中考試題2025年江蘇省連云港市初中結(jié)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.的絕對(duì)值是（）A.5 B. C. D.2.2020年12月17日，“嫦娥五號(hào)”返回器攜帶月球樣品順利返回地球，我國(guó)科學(xué)家通過研究證明了月球在年前仍存在巖漿活動(dòng)．?dāng)?shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（）A. B. C. D.4.下列長(zhǎng)度（單位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（）A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，5，8 D.4，5，105.如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)D、E，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)F、G，則的周長(zhǎng)為（）A.5 B.6 C.7 D.86.《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢?”（鳧：野鴨．所提問題即“野鴨與大雁從南海和北海同時(shí)起飛，經(jīng)過多少天能夠相遇?”）如果設(shè)經(jīng)過天能夠相遇，根據(jù)題意，得（）A. B. C. D.7.如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A.或 B.或C.或 D.或8.如圖，在中，，，平分，，E為垂足，則的值為（）A B. C. D.二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9.計(jì)算：_______．10.分解因式：_______．11如圖，，直線與射線相交于點(diǎn)．若，則_______．12.如圖，長(zhǎng)為的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為，則梯子頂端的高度h為_______m．13.如圖，是的內(nèi)接三角形，．若的半徑為2，則劣弧的長(zhǎng)為_______．14.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的條件下，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)是氣球體積的反比例函數(shù)．當(dāng)時(shí)，．則當(dāng)時(shí)，________Pa．15.如圖，小亮同學(xué)擲鉛球時(shí)，鉛球沿拋物線運(yùn)行，其中是鉛球離初始位置的水平距離，是鉛球離地面的高度．若鉛球拋出時(shí)離地面的高度為，則鉛球擲出的水平距離為________．16.如圖，在菱形中，，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，則的最小值為_______．三、解答題（本大題共11小題，共102分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，作圖過程需保留作圖痕跡）17.計(jì)算．18.解方程．19.解不等式組20.一只不透明袋子中裝有1個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除顏色外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，則摸到紅球的概率是_______；（2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球．用畫樹狀圖或列表方法，求2次都摸到白球的概率．21.為了解八年級(jí)學(xué)生的體重情況，某校隨機(jī)抽取了八年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，收集并整理數(shù)據(jù)后，繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．體重情況統(tǒng)計(jì)表組別體重頻數(shù)（人數(shù)）類類類類根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）_______，________；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，類所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是_______°；（3）若該校八年級(jí)共有名學(xué)生，估計(jì)體重在及以上的學(xué)生有多少人?22.如圖，制作甲、乙兩種無蓋的長(zhǎng)方體紙盒，需用正方形和長(zhǎng)方形兩種硬紙片，且長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等．（1）現(xiàn)用200張正方形硬紙片和400張長(zhǎng)方形硬紙片，恰好能制作甲、乙兩種紙盒各多少個(gè)?（2）如果需要制作100個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，要求乙種紙盒數(shù)量不低于甲種紙盒數(shù)量的一半，那么至少需要多少?gòu)堈叫斡布埰?23.如圖，港口位于島的北偏西方向，燈塔在島的正東方向，，一艘海輪在島的正北方向，且、、三點(diǎn)在一條直線上，．（1）求島與港口之間的距離；（2）求．（參考數(shù)據(jù)：，，）24.已知二次函數(shù)，為常數(shù)．（1）若該二次函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若該二次函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn)，求的值；（3）求證：該二次函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點(diǎn)．25.一塊直角三角形木板，它的一條直角邊長(zhǎng)，面積為．（1）甲、乙兩人分別按圖1、圖2用它設(shè)計(jì)一個(gè)正方形桌面，請(qǐng)說明哪個(gè)正方形面積較大；（2）丙、丁兩人分別按圖3、圖4用它設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形桌面．請(qǐng)分別求出圖3、圖4中長(zhǎng)方形的面積與的長(zhǎng)之間的函數(shù)表達(dá)式，并分別求出面積的最大值．26.已知是的高，是的外接圓．（1）請(qǐng)你在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)，作的外接圓（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖2，若的半徑為，求證：；（3）如圖3，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，，求的長(zhǎng)．27.綜合與實(shí)踐問題情境】如圖，小昕同學(xué)在正方形紙板的邊、上分別取點(diǎn)、，且，交于點(diǎn)．連接，過點(diǎn)作，垂足為，連接、，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．【活動(dòng)猜想】（1）與的數(shù)量關(guān)系是_______，位置關(guān)系是_______；【探索發(fā)現(xiàn)】（2）證明（1）中的結(jié)論；【實(shí)踐應(yīng)用】（3）若，，求的長(zhǎng)；【綜合探究】（4）若，則當(dāng)_______時(shí)，的面積最?。?dāng)?shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.的絕對(duì)值是（）A.5 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查絕對(duì)值的概念，根據(jù)絕對(duì)值的定義直接求解即可．絕對(duì)值表示一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離，非負(fù)性是其核心性質(zhì)．對(duì)于負(fù)數(shù)，其絕對(duì)值等于它的相反數(shù)．【詳解】解：，因此，的絕對(duì)值為5，故選：A．2.2020年12月17日，“嫦娥五號(hào)”返回器攜帶月球樣品順利返回地球，我國(guó)科學(xué)家通過研究證明了月球在年前仍存在巖漿活動(dòng)．?dāng)?shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值大于與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．【詳解】解：故選：C．3.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的定義，被開方數(shù)必須非負(fù)，即，解不等式即可確定x的取值范圍．【詳解】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：，故選：D．4.下列長(zhǎng)度（單位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（）A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，5，8 D.4，5，10【答案】B【解析】【分析】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，任意兩邊之和必須大于第三邊．只需驗(yàn)證每組數(shù)中較小的兩數(shù)之和是否大于最大數(shù)即可．【詳解】A．1、2、3：，不滿足兩邊之和大于第三邊，不符合題意；B．2、3、4：，滿足條件，能構(gòu)成三角形，符合題意；C．3、5、8：，不滿足兩邊之和大于第三邊，不符合題意；D．4、5、10：，不滿足條件，不符合題意；故選：B．5.如圖，在中，，垂直平分線分別交、于點(diǎn)D、E，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)F、G，則的周長(zhǎng)為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，再由三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵垂直平分，垂直平分，∴，，∴的周長(zhǎng)為，故選：C．6.《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢?”（鳧：野鴨．所提問題即“野鴨與大雁從南海和北海同時(shí)起飛，經(jīng)過多少天能夠相遇?”）如果設(shè)經(jīng)過天能夠相遇，根據(jù)題意，得（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，屬于相遇問題，需根據(jù)兩者相向而行，相遇時(shí)路程之和為全程（即1），再建立方程即可.【詳解】解：設(shè)相遇時(shí)間為天，野鴨從南海到北海需7天，故其速度為（全程/天）；大雁從北海到南海需9天，故其速度為（全程/天），∴方程為，故選：A7.如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A.或 B.或C或 D.或【答案】C【解析】【分析】本題考查由函數(shù)圖像解不等式，熟練掌握不等式與函數(shù)圖像的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式與函數(shù)圖像的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是指反比例函數(shù)在一次函數(shù)上方圖像對(duì)應(yīng)的的取值范圍，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．【詳解】解：由圖可知，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)或時(shí)，有反比例函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像上方，即當(dāng)時(shí)，取值范圍是或，故選：C．8.如圖，在中，，，平分，，E為垂足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，設(shè)，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)，得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合同高三角形的面積比等于底邊比，得到，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，等角的正弦值相等，得到，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵，，∴，設(shè)，則：，∵平分，，∴點(diǎn)到的距離相等均為的長(zhǎng)，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即：，∴，∴；故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9.計(jì)算：_______．【答案】2a【解析】【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)原理：系數(shù)相加減字母不變即可解題.【詳解】解：.【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減,屬于簡(jiǎn)單題,熟悉合并同類項(xiàng)的原理是解題關(guān)鍵.10.分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了因式分解，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可作答．【詳解】解：，故答案為：．11.如圖，，直線與射線相交于點(diǎn)．若，則_______．【答案】【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用平行線的性質(zhì)得出，再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．12.如圖，長(zhǎng)為的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為，則梯子頂端的高度h為_______m．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)長(zhǎng)為的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為，進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵長(zhǎng)為的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為，∴，故答案為：．13.如圖，是的內(nèi)接三角形，．若的半徑為2，則劣弧的長(zhǎng)為_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，求弧長(zhǎng)，先根據(jù)圓周角定理得，再結(jié)合弧長(zhǎng)公式代入數(shù)值計(jì)算，即可作答．【詳解】解：連接，如圖所示：∵，，∴，∴劣弧，故答案為：．14.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的條件下，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)是氣球體積的反比例函數(shù)．當(dāng)時(shí)，．則當(dāng)時(shí)，________Pa．【答案】16000【解析】【分析】本題考查了求反比例函數(shù)以及反比例函數(shù)的應(yīng)用，先根據(jù)題意，設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為，再代入數(shù)值求出，然后把代入，進(jìn)行求解計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)是氣球體積的反比例函數(shù)．∴設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為，把時(shí)，代入，得，解得，∴，把代入，得，故答案為：．15.如圖，小亮同學(xué)擲鉛球時(shí)，鉛球沿拋物線運(yùn)行，其中是鉛球離初始位置的水平距離，是鉛球離地面的高度．若鉛球拋出時(shí)離地面的高度為，則鉛球擲出的水平距離為________．【答案】【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由題得，代入，得出拋物線的解析式為，令，求解即可，【詳解】解：由題意，，得，將代入，得：，解得：，∴，令，得，解得：，，∴為，故答案為：．16.如圖，在菱形中，，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】利用四邊形為平行四邊形，得出，，由為線段上的動(dòng)點(diǎn)，可知、運(yùn)動(dòng)方向和距離相等，利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可以看作是定線段，菱形在方向上水平運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱性得，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、依次共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，分別證明四邊形和四邊形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵為線段上的動(dòng)點(diǎn)，∴可以看作是定線段，菱形在方向上水平運(yùn)動(dòng)，則如圖，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱性得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)、、依次共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵菱形中，，，∴，，，由題可得，∴由對(duì)稱性可得，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，∴，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)題意結(jié)合相對(duì)運(yùn)動(dòng)得出運(yùn)動(dòng)軌跡，再利用將軍飲馬解決問題是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共11小題，共102分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，作圖過程需保留作圖痕跡）17.計(jì)算．【答案】6【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，先進(jìn)行乘法，開方，零指數(shù)冪的運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．18.解方程．【答案】【解析】【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．利用解分式方程的步驟求解即可，注意驗(yàn)根．【詳解】解：去分母，得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解．19.解不等式組【答案】【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了，確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得，解不等式，得，所以不等式組的解集為．20.一只不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除顏色外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，則摸到紅球的概率是_______；（2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球．用畫樹狀圖或列表的方法，求2次都摸到白球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查樹狀圖法求概率，正確的畫出樹狀圖，是解題的關(guān)鍵：（1）直接利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）畫出樹狀圖，利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【小問1詳解】解：由題意，共有個(gè)球，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，有4種等可能的結(jié)果，其中摸到紅球的情況只有1種，∴摸到紅球的概率是；【小問2詳解】根據(jù)題意，紅球用A表示，3個(gè)白球分別用B，C，D表示，畫出如下的樹狀圖：由圖可知，共有16種等可能結(jié)果，其中2次都摸到白球的結(jié)果有9種，所以2次都摸到白球的概率為．21.為了解八年級(jí)學(xué)生的體重情況，某校隨機(jī)抽取了八年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，收集并整理數(shù)據(jù)后，繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．體重情況統(tǒng)計(jì)表組別體重頻數(shù)（人數(shù)）類類類類根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）_______，________；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，類所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是_______°；（3）若該校八年級(jí)共有名學(xué)生，估計(jì)體重在及以上的學(xué)生有多少人?【答案】（1），（2）（3）人【解析】【分析】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖，頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表，樣本估計(jì)總體，熟練掌握利用扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表得出相關(guān)數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．（1）利用類的頻數(shù)和占總體百分比求出被抽取的總?cè)藬?shù)，再利用類占總體百分比求出類的頻數(shù)，最后即可求出類的頻數(shù)；（2）利用類占總體百分比乘以即可；（3）利用樣本估計(jì)總體即可求出．【小問1詳解】解：由題意得被抽取的總?cè)藬?shù)為（人），∴類的頻數(shù)為（人），∴類的頻數(shù)為（人），故答案為：，；【小問2詳解】解：類所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是，故答案為：；【小問3詳解】解：估計(jì)體重在及以上的學(xué)生有（人）．22.如圖，制作甲、乙兩種無蓋的長(zhǎng)方體紙盒，需用正方形和長(zhǎng)方形兩種硬紙片，且長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等．（1）現(xiàn)用200張正方形硬紙片和400張長(zhǎng)方形硬紙片，恰好能制作甲、乙兩種紙盒各多少個(gè)?（2）如果需要制作100個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，要求乙種紙盒數(shù)量不低于甲種紙盒數(shù)量的一半，那么至少需要多少?gòu)堈叫斡布埰?【答案】（1）恰好能制作甲種紙盒40個(gè)，乙種紙盒80個(gè)（2）至少需要134張正方形硬紙片【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先設(shè)恰好能制作甲種紙盒x個(gè)，乙種紙盒y個(gè)．結(jié)合題意列出方程組，再解得，即可作答．（2）先設(shè)制作乙種紙盒m個(gè)，需要w張正方形硬紙片．根據(jù)題意列出，結(jié)合，得，其中最小整數(shù)解為34．運(yùn)用一次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分析作答即可．【小問1詳解】解：制作甲、乙兩種無蓋的長(zhǎng)方體紙盒，甲種需要1個(gè)正方形，4個(gè)長(zhǎng)方形，乙種需要2個(gè)正方形，3個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)恰好能制作甲種紙盒x個(gè)，乙種紙盒y個(gè)．根據(jù)題意，得，得，答：恰好能制作甲種紙盒40個(gè)，乙種紙盒80個(gè)．【小問2詳解】解：設(shè)制作乙種紙盒m個(gè)，需要w張正方形硬紙片．則．由，知w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m最小時(shí)，w有最小值．根據(jù)題意，得，解得，其中最小整數(shù)解為34．即當(dāng)時(shí)，．答：至少需要134張正方形硬紙片．23.如圖，港口位于島的北偏西方向，燈塔在島的正東方向，，一艘海輪在島的正北方向，且、、三點(diǎn)在一條直線上，．（1）求島與港口之間的距離；（2）求．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)，能根據(jù)作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，垂足為，證明，得出，結(jié)合，，求出，再在中利用三角函數(shù)即可求解；（2）在中，利用三角函數(shù)求出，利用，得出，則可求出，再在中利用三角函數(shù)即可求解．【小問1詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，得：，在中，由，得．答：島與港口之間的距離為；【小問2詳解】解：在中，，∵，∴，∴，在中，．24.已知二次函數(shù)，為常數(shù)．（1）若該二次函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若該二次函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn)，求的值；（3）求證：該二次函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點(diǎn)．【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)問題，以及二次函數(shù)圖像的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由二次函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，知函數(shù)的最小值小于，列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)圖像與x軸有交點(diǎn)，，列式計(jì)算即可；（3）根據(jù)當(dāng)時(shí)，，即可證明．【小問1詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)中，，所以二次函數(shù)的圖像開口向上，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的最小值小于，則，即，解得．【小問2詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像與軸有交點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，解得．【小?詳解】證明：當(dāng)時(shí)，，所以二次函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點(diǎn)．25.一塊直角三角形木板，它的一條直角邊長(zhǎng)，面積為．（1）甲、乙兩人分別按圖1、圖2用它設(shè)計(jì)一個(gè)正方形桌面，請(qǐng)說明哪個(gè)正方形面積較大；（2）丙、丁兩人分別按圖3、圖4用它設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形桌面．請(qǐng)分別求出圖3、圖4中長(zhǎng)方形的面積與的長(zhǎng)之間的函數(shù)表達(dá)式，并分別求出面積的最大值．【答案】（1）圖1的正方形面積較大（2）在圖3中，，當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)方形的面積有最大值為；在圖4中，，當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)方形的面積有最大值為【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先運(yùn)用勾股定理算出，再運(yùn)用正方形的性質(zhì)分別證明，，，然后代入數(shù)值化簡(jiǎn)得，進(jìn)行計(jì)算得，然后進(jìn)行比較，即可作答．（2）與（1）同理證明，則長(zhǎng)方形面積，結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)方形的面積有最大值為．，然后證明，，再把數(shù)值代入長(zhǎng)方形的面積，化簡(jiǎn)得，結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行作答即可．【小問1詳解】解：∵，面積為，∴，∴．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，∵四邊形是正方形∴，，∵∴得，即，解得．∵四邊形是正方形∴，∴∴，得，即，∴．，∵∴，得，即，解得．∵，∴圖1的正方形面積較大．【小問2詳解】解：∵四邊形是長(zhǎng)方形∴，，∵∴；得，則，，∴長(zhǎng)方形的面積，∵∴開口向下，當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)方形的面積有最大值為．在圖4中，同理得，得，∴，，同理得，得，則，∴長(zhǎng)方形的面積，∵∴開口向下，∴當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)方形的面積有最大值為．26.已知是的高，是的外接圓．（1）請(qǐng)你在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)，作的外接圓（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖2，若的半徑為，求證：；（3）如圖3，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】本題考查了作三角形的外接圓，相似三角形的性質(zhì)與判定，切線的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵；（1）分別作的垂直平分線交于點(diǎn)，以為半徑作圓，即可求解．（2）作的直徑，連接，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；（3）連接，根據(jù)為的切線，得出，進(jìn)而證明是等邊三角形，得出，在，中分別求得，根據(jù)（2）的結(jié)論求得，即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，【小問2詳解】解：如圖2，作的直徑，連接，∴，