5.2正弦函數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解、掌握正弦函數(shù)的性質(zhì).2.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域.3.能利用單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小．知識(shí)點(diǎn)正弦函數(shù)的性質(zhì)思考1對(duì)于x∈R，sin(－x)＝－sinx，這說(shuō)明正弦函數(shù)具有怎樣的性質(zhì)？思考2正弦函數(shù)取得最大值、最小值時(shí)x的值是什么？思考3正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是什么？梳理函數(shù)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R圖像定義域值域[－1,1]最值當(dāng)________(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；當(dāng)____________(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1周期性是周期函數(shù)，周期為_(kāi)_________________，2π是它的最小正周期奇偶性奇函數(shù)，圖像關(guān)于________對(duì)稱單調(diào)性在區(qū)間______________________________(k∈Z)上是增加的；在區(qū)間______________________________(k∈Z)上是減少的對(duì)稱軸________________，k∈Z對(duì)稱中心________，k∈Z類型一求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1求函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的遞增區(qū)間．反思與感悟用整體替換法求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，如果式子中x的系數(shù)為負(fù)數(shù)，先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求其單調(diào)區(qū)間．求單調(diào)區(qū)間時(shí)，需將最終結(jié)果寫成區(qū)間形式．跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的遞減區(qū)間為_(kāi)_______________．類型二正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1利用正弦函數(shù)單調(diào)性比較大小例2比較下列三角函數(shù)值的大?。?1)sin(－eq\f(3π,5))與sin(－eq\f(13π,4))；(2)sin196°與cos156°；反思與感悟(1)比較sinα與sinβ的大小時(shí)，可利用誘導(dǎo)公式把sinα與sinβ轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的正弦值，再借助于正弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)進(jìn)行比較．(2)比較sinα與cosβ的大小，常把cosβ轉(zhuǎn)化為sin(eq\f(π,2)±β)后，再依據(jù)單調(diào)性來(lái)進(jìn)行比較．(3)當(dāng)不能將兩角轉(zhuǎn)到同一單調(diào)區(qū)間上時(shí)，還可以借助于圖像或值的符號(hào)比較．跟蹤訓(xùn)練2比較sin194°與cos110°的大?。}角度2已知三角函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍例3已知ω是正數(shù)，函數(shù)f(x)＝2sinωx在區(qū)間[－eq\f(π,3)，eq\f(π,4)]上是增加的，求ω的取值范圍．反思與感悟此類問(wèn)題可先解出f(x)的單調(diào)區(qū)間，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，然后列不等式組求出參數(shù)范圍．跟蹤訓(xùn)練3已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是減少的，則ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．(0,2]類型三正弦函數(shù)的值域或最值例4(1)求使函數(shù)y＝－2sinx＋1取得最大值和最小值的自變量x的集合，并寫出其值域；(2)求使函數(shù)y＝－sin2x＋eq\r(3)sinx＋eq\f(5,4)取得最大值和最小值的自變量x的集合，并求出函數(shù)的最值．反思與感悟求正弦函數(shù)的值域一般有以下兩種方法(1)將所給三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)配方法求值域，例如轉(zhuǎn)化為y＝a(sinx＋b)2＋c型的值域問(wèn)題．(2)利用sinx的有界性求值域，如y＝asinx＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.跟蹤訓(xùn)練4求f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq\f(1,2)，x∈[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]的值域．1．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的一個(gè)遞減區(qū)間是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[－π，0]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)π，\f(2,3)π)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2,3)π))2．下列不等式中成立的是()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))B．sin3>sin2C．sineq\f(7,5)π>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)π))D．sin2>cos13．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的值域是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))4．求函數(shù)y＝3－2sineq\f(1,2)x的最值及取到最值時(shí)的自變量x的集合．5．求函數(shù)y＝2sin(eq\f(π,6)－2x)，x∈(0，π)的遞增區(qū)間．1．求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間的方法把ωx＋φ看成一個(gè)整體，由2kπ－eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解出x的范圍，所得區(qū)間即為遞增區(qū)間，由2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)解出x的范圍，所得區(qū)間即為遞減區(qū)間．若ω<0，先利用誘導(dǎo)公式把ω轉(zhuǎn)化為正數(shù)后，再利用上述整體思想求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．2．比較三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的同名三角函數(shù)值的大小比較，再利用單調(diào)性作出判斷．3．求三角函數(shù)值域或最值的常用方法將y表示成以sinx(或cosx)為元的一次或二次等復(fù)合函數(shù)，再利用換元或配方或利用函數(shù)的單調(diào)性等來(lái)確定y的范圍．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1奇偶性．思考2對(duì)于正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R有：當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時(shí)，取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時(shí)，取得最小值－1.思考3y＝sinx的遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z.梳理Rx＝eq\f(π,2)＋2kπx＝－eq\f(π,2)＋2kπ2kπ(k∈Z，k≠0)原點(diǎn)[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ][eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ]x＝eq\f(π,2)＋kπ(kπ，0)題型探究例1解y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，令z＝x－eq\f(π,4)，則y＝－2sinz.因?yàn)閦是x的一次函數(shù)，所以要求y＝－2sinz的遞增區(qū)間，即求sinz的遞減區(qū)間，即2kπ＋eq\f(π,2)≤z≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．所以2kπ＋eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，即2kπ＋eq\f(3π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(7π,4)(k∈Z)，所以函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,4)，2kπ＋\f(7π,4)))(k∈Z)．跟蹤訓(xùn)練1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，－\f(2π,9)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,9)，\f(π,3)))例2解(1)∵sin(－eq\f(3π,5))＝－sineq\f(3π,5)，sin(－eq\f(13π,4))＝－sin(2π＋eq\f(5π,4))＝－sineq\f(5π,4)，由于eq\f(π,2)<eq\f(3π,5)<eq\f(5π,4)<eq\f(3π,2)，且y＝sinx在(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))上是減少的，∴sineq\f(3π,5)>sineq\f(5π,4)，∴－sineq\f(3π,5)<－sineq\f(5π,4)，即sin(－eq\f(3π,5))<sin(－eq\f(13π,4))．(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，∵0°<16°<66°<90°，且y＝sinx在[0°，90°]上是增加的，∴sin16°<sin66°，從而－sin16°>－sin66°，即sin196°>cos156°.跟蹤訓(xùn)練2解∵sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos110°＝cos(180°－70°)＝－cos70°＝－sin(90°－70°)＝－sin20°，由于0°<14°<20°<90°，而y＝sinx在[0°，90°]上是增加的，∴sin14°<sin20°，∴－sin14°>－sin20°，即sin194°>cos110°.例3解由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq\f(π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)≤x≤eq\f(π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)，∴f(x)的遞增區(qū)間是[－eq\f(π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)，eq\f(π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)]，k∈Z.根據(jù)題意，得[－eq\f(π,3)，eq\f(π,4)]?[－eq\f(π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)，eq\f(π,2ω)＋eq\f(2kπ,ω)](k∈Z)，從而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)≤－\f(π,3)，,\f(π,2ω)≥\f(π,4)，,ω>0，))解得0<ω≤eq\f(3,2).故ω的取值范圍是(0，eq\f(3,2)]．跟蹤訓(xùn)練3A例4解(1)當(dāng)x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，ymax＝－2×(－1)＋1＝3，當(dāng)x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，ymin＝－2×1＋1＝－1，∴函數(shù)y＝－2sinx＋1的值域?yàn)閇－1,3]．(2)令t＝sinx，則－1≤t≤1，y＝－t2＋eq\r(3)t＋eq\f(5,4)＝－(t－eq\f(\r(3),2))2＋2.∴當(dāng)t＝eq\f(\r(3),2)時(shí)，ymax＝2.此時(shí)sinx＝eq\f(\r(3),2)，即x＝2kπ＋eq\f(π,3)或x＝2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．∴當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝eq\f(1,4)－eq\r(3).此時(shí)sinx＝－1，即x＝2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．跟蹤訓(xùn)練4解令t＝sinx，∵x∈[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]，∴eq\f(1,2)≤sinx≤1，即eq\f(1,2)≤t≤1，∴f(x)＝g(t)＝2(t＋eq\f(1,2))2－1，t∈[eq\f(1,2)，1]且該函數(shù)在[eq\f(1,2)，1]上是增加的．∴f(x)min＝g(eq\f(1,2))＝1，f(x)max＝g(1)＝eq\f(7,2).∴f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq\f(1,2)，x∈[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]的值域?yàn)閇1，eq\f(7,2)]．當(dāng)堂訓(xùn)練1．D2.D3.D4．解∵－1≤sineq\f(1,2)x≤1，∴當(dāng)sineq\f(1,2)x＝－1，eq\f(1,2)x