第02講線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定知識(shí)點(diǎn)1：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)1.定義經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，也叫線(xiàn)段的中垂線(xiàn)。2.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作圖1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；2.作直線(xiàn)CD，CD為所求直線(xiàn)3.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等【題型1：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)】【典例1】在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhǎng)等于50，則BC的長(zhǎng)是（

）

A．22 B．23 C．32 D．33【答案】B【分析】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到AE=BE，再由三角形周長(zhǎng)計(jì)算公式可得BE+CE+BC=50，進(jìn)而可得AC+BC=50，據(jù)此可得答案．【詳解】解；∵AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∴AE=BE，∵△BCE的周長(zhǎng)等于50，∴BE+CE+BC=50，∴AE+CE+BC=50，∴AC+BC=50，∵AC=27，∴BC=23，故選：B．【變式1】如圖，在△ABC中，DE垂直平分邊AC，若△ABD的周長(zhǎng)為24cm，BC=18cm，則AB的長(zhǎng)為（A．6cm B．8cm C．10cm【答案】A【分析】本題主要考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是關(guān)鍵.根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出AD=DC，再進(jìn)行等量代換后計(jì)算即可.【詳解】解：∵DE垂直平分AC，∴AD=DC，∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=24cm∵BC=18cm∴AB=24?18=6故選：A．【變式2】如圖，已知在△ABC中，AC=6，BC=4，AB的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接BD，則△DBC的周長(zhǎng)為．【答案】10【分析】本題考查的是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，即線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等．先根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出DA=DB，故可得出△DBC的周長(zhǎng)=CD+DB+BC=AC+BC，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵DE是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，∴DA=DB，∴△DBC的周長(zhǎng)=CD+DB+BC=AC+BC，∵AC=6，BC=4，∴△DBC的周長(zhǎng)=AC+BC=10．故答案為：10．【變式3】如圖，BC=8cm，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則△APQ的周長(zhǎng)為cm【答案】8【分析】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得BP=AP，AQ=CQ，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵M(jìn)P和NQ分別垂直平分AB和AC，∴BP=AP，AQ=CQ，∴△APQ的周長(zhǎng)=AP+AQ+PQ=BP+CQ+PQ=BC=8cm故答案為：8．【題型2：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定】【典例2】如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．求證∶AD垂直平分EF．【答案】見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用．根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出DE=DF，證明出Rt△ADE≌Rt△ADF【詳解】證明：∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴點(diǎn)D在線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)上，又∵AD=AD，∴Rt△ADE≌∴AE=AF，∴點(diǎn)A在線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)上，∴AD垂直平分EF．【變式1】如圖，在△ABC中，邊AB,BC的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)上．【答案】見(jiàn)解析【分析】此題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定：到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上．先由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到PA=PB,PB=PC，則PA=PC，再由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定即可證明．【詳解】證明：∵邊AB,BC的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，∴PA=PB,PB=PC．∴PA=PC．∴點(diǎn)P必在AC的垂直平分線(xiàn)上．【變式2】風(fēng)箏起源于東周春秋時(shí)期，距今已2000多年，到了宋代的時(shí)候，放風(fēng)箏成為人們喜愛(ài)的戶(hù)外活動(dòng)．如圖1，小祺制作了一個(gè)風(fēng)箏．風(fēng)箏的骨架示意圖如圖2所示，其中AB=AC，∠BAD=∠CAD．求證：AD垂直平分BC．【答案】見(jiàn)解析【分析】此題考查了垂直平分線(xiàn)的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，首先證明出△BAD≌△CADSAS，得到BD=CD，然后結(jié)合AB=AC即可得到AD垂直平分BC【詳解】∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△BAD≌△CAD∴BD=CD又∵AB=AC∴AD垂直平分BC．【題型3：作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)】【典例3】如圖，在△ABC中，AC>BC．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使得BP=CP．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了復(fù)雜作圖——作垂直平分線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等．作BC的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)P，由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知BP=CP，即可完成作圖．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求作．【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，分別交線(xiàn)段BC、AC于點(diǎn)E、F(2)連接BF，請(qǐng)找出圖中和BF相等的線(xiàn)段（直接寫(xiě)出答案，無(wú)需說(shuō)明理由）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)CF=BF【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖．熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）基本作圖，作線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)MN，分別交線(xiàn)段BC、AC于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E、F即為所求作；（2）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于M,N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN，分別交線(xiàn)段BC、與AC點(diǎn)E、F，點(diǎn)（2）解：∵EF是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)，∴CF=BF．【變式2】如圖，在△ABC中(1)使用直尺和圓規(guī)，作線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)DE，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（基本作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母）(2)在（1）所作的圖形中，當(dāng)AB=10,BC=8時(shí)，求△BCE的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)18【分析】本題考查了尺規(guī)作圖線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的步驟作圖即可；（2）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)得到EA=EC，則△BCE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為BC+AB．【詳解】（1）解：如圖，DE即為所求．（2）解：連接CE，∵線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)DE，∴EA=EC，∵△BCE的周長(zhǎng)=BC+BE+CE,∴△BCE的周長(zhǎng)=BC+AB=10+8=18．【題型4：作垂線(xiàn)(尺規(guī)作圖】【典例4】如圖，已知△ABC，利用尺規(guī)作圖作△ABC的邊AC的中線(xiàn)BE和BC邊上的高AF，點(diǎn)F為垂足（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【答案】作圖見(jiàn)解析．【分析】本題考查了尺規(guī)作圖——作垂線(xiàn)，作垂直平分線(xiàn)，作AC的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)E，然后連接BE，過(guò)A作BC的垂線(xiàn)，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F即可，掌握作圖方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作AC的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)E，然后連接BE，過(guò)A作BC的垂線(xiàn)，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，∴BE，AF即為所求．【變式1】如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)完成以下作圖：(1)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D；(2)在CD上求作一點(diǎn)E，使得點(diǎn)E到AC的距離等于DE的長(zhǎng)．(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，作垂線(xiàn)，作角平分線(xiàn)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧交點(diǎn)T，連接CT，與AB交于一點(diǎn)D，此時(shí)（2）理解點(diǎn)E在CD上且點(diǎn)E到AC的距離等于DE的長(zhǎng)，即要求點(diǎn)E在∠BAC的角平分線(xiàn)上，故∠BAC的角平分線(xiàn)上與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，所以運(yùn)用圓規(guī)和直尺作出∠BAC的角平分線(xiàn)，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，CD⊥AB如圖所示：（2）解：依題意，點(diǎn)E如圖所示．【變式2】如圖，已知△ABC，根據(jù)下列要求作圖并回答問(wèn)題：（只要保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(1)作邊AB上的高CD；(2)過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)BC的垂線(xiàn)，垂足為E；(3)在BC上找一點(diǎn)M，使MA=MB．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了作垂線(xiàn)，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵；（1）延長(zhǎng)BA，以AC為半徑，點(diǎn)C為圓心作圓弧交直線(xiàn)BA于點(diǎn)G，再分別以A、G為圓心，以大于AG一半的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓弧，兩弧交于點(diǎn)F，連接CF，交BG于點(diǎn)D，問(wèn)題得解；（2）按照（1）的方法作答即可；（3）作AB的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)M，即可求解．【詳解】（1）延長(zhǎng)BA，以AC為半徑，點(diǎn)C為圓心作圓弧交直線(xiàn)BA于點(diǎn)G，再分別以A、G為圓心，以大于AG一半的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓弧，兩弧交于點(diǎn)F，連接CF，交BG于點(diǎn)D，如圖，高CD即為所作；（2）如圖所示：垂線(xiàn)DE即為所作；（3）如圖，點(diǎn)M即為所求；【變式3】如圖，已知△ABC，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖（保留作圖痕跡）．(1)作∠A的平分線(xiàn)；(2)過(guò)點(diǎn)C作線(xiàn)段AB的垂線(xiàn)．【答案】(1)作圖見(jiàn)詳解(2)作圖見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查尺規(guī)作垂線(xiàn)，作角平分線(xiàn)，掌握尺規(guī)作圖的方法是關(guān)鍵．（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線(xiàn)即可；（2）根據(jù)尺規(guī)作垂線(xiàn)即可．【詳解】（1）解：如圖所示，AD即為∠BAC的角平分線(xiàn)，（2）解：如圖所示，CE即為線(xiàn)段AB的垂線(xiàn)．一、單選題1．通過(guò)如下尺規(guī)作圖，能得到BD=AD的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，尺規(guī)作圖：作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等，由此即可判斷．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上時(shí)，BD=AD，尺規(guī)作圖是作線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)的是C中的圖形．故選：C．2．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線(xiàn)DE交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，若BC=10，AC=6，則△ACD的周長(zhǎng)是（

）

A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得AD=BD，繼而可得△ACD的周長(zhǎng)為AC+BC，則可求得答案．解題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線(xiàn)，∴AD=BD，∵BC=10，AC=6，∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=6+10=16，∴△ACD的周長(zhǎng)為16．故選：B．3．如圖，∠AOB內(nèi)一點(diǎn)P，點(diǎn)P1，P2分別是點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，P1P2交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)NA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】此題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．由P與P1關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，得到OA為線(xiàn)段PP1的垂直平分線(xiàn)，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等可得MP=MP1，同理可得NP=N【詳解】解：∵P與P1關(guān)于OA∴OA為線(xiàn)段PP∴MP=MP同理，P與P2關(guān)于OB∴OB為線(xiàn)段PP∴NP=NP∴P1則△PMN的周長(zhǎng)為5．故選：C．4．已知△ABCAC<BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點(diǎn)P，使PA+PB=BC，則一定符合要求的作圖痕跡是（

A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．要使PA+PB=BC，則需使AP=BP，即點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上．據(jù)此即可對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵在BC上確定一點(diǎn)P，使PA+PB=BC，∴當(dāng)PA+PB=BC時(shí)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，∴作圖正確的是D．故選：D．5．到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是△ABC（

）A．三條中線(xiàn)的交點(diǎn) B．三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)C．三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)【答案】C【分析】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，理解垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等，∴到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是△ABC三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)．故選：C．6．觀(guān)察如圖作圖痕跡，所作CD為△ABC的邊AB上的（

）A．中線(xiàn) B．高線(xiàn) C．角平分線(xiàn) D．中垂線(xiàn)【答案】B【分析】本題考查過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)，能掌握基本尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)作圖過(guò)程，可得所作線(xiàn)段為AB邊上的高線(xiàn)，故選B．7．如圖，DE是△ABC的邊BC的垂直平分線(xiàn)，若△ADB的周長(zhǎng)為14，AB=6，則AC的長(zhǎng)為（

）

A．5 B．7 C．8 D．11【答案】C【分析】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．先根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，證明CD=DB，再根據(jù)△ADB周長(zhǎng)=AD+BD+AB，進(jìn)行等量代換即可．【詳解】解：∵DE是△ABC的邊BC的垂直平分線(xiàn)，∴CD=BD，∵AC=AD+CD，△ADB的周長(zhǎng)=AD+DB+AB=AC+BC=AC+6=14，∴AC=14?6=8，故選：C．二、填空題8．如圖，△ABC中，∠B=32°，分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于12BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在BC兩側(cè)相交于點(diǎn)M、N，作直線(xiàn)MN分別與AB、BC交于點(diǎn)D，E，連接CD，則∠BCD=【答案】32°【分析】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．根據(jù)作圖描述得MN垂直平分BC，可得BD=CD，利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)作圖可得，MN垂直平分BC，∴BD=CD，∴∠B=∠BCD=32°．故答案為：32°9．如圖，MN是AB的垂直平分線(xiàn)，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，若△PAB周長(zhǎng)是22cm，AB=10cm，則PA的長(zhǎng)為【答案】6【分析】本題考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出PA=PB，再求出PA+PB=22?AB=12，進(jìn)而可得出答案．【詳解】解：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線(xiàn)，∴PA=PB，∵△PAB周長(zhǎng)是22cm，即PA+PB+AB=22∴PA+PB=22?AB=22?10=12，∴PA=6，故答案為：610.如圖，在△ABCAB<AC中，BC邊上的垂直平分線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，AC=15cm，△ABE的周長(zhǎng)為24cm，則AB

【答案】9cm【分析】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．先根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)“線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等”可得BE=CE，再利用△ABE的周長(zhǎng)為24cm，即可求出AB【詳解】解：∵DE是BC的垂直平分線(xiàn)，∴BE=CE，∴△ABE的周長(zhǎng)=AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC，∵AC=15cm，△ABE的周長(zhǎng)為24∴AB+15=24，解得AB=9，故答案為：9cm11．如圖，AC=BC，AD=BD，這個(gè)圖形叫做“箏形”，數(shù)學(xué)興趣小組幾名同學(xué)探究出關(guān)于它的如下結(jié)論：

①△ACD≌△BCD；②AO=BO；③AB⊥CD；④∠CAB=∠ABD.其中正確結(jié)論的序號(hào)是【答案】①②③【分析】先通過(guò)“SSS”判定兩三角形全等，再利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)即可得到正確結(jié)論．【詳解】解：在△ACD和△BCD中，AC=BCAD=BD∴△ACD?△BCD(SSS∵AC=BC，AD=BD