求二重極限題目及答案一、二重極限的概念與計(jì)算二重極限是多元微積分中的一個(gè)重要概念，它描述了當(dāng)兩個(gè)變量同時(shí)趨向于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)。計(jì)算二重極限時(shí)，需要考慮極限的順序和極限的存在性。二、二重極限題目1.計(jì)算二重極限\(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\)。（10分）2.計(jì)算二重極限\(\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x^2-y^2}{x-y}\)。（10分）3.計(jì)算二重極限\(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\)。（10分）三、二重極限題目答案1.解答：首先，我們考慮沿著不同的路徑來(lái)計(jì)算極限，以檢查極限是否存在。-沿著路徑\(y=0\)，我們有\(zhòng)(\lim_{x\to0}\frac{x^2\cdot0}{x^2+0^2}=\lim_{x\to0}0=0\)。-沿著路徑\(x=0\)，我們有\(zhòng)(\lim_{y\to0}\frac{0^2\cdoty}{0^2+y^2}=\lim_{y\to0}0=0\)。-沿著路徑\(y=x\)，我們有\(zhòng)(\lim_{x\to0}\frac{x^2\cdotx}{x^2+x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x^3}{2x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x}{2}=0\)。由于在不同的路徑上極限值相同，我們可以得出結(jié)論，該二重極限存在且等于0。\(\boxed{0}\)2.解答：我們可以直接代入\(x=1\)和\(y=1\)來(lái)計(jì)算極限。\(\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x^2-y^2}{x-y}=\frac{1^2-1^2}{1-1}=\frac{0}{0}\)這是一個(gè)不確定形式，我們可以通過(guò)因式分解來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。\(\frac{x^2-y^2}{x-y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}=x+y\)（當(dāng)\(x\neqy\)）因此，極限為：\(\lim_{(x,y)\to(1,1)}(x+y)=1+1=2\)\(\boxed{2}\)3.解答：我們同樣考慮沿著不同的路徑來(lái)計(jì)算極限，以檢查極限是否存在。-沿著路徑\(y=0\)，我們有\(zhòng)(\lim_{x\to0}\frac{x\cdot0}{x^2+0^2}=\lim_{x\to0}0=0\)。-沿著路徑\(x=0\)，我們有\(zhòng)(\lim_{y\to0}\frac{0\cdoty}{0^2+y^2}=\lim_{y\to0}0=0\)。-沿著路徑\(y=x\)，我們有\(zhòng)(\lim_{x\to0}\frac{x\cdotx}{x^2+x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{2x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)。由于在不同的路徑上極限值不同，我們可以得出結(jié)論，該二重極限不存在。\(