第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省莆田二中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f′(x0)=2，則?→0A.2 B.4 C.0 D.?42.已知C12x?2=C122x?4A.2 B.6 C.12 D.2或3.在(1+x)4(1+y)6的展開(kāi)式中A.36 B.45 C.60 D.724.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有(

)A.12種 B.24種 C.36種 D.48種5.已知隨機(jī)變量X～B(n,p)，若E(X)=4，Y=2X+3，D(Y)=3.2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.E(Y)=16 B.D(X)=0.5 C.p=0.6 D.P(X=2)=6.某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)荻勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為(

)A.29 B.25 C.8157.若函數(shù)f(x)=x33?a2x2A.(2,52) B.[2,52)8.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，即每?jī)芍蜿?duì)在比賽中都要相遇且僅相遇一次，最后按各隊(duì)的積分排名(積分多者名次靠前，積分同者名次并列)積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，若每場(chǎng)比賽中每隊(duì)勝，平，負(fù)的概率都為13，則在比賽結(jié)束時(shí)，甲隊(duì)勝2場(chǎng)且乙隊(duì)勝2場(chǎng)的概率為(

)A.2243 B.4243 C.127二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在二項(xiàng)式(x?1A.常數(shù)項(xiàng)是154 B.有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為1

C.各項(xiàng)系數(shù)和是164 D.10.某社區(qū)派出A，B，C，D，E五名志愿者全部安排到甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)協(xié)助開(kāi)展防護(hù)排查工作，每名志愿者只能到一個(gè)社區(qū)工作，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.所有不同的分派方案共45種

B.若甲社區(qū)不安排志愿者，其余三個(gè)社區(qū)至少安排一個(gè)志愿者，則所有不同的分派方案共150種

C.若每個(gè)社區(qū)至少派1名志愿者，且志愿者A必須到甲社區(qū)，則所有不同分派方案共96種

D.若每個(gè)社區(qū)至少派1名志愿者，且志愿者A、B不安排到同一社區(qū)，則所有不同分派方案共21611.設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx，g(x)=f′(x)x，則下列命題正確的是(

)A.不等式g(x)>0的解集為(1e,+∞)

B.函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減

C.當(dāng)x1>x2>0時(shí)，m三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某電子管正品率為34，次品率為14現(xiàn)對(duì)該批電子管進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第X次首次測(cè)到正品，則P(X=3)=______．13.春天來(lái)了，萬(wàn)物復(fù)蘇，合肥六中樂(lè)之樓樓下的花壇里種了不同顏色的花.如圖，花壇內(nèi)有五個(gè)花池，有五種不同顏色的花卉可供栽種，每個(gè)花池內(nèi)只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則最多有幾種栽種方案數(shù)有______．14.若關(guān)于x的不等式(ax?2)e?x≥x?2(a>0)有且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知三次函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(a,b,c∈R)過(guò)點(diǎn)(3,0)，且函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線恰好是直線y=0．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=9x+m?1，若函數(shù)y=f(x)?g(x)16.(本小題15分)

我市擬建立一個(gè)博物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建鞏公司，經(jīng)過(guò)層層師選，甲、乙兩家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題，已知這6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為23，甲、乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的．

(1)求甲公司答對(duì)題數(shù)的分布列；

(2)請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大？17.(本小題15分)

一只口袋中裝有形狀、大小都相同的6個(gè)小球，其中有紅球1個(gè)，白球2個(gè)，黑球3個(gè)，分別從中用兩種不同方式摸出3個(gè)球，方式一：依次有放回；方式二：一次性無(wú)放回．

(1)按方式一，求摸出是同一種顏色球的概率；

(2)按方式二，在摸出兩種不同顏色的球的條件下，求摸出2黑1白的概率；

(3)若按方式一、二等可能，抽簽決定，求最終摸出2黑1白的概率．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx(a∈R)．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)的最小值；

(2)求函數(shù)g(x)=f(x)?(x?1)lnx的極值；

(3)當(dāng)a=2時(shí)，不等式k(x?1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立，求整數(shù)k的最大值．19.(本小題17分)

某學(xué)校為豐富學(xué)生活動(dòng)，積極開(kāi)展乒乓球選修課，甲乙兩同學(xué)進(jìn)行乒乓球訓(xùn)練，已知甲第一局贏的概率為12，前一局贏后下一局繼續(xù)贏的概率為13，前一局輸后下一局贏的概率為12，如此重復(fù)進(jìn)行．

(1)求乙同學(xué)第2局贏的概率；

(2)記甲同學(xué)第i局贏的概率為Pi．

(ⅰ)求Pi；

(ⅱ)若存在i，使答案解析1.【答案】B

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f′(x0)=2，

則?→0limf(x0+?)?f(2.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，若C12x?2=C122x?4，則x?2=2x?4或(x?2)+(2x?4)=12，

解可得x=2或x=6，

故選：D．

根據(jù)題意，由組合數(shù)公式的性質(zhì)可得3.【答案】A

【解析】解：(1+y)6的展開(kāi)式的二項(xiàng)式通項(xiàng)為T(mén)r+1=C6ryr，令r=1，則T2=C61y=6y．

(1+x)4的展開(kāi)式的二項(xiàng)式通項(xiàng)為T(mén)k+1=C44.【答案】B

【解析】解：若甲站在排頭，則丙和丁相鄰，則共有A22?A33=2×6=12種方法，

若甲站在排尾，則丙和丁相鄰，則共有A22?A335.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閄～B(n,p)，E(X)=4，

所以E(X)=np=4，

因?yàn)閅=2X+3，D(Y)=3.2，

所以D(Y)=4D(X)=4np(1?p)=4×4(1?p)=3.2，

解得p=0.8，n=5，

對(duì)于A，E(Y)=2E(X)+3=2×4+3=11，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，因?yàn)镈(Y)=4D(X)=3.2，

所以D(X)=3.24=0.8，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由前面求得p=0.8，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，因?yàn)閄～B(5,0.8)，

所以P(X=2)=C52×0．82×(1?0.8)3=10×0.64×0.008=326256.【答案】D

【解析】解：依題意，選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)荻勝的概率為0.7，

記選“使命”隊(duì)為事件B，選“初心”隊(duì)為事件A，

該單位獲勝為事件M，則P(A)=P(B)=0.5，P(M|A)=0.8，P(M|B)=0.7．

所以P(B|M)=P(BM)P(M)=P(B)P(M|B)P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)=0.5×0.70.5×0.8+0.5×0.7=7.【答案】C

【解析】解：若函數(shù)f(x)=x33?a2x2+x+1在區(qū)間[12,3]上不單調(diào)，

則f′(x)=x2?ax+1在區(qū)間[12,3]內(nèi)有零點(diǎn)，

所以x2+1x=a在區(qū)間[12,3]內(nèi)有根，

即x+1x=a在區(qū)間[12,3]內(nèi)有根，

令g(x)=x+1x，x∈[12,3]

所以g(x)在(12,1)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，

g(12)=52，g(1)=2，8.【答案】C

【解析】解：甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，

即每?jī)芍蜿?duì)在比賽中都要相遇且僅相遇一次，

最后按各隊(duì)的積分排名(積分多者名次靠前，積分同者名次并列)積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，

每場(chǎng)比賽中每隊(duì)勝，平，負(fù)的概率都為13，

甲隊(duì)勝2場(chǎng)且乙隊(duì)勝2場(chǎng)，分下面3種情況：

若甲勝乙丙，乙勝丙丁，概率為(13)2?23?(13)2=281×3，

若甲勝乙丁，乙勝丙丁，概率為(13)2?23?(13)29.【答案】ACD

【解析】解：二項(xiàng)式(x?12x)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)k+1=C6k?(x)6?k(?12)k(x?1)k=C6k?(?12)kx3?32k，k=0，1，...6，

對(duì)于A，令3?32k=0可得k=2，即常數(shù)項(xiàng)為T(mén)3=C62?(?12)2=154，故A10.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A，每名志愿者都有4種安排方案，故共有4×4×4×4×4=45種不同的分派方案，故A正確；

對(duì)于B，先將5個(gè)人分成3組，分兩類(lèi)：第一類(lèi)，一組3人，另2組各一人，有C53=10種；

第二類(lèi)，一組2人，一組2人，一組1人，有C52C32C11A22=15種，

故共有10+15=25種分組方法，

再將分好的三組分配到三個(gè)社區(qū)，共有25A33=150種分派方案，故B正確；

對(duì)于C，分兩類(lèi)：

第一類(lèi)，甲社區(qū)分1人，只能是A，另外4人有C42A33=36種，

第二類(lèi)，甲社區(qū)分2人，共有C41A33=24種，

根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有36+24=60種不同的分派方案，故C不正確；

對(duì)于D，若每個(gè)社區(qū)至少派1名志愿者，則有C52A44=240種，

其中志愿者A，B11.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=xlnx，所以f′(x)=1+lnx，x>0，

g(x)=f′(x)x=1+lnxx，由g(x)>0，可得1+lnx>0，解得x>1e，故A正確；

對(duì)于B，由g′(x)=?lnxx2，當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)>0，g(x)遞增，

當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若x1>x2>0，總有m2(x12?x22)>f(x1)?f(x2)恒成立，

即為m2x12?x1lnx1>m2x22?x2lnx2，在x>0恒成立．

等價(jià)為m(x)=m2x2?xlnx在x>0遞增，

m′(x)=mx?(1+lnx)≥0在x>0恒成立，

即m≥1+lnxx在x>0恒成立，

由g(x)=1+lnxx，g′(x)=?lnxx2，

當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)>0，g(x)遞增，x>1時(shí)，g′(x)<0，g(x)遞減，

可得x=1時(shí)，g(x)取得最大值1，則m≥1，故C正確；

對(duì)于D，若函數(shù)F(x)=f(x)?ax2有兩個(gè)極值點(diǎn)，

則F′(x)=f′(x)?2ax有兩個(gè)零點(diǎn)，即1+lnx?2ax=0，則2a=1+lnxx，

12.【答案】364【解析】解：事件“X=3”，即第一、二兩次測(cè)到的是次品，第三次測(cè)到正品，

結(jié)合題意，可得P(X=3)=14×14×34=36413.【答案】420

【解析】解：已知花壇內(nèi)有五個(gè)花池，有五種不同顏色的花卉可供栽種，每個(gè)花池內(nèi)只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，

則最少用三種顏色的花卉，按照花卉選種的顏色可分為三類(lèi)方案，即用三種顏色、四種顏色、五種顏色．

(1)當(dāng)用三種顏色時(shí)，花池2，4同色和3，5同色，此時(shí)共有A53種方案；

(2)當(dāng)用四種顏色時(shí)，花池2，4同色或3，5同色，此時(shí)共有2A54種方案；

(3)當(dāng)用五種顏色時(shí)，花池都不同色，此時(shí)共有A55種方案；

因此，所有栽種方案共有A53+2A54+A14.【答案】[1,e【解析】解：原不等式變形為ax?2≥(x?2)ex，

令y1=(x?2)ex,y2=ax?2，

則y1′=(x?1)ex，

當(dāng)x<1時(shí)，y1′<0，則y1=(x?2)ex在區(qū)間(?∞,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>1時(shí)，y1′>0，則y1=(x?2)ex在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=1時(shí)，y1=?e，當(dāng)x<1時(shí)，y1=(x?2)ex<0，

所以作出函數(shù)y1=(x?2)ex的函數(shù)圖象：

要滿足x的不等式ax?2≥(x?2)ex有且只有三個(gè)整數(shù)解，

因?yàn)閤=0是一定滿足不等式ax?2≥(x?2)ex的一個(gè)整數(shù)解，

則只需要滿足直線y2=ax?2與曲線y1=(x?2)ex的兩個(gè)交點(diǎn)內(nèi)部含橫坐標(biāo)為1，2的解，15.【答案】f(x)=x3?3x2．【解析】(1)因?yàn)閒(x)=x3+bx2+cx+d，

所以f′(x)=3x2+2bx+c，

由題意可知f(3)=27+9b+3c+d=0f′(0)=c=0f(0)=d=0，

解得b=?3c=0d=0，

所以f(x)=x3?3x2．

(2)令y=f(x)?g(x)=0，則m=x3?3x2?9x+1，

設(shè)?(x)=x3?3x2?9x+1，

所以?′(x)=3x2?6x?9=3(x?3)(x+1)，

令?′(x)=0，得x=?1或3，

所以在(?∞,?1)上，?′(x)>0，?(x)單調(diào)遞增，

在(?1,3)上，?′(x)<0，?(x)單調(diào)遞減，

在(3,+∞)上，?′(x)>0，?(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)的極大值是?(?1)=616.【答案】分布列見(jiàn)解析；

甲公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大．

【解析】(1)設(shè)甲公司答對(duì)題數(shù)為隨機(jī)變量X，

易知X的所有可能取值為1，2，3，

所以P(X=1)=C41C22C63X123P131(2)由(1)知E(X)=1×15+2×35+3×15=2，

D(X)=(1?2)2×15+(2?2)2×35+(3?2)2×15=25．

設(shè)乙公司能正確回答的題目數(shù)為隨機(jī)變量Y0123P1248所以E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×827=2，

D(Y)=(0?2)2×127+(1?2)2×29+(2?2)2×49+(3?2)2×827=23，

因?yàn)镋(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)．

所以甲公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大．

(1)設(shè)甲公司答對(duì)題數(shù)為隨機(jī)變量X17.【答案】16；

613；

11【解析】(1)根據(jù)題意，因?yàn)槭怯蟹呕爻闃樱瑒t每次摸到紅球的概率是16，每次摸到白球的概率是26=13，每次摸到黑球的概率是36=12，

所以按照方式一，摸出是同一種顏色球的概率P=(16)3+(13)3+(12)3=1+8+27216=16；

(2)根據(jù)題意，設(shè)A=“摸出兩種不同顏色的球”，B=“摸出2黑1白”，

一次性無(wú)放回摸出三個(gè)球的組合數(shù)為C63=20，

則P(A)=1+C32+C21C32+C22C31C63=1320，P(B)=C18.【答案】?e?2；

當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)g(x)不存在極值；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)g(x)存在極大值ln(?1a)?1，此時(shí)x=?【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x+xlnx，定義域?yàn)?0,+∞)，

則f′(x)=lnx+2，

令f′(x)=0，得x=e?2，

當(dāng)x∈(0,e?2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(e?2,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x=e?2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，即f(e?2)=e?2+e?2lne?2=e?2?2e?2=?e?2，

∴當(dāng)a=1時(shí)，f(x)的最小值為?e?2，此時(shí)x=e?2．

(2)由題意得，g(x)=f(x)?(x?1)lnx=ax+xlnx?(x?1)lnx=ax+lnx，其定義域?yàn)?0,+∞)，

則g′(x)=a+1x，

①當(dāng)a≥0時(shí)，g′(x)=a+1x>0恒成立，∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

∴g(x)不存在極值；

②當(dāng)a<0時(shí)，令g′(x)=a+1x=0，解得x=?1a，

∴當(dāng)x∈(0,?1a)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(?1a,+∞)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x=?1a時(shí)，g(x)存在極大值g(?1a)=a(?1a)+ln(?1a)=ln(?1a)?1，無(wú)極小值；