第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年河北省張家口市尚義一中等校高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.Cx2=3，則A.6 B.4 C.3 D.22.科技創(chuàng)新小組有10名同學，春節(jié)期間若互發(fā)一條問候微信，則他們發(fā)出的微信總數(shù)是(

)A.10 B.20 C.45 D.903.已知某隨機變量X的分布列為如表，則D(X)=(

)X?101P0.20.4xA.0.2 B.0.56 C.0.7 D.0.844.餃子是我國的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好，現(xiàn)有甲、乙兩個箱子裝有大小、外觀均相同的速凍餃子.已知甲、乙兩箱中各有3盒肉餡餃子，7盒素餡餃子，先從甲箱中隨機取出一盒餃子放入乙箱，再從乙箱中隨機取出一盒餃子，則乙箱取出的餃子是肉餡的概率是(

)A.310 B.710 C.3115.函數(shù)f(x)=exx?3的單調(diào)遞減區(qū)間為A.(?∞,3) B.(?∞,4) C.(?∞,3)和(3,4) D.(?∞,3)和(3,5)6.中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設a，b，m(m>0)為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm).若a=C161?2+C162?A.2020 B.2021 C.2022 D.20257.將4名優(yōu)秀教師分配到3個不同的學校進行教學交流，每名優(yōu)秀教師只分配到1個學校，每個學校至少分配1名優(yōu)秀教師，則不同的分配方案共有(

)A.72種 B.48種 C.36種 D.24種8.設a=ln0.60.4,b=ln0.7A.c>a>b B.b>a>c C.b>c>a D.a>b>c二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知隨機事件A，B，C，下列說法正確的是(

)A.若B，C互斥，則P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A)

B.若A，B互斥，則P(A|B)+P(B|A)=1

C.若A，B相互獨立，則P(A|B)=P(A)

D.若P(A|B)=P(A?10.若函數(shù)f(x)=alnx?ex+2在區(qū)間(1,3)上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值可以是A.e B.e2 C.2e311.設隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=a2k(k=1,2,?8),a∈A.a=255256 B.a=256255 C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在(1?x)2+(1?x)3+…+(1?x)100的展開式中，含13.如圖，在由二項式系數(shù)所構成的楊輝三角形中，第______行中從左至右第8與第9個數(shù)的比為1：3．14.在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為110，收到0的概率為910；發(fā)送1時，收到0的概率為15，收到1的概率為45，傳輸方案為三次傳輸.三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則為收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1).若發(fā)送0，則依次收到0，0，1的概率為______；若發(fā)送1，則譯碼為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

一個不透明的盒子中裝有3個紅球，3個黑球，4個白球，這些球除顏色外完全相同，現(xiàn)從盒子中一次性隨機摸出4個球．

(1)求三種顏色的球都被摸出的概率P3；

(2)記摸出的球的顏色種類數(shù)為X，求X的分布列與期望．16.(本小題15分)

在(x+2x2)n(n∈N?)的展開式中，第2項、第3項、第17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=tlnx?x2?8x+4．

(1)當t=24時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)如果函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)t18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(x?1)lnx．

(1)求函數(shù)y=f(x)的極值點；

(2)若對任意的x∈(1e,+∞),f(x)>m(x+1)恒成立，求實數(shù)19.(本小題17分)

某學校有A，B兩家餐廳，王同學開學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天繼續(xù)去A餐廳的概率為12；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為35，如此往復．

(1)計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率；

(2)記王同學第n天去A餐廳用餐概率為Pn，寫出Pn+1關于Pn的表達式；

(3)證明數(shù)列{答案解析1.【答案】C

【解析】解：因為Cx2=3，所以x(x?1)2=3，即x2?x?6=0，

解得x=?2或x=3，

又x≥2，所以x=3．

2.【答案】D

【解析】解：科技創(chuàng)新小組有10名同學，春節(jié)期間若互發(fā)一條問候微信，則他們發(fā)出的微信總數(shù)是A102=10×9=90．

故選：D．

由排列數(shù)A3.【答案】B

【解析】解：因為0.2+0.4+x=1，

所以x=0.4，

此時E(X)=?1×0.2+0.4×1=0.2，

則D(X)=(?1?0.2)2×0.2+(0?0.2)2×0.4+(1?0.2)2×0.4=0.564.【答案】A

【解析】解：記事件A表示“從甲箱中取出一盒肉餡餃子放入乙箱”，

B表示“從乙箱中隨機取出一盒餃子，且取出的餃子是肉餡”，

則P(A)=310,P(B|A)=411，

P(A?)=710,P(B|A?)=3115.【答案】C

【解析】解：因為函數(shù)f(x)=exx?3，

那么導函數(shù)f′(x)=(x?4)ex(x?3)2，令導函數(shù)f′(x)=(x?4)ex(x?3)2<0，那么可得x<4且x≠3，

因此6.【答案】A

【解析】解：設a，b，m(m>0)為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm)，

a=C161?2+C162?22+?+C1616?216，a≡b(mod10)，

∵a=(1+2)16?C160=316?1=98?1=(10?1)8?1

=C80?108?C81?1077.【答案】C

【解析】解：將4名優(yōu)秀教師分配到3個不同的學校進行教學交流，

每名優(yōu)秀教師只分配到1個學校，每個學校至少分配1名優(yōu)秀教師，

將4名教師分成三組，只有一種分法，即1，1，2，共有C41C31C22A22，

再排列得C8.【答案】B

【解析】解：觀察，0.6+0.4=1，0.7+0.3=1，

則可構造函數(shù)f(x)=lnx1?x，其中0<x<1，

則f′(x)=1?xx+lnx(1?x)2=1x?1+lnx(1?x)2，

令g(x)=1x?1+lnx，g′(x)=?1x2+1x=x?1x2，

當x∈(0,1)時，g′(x)<0，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當x∈(0,1)時，g(x)>g(1)=0，所以當x∈(0,1)時，f′(x)>0，

所以9.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意可知，若B，C互斥，則P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A)，A正確；

若A，B互斥，則P(A|B)=P(B|A)=0，即P(A|B)+P(B|A)=0，B錯誤；

當A，B相互獨立時，P(AB)=P(A)P(B)，P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，C正確；

若P(A|B)=P(A?|B)，則P(AB)P(B)=P(A?B)P(B)，

所以P(AB)=P(A?B)，因為無法判斷A，10.【答案】BC

【解析】解：因為函數(shù)f(x)=alnx?ex+2在區(qū)間(1,3)上不單調(diào)，

所以f′(x)=ax?ex=a?xexx在(1,3)上存在變號零點，

即y=a?xex在(1,3)上存在變號零點，

設g(x)=a?xex，x∈(1,3)，則g′(x)=?(x+1)ex<0，

故g(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，

11.【答案】BD

【解析】解：因為隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=a2k(k=1,2,?8),a∈R+，

由分布列的性質可知，P(ξ=1)+P(ξ=2)+...+P(ξ=8)

=a(12+122+...+128)=a(1?128)=1，解得a=256255．

所以12.【答案】C101【解析】解：由二項式定理可得展開式中含x2的項的系數(shù)是

C22+C32+C13.【答案】31

【解析】解：由題意可得第n行從左到右第8個數(shù)為Cn7，第9個數(shù)為Cn8，

則Cn7Cn8=13，即3Cn714.【答案】811000

112【解析】解：在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立，

發(fā)送0時，收到1的概率為110，收到0的概率為910，

發(fā)送1時，收到0的概率為15，收到1的概率為45，

傳輸方案為三次傳輸，

三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．三次傳輸，發(fā)送0，相當于依次發(fā)送0，0，0，

則依次收到0，0，1的事件，是發(fā)送0接收0，發(fā)送0接收0，發(fā)送0接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，

∴發(fā)送0，則依次收到0，0，1的概率為910×910×110=811000；

三次傳輸，發(fā)送1，

∴譯碼為1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，

∴若發(fā)送1，則譯碼為115.【答案】35；【解析】(1)從盒子中一次性隨機摸出4個球，不同的取法共有C104=210種，

三種顏色的球都被摸出的不同取法共有2C32C31C41+C31C31C42=126種，

故三種顏色的球都被摸出的概率PX123P1833所以E(X)=1×1210+2×83210+3×35=10942．

(1)利用超幾何分布概率公式分類求解即可；16.【答案】n=7；

114．【解析】(1)由題意可得展開式的第2項，第3項，第4項的二項式系數(shù)分別為Cn1,Cn2,Cn3，

則由已知可得2Cn2=Cn1+Cn3，即2×n(n?1)2×1=n+n(n?1)(n?2)3×2×1，

化簡得：n2?9n+14=0，解得n=7或n=2，

當n=2時，展開式只有3項，不符合題意，所以n=7；

(2)因為二項式(x+2x2)7的展開式的通項公式為Tr+117.【答案】(0,2)．

(?∞,0]．

【解析】(1)由于f(x)=tlnx?x2?8x+4，

那么當t=24時，函數(shù)f(x)=24lnx?x2?8x+4(x>0)，

導函數(shù)f′(x)=24x?2x?8=?2x2?8x+24x=?2(x2+4x?12)x=?2(x?2)(x+6)x．

令導函數(shù)f′(x)=0，解得x1=2，x2=?6(舍去)，

根據(jù)導函數(shù)f′(x)>0，得0<x<2，

因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)．

(2)由于f(x)=tlnx?x2?8x+4，x∈(0,+∞)，

那么導函數(shù)f′(x)=tx?2x?8=?2x2?8x+tx，

因為f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

所以導函數(shù)f′(x)≤0對?x∈(0,+∞)恒成立，

即?2x2?8x+t≤0對?x∈(0,+∞)恒成立，

18.【答案】極小值點為x=1，無極大值點；

(?∞,0)．

【解析】(1)由題意，函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，

f′(x)=lnx+x?1x=lnx+1?1x，易知f′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，f′(1)=0，

∴當x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

故x=1是函數(shù)y=f(x)唯一的極小值點，無極大值點．

(2)若對任意的x∈(1e,+∞),f(x)>m(x+1)恒成立，即(x?1)lnx?m(x+1)>0在x∈(1e,+∞)上恒成立，

則m<x?1x+1lnx在x∈(1e,+∞)上恒成立，

令g(x)=x?1x+1lnx，

則g′(x)=2xlnx+x2?1x(x+1)2，

令?(x)=2xlnx+x2?1，

則?′(x)=2lnx+2+2x，易知?′(x)單調(diào)遞增，且?′(1e)=2e>0．

當x∈(1e,+∞)時，?′(x)>0，

∴?(x)