求極限的易錯題目及答案一、選擇題（每題5分，共20分）1.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值是多少？A.0B.1C.\(\infty\)D.-1答案：B2.求極限\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)的值是多少？A.0B.2C.4D.不存在答案：C3.求極限\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\)的值是多少？A.\(e\)B.1C.0D.\(\infty\)答案：A4.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-\cosx}{x^2}\)的值是多少？A.0B.1C.2D.\(\infty\)答案：C二、填空題（每題5分，共20分）5.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)的值是________。答案：\(\frac{1}{2}\)6.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}\)的值是________。答案：\(\frac{1}{2}\)7.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\)的值是________。答案：\(\frac{1}{2}\)8.求極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}\)的值是________。答案：0三、計算題（每題10分，共40分）9.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)。解：使用洛必達(dá)法則，因?yàn)榉肿臃帜付稼吔?，所以有：\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1\]答案：110.求極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3x+2}{2x^2+x-3}\)。解：分子分母同時除以\(x^2\)，得到：\[\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3x+2}{2x^2+x-3}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{2+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}}=\frac{1}{2}\]答案：\(\frac{1}{2}\)11.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{\cos3x}\)。解：使用三角函數(shù)的極限性質(zhì)，有：\[\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{\cos3x}=\frac{\sin0}{\cos0}=\frac{0}{1}=0\]答案：012.求極限\(\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-1}\)。解：分子分母同時因式分解，得到：\[\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to1}\frac{x^2+x+1}{x+1}=\frac{1^2+1+1}{1+1}=\frac{3}{2}\]答案：\(\frac{3}{2}\)四、證明題（每題10分，共20分）13.證明\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}\)。證明：使用洛必達(dá)法則兩次，因?yàn)榉肿臃帜付稼吔?，所以有：\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{2}=\frac{1}{2}\]答案：\(\frac{1}{2}\)14.證明\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}=0\)。證明：使用洛必達(dá)法則，因?yàn)榉肿臃帜付稼吔跓o窮大，所以有：\[\lim_{x\to\infty}\