廣東省揭陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測(cè)試數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知全集。="€仇,》<6},4={2,3,4},8={1,3,5},則（轉(zhuǎn)）1A=（）

A.{1,2}B.{2,4}C.{L2,4}D.{2,4,5}

2.若x,yeR,則“龍〉y”的一個(gè)充分不必要條件可以是（）

?X

A.x-y>lB.x-y>0C.->1D.I^Alyl

y

3.有下列一組數(shù)據(jù)：2,17,33,15,11,42,34,13,22,則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是（）

A.11B.13C.22D.33

4.已知偶函數(shù)在區(qū)間。+8）上單調(diào)遞增，則滿足/。+1）</（2）的X的取值范圍是（）

A.（-oo,l）B.（-U）C.（-3,1）D.（—4]

2

5.已知正三棱柱ABC-AgG的棱長(zhǎng)均為了。為441的中點(diǎn)，則四面體A38的體積為（）

AV3R2后6N2A/3

81812727

11,1

6.已知函數(shù)/（尤）=2￡+無一5,80）=炮工+無一5，〃（尤）=/+_1-5的零點(diǎn)分別為°,瓦（?，貝I]

。，瓦c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

7.已知命題P：±eR,亦2+2辦+3NO為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.RB.{a|a>0}C.{4。<0或a>3}D.{*>3}

8.在2025揭陽(yáng)馬拉松比賽活動(dòng)中，四位志愿者A,B,C,D被隨機(jī)分配到四個(gè)物資發(fā)放點(diǎn)（站

點(diǎn)1-4）,每人原屬站點(diǎn)分別為Afl,Bf2,Cf3,Df4.規(guī)定每人不能分配到原屬站點(diǎn)，

則志愿者A被分配到站點(diǎn)4的概率是（）

二、多選題

9.如圖，在平行四邊形ABC。中，E,E分別是。邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確

的有()

A.EF=-ABB.AF=-AD+-ACC.BE=CB-CE

333?

D.AD+DC=AB+BC

10.設(shè)函數(shù)/(x)=cosx-指sinx,則下列結(jié)論正確的是()

A.-2兀是的一個(gè)周期B./(x)的圖象關(guān)于直線x=9對(duì)稱

6

TTD.在區(qū)間[小j上單調(diào)遞減

c./(X+兀)的一個(gè)零點(diǎn)為x=/

0

11.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù),/(無+D是偶函數(shù)，當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=77+

x,則下列說法中正確的有()

A.4是/(x)的一個(gè)周期B./(無)的圖象關(guān)于直線尤=2對(duì)稱

2025

c.*(i)=2D.方程方幻=叩引恰有8不同的實(shí)數(shù)根

三、填空題

12.已知隨機(jī)事件A8,C,A和3互斥，3和C對(duì)立，且尸(A+3)=0.7,尸(A)=0.3,貝|

P(O=.

13.已知函數(shù)/(元)J1**/，若g(無)=〃》)/只有一個(gè)零點(diǎn)，則％的取值范圍

[-2+Inx,x>0,

是.

14.已知A民C￡>四點(diǎn)都在體積為學(xué)兀的球。的表面上，若是球。的直徑，且BC=3,

ZBAC=150°,則三棱錐A-8CD體積的最大值為.

四、解答題

15.已知VABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,有余弦定理:

a?=b2+c2-2Z?ccosA,

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

b2=a2+c2-2accosB,

c2=a1+b2—labcosC■

(1)在上面三個(gè)等式中，任選一個(gè)等式進(jìn)行證明；

(2)若4==，b=6，asinA=5A/3sinB-2sinC,求VABC的面積.

16.潮汕英歌舞以其動(dòng)作剛勁有力，節(jié)奏感強(qiáng)的特色，備受人們喜愛.某校組織英歌隊(duì)進(jìn)行

訓(xùn)練并作了匯報(bào)表演，為了解訓(xùn)練成果，做了一次問卷調(diào)查，問卷所涉及的問題均量化成對(duì)

應(yīng)的分?jǐn)?shù)(滿分100分)，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份的分?jǐn)?shù)作為樣本，將樣本的分?jǐn)?shù)(成

績(jī)均為不低于50分的整數(shù)且在組內(nèi)均勻分布)分成五段：[50,60),[60,70),..,[90,100],得

到如下所示的頻數(shù)分布表.

樣本分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)10a303010

頻率0.1b0.30.30.1

(1)求頻數(shù)分布表中。和6的值，并估計(jì)樣本成績(jī)的平均數(shù)；

(2)經(jīng)計(jì)算，樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[50,60)內(nèi)的平均數(shù)為56,方差為7；在區(qū)間[60,70)內(nèi)

的平均數(shù)為65,方差為4,求兩組成績(jī)的總平均數(shù)彳和總方差d.

17.如圖，已知A8是圓柱下底面圓的直徑，點(diǎn)C是下底面圓周上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，CD,

BE是圓柱的兩條母線.

E

B

(1)求證：平面ACD_L平面BCOE；

(2)若A3=5,8C=2,圓柱的母線長(zhǎng)為2后，求平面ADE與平面ABC夾角的余弦值.

18.已知函數(shù)/(x)=cos(4x+^J+cos卜x-^J+sin4x+”的最大值為1.

⑴求常數(shù)。的值；

⑵求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(3)設(shè)為,無2為函數(shù)f(x)的兩個(gè)相異零點(diǎn)，求卜-引的最小值.

19.通過平面直角坐標(biāo)系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示向量.類似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)

對(duì)(Z1，Z2)(Z”Z2€C)看作一個(gè)向量，記。=(Z],Z2),稱。為復(fù)向量.類比平面向量的相關(guān)運(yùn)

J

算法則，XtFa=(z1,z2),Z2=(z3,z4),z1,z2,z3,z4,2eC,我們有如下運(yùn)算法則：①

a+Z?=(z1+z3,z2+z4),a-Z7=(z1-z3,z2-z4)；(2)Aa=(/Lz1,Az2');(§)a-b=zlz3+z2z4；④

|a|=1a-a-

(l)iSa=(1,2—i),Z>=(1+i,1—2i),求a.6和Ia+:|;

⑵類比平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律，得出復(fù)向量的一個(gè)相關(guān)結(jié)論：a\b+c)=a-b+a-c,

判斷上述結(jié)論是否正確，并說明理由；

(3)設(shè)a=(3+3i,3),集合。="2=(z”Z2),Z2=Z]+3,Z],Z2，求|q-b|的最小值，

并證明當(dāng)|a-b|取最小值時(shí)，對(duì)于任意的ceQ,(a-Z?)-(/?-c)=0.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《廣東省揭陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BADCABABABDAC

題號(hào)11

答案ACD

1.B

【分析】根據(jù)題意先求出自2,再根據(jù)交集的定義即可求得（句3）A的答案.

【詳解】依題意。=口，2,3,4,5},所以”={2,4},所以&B）cA={2,4}.

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)橛?>>1,所以x>y+l>y,即

當(dāng)龍〉y時(shí)，取x=2.5,y=2,貝Ijx-ycl,

所以“無->>1”是“x>y”的一個(gè)充分不必要條件，故A正確；

對(duì)于B,x-y>0即x>y,"x-y>0”是“x>y”的充要條件，故B錯(cuò)誤；

%

對(duì)于C,由一>1,取光=-2?=-1,則xvy,

y

由元〉y,?。?l,y=—2,則一<1,

y

Y

所以“7>i”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由取x=-2,y=l,貝!|x<y,

由x>y,取x=l,y=-2,則|x|<|y|,

所以“IxAlvl”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)題意，由百分位數(shù)定義計(jì)算即可求解.

【詳解】該組數(shù)據(jù)從小到大排列為2,11,13,15,17,22,33,34,42,共有9個(gè)數(shù)據(jù),

由題意且9x0.75=6.75,

則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是從小到大排列的第7個(gè)數(shù)，即33.故D正確.

故選:D.

4.C

答案第1頁(yè)，共10頁(yè)

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性列絕對(duì)值不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)?（X）為偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞增，則f（x）在區(qū)間（-8,0］上單調(diào)遞

減，

而〃尤+1）</（2）,則|r+l|<2,所以—3<x<l.

故選：C.

5.A

【分析】根據(jù)棱錐及棱柱的體積公式計(jì)算求解.

2

【詳解】如圖所示，幾何體A5C-AAG為正三棱柱，且所有棱長(zhǎng)均為：，

則匕棱錐令58=咚棱柱ABC-AB1G-%棱鴨-84GC一Z棱錐DTBC

12A/32122A/3112A/3173

=—X—X-------X-------------X—X—X----------------X—X—X--------X—=--------.

233333333233381

故選:A.

6.B

【分析】根據(jù)題意分別作出函數(shù)y=2',y=lgx,y=x3及y=-x+；的圖象，即可求解.

【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2*,y=lg尤,y=/及>=_天+；的圖象,

如圖所示.

由圖象可知故B正確.

故選:B.

答案第2頁(yè)，共10頁(yè)

7.A

【分析】對(duì)實(shí)數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，當(dāng)〃=0或?！?時(shí)，直接驗(yàn)證即可；當(dāng)。<。時(shí)，結(jié)

合二次不等式能成立可得出關(guān)于實(shí)數(shù)，的不等式，解之即可.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，3>0成立；

當(dāng)。>0時(shí)，拋物線>=〃%2+2以+3開口向上，成立；

當(dāng)avO時(shí)，由A=46—12a>0,得或a>3,所以avO.

綜上所述，acR.

故選：A.

8.B

【分析】A必然在站點(diǎn)2,3,4中的某一個(gè)的機(jī)會(huì)均等，可求得志愿者A被分配到站點(diǎn)4的

概率.

【詳解1A被分配到站點(diǎn)4與被分配到站點(diǎn)2和站點(diǎn)3的機(jī)會(huì)是相等的，且A必然在站點(diǎn)2,

3,4中的某一個(gè)，則A在站點(diǎn)2,3,4中的概率都是g.

故選：B.

9.ABD

【分析】根據(jù)向量的線性關(guān)系及加減法計(jì)算求解判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,由題意知，E,尸分別是C。邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且石尸與AB方向相同，

則跖故A正確；

對(duì)于B,AF=AD+DF=AD+-DC=AD+-(AC-AD)=-AD+-AC,故B正確；

33、'33

對(duì)于C,CB-CE=EB,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,AD+DC=AC,AB+BC=AC,所以A￡>+DC=AB+，故D正確.

故選:ABD.

10.AC

【分析】化簡(jiǎn)f(x)的解析，根據(jù)三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、零點(diǎn)、單調(diào)性等知識(shí)求得正

確答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)7(x)=cosx-6sinx=2cos[+m],所以它的一個(gè)周期為-2無，故A正

確；

答案第3頁(yè)，共10頁(yè)

令X=j求得〃X)=。，故B錯(cuò)誤；

6

/(x+7l)=2COS[x+兀+=_2cos(x+方),令x=瑩,

求得了([+兀)=—2cos[m+g]=0,故/。+兀)的一個(gè)零點(diǎn)為％=3,故C正確；

63/6

當(dāng)xe(方兀)時(shí)，而函數(shù)y=cosx在[二,無]上單調(diào)遞減，

在[節(jié)上單調(diào)遞增，所以在[卜]上沒有單調(diào)性，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合奇偶性計(jì)算求解周期判斷A,應(yīng)用對(duì)稱中心定義判斷B,應(yīng)

用周期性求函數(shù)值判斷C,畫出圖象結(jié)合數(shù)形結(jié)合判斷交點(diǎn)判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)間(x)=/(x+D是偶函數(shù)，所以g(-x)=g(x),即〃1一同=〃1+尤)，

/(2+x)=/(1-(1+%))=/(-%)=-/(%),/(x+4)=-f(x+2)=-(-/(%))=/(%),

即/(尤)的周期T=4,故A正確；

對(duì)于B,由A得以4-x)=/(-x)=-f(x),函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)榈闹芷?=4,"0)=0,貝1/(4)=0

當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=?+x,則/(1)=2,

由/(f)=/(x+2),令x=0則"2)=0,令片1則〃3)=/(_1)=_/(1)=_2,

2025

所以￡/(0=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(I)=2,故C正確；

Z=1

對(duì)于D,作出函數(shù)＞=/(元)與函數(shù)、=山忖的圖象，如圖.

所以曲線＞=/(尤)與y=ln|x|有8個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

故選:ACD.

3

12.0.6/-

5

答案第4頁(yè)，共10頁(yè)

【分析】利用互斥事件和對(duì)立事件的概率公式求解即可.

【詳解】隨機(jī)事件A和8互斥，，P(A+8)=P(A)+尸(8),則尸(B)=0.7-0.3=0.4.

X-B和C對(duì)立，，P(C)=1-P(B)=0.6.

故答案為：06

13.(-00,-4)

【分析】問題化為函數(shù)y=f(x)和＞=左，作出＞=/(幻與了=上的圖象，數(shù)形結(jié)合確定參數(shù)

范圍即可.

【詳解】函數(shù)g(無)=/(尤)-后只有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)^=/(尤)和、=左只有一個(gè)交點(diǎn)，

作出、=/(＞)與，=上的圖象，如圖所示.由圖象可知，

當(dāng)g(x)=f{x)-k只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)上的取值范圍為(-8,-4).

故答案為：(-8,-4).

14.6(2-73)

【分析】設(shè)VABC的外接圓半徑為廣，圓心為?！父鶕?jù)正弦定理可求廣，根據(jù)幾何關(guān)系可求

O到平面A8C的距離為定值，當(dāng)VABC面積最大時(shí)，三棱錐A-BCD體積最大，利用余弦

定理、基本不等式、三角形面積公式可求VABC面積的最大值，即可得解.

【詳解】設(shè)球。的半徑為R,因?yàn)榍?。的體積為學(xué)無，故乎無=?兀&,解得R=5,

BC=3,ABAC=150°,設(shè)VABC的外接圓半徑為r,圓心為。1，

3

根據(jù)正弦定理知，——7=2r,即r=3,

sin150

222

OOX='OB2_O\B=V5-3=4,

AD是球。的直徑，。是A。的中點(diǎn)，

點(diǎn)D到平面ABC的距離為20a=8,

答案第5頁(yè)，共10頁(yè)

在NABC中，根據(jù)余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC,

即9=AB2+AC2+-J3AB-AC>2AB-AC+^AB-AC,

AB-AC<9（2-y/3）,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)，等號(hào)成立，

ABC的面積5.鉆0=；42.40，$皿/2404：*9（2-6?|=\（2-逝）,

，三棱錐A—3c。體積的最大值V=gx：（2-括）x8=6（2-百）.

故答案為：6（2-73）.

15.（1）證明見解析

⑵6

【分析】（1）設(shè)A2=c，AC=b-2C=a，根據(jù)平面向量的減法可得出a=6-c，再結(jié)合

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

（2）由正弦定理結(jié)合余弦定理可得出關(guān)于c的方程，解出c的值，再結(jié)合三角形的面積公

式可求得VABC的面積.

【詳解】（1）如圖，在VABC中，設(shè)AB=c，AC=b,Bt=a，則a=6-c，

所以q2=(b-c)=Z?2+c2-2Z?-c=|/>|+|c|2-2|z?|-|c|cosA,即/=/_26ccosA.

同理可得b2—a2+c2—2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.

(2)由asinA=54sin8-2sinC及正弦定理得/=5屈-2c,所以〃=15-2c.

由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?ccosA=3+c2-3c,

聯(lián)立方程組整理，^c2-c-12=0,所以c=4或c=-3(舍去).

答案第6頁(yè)，共10頁(yè)

所以S/VIBC=gbcsinA=；x6x4x^^=道.

16.(l)a=20,6=0.2；76；

(2)總平均數(shù)是62,總方差是23.

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得。力，結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解；

(2)根據(jù)分層抽樣的分法，得到分?jǐn)?shù)在[50,60)和[60,70)的人數(shù)，結(jié)合分層抽樣的方差的

計(jì)算方法，即可求解.

【詳解】(1)由10+4+30+30+10=100,

角牟得a=20,則6=0.2,

平均數(shù)的估計(jì)值為55x0.1+65x0.2+75*0.3+85*0.3+95*0.1=76.

(2)由表可知，分?jǐn)?shù)在區(qū)間[50,60)內(nèi)的頻數(shù)為10,在區(qū)間[60,70)內(nèi)的頻數(shù)為20,

故兩組成績(jī)的總平均數(shù)z=—x56+-^―x65=62,

10+2010+20

兩組成績(jī)的總方差r=—^—[7+(56-62)2]+[4+(65-62)2]=23.

_LV/IZJ\JJ.I

所以兩組成績(jī)的總平均數(shù)是62,總方差是23.

17.(1)證明見解析

⑵耳

【分析】(1)先證明線面垂直，通過線面垂直得到線線垂直，再證線面垂直，最后得到面面

垂直即可；

(2)先作出底面的垂線，再由垂足作兩個(gè)面的交線的垂線，最后連接交線的垂足與斜足構(gòu)

成二面角的平面角求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)锳B是底面圓的一條直徑，C是下底面圓周上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，

所以AC_LBC,

又因?yàn)椤Ｊ菆A柱的一條母線，所以CD底面ABC,

而ACu底面ABC,所以CD_LAC,

因?yàn)镃Du平面8C￡>E,8Cu平面BCDE,且CDc3C=C,

所以AC_L平面BCDE,

又因?yàn)锳Cu平面AC。，所以平面ACD_L平面8CDE.

(2)如圖所示，過點(diǎn)A作圓柱的母線AM,連接。M,EM.

答案第7頁(yè)，共10頁(yè)

D

因?yàn)榈酌鍭BC〃底面DME,所以即求平面AOE與平面QME的夾角.

因?yàn)镸,E在底面ABC的射影為A,B,且AB為下底面圓的直徑，

所以為上底面圓的直徑，

因?yàn)锳M是圓柱的母線，所以平面0WE,

因?yàn)?。Eu平面。ME,所以

又因?yàn)闉樯系酌鎴A的直徑，所以ME>_LDE,

因?yàn)槠矫鍭AQ,A〃cO"=M,所以。E_L平面AM。，

因?yàn)锳Du平面AMD,所以DE1AD,又因?yàn)槠矫鍭DE平面DME=DE,

所以NMZM為平面ADE與平面DME的夾角,

又因?yàn)镺在底面ABC的射影為C,所以O(shè)E=BC=2,ME=AB=5,

所以AM=萬一于=01，又因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為2石，所以AM=2A/L

又因?yàn)锳〃_L平面DWE.DMU平面QME,所以

所以AD=J(2拘2+(庖>=733,

所以ccs/MDA=%=也,

V3311

即平面AOE與平面ABC夾角的余弦值為顯.

11

18.⑴a=—1

【分析】(1)先應(yīng)用兩角和差的余弦公式結(jié)合輔助角公式計(jì)算化簡(jiǎn)，再結(jié)合值域列式求參;

(2)應(yīng)用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間列式計(jì)算求解；

(3)根據(jù)已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)結(jié)合特殊值列式，再根據(jù)不等式性質(zhì)求解最小值.

答案第8頁(yè)，共10頁(yè)

[詳解](1)fM-cos14x+6)+cos[4X—6]+sin4x+a

=2cos4xcos瑩+sin4x+a=V3cos4x+sin4x+a

=2sin4x+—+Q.

I3j

因?yàn)?(X)max=2+Q=l,所以々=-1.

(2)由(1)知，/(x)=2sin^4x+|j-l,

TTTT37r

令一+2hi<4x+—<-----1-2kn,keZ,

232

kjt77Lkit

解得上+——<x<-------1-------,kwZ

2242

jrKTT77TKIT

所以函數(shù)〃元)的單調(diào)遞減區(qū)間為—+—伏eZ).

(3)^>/(x)=2sinf4x+yj-l=0,得sin[4x+]J=；,

￡

因?yàn)樵?馬為/(X)的兩個(gè)相異零點(diǎn)，所以sin］你+升

2

7L7L7C7C

①4玉H———F2左]兀,4々———F2左2兀,k],kz￡Z,且勺w內(nèi),

3636

_.兀57r-j.7i57r_77,_,7.

4X|H——--F2^|71,——----F2&兀,k，卜2wZ,目-k1豐k?,

3636

此時(shí)|石—Z|，丁二耳?

/7171~，71571CT,R

(2)4玉H———F2k[7i,k]GZ,49—=---F2左2兀k2wZ,

3636

71CT[J71cT