專題2.6圓的方程（舉一反三講義）【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】 1【題型2求圓的一般方程】 3【題型3由圓的方程確定圓心和半徑】 5【題型4圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的互化】 6【題型5二元二次方程表示圓的條件】 8【題型6圓過定點(diǎn)問題】 9【題型7點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷及求參】 12【題型8圓有關(guān)的軌跡問題】 14【題型9與圓有關(guān)的對稱問題】 15知識點(diǎn)1圓的方程1．圓的定義圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心，定長為半徑).圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3．圓的一般方程(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的一般方程中含有三個字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.下列情況比較適用圓的一般方程：①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；【題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例1】（2425高二上·廣東潮州·期末）已知點(diǎn)P12,7和點(diǎn)P28,5，則以P1A．(x?5)2+(y?6)C．(x?5)2+(y?6)【答案】C【解題思路】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得圓，兩點(diǎn)間距離公式求得半徑，即可求解【解答過程】由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得圓心C5,6.直徑P故以P1P2故選：C.【變式11】（2425高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）過三點(diǎn)A1,2，B3,2，C1,?6A．x?22+y+2C．x?22+y+2【答案】A【解題思路】利用待定系數(shù)法可求圓的一般式方程，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【解答過程】設(shè)圓的方程為x2因為圓三點(diǎn)A1,2，B3,2，可得5+D+2E+F=013+3D+2E+F=037+D?6E+F=0，解方程可得即圓的方程為x2+y故選：A.【變式12】（2425高二上·河南南陽·階段練習(xí)）已知圓M經(jīng)過P1,1，Q2,?2兩點(diǎn)，且圓心M在直線l:x?y+1=0，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是（A．x?22+y?3C．x+32+y+2【答案】C【解題思路】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件列出方程組，進(jìn)而求解即可.【解答過程】由題知，設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?a2則1?a2+1?b所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+32故選：C.【變式13】（2425高二上·上?！て谀┮阎c(diǎn)A?4,?2、B?4,2、C?2,2，則△ABC外接圓的方程是（

）A．x2+y?3C．x2+y+3【答案】B【解題思路】設(shè)△ABC外接圓的方程為x?a2+y?b2=r2，將△ABC【解答過程】設(shè)△ABC外接圓的方程為x?a2由題意可得?4?a2+?2?b因此，△ABC外接圓的方程是x+32故選：B.【題型2求圓的一般方程】【例2】（2425高二上·重慶·階段練習(xí)）已知A(?1,0)、B(3,6)，則以AB為直徑的圓的一般方程為（

）A．x2+yC．x2+y【答案】B【解題思路】求出AB的中點(diǎn)和AB可得以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將其轉(zhuǎn)化為一般方程即可得解.【解答過程】已知A(?1,0)、B(3,6)，則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(?1+3AB=所以以AB為直徑的圓的圓心為(1,3)，半徑為r=所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2整理得x2故選：B.【變式21】（2425高二上·河南洛陽·期中）已知O0,0，A4,3，B1,?3，則△A．x2+yC．x2+y【答案】D【解題思路】設(shè)△OAB的外接圓方程為x【解答過程】設(shè)△OAB的外接圓方程為x因為O0,0，A4,3，所以F=042所以△OAB的外接圓方程為x故選：D.【變式22】（2425高二·江蘇·假期作業(yè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A．x2+yC．x2+y【答案】A【解題思路】利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，將三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到方程組，求出圓的方程.【解答過程】設(shè)圓的方程為x2由題意知,圓過點(diǎn)0,0，2,0和0,3，所以F=04+2D所以所求圓的方程為x2故選：A.【變式23】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）求以A1,?1為圓心，且經(jīng)過點(diǎn)B0,1的圓的一般方程（A．x2+yC．x2+y【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得圓的半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到圓的一般方程，得到答案.【解答過程】由題意得，圓的半徑r=所以圓的方程為(x所以圓的一般方程為x2故選：C.【題型3由圓的方程確定圓心和半徑】【例3】（2425高二上·福建泉州·期中）圓x2+y2A．?1,0和2 B．1,0和2 C．?1,0和2 D．1,0和2【答案】C【解題思路】將方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得圓心和半徑.【解答過程】由x2+y2+2故選：C.【變式31】（2425高二上·天津·階段練習(xí)）圓x2+yA．1,?1；1 B．1,?1；3 C．?1,1；1 D．?1,1；3【答案】D【解題思路】首先化簡為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心和半徑.【解答過程】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x+1所以圓心為?1,1，半徑為3.故選：D.【變式32】（2425高二上·江蘇連云港·期中）已知圓M過三點(diǎn)A(3,1),B(2,4),C(?7,1)A．(2,?1),5 B．(2,?1),5 C．(?2,1),5 【答案】D【解題思路】先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)2已知圓過A(3,1)，B(2,4)，C(?7,1)三點(diǎn)，將這三點(diǎn)分別代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到三個方程，聯(lián)立求解就可以得到圓心坐標(biāo)(【解答過程】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)2將x=3，y=1代入(x展開整理可得，a2將x=2，y=4代入(x展開整理可得，a2將x=?7，y=1代入(x展開整理可得，a2三個式子聯(lián)立解得a=?2，b=1，r2則所以圓心坐標(biāo)為(?2,1)，半徑為5.故選：D.【變式33】（2425高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知圓M：x2+y2+6x?2A．3,?1，r=4 B．3,?1，r=2 C．?3,1，r=4 D．【答案】C【解題思路】根據(jù)圓一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化即可求解.【解答過程】由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+3所以圓心坐標(biāo)為?3,1，半徑r=4故選：C.【題型4圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的互化】【例4】（2425高二上·山西晉城·期中）圓心為點(diǎn)3,4，半徑的平方為5的圓的一般方程為（

）A．x?32+C．x?32+【答案】B【解題思路】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化到一般方程，再作選擇即可.【解答過程】圓心為點(diǎn)3,4，半徑的平方為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?3展開化為一般方程為x2故選：B．【變式41】（2425高二上·江蘇泰州·期中）圓x2+yA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解題思路】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心和半徑，作出圖形，可得出結(jié)論．【解答過程】圓x2+y表示圓心為3,4，半徑為5的圓，如圖所示：所以，圓x2故選：C．【變式42】（2425高二上·寧夏吳忠·期中）已知A1,0，B3,6，則以AB為直徑的圓的一般方程為（A．x2+yC．x2+y【答案】A【解題思路】根據(jù)條件，直接求出圓心和半徑，再求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化為一般方程，即可求解.【解答過程】因為A1,0，B3,6，則AB的中點(diǎn)為2,3，且所以AB為直徑的圓的方程為x?22+故選：A.【變式43】（2425高二上·安徽阜陽·期中）已知圓x2+y2?2A．?∞,?3 B．?3,?32 C．3,+∞ 【答案】A【解題思路】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后可得圓心及其半徑，結(jié)合圓的性質(zhì)與第二象限的點(diǎn)的性質(zhì)計算即可得解.【解答過程】由x2+y則該圓圓心為a,?2a，半徑為3，由題意可得a<?3,故實數(shù)a的取值范圍是?∞,?3．故選：A.知識點(diǎn)2二元二次方程與圓的方程1．二元二次方程與圓的方程(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：4F>0），我們可以看出圓的一般方程是一個二元二次方程，但一個二元二次方程不一定是圓的方程.(2)二元二次方程表示圓的條件：【題型5二元二次方程表示圓的條件】【例5】（2425高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）若方程x2+y2+4A．m<0 B．C．m>?1 D．【答案】C【解題思路】根據(jù)圓的一般方程滿足D2【解答過程】因為方程x2所以4m2+4?4所以實數(shù)m的取值范圍為m>?1故選：C.【變式51】（2425高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）方程x2+y2?2A．6,+∞ B．?∞,6 C．6+∞ D．?∞,6【答案】B【解題思路】由x?12+y+2【解答過程】將方程x2+y要使方程x2則6?m>0，即故選：B.【變式52】（2425高二上·江蘇南通·期中）若方程x2+y2+4A．m<?1 B．m<1 C．m>?1【答案】C【解題思路】若二元二次方程x2+y【解答過程】由D2得(4m即4m解得m故選：C.【變式53】（2425高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)m,n∈R，若方程x2+yA．(?∞,?4)∪(4,+∞) B．(?∞,?2)∪(2,+∞)C．(4,+∞) D．(?2,2)【答案】B【解題思路】利用方程表示圓的充要條件列式，結(jié)合圓心在直線y=【解答過程】由方程x2+y圓x2+y2+mx+ny+2=0因此m2+m2?8>0所以m的取值范圍為(?∞,?2)∪(2,+∞).故選：B.【題型6圓過定點(diǎn)問題】【例6】（2425高二上·湖北荊州·期末）圓C:x2+yA．?2,1,(2,?1) B．?1,?2C．?1,?2,(1,2) D．?2,?1【答案】D【解題思路】將方程進(jìn)行變形整理，解方程組即可求得結(jié)果.【解答過程】圓C:x2由x?2y=0x2故圓C恒過定點(diǎn)?2,?1,故選：D．【變式61】（2425高二上·浙江溫州·期中）點(diǎn)Px,y是直線2x+y?5=0A．0,0和1,1 B．0,0和2,2 C．0,0和1,2 D．0,0和2,1【答案】D【解題思路】設(shè)點(diǎn)Pt,5?2t【解答過程】設(shè)點(diǎn)Pt,5?2t，則線段OP圓M的半徑為OM=所以，以O(shè)P為直徑為圓的方程為x?即x2+y由2y?x=0x因此，以O(shè)P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為0,0、2,1.故選：D.【變式62】（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知曲線C：1+a(1)當(dāng)a取何值時，方程表示圓？(2)求證：不論a為何值，曲線C必過兩定點(diǎn)．【答案】(1)a≠?1(2)證明見解析；【解題思路】（1）當(dāng)a=?1時，方程為x+2y（2）將已知方程整理為x2【解答過程】（1）當(dāng)a=?1時，方程為x當(dāng)a≠?1時，(1+整理得(x由于4+16a所以a≠?1（2）證明：方程變形為x2由于a取任何值，上式都成立，則有x2解得x=0y=0所以曲線C必過定點(diǎn)A0,0，B即無論a為何值，曲線C必過兩定點(diǎn)．【變式63】（2425高二上·江蘇·階段練習(xí)）已知圓C經(jīng)過A0,1，B(1)當(dāng)a=3，并且AB是圓C的直徑，求此時圓C(2)如果AB是圓C的直徑，證明：無論a取何正實數(shù)，圓C恒經(jīng)過除A外的另一個定點(diǎn)，求出這個定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)x?2(2)定點(diǎn)坐標(biāo)為4,1，證明見解析.【解題思路】（1）求出C的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出CA，從而可求解；（2）設(shè)點(diǎn)Px,y是圓C上任意一點(diǎn)，由AB是圓C的直徑，得AP【解答過程】（1）當(dāng)a=3，B4,3，故C2,2所以此時圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?2（2）設(shè)點(diǎn)Px,y因為AB是圓C的直徑，所以AP?即x,所以圓C的方程為：xx則x=4，y=1，等式恒成立，定點(diǎn)為所以無論a取何正實數(shù)，圓C恒經(jīng)過除A外的另一個定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為4,1.知識點(diǎn)3點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)點(diǎn)在圓上|MA|=r(x0a)2+(y0b)2=r2點(diǎn)在圓內(nèi)|MA|<r(x0a)2+(y0b)2<r2點(diǎn)在圓外|MA|>r(x0a)2+(y0b)2>r2【題型7點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷及求參】【例7】（2425高二上·福建泉州·階段練習(xí)）點(diǎn)M(a,a+1)與圓C:(x?1)2+yA．M在C外 B．M在C上 C．M在C內(nèi) D．不確定，與a的取值有關(guān)【答案】A【解題思路】根據(jù)圓心與點(diǎn)的距離與半徑的關(guān)系判斷即可.【解答過程】由圓心C1,0，可得MC=所以M在C外.故選：A.【變式71】（2425高二上·山東·期中）已知坐標(biāo)原點(diǎn)不在圓C:x2+yA．1 B．?1 C．2 D．?2【答案】A【解題思路】根據(jù)方程表示圓得12+22?4【解答過程】依題意，方程x2+y2+因為坐標(biāo)原點(diǎn)不在圓C:x2綜上所述，0≤m故選：A.【變式72】（2425高二上·河北石家莊·期中）點(diǎn)P0,3與圓x+a2+y?22=2a（A．點(diǎn)P在圓外 B．點(diǎn)P在圓上 C．點(diǎn)P在圓內(nèi) D．與a的取值有關(guān)，無法確定【答案】A【解題思路】求出點(diǎn)P0,3【解答過程】圓x+a2+y?22=2a（0<a<1因為點(diǎn)P0,3與圓心?a,2的距離為a2+1所以a2+1?2a=a?1所以點(diǎn)P在圓x+a2+y?2故選：A.【變式73】（2425高二上·湖北荊門·期末）已知圓C的方程為x2+y2?2mx+4A．(?∞,1)∪(4,+∞) B．(1,+∞)C．(1,4) D．(4,+∞)【解題思路】先將圓C的一般化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合點(diǎn)在圓外，得到關(guān)于m的不等式組，解之即可得解.【解答過程】由題意得，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x故3m?3>0，又點(diǎn)(1,?2m)在圓外，所以∴m2?5m+4>0所以m的取值范圍為(4,+∞)．故選：D.知識點(diǎn)4軌跡方程1．軌跡方程求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程，實質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量x,y之間的方程.(1)當(dāng)動點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時，常采用直接法；當(dāng)動點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)時，常采用定義法；當(dāng)動點(diǎn)隨著另一個在已知曲線上的動點(diǎn)運(yùn)動時，可采用代入法(或稱相關(guān)點(diǎn)法).(2)求軌跡方程時，一要區(qū)分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等.2．求軌跡方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)列出關(guān)于x,y的方程；(3)把方程化為最簡形式；(4)除去方程中的瑕點(diǎn)(即不符合題意的點(diǎn))；(5)作答.【題型8圓有關(guān)的軌跡問題】【例8】（2425高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知點(diǎn)M是圓C:x2+y2=1上的動點(diǎn)，點(diǎn)NA．(x?1)2C．(x+1)2【答案】A【解題思路】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合相關(guān)點(diǎn)法即可求解.【解答過程】設(shè)線段MN中點(diǎn)Px,y，則M∴(2x?2)故選：A.【變式81】（2425高二上·重慶渝中·期中）已知點(diǎn)P在圓(x?2)2+y2=1A．(x?1)2C．(x?1)2【答案】A【解題思路】設(shè)出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入圓的方程，化簡即可.【解答過程】設(shè)線段OP的中點(diǎn)Mx,y，則P化簡得(x?1)2+y故選：A.【變式82】（2425高二上·云南·期末）點(diǎn)P(1,0)，點(diǎn)Q是圓x2+y2=4上的一個動點(diǎn)，則線段A．x?122+y2=1 【答案】A【解題思路】根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)Qx0,y0，PQ中點(diǎn)Mx,y，利用M和Q的關(guān)系得到【解答過程】設(shè)Qx0,y0∴x=1+x又∵點(diǎn)Q是圓x2∴x02+∴M的軌跡方程為x?故選：A.【變式83】（2425高二上·遼寧遼陽·期末）已知A2,0，B?1,1，動點(diǎn)Hx,y滿足3HA=2HBA．x2+yC．x2+y【答案】C【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解即可.【解答過程】因為3HA=2則3x?22故選：C.知識點(diǎn)5與圓有關(guān)的對稱問題1．與圓有關(guān)的對稱問題(1)圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱.(2)圓關(guān)于點(diǎn)對稱①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.②若兩圓關(guān)于某點(diǎn)對稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn).(3)圓關(guān)于直線對稱①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.②若兩圓關(guān)于某直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.【題型9與圓有關(guān)的對稱問題】【例9】（2425高二上·重慶·期中）已知圓M：x+12+y+22=1，求圓MA．x?42+C．x?