命題與量詞

1.命題

能夠判斷真鍛的陳述語句叫做命題.其中判斷為真的語句叫真命題,判斷為假的語句叫假命題.

判斷一個語句是不是命題，就看它是否符合“陳述句”和““可判斷”這兩個條件.

2.全稱量詞與存在量詞

⑴常見的全稱量詞：“任意”“所有”“每一個”等表示所述事物的全體，用符號“V”表示；

(2)常見的存在量詞：“存在”“有”“至少有一個”等表示所述事物的個體或部分，用符號2”表示.

3.全稱量詞命題與存在量詞命題

(1)含有全稱量詞的命題叫全稱量詞命題.

全稱量詞命題“對M中的任意一個X,有°0)成立"可用符號簡記為“VxeAf,p(x)”，讀作“對任意x屬于

M,有p(x)成立”.

(2)含有存在量詞的命題叫存在量詞命題(特稱命題).

存在量詞命題“存在M中的一個毛，使M/)成立"可用符號簡記為“王。eM,尸(x。)”,讀作“存在河中元素無。,

使p(x。)成立”(存在量詞命題也叫存在性命題)?

4.命題的否定(“非p”，“？”)

(1)全稱命題的否定是特稱命題；即：VxeM,的否定為“HxwM,

(2)特稱命題的否定是全稱命題.即：HxeM,q(x)的否定為“VxeM,->q(x);

常見的一些詞語和它的否定詞如下表:

原詞語等于(=)大于(>)小于(<)是都是任意至多有一個至多有一個

否定詞語不等于(為小于等于0)大于等于修)不是不都是存在至少有兩個一個都沒有

注意：P或q的否定為：非P且非q；P且q的否定為：非P或非q.

1.對命題的否定形式的理解(判斷)

(1)“有些偶數(shù)能被3整除”的否定是“所有的偶數(shù)都不能被3整除”.N)

(2)命題p3z?oeN,27?o>l000,則f：3?eN,2?<1000.(x)

【解析】p：y?eN,2?<Iooo.

⑶設(shè)xez,集合N是奇數(shù)集，集合8是偶數(shù)集，若命題°：^x&A,2xGB,則中：3xiA,2xiB.(x)

【解析】F：3xEA.2x^B.

(4)已知命題p若x+y>0,則x,y中至少有一個大于0,則“：若工+k。，則X,y中至多有一個大于

0.(x)

【解析】T若x+y>0,則x,y中都不大于0.

考點一命題的概念和判斷

【例1】1.下列語句是命題的是()

①三角形內(nèi)角和等于180。；@2>3；③一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；④x>2；⑤這座山真險??！

A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤

【答案】A

【解析】①②③都是可以判斷真假的陳述句，是命題；x>2無法判斷真假，④不是命題；這座山真險啊!

是感嘆句，⑤不是命題.綜上可得，題中所給語句是命題的是①②③.

2.設(shè)非空集合P,。滿足尸C0=尸，則下列選項正確的是()

A.有xe尸B.Vx史。，有xgP

C.,使得xePD.HxeP,使得xe。

【答案】B

【解析】■-P^Q=P,：.P^Q,當尸呈。時，使得x0走尸，故A錯誤；

,.'Peg,.-.VxeP,必有xeQ,即也隹。，必有x史P,故B正確；

由B正確，得也￡。，必有；.女e0,使得xeP錯誤，即C錯誤；

當戶=2時，不存在無。€尸，使得天仁。，故D錯誤，綜上只有B是正確的.故選：B.

【訓(xùn)練1】1.判斷下列命題的真假：

(1)所有能被6整除的整數(shù)都是3的倍數(shù)；

(2)關(guān)于x的方程ax+A=O(a、3eR)有且只有一個實數(shù)根.

(3)質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；

(4)鈍角三角形的內(nèi)角至少有一個是鈍角；

2

（5）若AnB70,Ancn0,則Bncw。.

【答案】（1）真命題；（2）假命題；（3）假命題；（4）真命題；（5）假命題;

【解析】假命題的判斷可以使用“舉反例法”.若判斷為真命題，則需證明.

2.（多選）下列命題是真命題的是（）

A.若xeZ,那么xeZcBB.若xeZcB,那么xeN

C.若xeZcB,那么xeZuBD.若xeN,那么xe/uB

【答案】BCD

【解析】對于A,xeA,但x可能不屬于B,故A錯誤；

對于B,若xeZcB,則x是A,B公共元素，故B對；

對于C,若xeZcB,則x是A,B公共元素，必xeZuB,故C對；

對于D,若xeN,那么xeZuB,故D對.

考點二命題的真假求參數(shù)

【例2】1.若命題叼x€R,使得N+（a—l）x+l<0”是真命題，則實數(shù)。的取值范圍是

【答案】（—8,—l）U（3,+co）

【解析】??,3XGR,使得V+g—l）x+l<0是真命題，

.?./=（0-1）2—4>0,即（0-1）2>4,“一1>2或0-1<一2,">3或.<一1.

2.已知命題“Vxe[-3,3j—x2+4》+。<0”為假命題，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（―4,+oo）B.（21,+oo）C.（—co,21）D.（一3,+co）

【答案】A

【解析】原命題改成真命題3,3],—》2+4》+。>0”，二?！?。？—《'Im，

一4x在x=2處取最小值為—4,二。的取值范圍是（—4,+<?）.

【訓(xùn)練2】1.“若x>2,則p”為真命題,p不能是（）

A.x>3B.x>1C.x>0D.x>~1

【答案】A

【解析】“若x>2,則廠為真命題，那么?對應(yīng)的范圍應(yīng)該包含x>2,故選A.

2.若命題“VxCR,"2一辦一2豈）”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】[—8,0]

【解析】當。=0時，不等式顯然成立；當a和時，由題意知

比十8a<0,

得一8<a0.綜上，-8<a<0.

3

3.已知命題p：叼X（）ER，使得13+2QX（）+1VO成立”為真命題，則實數(shù)。滿足（）

A.[―1,1）B.（—00,—1）U（1,+co）

C.（1,+oo）D.（—oo,—1）

【答案】B

【解析】叼x（）€R,XG+2QX（）+1VO”是真命題，即不等式N+2ax+1VO有解,

???/=（2〃）2—4>0,得〃>1,即。>1或〃<—1.

4.能說明“若a>6,則工<?”為假命題的一組a,6的值依次為_______.（答案不唯一）

ab

【答案】1-1（答案不唯一）

【解析】使“若。>6,則工<?”為假命題則使“若a>6,則工之J”為真命題即可，

abab

只需取a=1/=-1即可滿足所以滿足條件的一組的值a,b為1,—1

5.若命題尸jTxeR,（左2-1）/+4（1-4）x+3V0”是假命題，則上的取值范圍是（）

A.。，7）B.[1,7)

C.（-7,1）D.（-7,1]

【答案】B

【解析】因為命題“*eR,（42-1）/+4（1-幻工+340”是假命題,

所以命題“VxeR,(^2-1)X2+4(1-A：)X+3>0”是真命題,

若公一二0,即左=1或左=一1,當左=1時，不等式為3>0,恒成立，滿足題意;

當％=-1時，不等式為8x+3>0,不恒成立，不滿足題意;

k2-l>0(左一1)(左+1)>0

當上2-1片0時，則需要滿足即，解得\<k<7,

A=16(l-^)2-4X(^2-1)X3<0(^-1)(^-7)<0

綜上所述，左的范圍是[L7）,故選：B.

考點三含有一個量詞的命題否定（量詞和結(jié)論都要否定）

【例3】1.命題“VXER,/+%_140”的否定是（）

A.3x0GR,XQ+xo-l<OB.3x0eR,%o+x0-1>0

XGX2X

C.VR,+-1>0D.3x0GR,Xg+x0-1>0

4

【答案】B

【解析】由題意可得，“Vx￡R,%2+X—1?0”的否定是七0￡R,x；+/-1>0,故選：B

2.已知命題p：Tx（）C（0,+oo）,XQ>—”,命題夕的否定為命題9，則q是"q的真假為（填

xo

“真”或“假）

【答案】Vxe（0,+oo）,X<-；假

x

【解析】全稱命題的否定為特稱命題，所以命題夕為：VxG（0,+co）,x<—.

X

【訓(xùn)練3】1.已知命題p：1>0,那么「夕是（）

A.Vx>l,x2-l>0B.Vx>l,x2-l<0

C.m%o>l，—1<0D.3xo<l,xi—1<0

【答案】B

【解析】特稱命題的否定為全稱命題，所以「p：Vx>l,x2-l<0,故選B.

2.命題：“對任意左>0,方程N+%—左=。有實根”的否定是.

【答案】存在左>0,使方程N+x—左=0無實根

【解析】將“任意”改為“存在”,“有實根”改為“無實根”，

所以原命題的否定為“存在k>0,使方程x2+x-k=0無實根”.

3.寫出下列命題的否定，并判斷其真假：

1

（l）p：VxGR,X2~X-\■—>0；

4

（2）鄉(xiāng)：所有的正方形都是矩形；

（3）r：m%（）ER,x6+2%o+2<O；

（4）5：至少有一個實數(shù)劭，使日+1=0.

【解析】（1尸夕：3xGR,xi-x（）-\■-<0,假命題.（2）~■1：至少存在一個正方形不是矩形，假命題.

04

⑶T：VxGR,N+2X+2>0,真命題.（4）F：VXGR,X3+1^0,假命題.

4.（24新高考二）已知命題p：VxGR,|x+11〉1；命題03x>0?/%，貝|（）

A.p和q都是真命題B.和q都是真命題

C.夕和一^都是真命題D.-和一^都是真命題

【答案】B

【解析】對于。而言，?。?-1,則有|x+i|=o<i,故。是假命題，「夕是真命題，對于q而言，取

5

x=l,則有X3=F=I=X，故q是真命題，「2是假命題，綜上，可和4都是真命題.故選：B.

充分條件與必要條件

1.充分條件.必要條件與充要條件的概念

若p=q,則〃是〃的充分條件,〃是〃的必要條件

p是q的充分不必要條件p=q且q4P

p是q的必要不充分條件p#q且q今p

p是q的充要條件p0q

p是q的既不充分也不必要條件p/q且q#p

注意：弄清先后順序：“幺的充分不必要條件是夕'是指且Z分8；

而“Z是8的充分不必要條件”則是指且8分出

考點一充分條件.必要條件

【例1】1.若集合P={1,2,3,4},。={鄧）<尤<5,xGR],則下列論斷正確的是（）

A.xG.P是xEQ的充分不必要條件

B.是在0的必要不充分條件

c.xep是在0的充分必要條件

D.正尸是比。的既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】尸為。的真子集，故尸中元素一定在。中，反之不成立.故選A.

2.“力』”是"一元二次方程/+芯+加=0有實數(shù)解”的條件.

4

【答案】充分不必要

【解析】xz+x+加=0有實數(shù)解等價于/=1—4mN0,即m<~.

4

3.已知p：0Vx<1,那么p的一個充分不必要條件是（）

A.Kx<3B.-Kx<l

6

1-,31,-

C.—<x<—D.—<x<5

342

【答案】C

【解析】有題意可得，選項為條件，p為結(jié)論，所以選項范圍要比p范圍小，故C.

規(guī)律方法：判斷。是。的什么條件.需要從兩方面分析：一是由條件夕能否推得條件/二是

由條件q能否推得條件p.

【訓(xùn)練1】1.—>2”是“LL，的_______條件.

x2

【答案】充分不必要

11112~x11

【解析】Y-,則——=——<0,解得XV0或42,所以“x>2”是的充分不必要條件

x2x22xx2

2.設(shè)x〉0,yeR,則“x>y”是,x>|yI”的（）

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】當x=o,y=—1時，滿足x>y但不滿足故由x>o,yeR,貝I]“x>>，，推不出

“x〉|y|,而x>|>|能推出x>y,故“x>y”是“x>|.，的必要而不充分條件.

3.“狽2+bx+c=0（。70）有實根”是“ac<Q”的；

【答案】必要不充分條件

【解析】因為“。/+江+。=0（470）有實根"，所以△=/—4ac20，ac<0不一定成立；但ac<0時,

△=〃-4ac20一定成立，所以“。必+bx+c=0（。H0）有實根”是“ac<0”的必要不充分條件.

4.“四邊形的對角線互相平分”的條件是“四邊形為矩形”；

【答案】充分不必要

【解析】滿足“四邊形的對角線互相平分”是平行四邊形，平行四邊形不一定是矩形，

但矩形一定是平行四邊形，所以“四邊形的對角線互相平分”的充分不必要條件是“四邊形為矩形”；

5.“Z=0”是“幺U8=8”的條件；

【答案】充分不必要

【解析】4=0能推出ZUB=8；但當ZU8=8,A可能為B的真子集，如/={1},8={1,2},

7

所以“Z=0”是“/U8=8”的充分不必要條件.

6.指出A0B是A=B的條件.

【答案】必要不充分

【解析】當A^B時，A,B不一定相等，還可能A是B的子集，如幺={1},8={1,2}；

當A=B時，AcB,綜上所述，A0B是A=B的必要不充分條件.

7.不等式x—』>0成立的一個充分不必要條件是（）

x

A.—l<x<0或x>lB.無<一1或0<無<1

C.x>—1D.x>1

【答案】D

【解析】畫出直線y=x與雙曲線>=）的圖象（圖略），兩圖象的交點為（1,1）,（-1,-1）,

x

依圖知x—l>0時，-l<x<0或x>l,顯然x>lnx—、>0；但x-L>0推不出x>l,故選D.

XXX

8.（19天津理）設(shè)xeR,貝心爐―5x<?！笔恰皘工一1|<1"的（）

A.充分而不必要條件，

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】化簡不等式，可知0<x<5推不出上一1|<1；由W―1|<1能推出0<x<5,

故"X2-5X<0”是“Ix-11<1"的必要不充分條件，故選B.

9.（20天津）設(shè)aeR,則“a>1”是“/>口”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】求解二次不等式片>°可得：或。<0,據(jù)此可知：是力>。的充分不必要條件.

■.（23天津）“。2=/,,是“。2+。2=2仍”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

8

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】由/=/,得。=±6,當a=—6H0時，/+62=2°6不成立，充分性不成立;

由/+62=2仍，則(a—6)2=0,即a=6,顯然/=〃成立，必要性成立；

所以=尸，是=2.”的必要不充分條件.

Vxc

11.（23北京）若孫W0,貝|J“X+v=0”是“二+一=一2”的（）

xy

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

VXV-V

【解析】充分性：因為孫W0,且x+y=0,所以x=—y,所以—+―=」一+==-2；

xy-yy

必要性:因為孫w0且上+二=—2,所以1+^2=—2孫，即x2+y2+2xy=0,即（x+j）2=0，

xy

yx-

所以x+y=0,所以“x+y=0”是“二+一=-2”的充要條件.

xJ

12.(24天津)設(shè)a,beR,貝產(chǎn)是“3。=3小的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，/=63和3。=36都當且僅當4=6，

所以二者互為充要條件.故選：C.

考點二利用充分條件.必要條件求參數(shù)

【例2】1.若。2>1”是“x<a”的必要不充分條件，則。的最大值為.

【答案】-1

【解析】x2>l,得X<—1,或x>l.又“N>1”是“x<a”的必要不充分條件，知由“x<a”可以推出氣2>1”，

反之不成立，所以七一1,即。的最大值為-1.

2.設(shè)條件夕：實數(shù)x滿足/-4ax+3/<0(。<0)；條件q：實數(shù)x滿足/+2x-8>0且力是-iq的

9

必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】a?—4

【解析】設(shè)尸={x|》2—4"+3a2<o,a<o},可解得：尸=(3a,a),

設(shè)0=卜|一+2%一8>0}可解得：°=(一oo,—4)U(2,+oo),???力是F的必要不充分條件

:.q是p的必要不充分條件:.Q^Pa<0a<-4

等價法：利用ZnB與「8今口4,B>4與f4hB,與的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)

論是否定式的命題，一般運用等價法.

【訓(xùn)練2】1.若“尤<2”是“x<a”的必要不充分條件，則。的值可以是.(寫出滿足條件。的■

個值即可)

【答案】0(答案不唯一，滿足。<2即可)

【解析】由于“x<2”是“x<a”的必要不充分條件，所以。<2,所以。的值只需小于2即可.

故答案為：0(答案不唯一，滿足。<2即可)

2.若集合/={品爐一工一2<0},B^{x\-2<x<a},貝獷ACBW0”的充要條件是()

A.a>—2B.a<-2

C.a>—1D.d>—1

【答案】c

【解析】N={x[—l<x<2},B={x\—2<x<a],如圖所示：；AnBH0”；.a>—1.

-O0—0_I----1-----o----->-

-2-1a012X

3.己知命題夕：={x|a-1<x<a+1},命題q：S=|x|x2-4x+3>O