3.1隨機事件的概率3.1.1隨機事件的概率1．了解事件的分類及隨機事件發(fā)生的不確定性和其概率的穩(wěn)定性．(難點)2．理解頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別．(重點)3．能初步舉出重復試驗的結果．[基礎·初探]教材整理1事件閱讀教材P108的內容，完成下列問題．1．確定事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的必然事件，簡稱為必然事件；在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的不可能事件，簡稱為不可能事件．必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件，簡稱為確定事件．2．隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的隨機事件，簡稱為隨機事件．3．事件：確定事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，B，C，……表示．4．分類：事件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(確定事件\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(不可能事件,必然事件)),隨機事件))1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)三角形的內角和為180°是必然事件．()(2)“拋擲硬幣三次，三次正面向上”是不可能事件．()(3)“下次李歡的數學成績在130分以上”是隨機事件．()【答案】(1)√(2)×(3)√2．下列事件中，是隨機事件的有()①在一條公路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛；②若a為整數，則a＋1為整數；③發(fā)射一顆炮彈，命中目標；④檢查流水線上一件產品是合格品還是次品．A．1個B．2個C．3個D．4個【解析】當a為整數時，a＋1一定為整數，是必然事件，其余3個均為隨機事件．【答案】C3．下列事件是確定事件的是()A．2018年世界杯足球賽期間不下雨B．沒有水，種子發(fā)芽C．對任意x∈R，有x＋1＞2xD．拋擲一枚硬幣，正面向上【解析】選項A，C，D均是隨機事件，選項B是不可能事件，所以也是確定事件，故選B.【答案】B教材整理2頻數與頻率閱讀教材P109～P110“思考”以上部分，完成下列問題．在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數nA為事件A出現(xiàn)的頻數，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率，其取值范圍是[0,1]．某射擊運動員射擊20次，恰有18次擊中目標，則該運動員擊中目標的頻率是________．【解析】設擊中目標為事件A，則n＝20，nA＝18，則f20(A)＝eq\f(18,20)＝0.9.【答案】0.9教材整理3概率閱讀教材P111～P112的內容，完成下列問題．隨機事件發(fā)生可能性的大小用概率來度量，概率是客觀存在的．對于給定的隨機事件A，事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可用頻率fn(A)來估計概率P(A)，即P(A)≈eq\f(nA,n).因此求事件A的概率的前提是：大量重復的試驗，試驗的次數越多，獲得的數據越多，這時用eq\f(nA,n)來表示P(A)越精確．在一次擲硬幣試驗中，擲30000次，其中有14984次正面朝上，則出現(xiàn)正面朝上的頻率是________，這樣，擲一枚硬幣，正面朝上的概率是________．【解析】設“出現(xiàn)正面朝上”為事件A，則n＝30000，nA＝14984，fn(A)＝eq\f(14984,30000)≈0.4995，P(A)＝0.5.【答案】0.49950.5[小組合作型]事件類型的判斷(1)下列事件中的隨機事件為()A．若a，b，c都是實數，則a(bc)＝(ab)cB．沒有水和空氣，人也可以生存下去C．拋擲一枚硬幣，反面向上D．在標準大氣壓下，溫度達到60℃(2)從一副牌中抽出5張紅桃、4張梅花、3張黑桃放在一起洗勻后，從中一次隨機抽出10張，恰好紅桃、梅花、黑桃3種牌都抽到，這件事情()A．可能發(fā)生 B．不可能發(fā)生C．很可能發(fā)生 D．必然發(fā)生【精彩點撥】在一次試驗中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件，結合(1)(2)兩題可進行判斷．【嘗試解答】(1)A中的等式是實數乘法的結合律，對任意實數a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在沒有空氣和水的條件下，人是絕對不能生存下去的，故B是不可能事件．拋擲一枚硬幣時，在沒得到結果之前，并不知道會是正面向上還是反面向上，故C是隨機事件．在標準大氣壓的條件下，只有溫度達到100℃，水才會沸騰，當溫度是60℃時，水是絕對不會沸騰的，故D是不可能事件．(2)∵若這10張牌中抽出了全部的紅桃與梅花共9張，一定還有1張黑桃；若抽出了全部的梅花與黑桃共7張，則還會有3張紅桃；若抽出了全部的紅桃與黑桃共8張，則還會有2張梅花；∴這個事件一定發(fā)生，是必然事件．故選D.【答案】(1)C(2)D要判定事件是何種事件，首先要看清條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的，第二步再看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生，還是一定不發(fā)生，一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機事件，一定不發(fā)生的是不可能事件.[再練一題]1．給出下列四個命題：①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件；②當“x為某一實數時可使x2＜0”是不可能事件；③“每年的國慶節(jié)都是晴天”是必然事件；④“從100個燈泡(有10個是次品)中取出5個，5個都是次品”A．4B．3C．2D．1【解析】“每年的國慶節(jié)都是晴天”是隨機事件，故命題③錯誤，命題①②④正確．故選B.【答案】B試驗結果的分析袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球，分別寫出以下隨機試驗的條件和結果．(1)從中任取1球；(2)從中任取2球．【精彩點撥】明確條件和結果，據生活經驗按一定順序逐一列出全部結果．【嘗試解答】(1)條件為：從袋中任取1球，結果為：紅、白、黃、黑4種．(2)條件為從袋中任取2球，若記(紅，白)表示一次試驗中，取出的是紅球與白球，結果為(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)6種．1．把握住隨機試驗的實質，要明確一次試驗就是將事件的條件實現(xiàn)一次，如取出“紅球、白球”就實現(xiàn)了條件“任取2個小球”一次．2．準確理解隨機試驗的條件、結果等有關定義，并能使用它們判斷一些事件，指出試驗結果，這是求概率的基礎．在寫試驗結果時，一般采用列舉法寫出，必須首先明確事件發(fā)生的條件．根據日常生活經驗，按一定次序列舉，才能保證所列結果沒有重復，也沒有遺漏．[再練一題]2．一個口袋內裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球，問：(1)共有多少種不同結果？(2)摸出2個黑球有多少種不同的結果？【解】(1)從裝有4個球的口袋內摸出2個球，共有6種不同的結果：(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)．(2)從3個黑球中摸出2個黑球，共有3種不同的結果：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)．[探究共研型]隨機事件的“條件”特征探究1定義中的“條件S”是唯一的嗎？【提示】這里的S可以是一個條件，也可以是一組條件(可以理解為一個條件的集合)，此處的定義與初中教材中的定義(在一定條件下)有所不同，新定義的表述更加簡潔．探究2如何理解條件在判斷事件類型中的作用？【提示】(1)要判斷一個事件是哪種事件，首先要看清條件，條件決定事件的種類，隨著條件的改變，其結果也會不同．(2)隨機事件是在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．應注意：事件的結果是相對于“條件S”而言的．所以要確定一個隨機事件的類型，必須明確何為事件發(fā)生的條件，何為在此條件下產生的結果．頻率與概率的關系探究3頻率與試驗次數有關嗎？概率呢？【提示】(1)頻率是事件A發(fā)生的次數與試驗總次數的比值，當然與試驗次數有關．頻率本身是隨機的，是一個變量，在試驗前不能確定，做同樣次數的重復試驗得到的事件發(fā)生的頻率會不同．比如，全班每個人都做了10次擲硬幣的試驗，但得到正面朝上的頻率可以是不同的．(2)概率是一個確定的數，是客觀存在的，與試驗做沒做、做多少次完全無關．比如，如果一個硬幣是質地均勻的，則擲硬幣一次出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5，與做多少次試驗無關．探究4試驗次數越多，頻率就越接近概率嗎？【提示】不是．隨著試驗次數的增多(足夠多)，頻率穩(wěn)定于概率的可能性在增大．在事件的概率未知的情況下，我們常用頻率作為概率的估計值．即概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的估計值．下面的表中列出10次拋擲硬幣的試驗結果，n為拋擲硬幣的次數，m為硬幣“正面向上”的次數．計算每次試驗中“正面向上”這一事件的頻率，并考察它的概率．試驗序號拋擲的次數n“正面向上”的次數m“正面向上”出現(xiàn)的頻率15002512500249350025645002535500251650024675002448500258950026210500247【精彩點撥】先由公式fn(A)＝eq\f(nA,n)分別求出各項試驗對應的頻率然后估計概率．【嘗試解答】由fn(A)＝eq\f(nA,n)，可分別得出這10次試驗中“正面向上”這一事件出現(xiàn)的頻率依次為0.502，0.498，0.512，0.506,0.502,0.492,0.488,0.516，0.524，0.494.這些數在0.5附近擺動，由概率的統(tǒng)計定義可得，“正面向上”的概率為0.5.1．頻率是事件A發(fā)生的次數m與試驗總次數n的比值，利用此公式可求出它們的頻率．頻率本身是隨機變量，當n很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值附近左右擺動，這個穩(wěn)定值就是概率．2．解此類題目的步驟是：先利用頻率的計算公式依次計算頻率，然后用頻率估計概率．[再練一題]3．某射擊運動員進行飛碟射擊訓練，七次訓練的成績記錄如下：射擊次數n100120150100150160150擊中飛碟數nA819512081119127121(1)求各次擊中飛碟的頻率；(保留三位小數)(2)該射擊運動員擊中飛碟的概率約為多少？【解】(1)計算eq\f(nA,n)得各次擊中飛碟的頻率依次約為0.810，0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.(2)由于這些頻率非常地接近0.800，且在它附近擺動，所以運動員擊中飛碟的概率約為0.800.1．下列事件中，不可能事件為()A．三角形內角和為180°B．三角形中大邊對大角，大角對大邊C．銳角三角形中兩個內角和小于90°D．三角形中任意兩邊的和大于第三邊【解析】若兩內角的和小于90°，則第三個內角必大于90°，故不是銳角三角形，所以C為不可能事件，而A、B、D均為必然事件．【答案】C2．下列事件：①一個口袋內裝有5個紅球，從中任取一球是紅球；②拋擲兩枚骰子，所得點數之和為9；③x2≥0(x∈R)；④方程x2－3x＋5＝0有兩個不相等的實數根；⑤巴西足球隊在下屆世界杯足球賽中奪得冠軍．其中，隨機事件的個數為()A．1 B．2C．3 D．4【解析】①③是必然事件；②⑤是隨機事件；④是不可能事件．【答案】B3．“連續(xù)拋擲兩枚質地均勻的骰子，記錄朝上的點數”，該試驗的結果共有()A．6種 B．12種C．24種 D．36種【解析】試驗的全部結果為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4，2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種．【答案】D4．北京去年6月份共有7天為陰雨天氣，設陰雨天氣為事件A，則事件A出現(xiàn)的頻數為________，事件A出現(xiàn)的頻率為________．【解析】由頻數的意義知，事件A出現(xiàn)的頻數為7，頻率為eq\f(7,30).【答案】7eq\f(7,30)5．某人做試驗，從一個裝有標號為1,2,3,4的小球的盒子中，無放回地取兩個小球，每次取一個，先取的小球的標號為x，后取的小球的標號為y，這樣構成有序實數對(x，y)．(1)寫出這個試驗的所有結果；(2)寫出“第一次取出的小球上的標號為2”【解】(1)當x＝1時，y＝2,3,4；當x＝2時，y＝1,3,4；當x＝3時，y＝1,2,4；當x＝4時，y＝1,2,3.因此，這個試驗的所有結果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．(2)記“第一次取出的小球上的標號是2”為事件A，則A學業(yè)分層測評(十五)隨機事件的概率(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．下列事件中，是隨機事件的是()A．長度為3,4,5的三條線段可以構成一個三角形B．長度為2,3,4的三條線段可以構成一直角三角形C．方程x2＋2x＋3＝0有兩個不相等的實根D．函數y＝logax(a＞0且a≠1)在定義域上為增函數【解析】A為必然事件，B，C為不可能事件．【答案】D2．下列說法正確的是()A．任一事件的概率總在(0,1)內B．不可能事件的概率不一定為0C．必然事件的概率一定為1D．以上均不對【解析】任一事件的概率總在[0,1]內，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1.【答案】C3．一個家庭中先后有兩個小孩，則他(她)們的性別情況可能為()A．男女、男男、女女 B．男女、女男C．男男、男女、女男、女女 D．男男、女女【解析】用列舉法知C正確．【答案】C4．從存放號碼分別為1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結果如下：卡片號碼12345678910取到的次數101188610189119則取到號碼為奇數的頻率是()A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.37【解析】取到號碼為奇數的頻率是eq\f(10＋8＋6＋18＋11,100)＝0.53.【答案】A5．給出下列三種說法：①設有一大批產品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品；②作7次拋硬幣的試驗，結果3次出現(xiàn)正面，因此，出現(xiàn)正面的概率是eq\f(n,m)＝eq\f(3,7)；③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率．其中正確說法的個數是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】由頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別知①②③均不正確．【答案】A二、填空題6．在一次擲硬幣試驗中，擲100次，其中有48次正面朝上，設反面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的頻數為________，事件A出現(xiàn)的頻率為________.【解析】100次試驗中有48次正面朝上，則52次反面朝上，則頻率＝eq\f(頻數,試驗次數)＝eq\f(52,100)＝0.52.【答案】520.527．已知隨機事件A發(fā)生的頻率是0.02，事件A出現(xiàn)了10次，那么共進行了________次試驗．【解析】設進行了n次試驗，則有eq\f(10,n)＝0.02，得n＝500，故進行了500次試驗．【答案】5008．從100個同類產品中(其中有2個次品)任取3個．①三個正品；②兩個正品，一個次品；③一個正品，兩個次品；④三個次品；⑤至少一個次品；⑥至少一個正品．其中必然事件是________，不可能事件是________，隨機事件是________.【解析】從100個產品(其中有2個次品)中取3個可能結果是：“三個全是正品”，“兩個正品，一個次品”，“一個正品，兩個次品”．【答案】⑥④①②③⑤三、解答題9．(1)從甲、乙、丙、丁四名同學中選2名代表學校參加一項活動，可能的選法有哪些？(2)試寫出從集合A＝{a，b，c，d}中任取3個元素構成的集合．【解】(1)可能的選法為：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)．(2)可能的集合為{a，b，c}，{a，b，d}，{a，