1.2.4誘導(dǎo)公式(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用.2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程.3.能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一角α與α＋k·2π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系思考角α與α＋k·2π(k∈Z)的終邊有什么位置關(guān)系？其三角函數(shù)值呢？梳理誘導(dǎo)公式(一)cosα＋k·2π＝k∈Z，sinα＋k·2π＝k∈Z，tanα＋k·2π＝k∈Z.知識(shí)點(diǎn)二角α與－α的三角函數(shù)間的關(guān)系思考1設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1(x，y)，角－α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？如圖，－α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2坐標(biāo)如何？思考2根據(jù)三角函數(shù)定義，－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有什么關(guān)系？梳理誘導(dǎo)公式(二)cos－α＝，sin－α＝，tan－α＝.知識(shí)點(diǎn)三角α與α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系思考1設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1(x，y)，則角π＋α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？如圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1(x，y)，則角π＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2的坐標(biāo)如何？思考2根據(jù)三角函數(shù)定義，sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分別是什么？對(duì)比sinα，cosα，tanα的值，(2k＋1)π＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有什么關(guān)系？梳理誘導(dǎo)公式(三)cos[α＋2k＋1π]＝，sin[α＋2k＋1π]＝，tan[α＋2k＋1π]＝.特別提醒：公式一～三都叫做誘導(dǎo)公式，他們分別反映了2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).簡(jiǎn)記為“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”！類(lèi)型一利用誘導(dǎo)公式求值命題角度1給角求值問(wèn)題例1求下列各三角函數(shù)式的值.(1)cos210°；(2)sineq\f(11π,4)；(3)sin(－eq\f(43π,6))；(4)cos(－1920°).反思與感悟利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟：(1)“負(fù)化正”：用公式一或二來(lái)轉(zhuǎn)化.(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°之間的角.(3)“角化銳”：用公式一或三將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值.跟蹤訓(xùn)練1求下列各三角函數(shù)式的值.(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°).命題角度2給值求角問(wèn)題例2已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|<eq\f(π,2)，則θ等于()A.－eq\f(π,6)B.－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)反思與感悟?qū)τ诮o值求角問(wèn)題，先通過(guò)化簡(jiǎn)已給的式子得出某個(gè)角的某種三角函數(shù)值，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值逆向求角.跟蹤訓(xùn)練2已知sin(π－α)＝－eq\r(2)sin(π＋β)，eq\r(3)cos(－α)＝－eq\r(2)cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.類(lèi)型二利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)例3化簡(jiǎn)下列各式.(1)eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,cosα－πsin5π－α)；(2)eq\f(\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°).引申探究若將本例(1)改為：eq\f(tannπ－αsinnπ－αcosnπ－α,cos[α－n＋1π]·sin[n＋1π－α])(n∈Z)，請(qǐng)化簡(jiǎn).反思與感悟三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)方法(1)利用誘導(dǎo)公式，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù).(2)常用“切化弦”法，即表達(dá)式中的切函數(shù)通常化為弦函數(shù).(3)注意“1”的變式應(yīng)用：如1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).跟蹤訓(xùn)練3化簡(jiǎn)下列各式.(1)eq\f(cosπ＋α·sin2π＋α,sin－α－π·cos－π－α)；(2)eq\f(cos190°·sin－210°,cos－350°·tan－585°).1.sin585°的值為()A.－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)2.cos(－eq\f(16π,3))＋sin(－eq\f(16π,3))的值為()A.－eq\f(1＋\r(3),2) B.eq\f(1－\r(3),2)C.eq\f(\r(3)－1,2) D.eq\f(\r(3)＋1,2)3.已知cos(π－α)＝eq\f(\r(3),2)(eq\f(π,2)<α<π)，則tan(π＋α)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.－eq\r(3)D.－eq\f(\r(3),3)4.sin750°＝________.5.化簡(jiǎn)：eq\f(cosα－π,sin5π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π－α).1.明確各誘導(dǎo)公式的作用誘導(dǎo)公式作用公式(一)將角轉(zhuǎn)化為0～2π之間的角求值公式(二)將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值公式(三)將角轉(zhuǎn)化為0～π之間的角求值2.誘導(dǎo)公式的記憶這三組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱(chēng)一致，符號(hào)則是將α看成銳角時(shí)原角所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào).α看成銳角，只是公式記憶的方便，實(shí)際上α可以是任意角.

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考角α與α＋k·2π(k∈Z)的終邊相同，根據(jù)三角函數(shù)的定義，它們的三角函數(shù)值相等．梳理cosαsinαtanα知識(shí)點(diǎn)二思考1角－α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．角－α與單位圓的交點(diǎn)為P2(x，－y)．思考2sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)；sin(－α)＝－y＝－sinα；cos(－α)＝x＝cosα，tan(－α)＝－eq\f(y,x)＝－tanα.梳理cosα－sinα－tanα知識(shí)點(diǎn)三思考1角π＋α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)．P2(－x，－y)．思考2sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，tan(π＋α)＝eq\f(－y,－x)＝eq\f(y,x).梳理－cosα－sinαtanα題型探究例1(1)cos210°＝－eq\f(\r(3),2).(2)sineq\f(11π,4)＝eq\f(\r(2),2).(3)sin(－eq\f(43π,6))＝eq\f(1,2).(4)cos(－1920°)＝－eq\f(1,2).跟蹤訓(xùn)練1解(1)sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\f(31π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＝cos(π＋eq\f(π,6))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).例2D跟蹤訓(xùn)練2解由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\r(2)sinβ，①,\r(3)cosα＝\r(2)cosβ.

②))①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，∴sin2α＝eq\f(1,2)，∴sinα＝±eq\f(\r(2),2).∵0<α<π，∴sinα＝eq\f(\r(2),2)，∴α＝eq\f(π,4)或α＝eq\f(3,4)π.把α＝eq\f(π,4)，α＝eq\f(3,4)π分別代入②，得cosβ＝eq\f(\r(3),2)或cosβ＝－eq\f(\r(3),2).又∵0<β<π，∴β＝eq\f(π,6)或β＝eq\f(5,6)π.∴α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)或α＝eq\f(3,4)π，β＝eq\f(5,6)π.例3解(1)原式＝eq\f(\f(sin2π－α,cos2π－α)·sin－αcos－α,cosπ－αsinπ－α)＝eq\f(－sinα－sinαcosα,cosα－cosαsinα)＝－eq\f(sinα,cosα)＝－tanα.(2)原式＝eq\f(\r(1＋2sin360°－70°cos360°＋70°),sin180°＋70°＋cos720°＋70°)＝eq\f(\r(1－2sin70°cos70°),－sin70°＋cos70°)＝eq\f(|cos70°－sin70°|,cos70°－sin70°)＝eq\f(sin70°－cos70°,cos70°－sin70°)＝－1.引申探究解當(dāng)n＝2k時(shí)，原式＝eq\f(－tanα·－sinα·cosα,－cosα·sinα)＝－tanα；當(dāng)n＝2k＋1