階段滾動卷(四)范圍：(第一?十單元)

(分值：150分)

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.[2025?福州模擬]已知集合A={x*<4},B={x\~3<x^l},則AA3=()

A.{x|x<2}2<xWl}

C.{x|—3<xWl}D.{.r|—3<x<2}

2.[2025?泉州模擬]若復數(shù)z滿足(l+i)z=a—i(其中i是虛數(shù)單位,a?R),則“|z|

=1”是“。=1”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.[2025?湖北七市聯(lián)考]已知正方形ABCD的邊長為2,若而=危,則由3?前>=

()

A.2B.-2

C.4D.-4

4.[2024?九省聯(lián)考]設(shè)呢4是兩個平面，m,/是兩條直線，則下列命題為真命題的

是()

A.若(/_1_夕，m//a,1〃B，則機_!_/

8.若加匚。，/u￡,m//l,則a〃夕

C.^aC\fi=m,I//a,1〃口,則機〃/

D.若m_La,/_!_6，m//1,則a_l_p

__JIJIJI

5.[2025?石家莊質(zhì)檢]已知a￡(0,1),且cos(a—R=2cos2a,貝Utan(a+1)=()

A.小B.小

C.幣D.V15

6.[2025?連云港模擬]將函數(shù)五x)=sinx的圖象先向右平移與個單位長度，再把所得

函數(shù)圖象上的每個點的縱坐標保持不變，橫坐標都變?yōu)樵瓉淼?0>0),得到函數(shù)

g(x)的圖象.若函數(shù)g(x)在(一多0)上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

A.(0,1]B.(0,1]

C.(0,1]D.(0,1)

7.[2025?重慶模擬]已知定義在R上的函數(shù)1x)滿足：>1+^2)=>1)+/%2),且當

x>0時，於)<0.則關(guān)于x的不等式^^十絲沙三。的解集為()

A.[-2,0]B.[0,2]

C.(—8,-2]U[0,+8)D.(—8,0]U[2,+8)

f+2x,xWO,

8.[2025?南昌模擬]已知函數(shù)八x)={lnx若函數(shù)g(x)=/(x)—機有3個零

----,x>0,

I%

點，則機的取值范圍為()

A.[0.1)B.(T，1)

C.(p+8)D.(—8，-1)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.[2024?石家莊模擬]下列說法正確的是()

A.一組數(shù)據(jù)6,7,7,8,10,12,14,16,20,22的第80百分位數(shù)為16

B.若隨機變量。?N(2,/)，且PC>5)=0.22,則P(—1</<5)=0.56

2

C.若隨機變量4?3(9,則方差。(20=8

D.若將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都加上一個相同的正數(shù)x,則平均數(shù)和方差都會發(fā)生

變化

10.[2025?沈陽模擬]已知雙曲線C的兩個焦點分別為B(—2吸，0),仍(2也，0),

且滿足條件P，可以解得雙曲線C的方程為％2—尸=4,則條件p可以是()

A.實軸長為4

B.雙曲線C為等軸雙曲線

C.離心率為坐

D.漸近線方程為y=±x

T.［2025?濟南模擬］如圖,在△ABC中，AB=BC=4,AB±BC,M是A3的中點，

N是AC邊上靠近A的四等分點，將△AMN沿著翻折，使點A到點尸處，得

到四棱錐P—3CNM,則下列說法正確的是（）

A.記平面PBC與平面PMN的交線為I,則/〃平面BCNM

B.記直線和直線3c與平面PNC所成的角分別為a,夕，則

C.存在某個位置的點P,滿足平面P5C,平面PM0

D.四棱錐P—3CN航外接球表面積的最小值為2071

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12J2025?濰坊模擬］第40屆濰坊國際風箏會期間，某學校派5人參加連續(xù)6天的

志愿服務(wù)活動，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有

種.（結(jié)果用數(shù)值表示）

13.［2025?南京模擬］某批麥種中，一等麥種占90%,二等麥種占10%,一、二等麥

種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6,0.2,則這批麥種種植后

所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為..

14/2025?長春模擬］如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱，雁柱用于

調(diào)整音高和音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，

每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦之間的距離為1,雁柱所在曲線的方程為y=l.P,

第〃根弦（〃?N,從左數(shù)首根弦在y軸上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線

20,

/：y=x+l交于點An（Xn>處）和Bn（Xn,>/）,則"小處/=,（參考數(shù)據(jù):取

1422=814）

雁柱

四'解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.（13分）［2024?石家莊模擬］已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,

“a+bsinC+sinB

以c—bsinA

⑴求C；

（2）若（小+l）a+20=冊c,求sinA.

16.（15分）［2025?通化模擬］已知橢圓的焦點分別是人（市，0）,F2（一小,0）,點“

在橢圓上，J.|MFI|+|MF2|=4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線y=區(qū)+/與橢圓交于A,3兩點，且。求實數(shù)左的值和4。43

的面積.

17.（15分）［2025?杭州模擬］在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ZBAD

=90。，AD//BC,AB=BC=a,AD=b（b>a>0）,以，底面ABCD,PD與底面ABCD

成30。角，且防=4度.

p

E

D

B

⑴求證：BE.LPD；

(2)當直線PC與平面ABE所成角的正弦值為千時，求得的值.

18.(17分)［2025?西安模擬］已知函數(shù)五x)=2sinx一以，

(1)若函數(shù)在［0,兀］內(nèi)點A處的切線斜率為一a(aWO),求點A的坐標;

7T

⑵①當。=1時，求g(x)=/(x)—ln(x+l)在［0,上的最小值；

②證明：sinT+sing-|-----Fsin->ln"］("CN,〃三2).

19.(17分)［2025?泰安模擬］在足球比賽中，有時需通過點球決定勝負.

⑴撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、

中、右三個方向射門，門將(也稱為守門員)也會等可能地隨機選擇球門的左、中、

2

右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有w的可能性撲不到球.不考

慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)X的分布列和

期望；

(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙三名前鋒隊員在某次傳接球

的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到

球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球

都能接住.記第九次傳球之前球在甲腳下的概率為P”，易知pi=l,P2=O.

①試證明：]p〃一,為等比數(shù)列；

②設(shè)第〃次傳球之前球在乙腳下的概率為在，比較P2024與0024的大小.

階段滾動卷(四)范圍：(第一?十單元)

1.B[法一由題意知，A={x\-2<x<2},所以An3={x|一2<xWl},故選B.

法二AA3應(yīng)為集合3的子集，故排除A,D,因為(一方2=多>4,所以—,不是

集合A中的元素，故排除C.故選B.]

,.用a―i(。一i)(1—i)a-1。+1.

2.B[由(l+i)z—a一i食，z-]+j-(]+j)(]_")一?一~2~

?"1=1,

=1>解得a=l或a=-1.

故“|z|=l"是“a=l”的必要不充分條件.

故選B.]

3.B[法一(基向量法)由題意知點P為的中點，所以殍?應(yīng))=(油+而)?(廈)

-AB)=(AB+|BC)(AD-AB)=ABAb-AB2+|BCAb-|BCAB=-AB2+|BC2

=~22+jx22=~2,故選B.

法二(坐標法)如圖，以3為原點建立平面直角坐標系，則3(0,0),A(0,2),

D(2,2),P(l,0),所以由3=(1,-2),BD=(2,2),所以修?防=1X2+(—2)X2

=-2,故選B.]

4.C[如圖a所示，在正方體ABCD—ALBICIDI中，假設(shè)底面ABCD為平面a.對

于A,假設(shè)平面ADD1A1為平面夕，符合題意假設(shè)機=ALDI,l=BC,符合

題意m〃a,I//p,由圖a可知，此時機〃/,不符合機_1_/的結(jié)論，所以A錯誤.

對于B,還是假設(shè)平面ADDiAi為平面用，假設(shè)m=BC,l=A[Di,符合題意m<=

a,lu]3,m//l,但此時不符合a〃夕的結(jié)論，所以B錯誤.對于C,如圖

b所示，過直線/作平面力與平面a交于直線人，因為/〃a,由線面平行的性質(zhì)

定理可知/〃/1,又/〃△所以人〃△又afV=/n,且ga,所以h//m,因此l//m,

故C正確.對于D,在圖a的正方體中，假設(shè)機=331,l=DDi,平面ABCD為平

面a,平面AiBiCiDi為平面夕，此時符合題意m_La,1邛,m//1,但由圖a可知

a///3,不符合。，￡的結(jié)論，所以D錯誤.故選C」

兀*\/2

5.D[因為cos(a—R=2cos2ot,^fl^,(cos?+sin?)=2(cos2ct-sin2a)=2(cosa

+sina)(cosa-sina),因為aG(O,1),所以cosa+sina>0,所以cosa—sina=

乎,即吸(當cosa-乎sina)=乎,所以cos(a+多=；,因為a?(0,y),所以a

--,

I4乙III乙

+4G(4>爭,所以sin(a+：)=J—cos2(a+'=J—(：)2=乎,

sin(?+T)

所以tan(ot+j)=-----------故選D.]

cos(a+a)

jr

6.B[將汽x)=sinx的圖象向右平移W個單位長度,

jr

得到/z(x)=sin(x—R的圖象，將/z(x)圖象上的每個點的縱坐標保持不變，橫坐標

1TT

都變?yōu)樵瓉淼牧说玫絞(x)=sin((yx—g).

當x?(一今0)時，ox一養(yǎng)(一等一

g(x)在(甘，0)上單調(diào)遞增，所以一畀一等苫<苫，

得0<0W/故選B.]

7.A[法一因為j(x\+X2)=/xi)+/(X2),所以/(xi)-fixi)=/[(xi—X2)+x2]—fixi)

=f(x\—X2)+/(X2)—y(X2)=f(x\~X2),不妨令X1>X2,則Xl~X2>0,因為當X>0時,加；)<0,

所以及n—X2)<0,所以兀n)—1%2)<0,即<xi)勺(%2),所以函數(shù)兀t)在R上單調(diào)遞

減.在汽X1+X2)=/U1)+/U2)中，令X1=X2=O,則汽0)=汽0)+汽0),得五0)=0.由題

意知，>2)+*2x)=五/+2x),又汽0)=0,所以於2)+八2x)20,即五/+2x)三汽0),

又火用在R上單調(diào)遞減，所以x2+2xW0,解得一2WxW0,即x?[—2,0].故選

A.

法二因為“X1+X2)=/(X1)+/(X2),所以可令兀0=右，又當X>0時，?V)<0,所以

k<0,所以兀/)十為2%)》0可轉(zhuǎn)化為止+2日三0,即x2+2xW0,解得一2WxW0,

即日一2,0].故選A.]

8.B[①當xWO時，/(XlMd+Zx,易知函數(shù)人x)在區(qū)間(一8,—1)上單調(diào)遞減，

在區(qū)間(一1,0)上單調(diào)遞增，所以當xWO時，凡r)min=A—1)=-1.②當x>0時，

]nJC1—InJQ

J(x)=——,則/(x)=一一,令/(x)>0,解得0<x<e；令/(x)<0,解得x>e,故?x)

在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(e,+8)上單調(diào)遞減，所以當x>0時，?raax

=式。=乎=；.綜上所述，可以畫出函數(shù)兀目的大致圖象如圖所示，因為函數(shù)g(x)

=兀0—根有3個零點，所以直線y=m與y=/(x)的圖象有3個交點，由圖可知,

—l<m<7，所以機的取值范圍是(一1,；).故選B.］

9.BC［對于A選項，該組數(shù)據(jù)共10個數(shù)，且10X0.8=8,因此，該組數(shù)據(jù)的第

80百分位數(shù)為"押=18,A錯誤；

對于B選項，若隨機變量^?N(2,4)，

且尸(。>5)=0.22,

則P(-l<^<5)=l-2P(lf>5)

=1-2X0.22=0.56,B正確；

2

對于C選項，若隨機變量4?8(9,N，

2I

則。(2。=4。(？=4乂9乂,乂,=8,C正確；

對于D選項，在隨機變量X的每個樣本數(shù)據(jù)上都加個正數(shù)x,則得到的新數(shù)據(jù)對

應(yīng)的隨機變量為X+x,由期望和方差的性質(zhì)可得及X+x)=E(X)+x,D(X+x)=

D(X),因此，若將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都加上一個相同的正數(shù)x,則平均數(shù)會改

變，但方差不變，D錯.故選BC］

10.ABD［由題意可得，c=26，

根據(jù)條件解得雙曲線C的方程為>2=4,

4”

則需要滿足。=2,b=2,則實軸長2a=4,故A滿足題意；

實軸長與虛軸長相等，故雙曲線C為等軸雙曲線，故B滿足題意；

離心率e=R隹故C不滿足題意；

b

漸近線方程為尸土夕，即產(chǎn)土x,故D滿足題意.綜上，選ABD」

11.BCD［對于A,假設(shè)/〃平面BCNM,因為平面P3C與平面PMN的交線為I,

所以上平面PBC,/u平面PMN,又平面PBCn平面5cMW=BC,平面PMNH

平面BCNM=MN,所以/〃3C,1//MN,根據(jù)基本事實4可知，MN//BC,顯然

與題中已知條件矛盾，所以假設(shè)不成立，故A錯誤.

對于B,如圖，取AC的中點。，連接3D,因為A3=3C=4,所以因

為N是AC邊上靠近A的四等分點，所以N是AD的中點，又〃是A3的中點，

所以MN〃:BD,所以MNLAC,則MNLNP,又ASNP=N,AC,NPu平南PNC,

所以MN，平面PNC,所以3D，平面PNC,則直線PM和直線與平面PNC

所成的角分別為NNPM,ZBCA,因為△ABC是等腰直角三角形，所以=

ITJT

ZBAC=^,又△”人?是由叢MNA翻折得到的,故/NPM=ZBAC=^,所以ZNPM

=ZBCA,故B正確.

B

對于C,由B選項的分析知，平面PNC,又PCU平面PNC,所以MNLPC,

則當PN1PC時，因為PNCMN=N,PN,MNu平面PNM,所以PC,平面PNM,

又PCu平面PBC,所以平面P3C，平面PNM,即要使平面PSC,平面PNM,只

需PNLPC.因為AB=BC=4,AB±BC,所以AC=46，則NC=3AN=3PN=^AC

cos/PNC=^=余之

=3啦，故當PNLPC時,又0</PNC<n,所以存在

點P,使得PNLPC,故C正確.

對于D,連接MC,則MC=木序而己=旬”=24.由B選項的分析知，

MNLAC,XABXBC,所以四邊形3cM欣的對角互補，所以3,C,N,M四點

共圓，且該圓的直徑為對角線MC,故四棱錐P—3CNM外接球的直徑不小于2小，

當四棱錐P—BCNM外接球的直徑為MC時，MC的中點到點P的距離等于MC

的一半，則PM±PC,由C選項的分析知，當cosNPNC=g時，PS平面PNM,

又PMu平面PM0,所以PCLPM,故四棱錐P—3CW外接球的直徑可為MC,

所以四棱錐P-BCNM外接球表面積的最小值為4m(小)2=20兀，故D正確.綜上，

選BCD.]

12.120[法一首先安排甲，有5種方法分別為(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),

(5,6)；再安排剩下4人，有A才=24(種)方法.所以不同的安排方法有5X24=

120(種).

法二將甲的2天捆綁起來，與剩下4天進行排列，有Ag=120(種)方法，所以不

同的安排方法有120種.]

13.0.56[所求概率為P=0.9X0.6+0.1X0.2=0.56.]

14.914[因為每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦之間的距離為1,首根弦在y軸

上，稱為第0根弦，所以第〃根弦的方程為》=幾

因為第〃根弦分別與曲線丁=1.戶和直線Z：y=x+l交于點詞，3”(萬/,yj),

所以孫=1.1",yn'=n+l,則y晝/=(“+1>1.1".

20

220

令S=^ynyn'=lX1.1°+2Xl,P+SX1.1H------H21X1.1,則1.15=1X1.1+

2X1.12+3X1.134-----1-21XI.I21,兩式相減得一0.15=1+1.1+1.儼二--bl.l20-

1-1p

21X1.121=-~~-21X1.121=-11X1.121-1O,則S=110Xl.l21+100=

1—1.1

100xl.l22+100=814+100=914.]

a-\~bsinC+sinB

15.解⑴F=sinA

I—r、、F+6b+c

??由正弦定理個于=一~一,

c-b7a

化簡得a2+b2~c2=~ab,

.c^+b1—^~ab1

??COSC*c2a7bclab72

2兀

vc^(o,兀),

⑵■:他+l)a+2b=&c,

由正弦定理得

(^3+l)sinA+2sinB=^/6sinC,

2兀

又C=_y,A+B+C=7i,

:.(小+l)sinA+2sin停一A)=12,

即sin,+1)=坐

??八，兀,兀，?兀7兀

?0<A<2，?qvA+w〈五，

兀兀II兀兀

AA+4=3'即『一不

匹匹sin|cos卜cos|sin戶坐X坐一興坐一^

/.sinA=sin3-44

?2

16.解（1）設(shè)橢圓的標準方程為5+，=1（。＞。＞0），

卜=小，

由題意可知彳2a=4,解得所以橢圓的標準方程為AJ?

La2=/?2+c2,U=i,

(2)設(shè)A(?,yi),B(X2,聞，

=

ykx~\~y[29

聯(lián)立%2消去y,可得(l+4%2)f+86丘+4=0,

"+y=i，

A=128^—16(4A：2+1)=64^—16>0,貝U左或k<一；,

__8\f2k_4

由韋達定理可得：Xl+%2―1+4Rmx2—1+4產(chǎn)，

2—4不

所以yi-y2=(kxi+\[2)-(kx2+y[2)=lrxix2+-\[2k(xi+x2)+2=

1+4F'

因為。4，。5,OAOB=Q）,即xiX2+〉U2=0,所以吊法+濟9=°'

解得左=坐或一坐，經(jīng)檢驗滿足/＞0,所以上的值為坐或一當

當左=當時，直線AB方程為乖x—2y+2巾=0,原點。到直線A3的距離d=^

_2下

一5，

國工_8*k8^344

因為十%2-]+43一7X「X2=I+4升=7

所以\AB\=勺1+^\1(X1+X2)2—4X1X2

I,6/1921127104-^5]昨

，1+了7國—國=2-7=7

所以S/^oAB=^\AB\-d=2X7X5-=7一

當左=一坐，由對稱性可得%。48=平，

所以△。43的面積為斗0

17.（1）證明由題意，易知AB,AD,AP兩兩垂直，以A為坐標原點，AB,AD,

AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

73bb

則A(0,0,0),D(0,b,0),B(a,0,0),C(a,a,0),P(0,0,號)，E(0,不

y[3b

故防=（—a,彳，當%,PD=（0,b,一坐4，

因為前?國）=0,所以防，彷，即BELPD

（2）解因為協(xié)=（a,0,0）,所以屈?協(xié)=0,故A3LPD,

又ABCBE=B,AB,BEu平面ABE,所以平面ABE,

故平面ABE的一個法向量為〃=的=（0,b,一華），

h

由（1）知無=（a,a,一寄力），

設(shè)直線PC與平面A3E所成的角為仇則

VTb

sin0=|cos(PC,n]|=

整理得b=2a,即六,

18.解⑴設(shè)點A(xo,>0)),xo￡[O,K].

由于f(x)=2cosx—a,則f(xo)=2cosxo—a——

彳導COSXO=09

則xo=去且度)=2-法,所以點A的坐標為或，2—^a).

(2)①g(x)=2sin%—%—ln(x+1),

則g'(%)=2cosx—1-?。唬?記h(x)=2cos%—1

］

則h,(x)=—2siwc~［

(x+1)2

JT

易知"(x)在［o,上單調(diào)遞減，

且砥0)=l>0,h'^)=—^——-K0,

(6+1)

兀

.*.3xo^(O,%),

/z'(xo)=0,即一2sinxo+-7?1、_2=°，

(xo+1)

所以當工￡(0,加)時,砥%)>0,久工)在(0,X0)上單調(diào)遞增；

當x?(xo,壽時，/(%)<0,"(X)在(X0,壽上單調(diào)遞減.

因為人(0)=0,崎=小一1一—1—/-=木一|>?！?/p>

6+12+1

jrTT

所以尤G(0,4)時，h(x)>0,g(x)在［0,上單調(diào)遞增，

所以當x=0時，g(x)取得最小值g(0)=0.

jr

②證明由①可知x@(0,5)，時g(x)>0恒成立，即2sinx>ln(x+l)+龍恒成立.

1Y

設(shè)s(x)=x—ln(x+l),則5(%)=1—百［=4］

JT