高中數(shù)學(xué)人教A版(2019)選擇性必修第一冊(cè)第一章綜合檢測(cè)卷(拔尖C卷)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.

1.在平行六面體A6CD-4月。1。1中，點(diǎn)"滿足2AM=AC.若44=a,AQ，則下列向量中與

4M相等的是()

1111

A.—ci—b7+cB.—ciH—b7c

2222

11,11

C.——a+—b+cD.——a——7b+c

2222

【答案】C

【分析】結(jié)合圖形，由空間向量的線性運(yùn)算可得.

由點(diǎn)M滿足2AM=AC,所以M為AC中點(diǎn)，

因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以M為中點(diǎn)，

所以BM=；Br>=g(BA+BC)=g(-a+6),

所以4M=B2+2M=c+g(-a+6)=-；a+gb+c.

故選：C

2.在平行六面體ABCO-ABCIA中，AA,=1,AB=AD=&,且AD=/4AB=45,ZDAB=60,

則叫|=()

A.1B.0C.6D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形，利用向量的加法法則得到-AB+AD+M，再利用空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律求

模長.

【詳解】以｛48,40,44｝為基底向量，^^BD｝=BA+AD+DDX=-AB+AD+AAl,

uuir2uunurnuuuuun2uum2uuu2uunuumuunuuuruumuuur

2

貝IBA=(-AB+AD+AAl)=AB+AD+招-2AB-AD-2AB-AA.+2AD-AA,

=1+2+2—2XA/2XV2XCOS60-2X^2xlxcos45+2X^/2xlxcos45

=5-4x4一2&x烏+2點(diǎn)x坐=3,

222

咿叫=技

故選：C.

3.己知。、夕是空間中兩個(gè)不同的平面，力、〃是空間中兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）

A.若加〃〃，"ua,則機(jī)〃eB.若m11a,，〃///?,則a〃￡

C.若a，4,mua,則〃z_L￡D.若加J_a,n，B,mLn,則

【答案】D

【分析】利用空間中線面、面面的位置關(guān)系可判斷ABC選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若加//“，”ua,則或機(jī)ua,A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng)，若mlla,ml1（3,則a〃尸或a、夕相交，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若aA.0,mua,則〃?///或機(jī)u"或加、口相交（不一定垂直），C錯(cuò);

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)直線加、〃的方向向量分別為a、b,

若〃z_La,nL（3,mLn,則平面a、夕的一個(gè)法向量分別為a、b,且a_L6，故■分，D對(duì).

故選：D.

4.已知正四面體ABC。的棱長為。，點(diǎn)E,尸分別是2C,AD的中點(diǎn)，則AE.A尸的值為（）

A.a2B.-a2C.-a2D.—a2

242

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算得出AE=；（AB+AC）,”=；AD,根據(jù)正四面體的性質(zhì)得出

|AB|=|AC|=|AZ）|=?,且AB、AC、AO三向量兩兩夾角為（，即可通過向量數(shù)量積的運(yùn)算率得出答案.

四面體48CD是正四面體，

.?.|AB|=|AC|=|AD|=0!,且AB、AC、4￡)三向量兩兩夾角為g，

丁點(diǎn)E,尸分別是2C,的中點(diǎn)，

:.AE=~(AB+AC],AF=-AD,

2、'2

則AE-AF=^AB+ACyAD=^AB-AD+AC-AD^=^2cos^+a2cosjK|a2,

故選：C.

5.在正方體ABCD-ABIGA中，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），若正方體棱長為1,則下列結(jié)論正

確的有（）

①直線2P與NC所成角的取值范圍是

②存在P點(diǎn)，使得平面APD,//平面C.BD

③三棱錐A-COP的體積為:

0

④平面AP。截正方體所得的截面可能是直角三角形

A.①③B.②④C.③④D.②③

【答案】D

【分析】①建立平面直角坐標(biāo)系，利用異面直線所稱角的向量坐標(biāo)法，即可求解；②當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，即

可判斷面面平行；③結(jié)合等體積轉(zhuǎn)化匕一皿■二匕-皿H即可求解；④討論點(diǎn)P的位置，作出截面，即可判

斷.

【詳解】①如圖，連結(jié)AC,?p,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則

4（1,0,0）,5（1,1,0）,A。，。」），0（0,0,0）,R（0,0,1）,C（0,l,0）,

則有AC=(-1,1,0),設(shè)=

DXP=OX+A4B=(1,0,0)+2(0,1,-1)=(1,2,-2),AG(0,1),

所以kos(AC,RP-1+/1

V2V2A2+14A2+2

8彳2一42—44(2/L+l)(/l-l)

0一肛,2e(o,l),則/'(%)=<0

令/(422+2)2(4%+2丫

(4=4A2+2

所以在（。,1）上單調(diào)遞減，因?yàn)?（o）=:，/⑴=0,

v7422+22

設(shè)直線，尸與/C所成角為a,所以0<cosa=kos（AC,R尸,<,又a三。,萬

7T7T

故直線RP與/C所成角的取值范圍是,故①錯(cuò)誤；

②當(dāng)點(diǎn)尸為A|B的中點(diǎn)時(shí)，有AP//G。，4尸0平面C|B。，CQu平面C，D,

所以AP〃平面GBD,同理，A，//平面C|B。，且AQAP=A,AR,APu平面

所以平面APR//GB。，故②正確；

③三棱錐2-CDP的體積/_加=%_5=gxSsXAD=gx；xlxlxl=',故③正確；

④設(shè)42的中點(diǎn)為。，連結(jié)AP,AR，2P,當(dāng)點(diǎn)P在線段。8（不包括端點(diǎn)）上時(shí)，此時(shí)平面4尸2截正方

體所得的截面為梯形AEFR,如圖，

當(dāng)點(diǎn)尸在。點(diǎn)時(shí)，此時(shí)平面AP，截正方體所得的截面為正三角形ABR，如圖,

當(dāng)點(diǎn)尸在線段（不包括端點(diǎn)）時(shí)，此時(shí)平面截正方體所得的截面為等腰三角形ARG,如圖，

AD\=e,DtG=AG>l,所以RG2+AG2>AZV，乙箕;，為銳角，該等腰三角形不可能為直角三角形,

綜上，可得④錯(cuò)誤.

故選：D

6.如圖，在正方體ABCD-ABGR中，￡為棱CG上一點(diǎn)且CE=：CC1,則直線入也與平面3DE所成角的

正弦值為（）

、3而RV22_V3302^22

H111111

【答案】D

【分析】以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DC,。。分別為x軸、＞軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=3,則D(0,0,0),B(3,3,0),E(0,3,1),4(3,0,3),

所以=(3,3,0),OE=(0,3,1),A3=(0,3,-3),

設(shè)平面BDE的法向量為m=(x,y,z),

則澇m?-D瓦B==0。,即b|3x++3zy==。0,,令A(yù)E'則，-3,所以…T3),

設(shè)直線與平面3/汨所成角為。,

故選：D.

7.如圖，在正方體ABCD-ABIGA中，歹為線段BG的中點(diǎn)，E為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中,

A.EF，平面48Q

B.存在點(diǎn)E,使平面8月GC

C.存在點(diǎn)E,使EF〃AC

D.DB11EF

【答案】D

【分析】當(dāng)E與A重合時(shí)，斯、平面陰3=4,即可判斷A；設(shè)正方體的棱長為1,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以ZM,DC,所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)GE=XGA（OV2VI），可得EF坐標(biāo)，

由跖-期=*0可知所與B片不垂直，即可判斷B；若EF〃AC,則EF=Z：AC，列方程組求解可判

斷C；由￡）3「防=0可判斷D.

【詳解】當(dāng)E與A重合時(shí)，又Pe平面ABC。，則EQi平面48cA=4，故A錯(cuò)誤；

設(shè)正方體的棱長為1,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4,DC,。，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則￡>(0,0,0),B(l,l,0),C(0,l,0),,

設(shè)GE=2GA(0W/lVl),又￡A=(LT,O),0^￡=(2,-2,0),

DG=(0,1,1),則OE=DC]+GE=(41—41),0￡(A,l-A,l),EF=Q-A,/l,-^,

=(0,0,1),EF-BB^-^0,團(tuán)灰與B片不垂直，而8月u平面,則E尸與平面BBGC不垂直,

故B錯(cuò)誤；

AC=(-1,1,-1),若EF〃AC,則EF=4AC，貝I%=%，此方程無解，故不存在點(diǎn)E，使E尸〃AC,

—=—k

[2

故C錯(cuò)誤；

ElDB{=(1,1,1),EF=f——A,zl,——J,DBt-EF=——2+A——=0,0DBi±EF,故D正確.

122)22

故選：D.

8.在正四棱錐尸-ABCD中，B4=A5=2,E在棱PD上，尸在直線CE1上，則"的最小值是（）

A4白R(shí)4A/6「2石n276

3333

【答案】D

【分析】以。為原點(diǎn)，分別以oc,OD,0P的方向?yàn)閄軸、y軸和z軸軸的正方向建立的空間直角坐標(biāo)

系，設(shè)PE=2PD=(0,垃兒-丘外和CE=(-亞，無兀虛-近幾),求得點(diǎn)/到直線CE的距離d的表達(dá)式，

進(jìn)而求得最小值.

【詳解】如圖所以，連接/C,BD,記ACBD=O,連接OP,

由正四棱錐的性質(zhì)可知OC,0D,。尸兩兩垂直，則以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OD，0P的方向?yàn)閤軸、y

軸和z軸軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镋4=AB=2,所以川一亞,0,0),C(V2,0,0),￡>(0,72,0),網(wǎng)0,0,0),

則。1=(-20,0,0),PD=(0,枝,-塔,

設(shè)尸E=XPD=僅02,-02),貝!j￡(0,&,V2-722),

從而CE=(-V2,&,忘-&),

/\2_______________

故點(diǎn)/到直線CE的距離d=,畢半=卜-「6二2型,

V[\CE\JV422-42+43

即/尸的最小值是漢1.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知點(diǎn)尸是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，AB=(-1,2,2),AD=(0,1,3),AP=(2,1,0)下列結(jié)論中

正確的是()

A.AP±ABB.存在實(shí)數(shù)；I,使=

C.AP不是平面ABC。的法向量D.四邊形ABC。的面積為國

【答案】ACD

【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、空間向量共線向量的性質(zhì)，結(jié)合法向量的性質(zhì)、空間向

量模的公式、空間向量夾角公式逐一判斷即可.

【詳解】A：AP-AB=-lx2+2xl+2x0=0^APA.AB^AP±AB，所以本選項(xiàng)結(jié)論正確；

B：BD=AD-AB=(1,-1,1),假設(shè)存在存在實(shí)數(shù)4,使AP=23。，

2=2

AP=2BOn(2,l,0)=〃L-M)n1=T,顯然方程組無實(shí)數(shù)解，因此假設(shè)不成立，所以不存在實(shí)數(shù)幾，

0=A

使AP=25Z),因此本選項(xiàng)說法不正確；

C：APA0=Ox2+lxl+3xO=lnARAB不互相垂直，所以AP不是平面ABC。的法向量，因此本選項(xiàng)說

法正確;

他叫|2+6|4710

D：|cos<AB,AO)|=

\AB\-\AD\k)2+2?+2?x后方15

所以sin〈AB,AD)=^1-cos2(AB,AD)=陪

四邊形ABCD的面積為：2x1.\AB\'AD-sin〈AB,AD)=^(-l)2+22+22xVl2+32x=726,

因此本選項(xiàng)說法正確，

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用空間向量夾角公式，結(jié)合三角形面積公式是解題的關(guān)鍵

10.已知四面體ABCD中，AB,AC,AD兩兩垂直，則以下結(jié)論中一定成立的是()

A.\AB+AC+AD\=\AB+AC-AD\.B.(AB+AC+AD^-BC=0

C.|AB+AC+A￡>|-=|AB|^+1ACp+1；D.ABCD=AC-BD=AD-BC

【答案】ACD

【分析】利用AB,AC,AD兩兩垂直，可得(AB+AC>AD=O,對(duì)于A選項(xiàng)，兩邊平方化簡后相等可判

斷A選項(xiàng)；對(duì)于B選項(xiàng)，將2C=AC-A3，代入化簡得到4^一4^不一定為0,可判斷B選項(xiàng)；對(duì)于C

選項(xiàng)，左邊直接平方利用向量垂直數(shù)量積為0化簡，可判斷C選項(xiàng)；對(duì)于D選項(xiàng)，將

ABCD=AB-(AD-AC)=O,同理402。=4￡>.8。=0,可判斷D選項(xiàng).

【詳解】由題意可知，AB,AC-AD兩兩垂直，所以(A8+AC>AD=0,

對(duì)于A選項(xiàng)，(AB+AC+ADf=(AB+ACr)2+AD2+2(AB+AQ-AD=

2,,2

(AB+ACf+AD，(AB+AC-AD)2=(AB+AC)2+AD-2(AB+AC)-AD-

(AB+AC)2+AD2>+AC+AD^=^AB+AC-AD^,所以A選項(xiàng)正確;

2

對(duì)于B選項(xiàng)，(AB+AC+ADyBC=(AB+AC+ADy(AC-AB)=AC,

當(dāng)AC?=AB?時(shí)，AC1-AB1=0>否則不成立，所以選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，(AB+AC+AD)2=|AB|2+“『+,￡>『+2AB-AC+2AB-AD+

2AC.AD=|AB|2+|AC|2+|AD|2,所以選項(xiàng)c正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，AB-CD=AB-{AD-AC)=0,同理可得AC.B￡)=0,ADBC=0,

所以AB-CD=AC-BOnAEbBC，選項(xiàng)D正確，

故選：ACD

11.在棱長為2的正方體ABC。-A4GA中，點(diǎn)E,歹分別是棱BC,C￡的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是側(cè)面8CCe內(nèi)一

點(diǎn)(包含邊界)，若人尸〃平面AEF,則下面哪些值可能是線段4P的長度()

D,典

C.小

2

【答案】CD

【分析】以。為原點(diǎn)，D4為x軸，0c為〉軸,為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線

段4尸長度取最小值、最大值即可得解.

【詳解】以。為原點(diǎn)，DA為X軸，DC為y軸,為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

A(2,0,0),E(l,2,0),F(0,2,D,4(2,0,2),

AE=(-1,2,0),AF=(-2,2,1),

設(shè)平面AEF的法向量〃=（x,兒z）,

n-AE=-x+2y=0

則,取y=i得"=(2,1,2),

n-AF=—lx+2y+z=0

設(shè)P(。，2,c),0<a<20<c<2,貝！)AP=(a-2,2,c-2),

AP平行于平面AEF,

4P-"=2(a-2)+2+2(c-2)=0,整理得a+c=3,

???線段\P長度IAP土7(?-2)2+22+(C-2)2=7(a-2)2+4+(l-a)2=^2(a-1)2+|,

當(dāng)且僅當(dāng)。=c=:時(shí)，線段A/長度取最小值還，當(dāng)。=0,c=3時(shí)，線段A|P長度取最大值3.

22

故選：CD.

12.如圖，平面ABCD人平面ABEF,四邊形488是正方形，四邊形/2E尸是矩形，若G是斯的中點(diǎn)，AR=1,

AB=2,則（）

D

A

FGE

A.ACBG=-1B.砂〃平面48co

C.AG±BCD.三棱錐C-ABG外接球的表面積是聲

【答案】BCD

【分析】利用已知結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求解可判斷選項(xiàng)A,由線面平行的判定定理可判斷選項(xiàng)B,由面面垂直的

性質(zhì)定理可判斷選項(xiàng)C,計(jì)算可得;AGC為直角三角形，再由ABC為直角三角形，可知AC為三棱錐

C-ABG的外接球的直徑，再由球的表面積公式可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】解：AC=AB+AD，BG=BE+^BA=AF-^AB,

：.AC-BG=(AB+AD)-^AF-^AB^,

又1-45、AF.AD兩兩相互垂直，

12

ACBG=--AB=-2,A錯(cuò)誤，

四邊形尸是矩形，

EFIIAB,EFZ平面/BCD,ABcABCD,

EF〃平面/8CC,B正確，

平面ABC。」平面48￡尸，四邊形4BCD是正方形，BC_LAB,平面ABCDc平面48￡尸=,

3C_L平面ABEF,AGu平面ABEF,：.AG±BC,C正確,

AG2=AF-+FG2=2,GC2=BC2+BE2+EG2=6,

AC2=AB2+BC2=8,AGC為直角三角形，

又ABC為直角三角形，，AC為三棱錐C-ABG的外接球的直徑，

則三棱錐C-ABG的外接球的表面積S=4乃x[9)=8萬.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.空間四邊形N28中，/C與5。是四邊形的兩條對(duì)角線，M,N分別為線段42,CD上的兩點(diǎn)，且滿

93

足DN=-DC,若點(diǎn)G在線段MN上，且滿足MG=3GN，若向量AG滿足

AG=xAB+yAC+zAD,貝!|x+y+z=.

【答案】2

12

193

【分析】利用空間向量的運(yùn)算法則，直接求出AG=：A5+3AC+3A。，再利用空間向量基本定理，即可

61616

求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳G==+++++

=-AB+-AB+-BN=—AB+-BN=—AB+-(BC+CN]=—AB+-\AC-AB+-CD\

344124124、124(4)

=-AB+-AC+—CD=-AB+-AC+—(AD-Ac}=-AB+—AC+—AD,

64166416t161616

匚匚…19311

6161612

故答案：—■

14.如圖所示，在棱長均為2的平行六面體ABCD-A宣CD'中，ZA'AB=：ZA'AD=ABAD=60,點(diǎn)、M為BC'

與B'C的交點(diǎn)，則4〃的長為.

【答案】VTT

【分析】設(shè)AB,AD-AA'為基底，AB-AD=AB-AA'=AA'-AD=2>AM=AB+^AD+AA'^,平方計(jì)算

得到答案.

【詳解】設(shè)AB,AD>AA'為基底，AB-AD=AB-AA'=AA'-AD=2x2xcos60°=2,

貝}|AM=AB+BM=AB+^AD+AA'Y

2

所以|AM|2=[AB+g(AD+A4’=AB2+AB-AD+AB-AA'+^AD^+^AA'^

1—.一

+-AD-AAr=4+2+2+1+1+1=11,AM=V1T.

故答案為：A/TT

15.三棱柱OAB-004中，平面OBBQ1平面OAB，且/OQB=60。，ZAOB=90°,OB=OO、=2QA=6,

則異面直線與所成角的正弦值為.

【答案】述

7

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A,。8所在直線分別為X軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求

解即可.

【詳解】解：以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A,03所在直線分別為X軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(右,0,0),B(0,2,0),4(6,1,6),Q(0,1,73),

UUL1廠lUUUU廠

所以45=(―,QA=(v3,—1,—v3)?

設(shè)所求的角為。，

UULlUUUU

|-3-l+3|_l

貝°cosa=*?啜

\A,B\-\O,A\幣.幣-7

貝！Isina=V1-cos2a=

7

即異面直線.與。質(zhì)所成角的正弦值為半

故答案為：學(xué)

16.如圖，棱長為1的正方體上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別從頂點(diǎn)4C同時(shí)出發(fā)并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，最后同時(shí)到達(dá)頂

點(diǎn)8、D,則在運(yùn)動(dòng)的過程中，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)間的最小距離為

【答案】用

2

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)間距離最小時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為P（U，0）,。。1力結(jié)合題意

和空間兩點(diǎn)間距離公式得到歸。|=-2/+1,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

根據(jù)題意可得：兩動(dòng)點(diǎn)間距離最小值坐標(biāo)分別為尸（1J,。），2（0,1,0,0</<1,

由空間兩點(diǎn)間距離公式可得

\PQ\=J00）2+（1）2+（07）2=也產(chǎn)-2t+2=J2（r-1）2+|,

因?yàn)閛wrwi,所以當(dāng)/=；時(shí)，|PQ|取最小值等，

故答案為：叵

2

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.如圖，已知。，A,B,C,D,E,F,G,H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且。E=）tOA,OF=kOB，OH=kOD，

AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k^O,mHO.

⑴求證：A,B,C,。四點(diǎn)共面，E,F,G,H四點(diǎn)共面;

（2）求證：平面ABCD〃平面E/CH；

⑶求證：OG=kOC?

【分析】（1）利用空間向量共面定理即可求證;

（2）由空間向量線性運(yùn)算可得EG=）tAC，由空間向量共線定理可證明AC//EG，再由線面平行的判定定

理可得EG//平面A3CD,同理可證明F/T〃平面ABCD,由面面平行的判定定理即可求證;

（3）由（2）知EG=^AC，再利用空間向量的線性運(yùn)算即可求證.

【詳解】(1)因?yàn)锳C=AO+mAB,m^O,

所以AC，AD，AB共面，即A,B,C,。四點(diǎn)共面.

因?yàn)镋G=E3+"2所，m^O,

ULUH

所以EG，EH＞前共面，即E，F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面.

(2)連接“/，BD,EG=EH+mEF=OH-0E+m(0F-OE\=k[OD-OA)+km(0B-OA)

=kAD+kmAB=k(^AD+mAB^=kAC,所以AC//EG，

又因?yàn)镋Gcz平面ABCD,ACu平面ABCD,所以EG〃平面ASCD.

因?yàn)镕H=OH-OF=k(OD-OB)=kBD,所以FH//BD,

又陽U平面ABC。，或)u平面ABC。，所以FH〃平面ABC。，

因?yàn)镋G與相交，所以平面ABCD〃平面EFG”.

(3)由(2)知EG=^AC，所以。GnOE+EGn笈OA+ZACnMoA+ACjnZOC.

18.如圖，正方體ABCD-A'B'C'。'的棱長為a.

⑴求A3和3'C的夾角；

（2）求證：A'B±AC.

【分析】（1）選好基底后，根據(jù)空間向量數(shù)量積即可求解;

（2）利用向量垂直，數(shù)量積為0即可得解.

、Auuui「

【詳解】（1）AB-a9AD=b，AAf=c.

由于正方體ABCD-A'3'C'。'的棱長為a,

.'.|a|=|&|=|c|=<7,且(a,6)=90。，(4,0=90。，(反c)=90。.

A'B=AB-AA'=a-c，B'C=A'D=AD-AA=b-c，

A'B-B'C=(a-c)-(b-c')=a-b-a-c-b-c+c2=O-O-O+a2=a2-

又卜回=缶，.C卜缶，

ABB'C?i

cos(AB,B'C

\A'B\B'C\~s/2a-s/2a~2-

:.(AB,B'C\=600,

.?.AB與B'C的夾角為60。.

(2)證明：由(1)知A'B=a—c，AC'=AB+BC+CC'=AB+AD+AA'=d+b+c，

ArB-AC=(a-c)-(a+b+c)=a2+a-b+a-c-c-a-c-b-c2=?2+0+0-0-0—tz2=0,

.?.A5_LAC，

,\AB±AC.

19.設(shè)全體空間向量組成的集合為V,〃=(%,%,%)為/中的一個(gè)單位向量，建立一個(gè)〃自變量〃為向量，''因

變量”也是向量的“向量函數(shù)"/(%)；fM=x+2(-x-a)a(xGV).

⑴設(shè)”=(-i,o,o),v=(o,o,-i),若=求向量“；

(2)對(duì)于憶中的任意單位向量了,求|〃x)+2x|的最大值.

【答案】(l)f,。，一孝］或:手，0，乎1;⑵3

【分析】(1)設(shè)0=(4，%,4),根據(jù)題意列方程，解方程即可得到0；

(2)設(shè)無與d的夾角為a,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到+2尤卜,9-8cos2a,即可得到最大值.

【詳解】(1)依題意得：/(z/)=M+2(-M-a)a=v,設(shè)"=(4%,%),

-1+2〃；=0

T冬。,考或H-冬。,圖

貝U?a=q,<2%%=0

2222

2。陷3=-1<7k7

（2）設(shè)尤與a的夾角為a，貝!]x?a=kH《cosa=cosa,

則|/(x)+2x|=|3x-2(x-a)a|=J(3x-2cosaa)?=《9-8cos2a<3,

故最大值為3.

20.如圖，在三棱錐P—4BC中，AB=AC,。為2C的中點(diǎn)，尸?；仄矫?2C,垂足。落在線段4D上.已

⑴證明：AP^BC-,

⑵若點(diǎn)M是線段4P上一點(diǎn)，且NM=3,試證明平面加C.

【分析】（1）建系，利用空間向量證明線性垂直；

（2）利用空間向量證明線面垂直.

【詳解】（1）由題意知ADasc,如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以過。點(diǎn)且平行于3c的直線為x軸，OD,OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z.

則A(0,—3,0),3(4,2,0),C(T,2,0),P(0,0,4),

可得AB=(4,5,0),AP=(0,3,4),3C=(—8,0,0),

ULULULIU

0AP-BC=Ox(-8)+3xO+4xO=O

EIAPIBC-BPAPSBC.

(2)由(1)<#|AP|=A/02+32+42=5,

IW是NP上一點(diǎn)，且4W=3,

uuir3uun(giy\

^AM=-AP=\0,-,—\,

uuuruuiruun(]612、11111ruuiruun(]612、

可得=4"-人3=[-4,一了,了,CM=BM—BC=4,-《,二,

n?BM=-4a---b-\c=0

設(shè)平面即1C的法向量為〃=(a,b,c),貝人,

n-CM=4〃---b-\---c=0

I55

4r/4、

令b=l,則Q=0,C=],gp?t=l0,1,—I,

uuur9r

顯然AM=不幾，故AM團(tuán)〃，

的A/EI平面BMC.

21.如圖，在三棱柱A5C-A耳G中，AB=AC=BC=AAifZBCQ=60,平面ABC_L平面3。。石，D是BC

的中點(diǎn)，E是棱A4上一動(dòng)點(diǎn).

（1）若E是棱A4的中點(diǎn)，證明：。石//平面ACG4；

（2）求二面角G-CA-3的余弦值；

（3）是否存在點(diǎn)E,使得。石，3G，若存在，求出E的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

【答案】（1）詳見解析；（2）絡(luò)；（3）不存在，理由詳見解析.

【分析】（1）取AG中點(diǎn)為尸，連結(jié)CP,*,證明CP//DE,再利用線面平行判定定理，即可證得結(jié)論；

（2）先證明DG，DA,D8兩兩垂直，再建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,求出平面ACQ的法向量

n=(l,-y/3,l),平面ABC的法向量為。G=(0,0,6),再利用向量的夾角公式，即可得答案;

UUUUUUUI_

(3)設(shè)AE=；LA用(0W/W1),由DE.8G=0,解得2=2與假設(shè)矛盾，從而得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：取AC中點(diǎn)為尸，連結(jié)CP，EP,

在M耳G中，因?yàn)閰^(qū)p為A瓦、AG的中點(diǎn)，

所以EP//瓦G且收=；8?.

又因?yàn)?。是BC的中點(diǎn)，CD=\BC,

2

所以EP//3C且EP=C。，

所以CDEP為平行四邊形

所以CP//DE.

又因?yàn)镈EO平面ACCM,.

CPu平面AC￡A,

所以。E//平面ACGA.

(2)連結(jié)G。、A。，

因?yàn)锳ABC是等邊三角形，。是BC的中點(diǎn),

所以AD13C,

因?yàn)?C=胡=CG,ZBCQ=60,

所以

因?yàn)槠矫鍭BC4平面BCC}Bt,

平面ABCc平面BCC4=3C,

CDu平面BCC[B],

所以GDL平面ABC,

所以DC；,ZM,D8兩兩垂直.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,

則A(占0,0),C(O,-1,O),G(QO，G)，

CC；=(ft1,向,CA=(6,1,0)

設(shè)平面ACC的法向量為“=（x,y,z）,

CCn=Qy+5/32=0

則t即＜