第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年甘肅省臨夏州高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知f(x)=x4，若f′(x0)=A.1 B.12 C.13 2.已知空間向量a=(x,?2,?4),b=(2,1,?1)，若a⊥bA.2 B.1 C.?1 D.?23.設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X0123P0.20.40.30.1若隨機變量Y=|X?1|，則P(Y=1)=(

)A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.84.已知10個成對數(shù)據(jù)(x,y)的散點圖如圖所示，并對x，y進(jìn)行線性回歸分析.若在此圖中去掉點P后，再次對x，y進(jìn)行線性回歸分析，則下列說法正確的是(

)A.相關(guān)系數(shù)r變大

B.變量x與y的線性相關(guān)程度變低

C.相關(guān)系數(shù)r變小

D.變量x與y呈負(fù)相關(guān)5.某學(xué)校一同學(xué)研究溫差x(℃)與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)y(人)的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：x568912y17a252835已知數(shù)據(jù)的樣本中心點為(m,25)，經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合回歸直線方程y=bA.m=8 B.a=20

C.b=2.4 D.x=56.已知事件A，B滿足P(A)=0.4，P(B)=0.3，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若A，B互斥，則P(A+B)=0.6 B.若P(AB)=0.2，則P(A|B)=13

C.若A與B相互獨立，則P(A?B?)=0.7 D.7.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是線段A1B，B1D1上的點，且A1A.AB與B1D1的夾角為45°

B.MN=13AB+23AD+138.若函數(shù)f(x)的定義域為D，且存在x0∈D，使得f(x0)+f′(x0)=0，則稱x0是f(x)的一個“階值點”.若函數(shù)g(x)=2x，?(x)=ex+2x，φ(x)=x+1xA.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知隨機變量X～N(1,22)，Y～N(?1,2A.E(X)=E(Y) B.D(X)=D(Y)

C.P(X≤0)=P(X≥2) D.P(X≤1)+P(Y≥1)=110.已知函數(shù)f(x)=13x3A.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減

B.函數(shù)f(x)在點(3,f(3))處的切線方程為y=8x?16

C.函數(shù)f(x)在[12,2]上的值域為[43,83]

11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點A.三棱錐A1?AB1E的體積為定值

B.A1E⊥B1D1

C.若E為線段CC1的中點，則點E到直線B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知兩個隨機事件A，B，若P(A)=23，P(B|A)=1112，則13.已知函數(shù)f(x)=12x2+lnx?ax14.對于兩個空間向量a=(x1,y1,z1)與b=(x2,y2,z2)，我們定義d(a,b)=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=(x+a)ex在x=1處有極值．

(1)求a的值；

(2)求f(x)在[?1,3]16.(本小題15分)

某校食堂為了解學(xué)生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況是否存在性別差異，隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到了如下的統(tǒng)計結(jié)果：項目喜歡牛奶喜歡豆?jié){合計男生40a女生b25合計100已知從這100名學(xué)生的問卷中隨機抽取1份，喜歡牛奶的概率為35．

(1)求a，b；

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性別有關(guān)？

附：χP(0.0100.0050.001x6.6357.87910.82817.(本小題15分)

詩詞是中華文化的瑰寶，蘊含著豐富的文學(xué)內(nèi)涵和美學(xué)價值.某學(xué)校為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)詩詞的興趣，特別組織了一次關(guān)于詩詞的知識競賽，競賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽．

(1)初賽采用選一題答一題的方式，每位參賽學(xué)生最多有5次答題機會，累計答對3道題或答錯3道題即終止比賽，答對3道題則進(jìn)入決賽，答錯3道題則被淘汰.已知學(xué)生甲答對每道題的概率均為23，且回答各題的結(jié)果相互獨立．

(ⅰ)求甲至多回答了4道題被淘汰的概率；

(ⅱ)設(shè)甲在初賽答題的道數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

(2)決賽共答3道題，若答對題目數(shù)量不少于2道，則勝出.已知學(xué)生甲進(jìn)入了決賽，他在決賽中前2道題答對的概率相等，均為x(0<x<1)，3道題全答對的概率為18，且回答各題的結(jié)果相互獨立，設(shè)他恰好答對2道題目勝出的概率為f(x)，求f(x)18.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//CD，AD=DC=1，BC=2．

(1)證明：BC⊥平面PAC；

(2)若直線PC與平面PAB所成角的正弦值為66，

①求線段PA的長；

②求平面PBC19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx?32ax2．

(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線垂直于直線2x+y=0，求a的值；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，且x1<x2．

(ⅰ)答案解析1.【答案】B

【解析】解：∵f(x)=x4，

∴f′(x)=4x3，

若f′(x0)=12，則4x02.【答案】C

【解析】接：空間向量a=(x,?2,?4),b=(2,1,?1)，若a⊥b，

則a?b=x?2+(?2)×1+(?4)×(?1)=0，

即2x+2=0，解得x=?1．

故選：3.【答案】A

【解析】解：因為Y=|X?1|，

所以P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5．

故選：A．

由題意得P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)計算求解即可．

本題考查分布列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．4.【答案】A

【解析】解：散點圖中去掉點P后，點的分布更集中，所以變量x與y的線性相關(guān)程度變強，故選項B錯誤；

點的分布從左下角到右上角，所以變量x與y呈正相關(guān)，故選項D錯誤；

因為變量x與y呈正相關(guān)，且相關(guān)性變強，所以相關(guān)系數(shù)r變大，故選項A正確，選項C錯誤．

故選：A．

根據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖，結(jié)合回歸系數(shù)概念與含義，逐項判定，即可求解．

本題主要考查散點圖，回歸分析，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】C

【解析】解：由題意可知，m=5+6+8+9+125=8，25=17+a+25+28+355，

解得a=20，

因為回歸直線方程y=bx+4.2過樣本中心點(8,25)，

所以25=8b+4.2，

解得b=2.6，

所以回歸直線方程y=2.6x+4.2，

所以當(dāng)x=5時，y6.【答案】D

【解析】解：因為事件A，B滿足P(A)=0.4，P(B)=0.3，

所以對于A，若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7，所以A選項錯誤；

對于B，若P(AB)=0.2，則P(A|B)=P(AB)P(B)=0.20.3=23，所以B選項錯誤；

對于C，若A與B相互獨立，則A?與B?相互獨立，

所以P(A?B?)=P(A?)P(B?)=[1?P(A)][1?P(B)]=0.6×0.7=0.42，所以C選項錯誤；

對于D7.【答案】C

【解析】解：由題意平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是線段A1B，B1D1上的點，且A1M=2MB，B1N=2ND1，

A1B1=A1D1=AA1=1，∠B1A1D1=90°，∠A1AB=∠A1AD=60°，

可得AB=AD=AA1=1，∠BAD=90°，

對于選項A，由題意結(jié)合向量的線性運算可得AB?B1D1=AB?(AD?AB)=AB?AD?AB2=?1，

|B1D1|=|AD?AB|=AD8.【答案】A

【解析】解：對于函數(shù)g(x)=2x，有g(shù)′(x)=?2x2，

令2x?2x2=0?x=1，所以a=1；

對于函數(shù)?(x)=ex+2x，

有?′(x)=ex+2，

令ex+2x+ex+2=0，即ex+x+1=0，

因為函y=ex與y=x+1是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以函數(shù)t(x)=ex+x+1是單調(diào)遞增函數(shù)，

且t(0)=2>0，

所以方程ex+x+1=0的根，

即函數(shù)?(x)=ex+2x的“階值點”滿足b<0；

對于函數(shù)φ(x)=x+1x，

有φ′(x)=1?1x2，

令x+1x+1?1x2=0，9.【答案】BC

【解析】解：E(X)=1，E(Y)=?1，D(X)=D(Y)=4，P(X≤0)=P(X≥2)，故A錯誤，BC正確；

因為P(X≤1)=0.5，0<P(Y≥1)<P(Y≥?1)=0.5，所以P(X≤1)+P(Y≥1)<1，故D錯誤．

故選：BC．

由正態(tài)分布定義和對稱性質(zhì)即可求解判斷．

本題主要考查正態(tài)分布定義和對稱性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】BCD

【解析】解：已知函數(shù)f(x)=13x3?x+2，

對于A，由題f′(x)=(x+1)(x?1)，x∈R，

所以當(dāng)x∈(?∞,?1)∪(1,+∞)時f′(x)>0，當(dāng)x∈(?1,1)時f′(x)<0，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(?∞,?1)上單調(diào)遞增，在(?1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

故A錯誤；

對于B，f(3)=8，f′(3)=8，

所以函數(shù)f(x)在點(3,8)處的切線方程為y?8=8(x?3)，

即y=8x?16，

故B正確；

對于C，由上可知函數(shù)f(x)在(12,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增，

又f(12)=3724,f(1)=43,f(2)=83>3724，

所以函數(shù)f(x)在[12,2]上的值域為[43,83]，

故C正確；

對于D，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(?∞,?1)上單調(diào)遞增，在(?1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，且f(?1)=8311.【答案】ABC

【解析】解：對于選項A，VA1?AB1E=VE?AB1A1=13S△AB1A1?=13S△AB1A1?BC=13×12×2×2×2=43，故選項A正確；

對于選項B，連接A1C1，如圖：

在正方體中，B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，A1C1∩CC1=C1，

所以B1D1⊥平面A1C1CA，又因為A1E?平面A1C1CA，

所以A1E⊥B1D1，故選項B正確；

對于選項C，當(dāng)E為線段CC1的中點，以D12.【答案】1118【解析】解：因為P(A)=23，P(B|A)=1112，

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=P(AB)23=111213.【答案】(?∞,2]

【解析】解：已知函數(shù)f(x)=12x2+lnx?ax在定義域上是增函數(shù)，

所以f′(x)=x+1x?a≥0在(0,+∞)恒成立，

所以a≤x+1x在(0,+∞)恒成立，

所以a≤(x+1x)min，

因為x+1x≥214.【答案】5

[1,3]【解析】解：由題可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D?xyz，

則D(0,0,0)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，

設(shè)P(x,y,0)，0≤x≤1，0≤y≤1，

則DB1=(1,1,1),BC1=(?1,0,1),AB=(0,1,0),D1P=(x,y,?1)，

因此|D1P|=x2+y2+1=2，因此x2+y2=1，

因此d(DB15.【答案】a=?2；

最小值為?e，最大值為e3．【解析】(1)由題意，f′(x)=(x+a+1)ex，

因為函數(shù)f(x)=(x+a)ex在x=1處有極值，所以f′(1)=(2+a)e=0，解得a=?2，

此時f′(x)=(x?1)ex，

則x∈(?∞,1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)=(x+a)ex在x=1處有極值，所以a=?2．

(2)由(1)可知函數(shù)f(x)在(?1,1)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，

又f(?1)=?3e,f(1)=?e,f(3)=e3，

所以函數(shù)的最小值為?e16.【答案】a=15，b=20；

該校學(xué)生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性別有關(guān)．

【解析】(1)由題可知喜歡牛奶的人數(shù)有100×35=60人，所以b=60?40=20，

所以喜歡豆?jié){的人數(shù)為100?60=40，所以a=40?25=15．

(2)項目喜歡牛奶喜歡豆?jié){合計男生401555女生202545合計6040100零假設(shè)H0：該校學(xué)生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性別無關(guān)，

則χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(40×25?20×15)260×40×55×45≈8.2492>7.879，

所以根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，推斷H0不成立，17.【答案】(ⅰ)19；(ⅱ)X的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為10727；

【解析】(1)(ⅰ)由題易知滿足條件的情況由如下兩種：1.連續(xù)答錯前3道題，2.甲在前三道題中答錯兩道，且答錯第4道，

所以概率為13×13×13+C32×(13)2×23×1X345P1108將表格數(shù)據(jù)代入期望公式可得：E(X)=3×13+4×1027+5×827=10727；

(2)由題可得第3道題答對的概率為18x2，

所以學(xué)生甲答對2道題目勝出的概率為f(x)=x2(1?18x2)+2x(1?x)?18x2=x2+14x?38,0<x<1，

所以f′(x)=2x?14x2=818.【答案】證明見解析；

①PA=2；②3【解析】(1)證明：因為AB⊥AD，AB/?/CD，所以AD⊥DC，

又AD=DC=1，所以∠DAC=∠ACD=45°，AC=AD2+DC2=2，

所以∠CAB=90°?∠DAC=45°，AC=BC，

所以∠ACB=∠CAB=45°，則∠ACB=90°，即AC⊥BC，

因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，

所以PA⊥BC，又PA∩AC=A，PA、AC?平面PAC，

所以BC⊥平面PAC；

(2)①取AB中點O，連接CO、PO，則由(1)得CO⊥AB，

且AB=AC2+BC2=2,CO=AO=12AB=1，

因為PA⊥平面ABCD，CO?平面ABCD，

所以PA⊥CO，又PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，

所以CO⊥平面PAB，

所以∠CPO為直線PC與平面PAB所成角，

所以sin∠CPO=COPC=1PC=66?PC=6?PA=PC2?AC2=2，

②由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，