專題1.1有理數(shù)的相關(guān)概念教學(xué)目標(biāo)1.借助生活中的實(shí)例體會(huì)引入負(fù)數(shù)的必要性，并能用正、負(fù)數(shù)表示生活中具有相反意義的量。2.會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是正數(shù)是負(fù)數(shù)3.理解有理數(shù)的意義，并能對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類。4.能用正、負(fù)數(shù)解決有關(guān)實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。5.理解數(shù)軸的概念，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)。6.利用數(shù)軸理解絕對(duì)值和相反數(shù)的概念，知道互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)有理數(shù)的概念與分類：理解有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)）的統(tǒng)稱，能準(zhǔn)確對(duì)給定的數(shù)進(jìn)行分類，明確0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是有理數(shù)分類中的關(guān)鍵部分。數(shù)軸的概念與應(yīng)用：掌握數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線，理解所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，能利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的初步應(yīng)用。相反數(shù)與絕對(duì)值的概念：明確只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0；理解絕對(duì)值的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，代數(shù)意義是正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，并能熟練求出一個(gè)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值。教學(xué)難點(diǎn)數(shù)軸的靈活運(yùn)用：理解數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系，雖然所有有理數(shù)都能在數(shù)軸上表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)。絕對(duì)值概念的深入理解：絕對(duì)值的幾何意義涉及到距離，較為抽象，學(xué)生不易理解。數(shù)形結(jié)合思想的體會(huì)：有理數(shù)相關(guān)概念中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)形結(jié)合思想，如相反數(shù)和絕對(duì)值的幾何意義等。但學(xué)生初次接觸這種思想方法，難以自覺運(yùn)用該思想去解決問題，需要教師在教學(xué)中不斷引導(dǎo)，讓學(xué)生逐步體會(huì)并掌握這種重要的數(shù)學(xué)思想方法。知識(shí)點(diǎn)01具有相反意義的量1.日常生活中,表示相反意義的量的常用詞語:收入盈利上升零上增加向東(南)…支出虧損下降零下減少向西(北)…2.具有相反意義的量的規(guī)定為了區(qū)別具有相反意義的量,用正數(shù)和負(fù)數(shù)分別表示具有相反意義的量,若規(guī)定其中的一種量為正(可任意選擇),則它的相反意義的量為負(fù).習(xí)慣上把“前進(jìn)、上升、收人、零上”等規(guī)定為正,把“后退、下降、支出、零下”等規(guī)定為負(fù).3.具有相反意義的量的“兩要素”(1)具有相反意義的量是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)的一個(gè)量不能稱為具有相反意義的量.(2)具有相反意義的量必須是同類量，只要求具有相反意義，不要求數(shù)量一定相等，所以與一個(gè)量具有相反意義的量不止一個(gè)【即學(xué)即練】下列說法錯(cuò)誤的是（）A．盈利2000元和虧損100元是相反意義的量B．向西走5千米和向北走5千米是相反意義的量C．增加20人和減少10人是相反意義的量D．支出600元和收入800元是相反意義的量【答案】B【解析】B答案錯(cuò)誤，向西走5千米和向東走5千米是相反意義的量．【總結(jié)】考察正數(shù)、負(fù)數(shù)表示的意義．知識(shí)點(diǎn)02正數(shù)、負(fù)數(shù)的概念正數(shù)：像8848.86，4，＋40000，1.7這樣的數(shù)是正數(shù)；2.負(fù)數(shù)：像－80.97，－6，－10000，－0.6這樣的數(shù)是負(fù)數(shù).3.零：數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界易錯(cuò)警示(1)表示正負(fù)數(shù)時(shí)，正號(hào)可以省略不寫，而負(fù)號(hào)不能省略.(2)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，它小于所有正數(shù)，大于所有負(fù)數(shù).【即學(xué)即練】下面各數(shù)哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)？【詳解】解：正數(shù)：5，0.56，，；知識(shí)點(diǎn)03用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量為了更好地區(qū)分這些具有相反意義的量，若我們把其中一種意義的量用正數(shù)表示，則與它具有相反意義的量就可以用負(fù)數(shù)表示.1.像海拔高度這樣，通過設(shè)置一個(gè)分界點(diǎn)，以此區(qū)分具有相反意義的量.2.用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，在描述變化的情況時(shí)，一般地，向指定方向變化用正數(shù)表示，向指定方向的相反方向變化用負(fù)數(shù)表示.【即學(xué)即練】中國(guó)是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量的國(guó)家，如果將“收入60元”記作“+60元”，那么“支出40元”記作（）A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元【解答】解：如果“收人60元”記作“+60元”，那么“支出40元”記作﹣40元．故選：B．知識(shí)點(diǎn)04有理數(shù)的概念及分類1.有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，“有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，2.有理數(shù)的分類：注意：（1）零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界；（2）零和正數(shù)統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；零和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù)．（3）如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．【即學(xué)即練】把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)上：，0.618，3.14，260，2009，，0.…，，0，1．有理數(shù)集合：{

…}；整數(shù)集合：{

…}；非正數(shù)集合：{

…}．知識(shí)點(diǎn)05數(shù)軸1.數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫作數(shù)軸.2.數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度.數(shù)軸的三要素缺一不可.在解決具體問題時(shí)可以靈活選定原點(diǎn)的位置、正方向的朝向、單位長(zhǎng)度的大小，但一經(jīng)選定，就不能隨意改變.3.數(shù)軸的畫法(1)畫直線，取原點(diǎn)：畫一條直線，在這條直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0，這個(gè)點(diǎn)叫作原點(diǎn)；(2)標(biāo)正方向：通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右為正方向，則相反方向?yàn)樨?fù)方向；(3)選取單位長(zhǎng)度，標(biāo)數(shù)：選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示1，2，3，…；從原點(diǎn)向左，用類似方法依次表示－1，－2，－3，….【即學(xué)即練】以下是四位同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：選項(xiàng)A中的數(shù)軸沒有原點(diǎn)，因此選項(xiàng)A不符合題意；選項(xiàng)B的數(shù)軸符合數(shù)軸的定義，因此選項(xiàng)B符合題意；選項(xiàng)C中的數(shù)據(jù)標(biāo)識(shí)不正確，因此選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D中的數(shù)軸單位長(zhǎng)度不一致，因此選項(xiàng)D不符合題意；知識(shí)點(diǎn)06有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系一般地，任意一個(gè)有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示.但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理教，還可以表示其他數(shù)，比如.【即學(xué)即練】如圖，點(diǎn)M表示的數(shù)可能是（）【答案】D知識(shí)點(diǎn)07相反數(shù)1.只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，這就是說，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，如2與－2互為相反數(shù)，即2的相反數(shù)是－2，－2的相反數(shù)是2.2.數(shù)a的相反數(shù)是－a，這里a表示任意一個(gè)數(shù)，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或者0.3.任何一個(gè)數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個(gè)；正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0.【即學(xué)即練】填空：(4)的相反數(shù)是1.1；(5)8.2和互為相反數(shù).（6）a和互為相反數(shù).（7）______的相反數(shù)比它本身大，______的相反數(shù)等于它本身．【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）；（4）1.1；（5）8.2；（6）a；（7）負(fù)數(shù)，0.知識(shí)點(diǎn)08絕對(duì)值1.概念：一般地，數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫作這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.2.表示方法：數(shù)a的絕對(duì)值記為|a|，讀作“a的絕對(duì)值”.3.性質(zhì)：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.【即學(xué)即練】求下列各數(shù)的絕對(duì)值．【答案與解析】因?yàn)?.3到原點(diǎn)距離是0.3個(gè)單位長(zhǎng)度，所以|0.3|＝0.3．因?yàn)?到原點(diǎn)距離為0個(gè)單位長(zhǎng)度，所以|0|＝0．因?yàn)?.3＜0，所以|0.3|＝(0.3)＝0.3．因?yàn)?的絕對(duì)值是它本身，所以|0|＝0．題型01用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量【答案】C【分析】此題考查正數(shù)與負(fù)數(shù)的意義．先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義，再根據(jù)題意作答即可．故選：C．【變式1】（2425七年級(jí)上·安徽滁州·期中）我國(guó)是最早認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)的國(guó)家，早在公元3世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽就說：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以明之．”意思：在計(jì)算過程中遇到相反意義的量，要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來區(qū)分它們．如果我們把收入5萬元，記為，那么支出3萬元，應(yīng)記為．【答案】【分析】本題考查了相反意義的量，根據(jù)題意收入記作正，則支出記作負(fù)，即可得出答案．【詳解】解：把收入5萬元，記為，那么支出3萬元，應(yīng)記為，故答案為：．【分析】此題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用，首先要知道以誰為標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定超出標(biāo)準(zhǔn)的為正，低于標(biāo)準(zhǔn)的為負(fù)，由此用正負(fù)數(shù)解答問題．．【變式3】（2425七年級(jí)上·安徽合肥·期中）（九章算術(shù)）中有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思是：今有兩數(shù)，若其意義相反，則分別叫作正數(shù)與負(fù)數(shù)．若前進(jìn)米記作米，則后退米記作米．【答案】【分析】本題考查了相反意義的量，熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義是解答本題的關(guān)鍵．在一對(duì)具有相反意義的量中，規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．根據(jù)相反意義的量求解即可。【詳解】解：前進(jìn)米記作米，則后退米記作米．故答案為：．題型02用正負(fù)數(shù)表示誤差范圍【答案】重量在上下波動(dòng)范圍內(nèi)意思正確即可【分析】根據(jù)題意及“正”、“負(fù)”所表示的意義直接作答即可．故答案為：重量在上下波動(dòng)范圍內(nèi)意思正確即可．【點(diǎn)睛】本題主要考查正負(fù)數(shù)的意義，正確理解正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．【答案】D故選：．【變式2】（2425七年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖是某零件的尺寸要求，現(xiàn)有下列直徑尺寸的產(chǎn)品（單位：），其中不合格的是（

）【答案】A【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義求得零件直徑的合格范圍是解題的關(guān)鍵．現(xiàn)根據(jù)圖片信息得出零件直徑的合格范圍，在對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)即可選出正確答案．故選：A．【答案】【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義計(jì)算即可．故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義,正確理解是解題的關(guān)鍵．題型03有關(guān)正負(fù)數(shù)圖表信息題【例1】（2223七年級(jí)上·安徽淮北·階段練習(xí)）下表是某班5名同學(xué)某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)，根據(jù)信息回答問題：姓名王芳劉兵張沂李聰江文成績(jī)8984與全班平均分之差(1)把表格補(bǔ)充完整；(2)若不低于平均分的成績(jī)是合格，求5名同學(xué)的合格率?【答案】(1)86，78，82，【分析】根據(jù)有理數(shù)加減法在實(shí)際問題中的應(yīng)用，可知高于基準(zhǔn)為正，低于基準(zhǔn)為負(fù)，有張沂可知，平均分為分，由此即可求出其他同學(xué)的成績(jī)，由合格人數(shù)除以總?cè)藬?shù)乘以百分比即可求出答案．【詳解】（1）解：由表格中張沂的信息可得出，平均分為84分，故答案是：86，78，82，；（2）解：平均分為分，合格有劉兵，張沂，王芳，【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加減法的應(yīng)用，以及合格率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵的找出“基準(zhǔn)”，且“高于基準(zhǔn)為正，低于基準(zhǔn)為負(fù)”．【變式1】某超市2021年上半年的營(yíng)業(yè)額與2020年同月營(yíng)業(yè)額相比的增長(zhǎng)率如下表所示．請(qǐng)根據(jù)表格信息回答下列問題：月

份123456比上年同月增長(zhǎng)%1.800.21.50.30.4(1)該超市2021年上半年的營(yíng)業(yè)額與2020年同月營(yíng)業(yè)額相比，哪幾個(gè)月是增長(zhǎng)的？(2)2021年1月和4月比上年同月增長(zhǎng)率是負(fù)數(shù)表示什么意思？(3)2021年上半年與2020年上半年同月相比，營(yíng)業(yè)額沒有增長(zhǎng)的是哪幾個(gè)月？【答案】(1)3月，5月，6月是增長(zhǎng)的(2)負(fù)數(shù)表示降低，營(yíng)業(yè)額下降(3)沒有增長(zhǎng)的是1月，2月，4月【分析】（1）根據(jù)正數(shù)表示增長(zhǎng)，可得負(fù)數(shù)表示降低；（2）根據(jù)正數(shù)表示增長(zhǎng)，可得負(fù)數(shù)表示降低；（3）根據(jù)正數(shù)表示增長(zhǎng)，可得負(fù)數(shù)表示降低，0表示不變．【詳解】（1）由正數(shù)表示增長(zhǎng)，該超市2021年上半年的營(yíng)業(yè)額與2020年同月營(yíng)業(yè)額相比，3月、5月、6月是增長(zhǎng)的；（2）由負(fù)數(shù)表示降低，可得2021年1月和4月比上年同月增長(zhǎng)率是負(fù)數(shù)，表示降低，營(yíng)業(yè)額下降；（3）2021年上半年與2020年上半年同月相比，營(yíng)業(yè)額沒有增長(zhǎng)即比上年同月增長(zhǎng)%為0的有2月、1月、4月．【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，相反意義的量用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示．【變式2】某超市2021年上半年的營(yíng)業(yè)額與2020年同月營(yíng)業(yè)額相比的增長(zhǎng)率如下表所示．請(qǐng)根據(jù)表格信息回答下列問題：月

份123456比上年同月增長(zhǎng)%1.800.21.50.30.4(1)該超市2021年上半年的營(yíng)業(yè)額與2020年同月營(yíng)業(yè)額相比，哪幾個(gè)月是增長(zhǎng)的？(2)2021年1月和4月比上年同月增長(zhǎng)率是負(fù)數(shù)表示什么意思？(3)2021年上半年與2020年上半年同月相比，營(yíng)業(yè)額沒有增長(zhǎng)的是哪幾個(gè)月？【答案】(1)3月，5月，6月是增長(zhǎng)的(2)負(fù)數(shù)表示降低，營(yíng)業(yè)額下降(3)沒有增長(zhǎng)的是1月，2月，4月【詳解】（1）由正數(shù)表示增長(zhǎng)，該超市2021年上半年的營(yíng)業(yè)額與2020年同月營(yíng)業(yè)額相比，3月、5月、6月是增長(zhǎng)的；（2）由負(fù)數(shù)表示降低，可得2021年1月和4月比上年同月增長(zhǎng)率是負(fù)數(shù)，表示降低，營(yíng)業(yè)額下降；（3）2021年上半年與2020年上半年同月相比，營(yíng)業(yè)額沒有增長(zhǎng)即比上年同月增長(zhǎng)%為0的有2月、1月、4月．【變式3】（2022秋·安徽蚌埠·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下表是某班5名同學(xué)某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)，根據(jù)信息回答問題：姓名王芳劉兵張沂李聰江文成績(jī)8984與全班平均分之差(1)把表格補(bǔ)充完整；(2)若不低于平均分的成績(jī)是合格，求5名同學(xué)的合格率?【答案】(1)86，78，82，【詳解】（1）解：由表格中張沂的信息可得出，平均分為84分，故答案是：86，78，82，；（2）解：平均分為分，合格有劉兵，張沂，王芳，【變式4】“十一”周期間，某超市家電部大力促銷，收銀情況如下表，下表為當(dāng)天與前一天的營(yíng)業(yè)額的漲跌情況（上漲為正，下跌為負(fù)，單位：萬元）．已知9月30日的營(yíng)業(yè)額為26萬元：10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日+4+3+20﹣1﹣3﹣5（1）家電部周內(nèi)哪天收入最高，為多少萬元？哪天收入最低，為多少萬元？（2）家電部周內(nèi)平均每天的營(yíng)業(yè)額是多少萬元？（精確到0.01萬元）【解答】解：（1）∵9月30日的營(yíng)業(yè)額為26萬元，∴10月1日的營(yíng)業(yè)額為26+4＝30萬元，10月2日營(yíng)業(yè)額為30+3＝33萬元，10月3日營(yíng)業(yè)額為33+2＝35萬元，10月4日營(yíng)業(yè)額為35+0＝35萬元，10月5日營(yíng)業(yè)額為35﹣1＝34萬元，10月6日營(yíng)業(yè)額為34﹣3＝31萬元，10月7日營(yíng)業(yè)額為31﹣5＝26萬元，∴10月7日最低，營(yíng)業(yè)額為26萬元；10月3日、4日為最高，營(yíng)業(yè)額為35萬元；（2）（30+33+35+35+34+31+26）÷7＝32.00（萬元），∴家電部周內(nèi)平均每天的營(yíng)業(yè)額是32.00萬元．題型04正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)律探究題【例1】觀察下列數(shù)列，填上空缺的數(shù)．（1）1，，2，，3，______，______，______；（2）1，，3，，5，______，______，______．【答案】（1）3，4，4；（2）6，7，8．【解析】（1）從舉出的數(shù)可以看出，兩數(shù)之間互為相反數(shù)即可；（2）數(shù)字是1、2、3、4、5、6、7、8，偶數(shù)前面是負(fù)號(hào)，奇數(shù)前面是正號(hào)．編號(hào)法探究數(shù)組的排列規(guī)律探究一組數(shù)的排列規(guī)律時(shí)，應(yīng)全面分析題中所給的所有數(shù)據(jù)要從符號(hào)和數(shù)字兩個(gè)方面進(jìn)行觀察，可以先把已知的數(shù)據(jù)按順序編上序號(hào)，再分別確定符號(hào)和數(shù)字與序號(hào)的統(tǒng)一關(guān)系，進(jìn)而確定數(shù)字排列規(guī)律與序號(hào)的關(guān)系，若數(shù)據(jù)是分?jǐn)?shù)，還要分別觀察分子和分母【變式1】按照一定的規(guī)律填數(shù)：（1）1，，4，，16，______，______，______；（2）1，，3，4，，6，7，，9，______，______，…，______（第2017個(gè)數(shù)）．【答案】（1）32，64，128；（2）10，11，2017．【解析】（1）可找出規(guī)律：后面的數(shù)字是前面的數(shù)字的2倍，第奇數(shù)個(gè)數(shù)字為正數(shù)，第偶數(shù)個(gè)數(shù)字為負(fù)數(shù)．則可得答案．（1）可找出規(guī)律：除了1之外，后面的符號(hào)規(guī)律是一負(fù)兩正．【總結(jié)】考察數(shù)字找規(guī)律．【變式2】創(chuàng)新題·新題型黑板上有10個(gè)互不相同的有理數(shù)，有四位同學(xué)對(duì)此作出如下描述：小明說：“其中有6個(gè)整數(shù).”小紅說：“其中有6個(gè)正數(shù).”點(diǎn)點(diǎn)說：“其中正分?jǐn)?shù)與負(fù)分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)相等.”訓(xùn)訓(xùn)說：“負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)不超過3個(gè).”請(qǐng)你根據(jù)這四位同學(xué)的描述，判斷這10個(gè)有理數(shù)中共有___個(gè)負(fù)整數(shù).【解析】因?yàn)?0個(gè)有理數(shù)中有6個(gè)正數(shù)，所以非正數(shù)共有10?6=4(個(gè)).因?yàn)樨?fù)數(shù)的個(gè)數(shù)不超過3個(gè)，所以負(fù)數(shù)共有3個(gè)，其中負(fù)分?jǐn)?shù)有(10?6)÷2=4÷2=2(個(gè))，所以負(fù)整數(shù)共有3?2=1(個(gè)).題型05多重符號(hào)的化簡(jiǎn)【分析】本題考查的是化簡(jiǎn)絕對(duì)值及化簡(jiǎn)多重符號(hào)，熟練掌握絕對(duì)值性質(zhì)及化簡(jiǎn)多重符號(hào)的方法是解題關(guān)鍵，根據(jù)絕對(duì)值及相反數(shù)定義直接計(jì)算即可．【變式1】化簡(jiǎn)下列各數(shù)中的符號(hào)．（5）[(+1)]（6）(a)【解析】（2）(+5)表示+5的相反數(shù)，即5，所以(+5)=5；（3）(0.25)表示0.25的相反數(shù)，而0.25的相反數(shù)是0.25，所以(0.25)＝0.25；（5）先看中括號(hào)內(nèi)(+1)表示1的相反數(shù)，即1，因此[(+1)]＝(1)而(1)表示1的相反數(shù)，即1，所以[(+1)]＝(1)=1；(6)(a)表示a的相反數(shù)，即a．所以(a)=a【變式2】化簡(jiǎn)：（1）﹣{+[﹣（+3）]}；（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．【解析】解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．【變式3】當(dāng)+6前面有2011個(gè)正號(hào)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為：；當(dāng)+6前面有2011個(gè)負(fù)號(hào)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為：；當(dāng)+6前面有2012個(gè)負(fù)號(hào)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為：.【答案】6；6；6題型06相反數(shù)的幾何意義的應(yīng)用【例1】（2425七年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖所示，為數(shù)軸上兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)表示的數(shù)是1，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)處出發(fā)，先向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為．【答案】0【分析】本題主要考查了相反數(shù)、用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)、數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題等知識(shí)，理解題意，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．首先確定點(diǎn)表示的數(shù)是，再根據(jù)“向右移動(dòng)，加；向左移動(dòng)，減”的原則，即可獲得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，為數(shù)軸上兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，∵點(diǎn)表示的數(shù)是1，∴點(diǎn)表示的數(shù)是，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)處出發(fā)，先向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，故答案為：0．【變式1】如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)M，P，N，Q分別表示四個(gè)有理數(shù)，若點(diǎn)M，N表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示正數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè)．

【答案】3【分析】本題考查了數(shù)軸、相反數(shù)的幾何意義，解決本題的關(guān)鍵是判斷出原點(diǎn)的位置．先利用相反數(shù)的幾何意義確定原點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，再根據(jù)原點(diǎn)右邊的數(shù)為正數(shù)進(jìn)行判斷解答即可．【詳解】解：點(diǎn)M，N表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，∴原點(diǎn)O在的中點(diǎn)處，如圖，∴圖中在原點(diǎn)O右邊的數(shù)為正數(shù)的點(diǎn)是P、N、Q三個(gè)點(diǎn)．故答案為：3．【變式2】數(shù)形結(jié)合思想如圖，數(shù)軸的單位長(zhǎng)度為1.請(qǐng)回答下列問題.(1)如果點(diǎn)A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么點(diǎn)C表示的數(shù)是多少？(2)如果點(diǎn)D，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么點(diǎn)C，D表示的數(shù)分別是多少？解：（1）點(diǎn)C表示的數(shù)是?1.（2）點(diǎn)C表示的數(shù)是0.5，點(diǎn)D表示的數(shù)是?4.5.題型07絕對(duì)值的應(yīng)用【例1】真實(shí)情境[2025·合肥五十中月考]世乒賽中用球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定，下表是6個(gè)乒乓球質(zhì)量檢測(cè)的結(jié)果（單位：克，超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)重量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)）．一號(hào)球二號(hào)球三號(hào)球四號(hào)球五號(hào)球六號(hào)球0.10.20(1)請(qǐng)找出三個(gè)誤差相對(duì)較小一些的乒乓球，并用絕對(duì)值的知識(shí)說明．【答案】(1)見解析(2)在這六個(gè)乒乓球中，優(yōu)等品是二號(hào)球、四號(hào)球、五號(hào)球，共3個(gè)；合格品是三號(hào)球、六號(hào)球，共2個(gè)；不合格品是一號(hào)球，共1個(gè)；理由見解析【分析】本題考查了絕對(duì)值的意義及應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵；判斷質(zhì)量、零件尺寸等是否合格，關(guān)鍵是看偏差的絕對(duì)值的大小，而與正、負(fù)數(shù)無關(guān)．由絕對(duì)值的幾何定義可知，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越小，離原點(diǎn)越近，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為距離標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量越小，即絕對(duì)值越小，就越接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量．據(jù)此進(jìn)行判斷即可．（2）解：在這六個(gè)乒乓球中，優(yōu)等品是二號(hào)球、四號(hào)球、五號(hào)球，共3個(gè)；合格品是三號(hào)球、六號(hào)球，共2個(gè)；不合格品是一號(hào)球，共1個(gè)；【變式1】正式足球比賽對(duì)所用足球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定，下面是6個(gè)足球的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果，用正數(shù)記超過規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)，用負(fù)數(shù)記不足規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)．檢測(cè)結(jié)果(單位：克)：25，+10，20，+30，+15，40．裁判員應(yīng)該選擇哪個(gè)足球用于這場(chǎng)比賽呢?請(qǐng)說明理由．【答案】因?yàn)椋?10｜＜｜+15｜＜｜20｜＜｜25｜＜｜+30｜＜｜40｜，所以檢測(cè)結(jié)果為+10的足球的質(zhì)量好一些．所以裁判員應(yīng)該選第二個(gè)足球用于這場(chǎng)比賽．【解析】根據(jù)實(shí)際問題可知，哪個(gè)足球的質(zhì)量偏離規(guī)定質(zhì)量越小，則足球的質(zhì)量越好．這個(gè)偏差可以用絕對(duì)值表示，即絕對(duì)值越小偏差也就越小，反之絕對(duì)值越大偏差也就越大．【變式2】一只可愛的小蟲從點(diǎn)O出發(fā)在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，小蟲爬行的各段路程(單位：cm)依次記為：+5，3，+10，8，6，+12，10，在爬行過程中，如果小蟲每爬行1cm就獎(jiǎng)勵(lì)2粒芝麻，那么小蟲一共可以得到多少粒芝麻?【答案】小蟲爬行的總路程為：|+5|+|3|+|+10|+|8|+|6|+|+12|+|10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)．答：小蟲得到的芝麻數(shù)為54×2＝108(粒)．題型08與數(shù)軸有關(guān)的探索與創(chuàng)新題【例1】在數(shù)軸上A點(diǎn)表示，則在數(shù)軸上與點(diǎn)A距離2個(gè)長(zhǎng)度單位的點(diǎn)所表示的數(shù)（

）A． B．5 C．或 D．1【答案】C【分析】本題綜合考查了數(shù)軸、絕對(duì)值的有關(guān)內(nèi)容，在數(shù)軸上表示出A點(diǎn)，找到與點(diǎn)A距離2個(gè)長(zhǎng)度單位的點(diǎn)所表示的數(shù)即可．此類題注意兩種情況：要求的點(diǎn)可以在已知點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)．用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)．【詳解】根據(jù)數(shù)軸可以得到在數(shù)軸上與點(diǎn)A距離2個(gè)長(zhǎng)度單位的點(diǎn)所表示的數(shù)是：或．故選：C．易錯(cuò)警示絕對(duì)值的漏解(多解)問題已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值求這個(gè)數(shù)時(shí),容易只求出滿足條件的正數(shù),而漏掉負(fù)數(shù)。【變式1】數(shù)軸上到原點(diǎn)距離為2個(gè)單位的點(diǎn)表示的數(shù)有______，是______；數(shù)軸上到表示1的點(diǎn)的距離為2個(gè)單位的點(diǎn)表示的數(shù)為______．【答案】2個(gè)；2和2；3和1【解析】可利用畫數(shù)軸得到答案．【總結(jié)】考察對(duì)絕對(duì)值幾何意義的理解及運(yùn)用，注意兩解的討論．【變式2】數(shù)軸上表示的數(shù)是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1厘米，若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫出一條長(zhǎng)為2017厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點(diǎn)的有多少個(gè)？【答案】2018個(gè)或2017個(gè)【解析】當(dāng)A、B為整點(diǎn)時(shí)，線段AB=2017蓋住的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是2018個(gè)；當(dāng)A、B分別不是整點(diǎn)時(shí)，線段AB=2017蓋住的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是2017個(gè)．【總結(jié)】考察數(shù)軸上有理數(shù)的表示，綜合性較強(qiáng)，注意分類討論．一、單選題1．（2425七年級(jí)上·安徽六安·期中）下列數(shù)軸上僅有兩點(diǎn)表示的數(shù)絕對(duì)值相等，這兩點(diǎn)是（

）A．點(diǎn)和點(diǎn) B．點(diǎn)和點(diǎn) C．點(diǎn)和點(diǎn) D．點(diǎn)和點(diǎn)【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值的幾何意義、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離【分析】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)及絕對(duì)值的意義，兩點(diǎn)表示的數(shù)絕對(duì)值相等，則這兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，觀察數(shù)軸圖可知到原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)．【詳解】解：觀察數(shù)軸圖可知到原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)，即點(diǎn)和點(diǎn)表示的數(shù)的絕對(duì)值相等，故選：D．A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的定義【分析】本題主要考查了有理數(shù)的定義，有理數(shù)是分?jǐn)?shù)和整數(shù)的統(tǒng)稱，據(jù)此可得答案．故選：C．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用故選：A．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】相反意義的量【分析】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的表示相反意義的量，理解正負(fù)數(shù)的意義是解題關(guān)鍵．根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義進(jìn)行解答即可．故選：B．5．（2223七年級(jí)上·安徽淮北·階段練習(xí)）中國(guó)是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量的國(guó)家，如果將“收入60元”記作“元”，那么“支出40元”記作（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】相反意義的量【分析】此題考查了相反意義的量．根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，直接寫出答案即可．【詳解】解：如果“收入60元”記作“元”，那么“支出40元”記作“元”．故選：B．6．（2425七年級(jí)上·安徽合肥·期中）下列說法正確的是（

）C．一定是負(fù)數(shù) D．一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的分類、絕對(duì)值的幾何意義、相反數(shù)的定義【分析】本題考查了有理數(shù)的分類、絕對(duì)值的性質(zhì)、相反數(shù)的定義，根據(jù)有理數(shù)的分類、絕對(duì)值的性質(zhì)、相反數(shù)的定義逐項(xiàng)分析即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、有理數(shù)包括正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，故原說法正確，符合題意；故選：D．7．（2425七年級(jí)上·安徽合肥·期中）下列說法中正確的是（

）A．0不是有理數(shù) B．在有理數(shù)中有最小的數(shù)C．有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù) D．若是有理數(shù)，則一定是負(fù)數(shù)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的分類、有理數(shù)的定義【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，有理數(shù)的定義．有理數(shù)可以分為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)或分為正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，根據(jù)上面兩種分類方法去判斷正誤即可．【詳解】解：A、0是有理數(shù)，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B、在有理數(shù)中沒有最小的數(shù)，故B錯(cuò)誤，不符合題意；C、有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，故C正確，符合題意；故選：C．A．7人 B．6人 C．5人 D．4人【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、正負(fù)數(shù)的定義【分析】本題主要考查正負(fù)數(shù)的意義，用正負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量：超過標(biāo)準(zhǔn)的個(gè)數(shù)用正數(shù)表示，不足的個(gè)數(shù)用負(fù)數(shù)表示，由此求解即可．故選：C．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】正負(fù)數(shù)的定義【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，根據(jù)題意，結(jié)合正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義即可得解，理解題意是解此題的關(guān)鍵．【詳解】故選：D．二、填空題10．（2425七年級(jí)上·安徽合肥·期中）《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù)．若水位上升50米，記作米，則水位下降30米，記作米．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】相反意義的量【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．根據(jù)水位上升為正，則水位下降為負(fù)．即可得到答案．【詳解】解：若水位上升50米，記作米，則水位下降30米，記作米，故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】相反意義的量【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，如果盈利記為正，那么虧損記為負(fù)即可．12．（2223七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）在檢測(cè)排球質(zhì)量過程中，規(guī)定超過標(biāo)準(zhǔn)的克數(shù)為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，根據(jù)下表提供的檢測(cè)結(jié)果，你認(rèn)為質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)的是號(hào)排球．排球編號(hào)一號(hào)二號(hào)三號(hào)四號(hào)五號(hào)檢測(cè)結(jié)果【答案】五【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值的幾何意義、絕對(duì)值的其他應(yīng)用【分析】使用誤差的絕對(duì)值作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，誤差的絕對(duì)值越小數(shù)據(jù)越接近標(biāo)準(zhǔn)，即可判斷．故答案為：五．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的實(shí)際運(yùn)用，關(guān)鍵要掌握絕對(duì)值的含義，以及在誤差判斷中運(yùn)用．三、解答題13．（2425七年級(jí)上·安徽蚌埠·開學(xué)考試）畫出數(shù)軸并標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)【分析】本題考查在數(shù)軸上表示有理數(shù)、化簡(jiǎn)多重符號(hào)、絕對(duì)值的性質(zhì)，熟練掌握用在數(shù)軸上表示有理數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)化簡(jiǎn)多重符號(hào)的方法和絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而在數(shù)軸上表示即可．如圖，在數(shù)軸上表示各數(shù)如下：14．（2324七年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里：(1)正整數(shù)集合：；(2)整數(shù)集合：；(3)正分?jǐn)?shù)集合：；(4)非負(fù)有理數(shù)集合：；(3)，，【知識(shí)點(diǎn)】帶“非”字的有理數(shù)、有理數(shù)的分類【分析】（1）先去絕對(duì)值符號(hào)，化簡(jiǎn)多重符號(hào)，然后根據(jù)正整數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)整數(shù)的定義解答即可；（3）根據(jù)正分?jǐn)?shù)的定義解答即可；（4）根據(jù)非負(fù)有理數(shù)的定義解答即可．（3）解：正負(fù)數(shù)有：，，；【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)，熟知有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．(1)整數(shù)：；(2)分?jǐn)?shù)：；(3)負(fù)數(shù)：；(4)非負(fù)整數(shù)：．【答案】(1)0，，2，，(4)0，2【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的分類