為P,9,設(shè)函

數(shù)〃x）=（x+p）（x+q）,貝I］（）

A.f（2）=/（0）＜/（3）B.f（0）=/（3）＞/（2）

c./（3）＜/（2）=/（0）D./（0）＜/（3）＜/（2）

【方法技巧】

對于有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過伸縮、平移、對稱等

變換得到，當(dāng)。＞1時，對數(shù)函數(shù)的圖像呈上升趨勢；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖像呈下降趨勢.

【變式2-11（多選題）（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=log/x|+l（0＜a＜l）的大致圖象不可能為

【變式2-2］（2024?高三?江西南昌?開學(xué)考試）已知函數(shù)＞=^和y=hw的圖象與直線y=2-x交點的橫坐標(biāo)

分別為。，6,則（）

A.a>bB.〃+/?<2C.ab>lD.a2+b2>2

1-log3x,0＜x＜3

【變式2-3］（2024?高三?上海?期末）已知定義在（0,+s）上的函數(shù)f（x）=臃3犬-1,3449,設(shè)。力,c為三個

4-y[x,x>9

互不相同的實數(shù)，滿足〃。）=/9）=〃。），則必。的取值范圍為一.

【變式2-4］（2024?高三?北京?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=|ln|x-111-履+2,給出下列四個結(jié)論:

①半＜1,使得/（X）有兩個零點;

②若％=1,則/（X）有兩個零點;

③兌＞1,使得/'（X）有兩個零點:

④兌＞1,使得“X）有三個零點;

以上正確結(jié)論的序號是.

【變式2-5】已知函數(shù)〃力=隨乂，若且/⑷寸修）,則a+2A的取值范圍為.

題型三：對數(shù)函數(shù)過定點問題

【典例3-1】函數(shù)y=log“x+l（a＞0且awl）的圖象必經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（1,1）D.（1,0）

【典例3-2】函數(shù)y=logaX+〃i+2（〃>0且awl）的圖象恒過定點（左力），若m+〃=Z?-左且加〉0,

Qn+

n>0,則史上竺JTI的最小值為（）

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

【方法技巧】

108。（%—加）+〃恒過定點（加+1,孔）.

【變式3?1】函數(shù)y=loga（%+2）-l（o>0,awl）的圖象恒過定點A,若點A在直線如+州+1=。上，其中

1?

m>0,n>0,則一+一的最小值為（）

mn

A.3+20B.3C.7D.4

【變式3-2】已知直線y=3+2”經(jīng)過函數(shù)〃無）=log“（x-l）+2圖象過的定點（其中％,“均大于0）,則

,+'的最小值為（）

mn

A.2B.3C.4D.5

【變式3-3］（2024?安徽安慶?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=log2（依+b）（a>0,6>0）恒過定點（2,0）,則，+，

的最小值為（）.

A.2A/2+1B.2A/2C.3D.收+2

題型四：比較對數(shù)式的大小

3

【典例4-1】（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）設(shè)。=logz3,6=0.3°2,c=貝I（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a

【典例4-2】已知。=1。8&2,Z?=log53,c=（log42）（log53）,則。，b,c的大小關(guān)系為（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

【方法技巧】

比較大小問題，常利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值法.

【變式4?1】（2024?天津?二模）設(shè)，=1嗝31=1.3°\09=1.3,則〃也c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

【變式42］（2024.寧夏銀川?三模）已知〃=0.2。5,1=cos2,c=lgl5,則（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

【變式4-3】（2。24?青海西寧?模擬預(yù)測）已知”山3,八三，-e%則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【變式4-4](2024.江西.模擬預(yù)測)若ae"=61nb(a>0),則)

A.a<bB.a=bC.a>bD.無法確定

題型五：解對數(shù)方程或不等式

【典例5-1】方程lg（2一x）+lg（3-尤）=1g12的解是一.

【典例5-2］不等式27'+71。85（36X+1）<23的解集為

【方法技巧】

（1）對于形如log〃/（x）=。的形式，利用匕=log。/轉(zhuǎn)化；對于形如（log“xy+B」og“x+C=0

的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程求解.

（2）解對數(shù)不等式，也是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為比較真數(shù)之間的不等式，再解這個

不等式即可.

【變式5-1】不等式3,+logsx>3的解集是.

【變式5-2】方程：2x+l=log3（l-2-3，）的解是—.

【變式5-3】不等式-1>0的解集是.

7

【變式5-4】不等式1n2卜'+「卜2<0的解集是.

e*+ef-l

【變式5-5］由函數(shù)的觀點，不等式logs》<3-3,的解集是.

題型六：對數(shù)函數(shù)的最值與值域問題

【典例6-1】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)"X）=log“1?+1）在區(qū)間fl,21上有最大值或最小值,

則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.］』U（1，2）C.卜（1,4）D.［pl］u（l,2）

【典例6-2】已知函數(shù)〃x)=log3(-x2+4x+a-l)的最大值為2,貝!］。=.

【方法技巧】

對數(shù)函數(shù)的最值與值域問題通常利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決.

【變式6-1］若函數(shù)f(x)=log〃(-尤②-2x+3)">0且awl)的最小值為一4,則實數(shù)a的值為一.

【變式6-2］已知函數(shù)/(x)=log“(x2-ax+4)(a>0且口中1).

(1)當(dāng)xe(O,2)時，函數(shù)/(X)恒有意義，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)是否存在這樣的實數(shù)”，使得函數(shù)〃x)在區(qū)間［L2］上為減函數(shù)，且最大值為1?如果存在，試求出。的

值；如果不存在，請說明理由.

【變式6-3】已知函數(shù)〃到=手竽的最大值為"，則函數(shù)g(x)=9曳的最小值為一(結(jié)果用機(jī)

表示)

【變式6-4】已知函數(shù)〃x)=3尸(a>0且awl)是奇函數(shù).

⑴求f的值；

⑵若0<a<1,對任意尤有/(2f-履-幻<〃1)恒成立，求實數(shù)％的取值范圍；

1O

2T2xx

(3)-?g(^)=log,?［?+a-m{a---)］(m>O,m^i)f若/⑴=弓,問是否存在實數(shù)冽使函數(shù)g(x)在［0,1］

ClN

上的最大值為0?若存在，求出機(jī)的值；若不存在，說明理由.

題型七：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

【典例7-1］已知函數(shù)/(x)=ln(e"+e'+a-2),若對任意%>%>。都有/(%)-/(/)<占-尤2，則實數(shù)

的取值范圍是()

A.［0,+⑹B.(0,+8)C.(0,3)D.［0,3］

【典例7-2】若不等式/-1080(工+1)<2工-1在無€(。1)上恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

【方法技巧】

已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：

(1)函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，通常借助函數(shù)單調(diào)性求解；

(2)分離參數(shù)法：首先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值或值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的

圖象，再利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決.

【變式7-1]已知函數(shù)/。)=一/一4.乂+6,g(x)=log?x(a>0且awl),若對任意的％e[3,5],存在

-3'

%e--,1,使得/a)<g(%)成立，則實數(shù)。的取值范圍是—.

x

【變式7-2]已知a>0且awl,當(dāng)時，-log2x>a,則。的取值范圍為.

【變式7-3】已知函數(shù)了口”5>公-4-1為奇函數(shù).

⑴求實數(shù)a的值；

(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性(不用證明)；

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=log25log2：+根，若對任意的玉e[2,8],總存在(0,1],使得8(西)=/伍)成立，求實

數(shù)m的取值范圍.

題型八：對數(shù)函數(shù)的綜合問題

【典例84](2024.四川南充.模擬預(yù)測)函數(shù)〃x)=jdnx-l的零點為天函數(shù)g(x)=e"(x-l)-e的零點為

巧，則下列結(jié)論正確的是（）

A.e%2-Inx,=e2B.e巧一IH—>2

X

1c

C.1nxi—%2=1D.；—42

1+皿

1g---H———,-3<x<0

【典例8-2】(2024.云南.二模)已知函數(shù)的定義域為(-3,3),且〃x)=:十尤%：3若

1g士三-----,0<x<3

I3-xx+3

3/[x(^-2)]+2>0,貝。x的取值范圍為()

A.(-3,2)B.(-3,0)50,1)51,2)

C.(-1,3)D.(一1,0)u(0,2)u(2,3)

【方法技巧】

對數(shù)函數(shù)常與其他函數(shù)形成復(fù)合函數(shù)問題，解題時要清楚復(fù)合的層次，外層是對數(shù)函數(shù)還是內(nèi)層是對

數(shù)函數(shù)，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等問題，則要按復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律求解.

卬Y<0

【變式8-1】已知函數(shù)/(x)=，'一八，g(x)=|x(x-4)|,則/(g(2))=_.若方程

L尤,x>0

/(g(x))+g(x)-m=0的所有實根之和為4,則實數(shù)m的取值范圍是—.

【變式8-2]設(shè)定義域為R的函數(shù)/(%)=｛旭，一1)口>1,若關(guān)于尤的方程2[〃x)了+2妙⑺+1=0有8個

—X+1,%W1--'

不同的實根，到實數(shù)b的取值范圍是.

【變式8-3]已知函數(shù)/(xHZZ,-BZ'glxHlogJf-D-log/.

⑴求g(x)的定義域；

⑵若％號近,〃xj>g(x2),求。的取值范圍.

【變式8-4](2024?廣東佛山?模擬預(yù)測)已知天，巧分別是關(guān)于x的方程xlnx=2023,痣=2023的根,

則下面為定值2023的是()

A.xt+x2B.xt-x2C.Xj%2D.—E.均不是

X2

【變式8-5]給出函數(shù)“無)=4(.2：_尤+1/m|4x|+2,

(1)若a=0,求不等式〃x)>2—ln2的解集；

(2)若。>0,且求才的取值范圍；

(3)若a=0,非零實數(shù)”2,〃滿足/(租)+4■=/■(")--1，求證：nr-n2>2.

nm

1.（2024年新課標(biāo)全國n卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)2（x）=a+a）lna+3，若/⑴20,則/+/的最小值為

（）

A.一B.—C.-D.1

842

v_1

2.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）生物豐富度指數(shù)d不是河流水質(zhì)的一個評價指標(biāo)，其中S,N分別表

InN

示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)]越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種

類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由M變?yōu)樯镓S富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則（）

A.3N2=2N\B.2N[=3N\

C.N；=N：D.N：=N；

3.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）化簡⑵。843+1。883乂腕32+10892）的值為（）

A.1B.2C.4D.6

4.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）已知a=207,6=,c=log21,則（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

1.我們可以把（1+1%產(chǎn)看作每天的“進(jìn)步”率都是1%,一年后是1.0儼5；而把（1?1%嚴(yán)看作每天的“落后

率都是1%,一年后是0.99365.利用計算工具計算并回答下列問題：

（1）一年后“進(jìn)步”的是“