第02講子集、全集、補(bǔ)集題型梳理題型梳理易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)一忽視對(duì)空集的討論而致錯(cuò)題型方法題型一集合間關(guān)系的判斷題型二與子集、真子集相關(guān)的綜合問題題型三補(bǔ)集運(yùn)算題型四利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)問題知識(shí)清單知識(shí)清單知識(shí)點(diǎn)1子集、真子集子集真子集定義如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素(若a∈A，則a∈B)，那么集合A稱為集合B的子集如果A?B，并且A≠B，那么集合A稱為集合B的真子集記法A?B或B?AA?B或B?A讀法“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”“A真包含于B”或“B真包含A”圖示或性質(zhì)(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A；(2)空集是任何集合的子集，即??A；(3)對(duì)于集合A，B，C，若A?B且B?C，則A?C(1)空集是任何非空集合的真子集；(2)對(duì)于集合A，B，C，若A?B且B?C，則A?C知識(shí)點(diǎn)2補(bǔ)集、全集1.全集如果一個(gè)集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，全集通常記作U.2.補(bǔ)集定義文字語言設(shè)A?S，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集符號(hào)語言?SA={x|x∈S，且x?A}圖形語言性質(zhì)?UU=?；?U?=U；?U(?UA)=A知識(shí)點(diǎn)3集合間關(guān)系的判斷1.判斷集合間關(guān)系的方法(1)列舉法：對(duì)于能用列舉法表示的集合，先用列舉法將兩個(gè)(或多個(gè))集合表示出來，再通過對(duì)比兩個(gè)(或多個(gè))集合中的元素來判斷其關(guān)系.(2)元素特征法：確定集合的代表元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判斷.(3)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖.一般不等式的解集之間的關(guān)系適合用數(shù)軸判斷.知識(shí)點(diǎn)4探究集合的子集個(gè)數(shù)1.假設(shè)集合A中含有n(n∈N*)個(gè)元素，則(1)A的子集個(gè)數(shù)是2n；(2)A的非空子集個(gè)數(shù)是2n1；(3)A的真子集個(gè)數(shù)是2n1；(4)A的非空真子集個(gè)數(shù)是2n2.2.含有限制條件的子集問題，一般可根據(jù)條件列出所有適合題意的子集，采用列舉法解決.特別地，設(shè)有限集合A，B中分別含有m個(gè)，n個(gè)元素(m，n∈N*，m≤n)，且A?C?B，則符合條件的有限集C的個(gè)數(shù)為2nm.知識(shí)點(diǎn)5已知集合間的關(guān)系求參1.若集合是有限集，則根據(jù)集合間的關(guān)系，列出方程(組)求解，解題時(shí)還要注意考慮集合中元素的互異性.2.若集合是用不等式描述的，則通常借助數(shù)軸進(jìn)行分析，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，注意實(shí)心圓點(diǎn)與空心圓圈，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值是否符合題意.3.涉及“A?B”或“A?B”的問題，若集合A中含有參數(shù)，通常要分A=?和A≠?兩種情況進(jìn)行討論，其中A=?的情況容易被忽略，應(yīng)引起足夠的重視.易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析【易錯(cuò)點(diǎn)一】忽視對(duì)空集的討論而致錯(cuò)A．1 B． C．1或1 D．0或1或1【答案】D故選:DA． B． C． D．【答案】C所以根據(jù)集合元素的性質(zhì)可得元素個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C【分析】由集合的包含關(guān)系，列不等式求m的取值范圍.題型方法題型方法【題型一】集合間關(guān)系的判斷【答案】B【分析】利用集合間的包含關(guān)系直接判斷即可.故選：B解題技巧判斷集合關(guān)系的方法①觀察法：一一列舉觀察．②元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系．③數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖．【舉一反三】【變式1】（2425高一上·江蘇鹽城·期中）下列各式中，正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系和集合與集合的關(guān)系判斷各命題.所以正確的個(gè)數(shù)為個(gè)，故B正確.故選：B.【變式2】（2021高一·江蘇·課后作業(yè)）子集符號(hào)“”與不等號(hào)“”看起來很相似．“”具有下面的性質(zhì)：試寫出“”相應(yīng)的“性質(zhì)”，并判斷其正確性．【分析】根據(jù)集合與集合間的關(guān)系，判斷語句是否正確即可.【變式3】（2021高一·江蘇·課后作業(yè)）指出下列各組集合與之間的關(guān)系：【分析】根據(jù)集合與集合間的關(guān)系判斷即可.因?yàn)榧媳硎菊麛?shù)集，集合表示自然數(shù)集，【題型二】與子集、真子集相關(guān)的綜合問題A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系直接得出結(jié)果.故選：B.解題技巧求有限集的子集的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)①要注意兩個(gè)特殊的子集：?和它本身．②按集合中含有元素的個(gè)數(shù)由少到多，分類一一寫出，保證不重不漏．A．2 B．3 C．4 D．15【答案】B【分析】根據(jù)子集和真子集的含義判斷元素取舍，即得集合的個(gè)數(shù).故選：B.A． B． C． D．【答案】A故選：A.【答案】7【分析】根據(jù)子集和真子集概念的理解，從元素由少到多的順序?qū)⒓现饌€(gè)列舉即得.故答案為：7.【題型三】補(bǔ)集運(yùn)算【答案】D【分析】求出集合，再利用補(bǔ)集的定義求解.故選：D解題技巧(1)求補(bǔ)集的方法①列舉法表示：從全集U中去掉屬于集合A的所有元素后，由所有余下的元素組成的集合．②由不等式構(gòu)成的無限集表示：借助數(shù)軸，取全集U中集合A以外的所有元素組成的集合．(2)利用補(bǔ)集求參數(shù)應(yīng)注意兩點(diǎn)①與集合的補(bǔ)集運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題一般利用數(shù)軸求解，涉及集合間關(guān)系時(shí)不要忘掉空集的情形．②不等式中的等號(hào)在補(bǔ)集中能否取到，要引起重視，還要注意補(bǔ)集是全集的子集．【分析】利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算即可.(1)試用列舉法寫出集合A，B；(2)寫出集合B的子集．【分析】（1）先求出集合A中方程的根，確定出集合A的元素，再由補(bǔ)集定義可解；（2）根據(jù)子集的定義解答，即可得答案．（2）根據(jù)B為A的補(bǔ)集的子集，確定出m的范圍即可.【題型四】利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)問題A．12 B．13 C．16 D．18【答案】C故選：C.解題技巧利用集合關(guān)系求參數(shù)的關(guān)注點(diǎn)(1)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值．(2)此類問題還要注意“空集”的情況，因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹敬鸢浮?故答案：.【答案】(1)【分析】（1）由題意可得A中共8個(gè)元素，從而可得結(jié)果；（2）根據(jù)子集關(guān)系布列不等式組，可得結(jié)果.【答案】(1)好題必刷好題必刷一、單選題A．2 B．1 C． D．1或2【答案】B【分析】利用集合的包含關(guān)系，列式求解并驗(yàn)證即得.故選：B2．（2425高一上·江蘇蘇州·期中）下列是關(guān)于的描述，其中錯(cuò)誤的是（

）【答案】B【分析】根據(jù)集合與集合，元素與集合的關(guān)系逐一判斷即可.故選：B.A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C故選：C．A．8 B．16 C．20 D．24【答案】B【分析】由補(bǔ)集與子集的概念求解，故選：B【答案】D故選：DA．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【分析】結(jié)合題意，由集合中元素的特性解出集合，再求子集數(shù)即可；故選：D.二、多選題A．0 B．1 C．2 D．4【答案】ABD【分析】分情況解集合，再根據(jù)“全食”與“偏食”的概念分析集合中元素滿足的關(guān)系列式求解即可．故選：ABD.8．（2425高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．任何一個(gè)集合至少有兩個(gè)子集B．空集是任何集合的真子集【答案】ABD【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)空集的性質(zhì)判斷；CD選項(xiàng)，根據(jù)子集的定義判斷.【詳解】空集只有一個(gè)子集，故A錯(cuò)；空集時(shí)任何非空集合的真子集，故B錯(cuò)；故選：ABD.【答案】AD故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：按照題目中關(guān)于集合中元素的定義，對(duì)選項(xiàng)中的算式進(jìn)行變形整理，表示成中元素的形式，判斷是否能夠成立.三、填空題【答案】1故答案為：1【答案】3【分析】列舉出集合的所有真子集即可得解.所以集合的真子集個(gè)數(shù)為3.故答案為：3【答案】【分析】根據(jù)集合元素個(gè)數(shù)可確定非空子集個(gè)數(shù)，并得到每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)，按照已知中的運(yùn)算加和可得結(jié)果.故答案為：.【分析】利用集合中的每一個(gè)元素出現(xiàn)在非空子集中的次數(shù)為次，可求結(jié)果.四、解答題（1）若，借助數(shù)軸求實(shí)數(shù)的取值范圍；（1）若有兩個(gè)子集，求的取值范圍；（2）若中至多有兩個(gè)子集，求的取值范圍．【分析】（1）由子集的個(gè)數(shù)得集合中有且只有一個(gè)元素，從而可得參數(shù)值或范圍；（2）由中元素個(gè)數(shù)