第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市同濟(jì)大學(xué)第二附屬中學(xué)高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一個(gè)志愿者組織有成員45人，40歲以上的成員有25人，如果按照年齡進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，要抽取一個(gè)容量為18的樣本，則應(yīng)抽取40歲以上成員的人數(shù)為(

)A.12 B.10 C.8 D.62.已知隨機(jī)事件A、B，B表示事件B的對立事件，P(A)=0.4，P(B)=0.6，則下面結(jié)論正確的是(

)A.事件A與B一定是對立事件

B.P(A∪B)=1

C.P(AB)=0.24

D.若事件A、B3.已知隨機(jī)變量X的分布列為X

01P

p

1?p

若D(X)=p4(0<pA.13 B.14 C.234.坐標(biāo)平面xOy上的點(diǎn)P(x,y)，將點(diǎn)P(x,y)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后得到點(diǎn)P′x′,y′.這個(gè)過程稱之為旋轉(zhuǎn)變換，已知旋轉(zhuǎn)變換公式：x′=xcosα?ysinαy′=xA.x22+y26=1 B.二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。5.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程為

．6.已知P(A)=14，P(B|A)=127.已知P是橢圓C:x29+y2n=1上的動(dòng)點(diǎn)，8.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N2,σ2，且P(X≤3.5)=0.7，若P(X≤a)=0.3，則a=

9.如圖是某小組成員的年齡分布莖葉圖(十位數(shù)字為莖、個(gè)位數(shù)字為葉)，則該小組成員年齡的第30百分位數(shù)為

．278313668405524810.已知過點(diǎn)(0,?2)的直線l與以點(diǎn)A(3,1)和B?23,4為端點(diǎn)的線段AB相交，求直線11.在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列．由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知當(dāng)發(fā)送信號0時(shí)，被接收為0和1的概率分別為0.93和0.07；當(dāng)發(fā)送信號1時(shí)，被接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的，則接收的信號為1的概率為

．12.馬鞍山市某月連續(xù)四天的最低氣溫如下表所示：第x天1

2

3

4

最低氣溫y(單位14

17

15

14

由最小二乘法得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=?0.2x+a，則a的值為

13.已知點(diǎn)M(0,3)，直線x?ky?2=0被圓x2+y2=8所截得弦的中點(diǎn)為N，則|MN|14.已知雙曲線x2a2?y29?a2=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.通過F2且傾斜角為π3的直線與雙曲線交于第一象限的點(diǎn)A15.袋中裝有5個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球，每次從中抽出1個(gè)球，抽取3次按不放回抽取，得到紅球個(gè)數(shù)記為X，得到黑球的個(gè)數(shù)記為Y；按放回抽取，得到紅球的個(gè)數(shù)記為ξ.下列結(jié)論中正確的是

.①E(X):E(Y)=5:2；②D(X)>D(Y)；16.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在C三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)已知直線l1:(1)若l1//l(2)若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l2在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)m的值．18.(本小題14分)為積極參與馬拉松比賽，某中學(xué)決定從3000名學(xué)生隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行體能檢測，這100名學(xué)生進(jìn)行了15公里的馬拉松比賽，比賽成績(分鐘)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分布區(qū)間是[50,60),[60,70)，[70,80),[80,90)，[90,100]．

(1)求圖中a的值，并估計(jì)這100名學(xué)生比賽成績的平均數(shù)；(2)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，估計(jì)該校3000名學(xué)生中約有多少名學(xué)生能在80分鐘內(nèi)完成15公里馬拉松比賽?19.(本小題14分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)與橢圓E:x24+y2(1)求拋物線C的方程；(2)求直線l的方程．20.(本小題14分)時(shí)下流行的直播帶貨與主播的學(xué)歷層次有某些相關(guān)性，某調(diào)查小組就兩者的關(guān)系進(jìn)行調(diào)查，從網(wǎng)紅的直播中得到容量為200的樣本，將所得直播帶貨和主播的學(xué)歷層次的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：直播帶貨評級主播的學(xué)歷層次優(yōu)秀良好合計(jì)本科及以上6040100?？萍耙韵?070100合計(jì)90110200(1)是否有99.9％(2)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用R?BA=P?BAP?BA表示在事件A條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢，稱為似然比，當(dāng)R?BA≥1.35時(shí)，我們認(rèn)為事件A條件下B發(fā)生有優(yōu)勢．現(xiàn)從這200(3)現(xiàn)從主播學(xué)歷層次為本科及以上的樣本中，按分層抽樣的方法選出5人組成一個(gè)小組，從抽取的5人中再抽取3人參加主播培訓(xùn)，求這3人中，主播帶貨優(yōu)秀的人數(shù)X的概率分布和數(shù)學(xué)期望．附：χ2=nα=Pχ0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821.(本小題14分)已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)過點(diǎn)F且斜率為3的直線與C的左支交于D，E兩點(diǎn)，求?(3)設(shè)N為C的左支上與A不重合的一動(dòng)點(diǎn)，若直線l平分∠MAN，證明：直線MN恒過定點(diǎn)．

答案解析1.【答案】B

【解析】【分析】計(jì)算分層抽樣的抽取比例乘以樣本容量可得答案．【詳解】因?yàn)榉謱映闃拥某槿”壤秊?845，所以應(yīng)抽取40歲以上成員的人數(shù)為25故選：B2.【答案】D

【解析】【分析】舉例判斷AB，由于不確定事件A、B的關(guān)系，故不能求解P(A∪B),P(AB)，即可判斷C，結(jié)合對立事件概率公式和相互獨(dú)立事件乘法公式求解PA【詳解】對于AB，一個(gè)密封的盒子中有標(biāo)號為1，2，3，4，5的5個(gè)小球從中任取1球，記事件A：從中取出球的標(biāo)號為1，2，事件B：從中取出球的標(biāo)號為1，2，3，則P(A)=0.4,P(B)=0.6，滿足P(A)+P(B)=1，但A,B不是對立事件，故A錯(cuò)誤；由上例可知P(A∪B)=P(B)=0.6，故對于C，P(AB)=P(A)P(B)僅在事件A、B相互獨(dú)立時(shí)才成立，而不知道事件A、B的關(guān)系，故不確定P(AB)的值，錯(cuò)誤．對于D，若事件A、B相互獨(dú)立，則事件A、B也相互獨(dú)立，所以PA故選：D3.【答案】D

【解析】【分析】由均值與方差的計(jì)算概念，可得答案．【詳解】由題意可得E(X)=0×則D(X)=(0?1+p)2×故選：D．4.【答案】B

【解析】【分析】設(shè)曲線C上一點(diǎn)P(x,y)，其繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π4后對應(yīng)的曲線E上的點(diǎn)為P′x,y′【詳解】設(shè)曲線C上一點(diǎn)P(x,y)，其繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π4后對應(yīng)的曲線E上的點(diǎn)為P則x′=x所以x=所以2所以12所以x′所以x′2+3所以曲線E的方程為x2故選：B5.【答案】x=?【解析】【分析】由題意結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其準(zhǔn)線方程即可．【詳解】由拋物線方程y2=8x可得2p=8，則p2故答案為x=?【點(diǎn)睛】本題主要考查由拋物線方程確定其準(zhǔn)線的方法，屬于基礎(chǔ)題．6.【答案】18【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式即可求解．【詳解】P(A∩故答案為：187.【答案】5

【解析】【詳解】根據(jù)橢圓的定義確定點(diǎn)P的軌跡，進(jìn)而得到橢圓參數(shù)，再由橢圓參數(shù)關(guān)系求參數(shù)值．【分析】因?yàn)閨PA|+|PB|=6>所以點(diǎn)P的軌跡是以A(?2,0),B(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓．易知2a=6,2c=4，即a=3,c=2，所以n=a故答案為：58.【答案】0.5/1【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，即正態(tài)分布曲線關(guān)于均值對稱，結(jié)合已知條件求出a的值．【詳解】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)因?yàn)镻(X≤3.5)=0.7，P(X≤a)=0.3，且0.7+0.3=1，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可知，3.5與a關(guān)于對稱軸x=2對稱．已知3.5與a關(guān)于x=2對稱，所以3.5+a2=2，可得：移項(xiàng)可得：a=4?3.5=0.5．故答案為：0.5．9.【答案】33

【解析】【分析】由題意可得數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，根據(jù)百分位數(shù)的定義，可得答案．【詳解】由題意可知共有12個(gè)數(shù)據(jù)，且12×30％=3.6，則第故答案為：33．10.【答案】?∞,?【解析】【分析】首先利用兩點(diǎn)式斜率公式求出kPA，kPB，再結(jié)合圖象即可求出直線【詳解】設(shè)點(diǎn)P(0,?2)，依題意kPA因?yàn)橹本€l與線段AB有交點(diǎn)，所以kl≤?由圖可知直線l的斜率的取值范圍是?∞,?故答案為：?∞,?11.【答案】0.51/51【解析】【分析】理解題干中的條件概率，利用全概率公式求解即可．【詳解】設(shè)事件A=“發(fā)送的信號為0”，事件B=“接收的信號為1”，則P(A)=PA=0.5，P(B|因此P(B)=P(A)P(B|故答案為：0.51．12.【答案】15.5

【解析】【分析】求出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸直線方程后可求得a的值．【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得x=1+2+3+44所以回歸直線y=?0.2x+a過點(diǎn)(2.5,15)，則?0.2×故答案為：15.5．13.【答案】10【解析】【分析】先確定點(diǎn)N的軌跡為圓，再根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值的求法確定|MN|的最大值．【詳解】如圖：因?yàn)橹本€x?ky?2=0過點(diǎn)C(2,0)，設(shè)直線與圓x2+y2=8相交于A,B兩點(diǎn)，N當(dāng)點(diǎn)N,C重合時(shí)，在Rt?ONC中，D(1,0)為OC所以弦AB的中點(diǎn)N在以D(1,0)為圓心，1為半徑的圓上，易知點(diǎn)C也在該圓上．所以|MN|≤|MD|+|DN|=故答案為：14.【答案】1

【解析】【分析】由題意作圖，根據(jù)三角形面積公式以及直線方程，得出點(diǎn)B坐標(biāo)，再結(jié)合雙曲線的定義可得答案．【詳解】由題意可作圖如下：由x2a2?y則F1(?3,0)，設(shè)BxB,yB由題意可得直線AB的斜率tanπ3=將yB=?3代入上式，則?由題意可得2a=A則a=1．故答案為：115.【答案】①③④

【解析】【分析】根據(jù)不放回抽取，確定紅球個(gè)數(shù)X的可能取值以及黑球個(gè)數(shù)為Y的可能取值，求出每個(gè)值對應(yīng)的概率，即可求得X，Y的期望和方差，判斷①，②；按放回抽取，可知ξ～B3,57【詳解】由題意抽取3次按不放回抽取，可得紅球個(gè)數(shù)X的可能取值為1,2,3，黑球個(gè)數(shù)Y的可能取值為2,1,0，則P(X=1)=5P(X=2)=5P(X=3)=5∴E(X)=1由X+Y=3，可得P(Y=2)=P(X=1)=17，P(Y=1)=P(X=2)=4故E(Y)=2×所以E(X):E(Y)=5:D(X)=1?D(Y)=2?672×抽取3次按放回抽取，每次抽取到紅球的概率為57，得到紅球的個(gè)數(shù)記為ξ，則ξ所以E(ξ)=3×57所以E(X)=E(ξ)，D(X)<D(ξ)，故故答案為：①③④．16.【答案】7【解析】【分析】設(shè)|QF1|=7k,|PF2【詳解】已知5|QF根據(jù)橢圓的定義：|PF1則|PQ|+|Q在?QPF2可得：(7k)2化簡得到4a2?58ak+180則(a?10k)(2a?9k)=0，則a=10k或a=9當(dāng)a=10k，則a10在?F1PF2中，|PF根據(jù)余弦定理|F可得：(2c)2可得：4c2=可得e=c當(dāng)a=92k故答案為：717.【答案】【詳解】(1)當(dāng)l1//l2時(shí)，滿足所以實(shí)數(shù)m的值為?3．(2)因?yàn)閘2且由題意可知m+2≠02m?1≠0，所以解得m≠?2且m≠令x=0，得y=1?2mm+2，令y=0，得所以1?2mm+2=1?2m，解得所以實(shí)數(shù)m的值為?1．

【解析】【分析】(1)根據(jù)直線一般式中平行滿足的系數(shù)關(guān)系，列方程求解參數(shù)即可．(2)由題意得m+2≠02m?1≠0，并分別求解x,y18.【答案】【詳解】(1)由頻率分布直方圖得10(2a+0.04+0.03+0.02)=1，解得a=0.005，這100名學(xué)生比賽成績的平均數(shù)為55×(2)由頻率分布直方圖可知，樣本中能在80分鐘內(nèi)完成15公里馬拉松比賽的頻率為10×所以該校3000名學(xué)生中能在80分鐘內(nèi)完成15公里馬拉松比賽的學(xué)生人數(shù)約為3000×0.75=2250

【解析】【分析】(1)利用各組的頻率和為1列方程可求出a的值，根據(jù)平均數(shù)的定義可求得這100名學(xué)生比賽成績的平均數(shù)；(2)先求出樣本中小于80分鐘的頻率，然后總數(shù)乘以頻率可得結(jié)果．19.【答案】【詳解】(1)∵橢圓E:x∴拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為∴拋物線C的方程為y2(2)易知直線l不與x軸重合，又直線l過焦點(diǎn)(1,0)，設(shè)直線l的方程為x=my+1，Ax1,聯(lián)立y2=4xx=my+1，消去x并整理得y∴y1+∴|AB|=x1+∴直線l的方程為y=x?1或y=?

【解析】【分析】(1)求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出p的值，由此可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l的方程為x=my+1，Ax1,y1、B20.【答案】【詳解】(1)由題意得χ2由于18.182>10.828，所以有(2)R(?B因?yàn)?.75>1.35，所以認(rèn)為在事件A條件下(3)按照分層抽樣，直播帶貨優(yōu)秀的有3人，直播帶貨良好的有2人，隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=C所以X的分布列為：X123P31035110所以數(shù)學(xué)期望EX=1×

【解析】【分析】(1)根據(jù)公式可求χ2的值，結(jié)合臨界值表可判斷是否有99.9(2)根據(jù)條件概率公式可求R?BA，