水平面圓周運動模型

【模型特點】

由物體的重力與彈力的合力充當向心力，向心力的方向水平。也可以說是其中彈力的水平分力提供向心力

(彈力的豎直分力和重力互為平衡力)

【模型解題】

1、解決圓周運動問題(動力學分析)的主要步驟

(1)審清題意，確定研究對象;明確物體做圓周運動的平面是至關重要的一環(huán).

(2)分析物體的運動情況，即物體的線速度、角速度、周期、軌道平面、圓心、半徑等;

(3)分析物體的受力情況，畫出受力示意圖，確定向心力的來源；

(4)根據(jù)牛頓運動定律及向心力公式列方程.

2、用極限法分析圓周運動的臨界問題

(1)有些題目中有“剛好”、“恰好”、“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點.

(2)若題目中有“取值范圍”、“多長時間”、“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”,

而這些起止點往往就是臨界狀態(tài)，

(3)若題目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這些極值點

也往往是臨界狀態(tài).

【模型訓練】

【例1】如圖所示，水平圓盤半徑為及，可視為質(zhì)點的物塊A在圓盤邊緣處，與圓盤一起圍繞過圓心O的

豎直軸勻速轉(zhuǎn)動。某時刻在。的正上方有一個可視為質(zhì)點的小球以初速度v沿0A方向水平拋出。若小球

直接擊中物塊A,重力加速度為g,不計空氣阻力。則下列說法正確的是()

o~

A.物塊A處于平衡狀態(tài)

B.物塊A所受摩擦力恒定

C.小球拋出時距離。點的高度一定為繪

2V2

D.圓盤轉(zhuǎn)動角速度大小一定為與

R

變式LI（多選）半徑&=lm的水平圓盤繞過圓心。的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，4為圓盤邊緣上一點，在。點的

正上方將一個可視為質(zhì)點的小球以4m/s的速度水平拋出，半徑04方向恰好與該初速度的方向相同，如圖

所示。若小球與圓盤只碰一次，且落在/點，則圓盤轉(zhuǎn)動的角速度大小不可能是（）

A.271rad/sB.4Krad/sD.8TIrad/s

變式1.2（多選）半徑為R的水平圓盤繞過圓心。的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，/為圓盤邊緣上一點，在。的正上

方有一個可視為質(zhì)點的小球以初速度v水平拋出時，半徑CM恰好與v的方向相同，如圖所示，若要使小球

與圓盤只碰一次，且落在4,重力加速度為g,則圓盤轉(zhuǎn)動的角速度可能為（）

57TV7TV_6JTV

A.-----B.—C.—D.——

R6RRR

［例2］如圖所示,甲、乙、丙三個物塊放在水平轉(zhuǎn)盤上，隨轉(zhuǎn)盤一起繞中心軸做勻速圓周運動，甲、乙、

丙的質(zhì)量分別為加、2加、4m,離中心軸的距離分別為『、r、2r,與轉(zhuǎn)盤的動摩擦因數(shù)分別為0,4、0.2、

0.2,當轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度增大，最先滑動的物塊是（

丙

A.甲物塊B.乙物塊C.丙物塊D.乙物塊和丙物塊

變式2.1如圖所示，水平放置的圓盤繞過圓心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，質(zhì)量分別為加“、%的物塊A、B（均視

為質(zhì)點）放置在圓盤上隨圓盤一起做勻速圓周運動的半徑分別為％、rB,與圓盤間的動摩擦因數(shù)分別為應、

最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，現(xiàn)使轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速逐漸緩慢增大，則A比3先滑動的條件一定是（）

A.mA<mB.c.〃外<40D.%%

變式2.2水平轉(zhuǎn)臺兩個質(zhì)量相等的物體A和B,A、B與轉(zhuǎn)軸距離分別為廠、2r,當轉(zhuǎn)盤和物塊繞豎直轉(zhuǎn)軸

勻速轉(zhuǎn)動時，物塊與轉(zhuǎn)盤始終保持相對靜止（）

A.A線速度比B線速度大B.A角速度比B角速度大

C.當轉(zhuǎn)速增大時，A比B先滑動D.當轉(zhuǎn)速增大時，B比A先滑動

【例3】如圖所示，質(zhì)量均為加的0、6兩小球用不可伸長的等長輕質(zhì)繩子懸掛起來，使小球。在豎直平面

內(nèi)來回擺動，小球b在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，連接小球6的繩子與豎直方向的夾角和小球。擺動時繩

子偏離豎直方向的最大夾角都為仇重力加速度為g,則下列說法正確的是（）

。、6兩小球都是所受合外力充當向心力

a、6兩小球圓周運動的半徑之比為tan。

6小球受到的繩子拉力為匪

D.a小球運動到最高點時受到的繩子拉力為加gsin8

變式3.1如圖所示，質(zhì)量為加的小球用不可伸長的輕繩懸于3點，現(xiàn)使小球在水平面內(nèi)做以。為圓心的勻

速圓周運動，若小球穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時繩子與豎直方向的夾角為0,重力加速度為g,則（）

A.小球的加速度保持不變

B.小球受到的合外力為零

C.小球做勻速圓周運動需要的向心力為%gsin。

D.只要圓錐擺的高度相同，小球運動的周期時間一定相等

變式3.2水平面上固定一半球形的玻璃器皿，器皿的軸呈豎直狀態(tài)，在距離軸心不同的位置，有兩個質(zhì)量

相同的光滑小球。、b做勻速圓周運動，軌道平面均水平。則有關各物理量的關系，下列說法正確的是（）

A.6對玻璃器皿的壓力大B.6做勻速圓周運動的周期大

C.6做勻速圓周運動的角速度大D.兩球的向心加速度相等

【例4】如圖所示，有一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動的水平圓盤，原長為￡、勁度系數(shù)為后的輕彈簧一端固定于軸

。上，另一端連接質(zhì)量為根的小物塊當圓盤靜止時，把彈簧拉長后將物塊放在圓盤上，使物塊能保持

靜止的彈簧的最大長度為半，已知最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，轉(zhuǎn)動過程中彈簧伸長始終在彈性

限度內(nèi)，貝U：

（1）若開始時彈簧處于原長工時，當圓盤的角速度為多大時，物塊/將開始滑動？

（2）若物塊與圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動的周期看=2萬竹，物塊恰好不受摩擦力作用，此時彈簧的伸長量由為

多大？

（3）若彈簧的長度乙=合時，物塊與圓盤能一起勻速轉(zhuǎn)動，試求轉(zhuǎn)動角速度的可能值。

變式4.1如圖所示，圓盤可繞過圓心。的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，物體P放在圓盤上，一輕質(zhì)

彈簧一端連接物體P,另一端固定在豎直軸上。已知物體的質(zhì)量〃?=0.5kg,彈簧的自然長度10cm,勁

度系數(shù)上=75N/m,物體與圓盤表面的動摩擦因數(shù)〃=0.8,P可看作質(zhì)點，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,

g取lOm/s）。當圓盤以角速度o=5&rad/s轉(zhuǎn)動時，P與圓盤相對靜止，彈簧恰處于原長位置。求：

（1）此時P對圓盤的作用力都有哪些，各為多大？

（2）保持圓盤角速度0=5后rad/s不變，為使P與圓盤保持相對靜止，彈簧長度的取值范圍多大？（假設

彈簧均未超出彈性限度）

變式4.2如圖所示，有一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動的水平圓盤，上面放置勁度系數(shù)左=46N/m的彈簧，彈簧的一

端固定于軸0上，另一端連接質(zhì)量機=LOkg的小物塊A,物塊與盤間的動摩擦因數(shù)〃=0.20,開始時彈簧

未發(fā)生形變，長度0.50m,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g=10m/s2。貝小

（1）當圓盤的轉(zhuǎn)動周期7=6.28s時，物塊在初始位置與圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動，求物塊受到的向心力大小尸；

（2）圓盤的角速度多大時，物塊A將開始滑動？

（3）當圓盤角速度緩慢地增加到4.0rad/s時，彈簧的伸長量是多少？（彈簧始終在彈性限度內(nèi)且物塊未脫

離圓盤）

【例5】如圖所示，餐桌中心是一個半徑為r=1.5m的圓盤，圓盤可繞中心軸轉(zhuǎn)動，近似認為圓盤與餐桌

在同一水平面內(nèi)且兩者之間的間隙可忽略不計。已知放置在圓盤邊緣的小物體與圓盤間的動摩擦因數(shù)為"/

=0.6,與餐桌間的動摩擦因數(shù)為〃2=0.225,餐桌離地面的高度為〃=0.8m。設小物體與圓盤以及餐桌之間

的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10m/s2。

（1）緩慢增大圓盤的角速度，物體從圓盤上甩出，為使物體不滑落到地面上，餐桌半徑R的最小值為多大？

（2）若餐桌的半徑女=0外，則在圓盤角速度緩慢增大時，物體從圓盤上被甩出后滑落到地面上的位置到

從圓盤甩出點的水平距離上為多少？

變式5.1現(xiàn)在的餐桌多用團圓桌，如圖餐桌上放一半徑為尸1.2m可繞中心軸轉(zhuǎn)動的電動圓盤，近似認為餐

桌與圓盤在同一水平面內(nèi)，忽略兩者之間的間隙。將機=0.6kg某餐盤放置在圓盤邊緣，該餐盤與圓盤的動

摩擦因數(shù)為〃=0.75,設餐盤與圓盤之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。重力加速度g取10m/s2,求：

（1）當圓盤以"=2r/min的轉(zhuǎn)速緩慢轉(zhuǎn)動時，物體受到的靜摩擦力大?。?=1。）；

(2)緩慢增大圓盤的轉(zhuǎn)速，物體從圓盤上剛好甩出時圓盤的角速度。

變式5.2如圖所示，某餐廳的餐桌采用的是電動餐桌，其中心是一個在電動機帶動下可以勻速轉(zhuǎn)動、半徑

為R的圓盤，圓盤與餐桌在同一水平面上，放置在圓盤邊緣的小瓷碟與圓盤間的動摩擦因數(shù)為0.5,與餐桌

間的動摩擦因數(shù)為0.25,餐桌高也為R.設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，瓷碟的大小不計，重力加速度

為g.

手

(1)為使瓷碟不滑到餐桌上，圓盤的角速度3的最大值為多少？

(2)緩慢增大圓盤的角速度.瓷碟從圓盤上甩出，為使瓷碟不滑落到地面，餐桌半徑4的最小值為多大？

(3)若餐桌半徑均=；及，則在圓盤角速度緩慢增大時，瓷碟從圓盤上被甩出后滑落到地面上的位置到圓盤

中心的水平距離L為多少？

【例6】如圖所示，質(zhì)量均為用的物塊A、B放在水平轉(zhuǎn)盤上，兩物塊到轉(zhuǎn)軸的距離均為,，與轉(zhuǎn)盤之間的

動摩擦因數(shù)均為〃，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。A、B分別用細線系于轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)軸上的Q、。2點，細

繩都剛好拉直?，F(xiàn)緩慢增大轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)速，重力加速度為g。

(1)求QA繩即將出現(xiàn)張力時轉(zhuǎn)盤的角速度0；

(2)通過計算說明誰先脫離轉(zhuǎn)盤。

變式6.1如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為機的物塊，物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r,物塊和轉(zhuǎn)盤間的動摩擦因數(shù)

為〃。設物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，已知重力加速度為g,求：

(1)當水平轉(zhuǎn)盤以角速度外勻速轉(zhuǎn)動時，物塊與轉(zhuǎn)盤剛好能相對靜止，求外的值是多少？

(2)將物塊和轉(zhuǎn)軸用細繩相連，物塊靜止時繩恰好伸直且無拉力，細繩水平，當轉(zhuǎn)盤的角速度=J整時,

V3r

求細繩的拉力大??；

(3)將物塊和轉(zhuǎn)軸用細繩相連，物塊靜止時繩恰好伸直且無拉力，細繩水平，當轉(zhuǎn)盤的角速度電還

V3r

時，求物塊對細繩的拉力大小。

水平面圓周運動模型

【模型特點】

由物體的重力與彈力的合力充當向心力，向心力的方向水平。也可以說是其中彈力的水平分力提供向

心力(彈力的豎直分力和重力互為平衡力)

【模型解題】

1、解決圓周運動問題(動力學分析)的主要步驟

(1)審清題意，確定研究對象;明確物體做圓周運動的平面是至關重要的一環(huán).

(2)分析物體的運動情況，即物體的線速度、角速度、周期、軌道平面、圓心、半徑等;

(4)分析物體的受力情況，畫出受力示意圖，確定向心力的來源；

(4)根據(jù)牛頓運動定律及向心力公式列方程.

3、用極限法分析圓周運動的臨界問題

(1)有些題目中有“剛好”、“恰好”、“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點.

(2)若題目中有“取值范圍”、“多長時間”、“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，

而這些起止點往往就是臨界狀態(tài)，

(3)若題目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這些極值點

也往往是臨界狀態(tài).

【模型訓練】

【例1】如圖所示，水平圓盤半徑為凡可視為質(zhì)點的物塊A在圓盤邊緣處，與圓盤一起圍繞過圓心。的

豎直軸勻速轉(zhuǎn)動。某時刻在。的正上方有一個可視為質(zhì)點的小球以初速度v沿0A方向水平拋出。若小球

直接擊中物塊A,重力加速度為g,不計空氣阻力。則下列說法正確的是()

A.物塊A處于平衡狀態(tài)

B.物塊A所受摩擦力恒定

小球拋出時距離。點的高度一定為再

C.

2V2

圓盤轉(zhuǎn)動角速度大小一定為冬

D.

R

【答案】C

【詳解】AB.物塊A與圓盤一起圍繞過圓心。的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，指向圓心的靜摩擦力提供向心力，處于

非平衡狀態(tài)，A錯誤，B錯誤；

C.小球做平拋運動，小球在水平方向上做勻速直線運動，則平拋運動的時間

R

t=一

v

豎直方向做自由落體運動，則小球拋出時距。的高度

22V2

C正確；

D.根據(jù)

cot=2mi

得圓盤轉(zhuǎn)動的角速度

2n7iInTiv/-、

a）=---=-----（〃=1、2、3...）

tR

D錯誤。

故選Co

變式1.1（多選）半徑R=lm的水平圓盤繞過圓心。的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，4為圓盤邊緣上一點，在。點的

正上方將一個可視為質(zhì)點的小球以4m/s的速度水平拋出，半徑04方向恰好與該初速度的方向相同，如圖

所示。若小球與圓盤只碰一次，且落在4點,則圓盤轉(zhuǎn)動的角速度大小不可能是（）

t

A.2nrad/sB.Anrad/sC.6TIrad/sD.8兀rad/s

【答案】ABC

【詳解】小球平拋運動的時間

t=—=0.25s

%

小球平拋運動的時間和圓盤轉(zhuǎn)動的時間相等,則有

t=nT金

CO

解得

co=-----(n=1,2,3??,)

當〃=1時，co=8;rrad/s,當〃=2時，co=16^rad/s,隨著〃增大，①增大，故ABC不可能，D可能。

故選ABCo

變式1.2（多選）半徑為R的水平圓盤繞過圓心。的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，4為圓盤邊緣上一點，在。的正上

方有一個可視為質(zhì)點的小球以初速度v水平拋出時，半徑恰好與v的方向相同，如圖所示，若要使小球

與圓盤只碰一次，且落在4,重力加速度為g,則圓盤轉(zhuǎn)動的角速度可能為（）

571V7TV671V

A.——B.—C.—D.——

R6RRR

【答案】CD

【詳解】小球做平拋運動，在水平方向上做勻速直線運動，則運動的時間為

R

v

小球與圓盤只碰一次，且落在4點，滿足

cot=271n(n=1,2,3…)

聯(lián)立解得

2n兀2n7iv(.

co------=-------5=123…)

tR

CD正確。

故選CDo

【例2】如圖所示，甲、乙、丙三個物塊放在水平轉(zhuǎn)盤上，隨轉(zhuǎn)盤一起繞中心軸做勻速圓周運動，甲、乙、

丙的質(zhì)量分別為加、2m、4m,離中心軸的距離分別為「、r、"，與轉(zhuǎn)盤的動摩擦因數(shù)分別為0.4、0.2、

0.2,當轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度增大，最先滑動的物塊是（）

A.甲物塊B.乙物塊C.丙物塊D.乙物塊和丙物塊

【答案】C

【詳解】當物塊剛好要滑動時，由

/jmg=mrco1

得

3=

r

則

箍1修

一

r

因此最先滑動的是丙物塊。

故選C。

變式2.1如圖所示，水平放置的圓盤繞過圓心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，質(zhì)量分別為加心%的物塊A、B（均視

為質(zhì)點）放置在圓盤上隨圓盤一起做勻速圓周運動的半徑分別為〃、%,與圓盤間的動摩擦因數(shù)分別為出、

4，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，現(xiàn)使轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速逐漸緩慢增大，則A比5先滑動的條件一定是（）

A.mA<mBB.均＜得c.〃箱<〃外D.〃,再<4〃

【答案】D

【詳解】A.由牛頓第二定律與圓周運動規(guī)律：當A剛要相對圓盤滑動時

1n

=A

當B剛要相對圓盤滑動時

eg=

可得

如女，叫3

rArB

兩物塊相對圓盤開始滑動的臨界角速度與質(zhì)量在4、無關，A錯誤;

BCD.當A比3先滑動時，則有

%<%

即

%g<

rArB

整理可得

也八<見心

故BC錯誤，D正確。

故選D。

變式2.2水平轉(zhuǎn)臺兩個質(zhì)量相等的物體A和B,A、B與轉(zhuǎn)軸距離分別為廠、2廠，當轉(zhuǎn)盤和物塊繞豎直轉(zhuǎn)軸

勻速轉(zhuǎn)動時，物塊與轉(zhuǎn)盤始終保持相對靜止（）

A.A線速度比B線速度大B.A角速度比B角速度大

C.當轉(zhuǎn)速增大時，A比B先滑動D.當轉(zhuǎn)速增大時，B比A先滑動

【答案】D

【詳解】AB.兩物塊隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動,角速度相等，由v=可知，因B的轉(zhuǎn)動半徑大，則B的線速度比

A的線速度大，故AB均錯誤;

CD.當物塊隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動即將相對滑動時，由最大靜摩擦力提供向心力，有

〃機g=mctTr

可知臨界角速度為

(D=

因B的轉(zhuǎn)動半徑大，則B物體的臨界角速度較小，即B比A先滑動，故C錯誤，D正確。

故選D。

【例3】如圖所示，質(zhì)量均為加的a、6兩小球用不可伸長的等長輕質(zhì)繩子懸掛起來，使小球。在豎直平面

內(nèi)來回擺動，小球b在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，連接小球6的繩子與豎直方向的夾角和小球。擺動時繩

子偏離豎直方向的最大夾角都為仇重力加速度為g,則下列說法正確的是（）

A.a、6兩小球都是所受合外力充當向心力

B.a、b兩小球圓周運動的半徑之比為tan。

C.6小球受到的繩子拉力為胃

cost/

D.。小球運動到最高點時受到的繩子拉力為加gsin。

【答案】C

【詳解】A.分析可知，a小球在最低點時由重力與繩子拉力的合力提供向心力，而在下落或上升過程中均

由重力沿著與繩中拉力方向相反的分力和繩中拉力的合力提供向心力，而6小球運動過程中，向心力由重

力與繩中拉力的合力提供，故A錯誤;

B.將小球看成質(zhì)點，則?小球做圓周運動的半徑為繩長/,6小球做圓周運動的半徑為/sin。，則可得

4=/=1

rb/sin6sin0

故B錯誤;

C.對6小球受力分析如圖所示

由此可得

故C正確;

D.對。小球在最高點受力分析如圖所示

當小球運動至最高點時速度為零，沿著繩子的方向合力為零，此時有

T=mgcos0

故D錯誤。

故選C。

變式3.1如圖所示，質(zhì)量為小的小球用不可伸長的輕繩懸于8點，現(xiàn)使小球在水平面內(nèi)做以。為圓心的勻

速圓周運動，若小球穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時繩子與豎直方向的夾角為0,重力加速度為g,則（）

A.小球的加速度保持不變

B.小球受到的合外力為零

C.小球做勻速圓周運動需要的向心力為agsin。

D.只要圓錐擺的高度08相同，小球運動的周期時間一定相等

【答案】D

【詳解】A.小球的加速度大小保持不變，但是方向不斷變化，選項A錯誤;

B.小球做勻速圓周運動，則受到的合外力不為零，選項B錯誤；

C.小球做勻速圓周運動需要的向心力為加gtan。，選項C錯誤；

D.根據(jù)

47r2

mgtan0=m亍-Lsin9

可得

即只要圓錐擺的高度05相同，小球運動的周期時間一定相等，選項D正確。

故選D。

變式3.2水平面上固定一半球形的玻璃器皿，器皿的軸呈豎直狀態(tài)，在距離軸心不同的位置，有兩個質(zhì)量

相同的光滑小球。、6做勻速圓周運動，軌道平面均水平。則有關各物理量的關系，下列說法正確的是（）

b

A.6對玻璃器皿的壓力大B.6做勻速圓周運動的周期大

C.6做勻速圓周運動的角速度大D.兩球的向心加速度相等

【答案】B

【詳解】A.小球在半球形容器內(nèi)做勻速圓周運動，圓心在水平面內(nèi)，受到自身重力加g和內(nèi)壁的彈力N,

合力方向指向半球形的球心。受力如圖，有幾何關系可知

N=W

COS0

設球體半徑為R,則圓周運動的半徑為7?sin0,向心力

mgtanQ=mRsinOco2=ma

得到角速度

向心加速度

a=gtanQ

小球。的彈力和豎直方向夾角。大，所以。對內(nèi)壁的壓力大，故A錯誤;

C.由上分析得a的角速度大，故C錯誤；

B凋期

2兀

1二--

3

則a的周期小，故B正確；

D.由上分析得。的向心加速度大，故D錯誤。

故選B。

【例4】如圖所示，有一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動的水平圓盤，原長為2、勁度系數(shù)為左的輕彈簧一端固定于軸

。上，另一端連接質(zhì)量為優(yōu)的小物塊N。當圓盤靜止時，把彈簧拉長后將物塊放在圓盤上，使物塊能保持

靜止的彈簧的最大長度為當，已知最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，轉(zhuǎn)動過程中彈簧伸長始終在彈性

4

限度內(nèi)，貝I」：

(1)若開始時彈簧處于原長工時，當圓盤的角速度為多大時，物塊/將開始滑動？

(2)若物塊與圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動的周期外=2萬欄，物塊恰好不受摩擦力作用，此時彈簧的伸長量刈為

多大？

(3)若彈簧的長度4=冷時，物塊與圓盤能一起勻速轉(zhuǎn)動，試求轉(zhuǎn)動角速度的可能值。

上

__________尸_kwwwwTTA

【答案】⑴修;(2)4；(3)、匹匹

V4m2y6m\2m

【詳解】(1)開始時物塊處于靜止狀態(tài)，根據(jù)平衡條件

jumg=

圓盤開始轉(zhuǎn)動時，A所受靜摩擦力提供向心力，若滑塊不滑動，則有

pmg>mLaig

當最大靜摩擦力提供向心力時，物塊開始滑動，則有

jumg=mLa)l

聯(lián)立解得圓盤的角速度為

rr

(2)設彈簧伸長X2,則有

=^1—1{L+x2)

聯(lián)立解得

L

X、——

2

(3)當角速度最小時，摩擦力的方向與彈簧的拉力方向相反,則

17r3L

—-jumg=m-c

解得

CD=

X6m

當角速度最大時，摩擦力的方向與彈簧的彈力的方向相同，則

解得

k

C（）=

22m

所以角速度需要滿足

k

6m2m

變式4.1如圖所示，圓盤可繞過圓心。的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，物體P放在圓盤上，一輕質(zhì)

彈簧一端連接物體P,另一端固定在豎直軸上。已知物體的質(zhì)量加=0.5kg,彈簧的自然長度10cm,勁

度系數(shù)4=75N/m,物體與圓盤表面的動摩擦因數(shù)〃=0.8,P可看作質(zhì)點，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,

g取lOm/s,當圓盤以角速度o=5&rad/s轉(zhuǎn)動時，P與圓盤相對靜止，彈簧恰處于原長位置。求：

（1）此時P對圓盤的作用力都有哪些，各為多大？

（2）保持圓盤角速度o=5Crad/s不變，為使P與圓盤保持相對靜止，彈簧長度的取值范圍多大？（假設

彈簧均未超出彈性限度）

【答案】（1）P對圓盤的壓力大小為5N,對圓盤的靜摩擦力大小為2.5N；（2）7cm</<23cm

【詳解】（1）當圓盤以角速度。=5后rad/s轉(zhuǎn)動時，P與圓盤相對靜止，彈簧恰處于原長位置，P受力如圖

所示

'N

mg

豎直方向根據(jù)受力平衡可得

N=mg=0.5x1ON=5N

水平方向根據(jù)牛頓第二定律可得

耳=皿0%=05x(50)2XO.1N=2.5N

根據(jù)牛頓第三定律可知，P對圓盤的壓力大小為5N,對圓盤的靜摩擦力大小為2.5N。

(2)當彈簧處于壓縮狀態(tài)，P受到指向圓心的最大靜摩擦力時，設此時彈簧的壓縮量為4，則有

^-kx^moy^-x^

聯(lián)立解得

xx=3cm

對應彈簧的長度為

4=/0一再=7cm

當彈簧處于伸長狀態(tài)，P受到背向圓心的最大靜摩擦力時，設此時彈簧的伸長量為々，則有

聯(lián)立解得

x2=13cm

對應彈簧的長度為

l2=l0+x2=23cm

為使P與圓盤保持相對靜止，彈簧長度的取值范圍為

7cm<1<23cm

變式4.2如圖所示，有一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動的水平圓盤，上面放置勁度系數(shù)左=46N/m的彈簧，彈簧的一

端固定于軸0上，另一端連接質(zhì)量加=LOkg的小物塊A,物塊與盤間的動摩擦因數(shù)〃=0.20,開始時彈簧

未發(fā)生形變，長度/。=0.50m,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g=10m/s2。貝!］：

(1)當圓盤的轉(zhuǎn)動周期7=6.28s時，物塊在初始位置與圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動，求物塊受到的向心力大小P；

(2)圓盤的角速度多大時，物塊A將開始滑動？

(3)當圓盤角速度緩慢地增加到4.0rad/s時，彈簧的伸長量是多少？(彈簧始終在彈性限度內(nèi)且物塊未脫

離圓盤)

____檸__IA

【答案】(1)0.5N；(2)2.0rad/s；(3)0.20m

【詳解】(1)有向心力公式可得

4%2

F=m^~lo

解得

F=0.5N

(2)設轉(zhuǎn)盤的角速度為。時，物塊A開始滑動，則可得

2

/Mig=ma)l0

解得

CD=\^-=2.0rad/s

VI。

(3)設此時彈簧伸長量為Ax,可得

2

jumg+后Ax=ma>(/0+Ax)

解得

Ax=0.20m

【例5】如圖所示，餐桌中心是一個半徑為r=1.5m的圓盤，圓盤可繞中心軸轉(zhuǎn)動，近似認為圓盤與餐桌

在同一水平面內(nèi)且兩者之間的間隙可忽略不計。已知放置在圓盤邊緣的小物體與圓盤間的動摩擦因數(shù)為"/

=0.6,與餐桌間的動摩擦因數(shù)為〃2=0.225,餐桌離地面的高度為〃=0.8m。設小物體與圓盤以及餐桌之間

的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10m/s2。

(1)緩慢增大圓盤的角速度，物體從圓盤上甩出，為使物體不滑落到地面上，餐桌半徑R的最小值為多大？

(2)若餐桌的半徑尺，=血.，則在圓盤角速度緩慢增大時，物體從圓盤上被甩出后滑落到地面上的位置到

從圓盤甩出點的水平距離L為多少？

【答案】(1)2.5m；(2)2.1m

【詳解】(1)由題意可得，當物體滑到餐桌邊緣時速度恰好減為零,對應半徑最小，設物體在餐桌上滑動

的位移為s,物體在餐桌上做勻減速運動的加速度為0,則

/

m

f=〃2〃晦

解得

a=2.25m/s2

物體在餐桌上滑動的初速度為

v0=6yr=3m/s

可得

0-=—2as

解得

s=2m

因此由幾何關系可得

R=J/+§2-2.5m

（2）設餐桌上滑動的末速度為v；,由題意可得

2

V?！獀0=-las'

由于餐桌半徑為

所以

s=r=1.5m

可得

v't=1.5m/s

物體做平拋運動時間為f,則

712

h=2gt'

sx=v'tt=0.6m

L=s'+s*

解得

￡=2.1m

變式5.1現(xiàn)在的餐桌多用團圓桌，如圖餐桌上放一半徑為尸1.2m可繞中心軸轉(zhuǎn)動的電動圓盤，近似認為餐

桌與圓盤在同一水平面內(nèi)，忽略兩者之間的間隙。將a=0.6kg某餐盤放置在圓盤邊緣，該餐盤與圓盤的動

摩擦因數(shù)為〃=0.75,設餐盤與圓盤之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。重力加速度g取10m/s2,求：

(1)當圓盤以〃=2r/min的轉(zhuǎn)速緩慢轉(zhuǎn)動時，物體受到的靜摩擦力大小(乃2=1。)；

(2)緩慢增大圓盤的轉(zhuǎn)速，物體從圓盤上剛好甩出時圓盤的角速度。

【答案】(1)3.2x10"；(2)2.5rad/s

【詳解】(1)依題意，當圓盤以"=2r/min的轉(zhuǎn)速緩慢轉(zhuǎn)動時，可得

==-rad/s

15

則物體受到的靜摩擦力大小

2

y#=zW=3.2xlO-N

(2)緩慢增大圓盤的轉(zhuǎn)速，物體從圓盤上剛好甩出時，有

2

fm="mg=ma)r

可得此時圓盤的角速度

co=■=2.5rad/s

變式5.2如圖所示，某餐廳的餐桌采用的是電動餐桌，其中心是一個在電動機帶動下可以勻速轉(zhuǎn)動、半徑

為R的圓盤，圓盤與餐桌在同一水平面上，放置在圓盤邊緣的小瓷碟與圓盤間的動摩擦因數(shù)為0.5,與餐桌

間的動摩擦因數(shù)為0.25,餐桌高也為R.設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，瓷碟的大小不計，重力加速度

為g.

小

(1)為使瓷碟不滑到餐桌上，圓盤的角速度3的最大值為多少？

(2)緩慢增大圓盤的角速度.瓷碟從圓盤上甩出，為使瓷碟不滑落到地面，餐桌半徑4的最小值為多大？

(3)若餐桌半徑冬=