1.2橢圓的簡單性質(一)[學習目標]1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，利用曲線的方程研究它的性質，并能畫出圖像.知識點一橢圓的簡單幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a焦點(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)知識點二離心率的作用當橢圓的離心率越接近1，則橢圓越扁；當橢圓離心率越接近0，則橢圓越接近于圓.題型一橢圓的簡單性質例1求橢圓25x2＋y2＝25的長軸和短軸的長及焦點和頂點坐標.解把已知方程化成標準方程為eq\f(y2,25)＋x2＝1，則a＝5，b＝1.所以c＝eq\r(25－1)＝2eq\r(6)，因此，橢圓的長軸長2a＝10，短軸長2b＝2，兩個焦點分別是F1(0，－2eq\r(6))，F(xiàn)2(0,2eq\r(6))，橢圓的四個頂點分別是A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－1,0)，B2(1,0).反思與感悟解決此類問題的方法是先將所給方程化為標準形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標軸上，再利用a，b，c之間的關系和定義，就可以得到橢圓相應的幾何性質.跟蹤訓練1求橢圓m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率.解橢圓的方程m2x2＋4m2y2＝1(m>0)可轉化為eq\f(x2,\f(1,m2))＋eq\f(y2,\f(1,4m2))＝1.∵m2<4m2，∴eq\f(1,m2)>eq\f(1,4m2)，∴橢圓的焦點在x軸上，并且長半軸長a＝eq\f(1,m)，短半軸長b＝eq\f(1,2m)，半焦距長c＝eq\f(\r(3),2m).∴橢圓的長軸長2a＝eq\f(2,m)，短軸長2b＝eq\f(1,m)，焦點坐標為(－eq\f(\r(3),2m)，0)，(eq\f(\r(3),2m)，0)，頂點坐標為(eq\f(1,m)，0)，(－eq\f(1,m)，0)，(0，－eq\f(1,2m))，(0，eq\f(1,2m)).離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\f(\r(3),2m),\f(1,m))＝eq\f(\r(3),2).題型二由橢圓的簡單性質求方程例2求滿足下列各條件的橢圓的標準方程.(1)已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，其離心率為eq\f(1,2)，焦距為8；(2)已知橢圓的離心率為e＝eq\f(2,3)，短軸長為8eq\r(5).解(1)由題意知，2c＝8，c＝4，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝8，從而b2＝a2－c2＝48，∴橢圓的標準方程是eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1.(2)由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)得c＝eq\f(2,3)a，又2b＝8eq\r(5)，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,80)＝1或eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,144)＝1.反思與感悟在求橢圓方程時，要注意根據(jù)題目條件判斷焦點所在的坐標軸，從而確定方程的形式；若不能確定焦點所在的坐標軸，則應進行討論，然后列方程(組)確定a，b，這就是我們常用的待定系數(shù)法.跟蹤訓練2橢圓過點(3,0)，離心率e＝eq\f(\r(6),3)，求橢圓的標準方程.解∵所求橢圓的方程為標準方程，又橢圓過點(3,0)，∴點(3,0)為橢圓的一個頂點.①當橢圓的焦點在x軸上時，(3,0)為右頂點，則a＝3，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴c＝eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),3)×3＝eq\r(6)，∴b2＝a2－c2＝32－(eq\r(6))2＝9－6＝3，∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.②當橢圓的焦點在y軸上時，(3,0)為右頂點，則b＝3，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴c＝eq\f(\r(6),3)a，∴b2＝a2－c2＝a2－eq\f(2,3)a2＝eq\f(1,3)a2，∴a2＝3b2＝27，∴橢圓的標準方程為eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1.綜上可知，橢圓的標準方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1或eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1.題型三求橢圓的離心率解設橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距長分別為a，b，c.則焦點為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，M點的坐標為(c，eq\f(2,3)b)，且△MF1F2為直角三角形.在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋eq\f(4,9)b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝eq\r(4c2＋\f(4,9)b2)＋eq\f(2,3)b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9).∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,9)，∴e＝eq\f(\r(5),3).反思與感悟求橢圓離心率的方法：①直接求出a和c，再求e＝eq\f(c,a)，也可利用e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解.②若a和c不能直接求出，則看是否可利用條件得到a和c的齊次等式關系，然后整理成eq\f(c,a)的形式，并將其視為整體，就變成了關于離心率e的方程，進而求解.跟蹤訓練3已知橢圓C以坐標軸為對稱軸，長軸長是短軸長的5倍，且經(jīng)過點A(5,0)，求橢圓C的離心率.解若焦點在x軸上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝5×2b，,\f(25,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝1，))∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(52－12)＝2eq\r(6)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(6),5)；若焦點在y軸上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝5×2b，,\f(0,a2)＋\f(25,b2)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝25，,b＝5，))∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(252－52)＝10eq\r(6)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(10\r(6),25)＝eq\f(2\r(6),5).故橢圓C的離心率為eq\f(2\r(6),5).1.橢圓以兩條坐標軸為對稱軸，一個頂點是(0,13)，另一個頂點是(－10,0)，則焦點坐標為()A.(±13，0) B.(0，±10)C.(0，±13) D.(0，±eq\r(69))答案D解析由題意知橢圓的焦點在y軸上，且a＝13，b＝10，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦點坐標為(0，±eq\r(69)).2.如圖，直線l：x－2y＋2＝0過橢圓的左焦點F1和一個頂點B，該橢圓的離心率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)答案D解析∵x－2y＋2＝0，∴y＝eq\f(1,2)x＋1，而eq\f(b,c)＝eq\f(1,2)，即eq\r(\f(a2－c2,c2))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(a2,c2)＝eq\f(5,4)，eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).3.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)答案B解析由題意有，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去).4.若焦點在y軸上的橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m的值為________.答案eq\f(3,2)解析∵焦點在y軸上，∴0<m<2，∴a＝eq\r(2)，b＝eq\r(m)，∴c＝eq\r(2－m)，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(\r(2－m),\r(2))＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(3,2).5.橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長，短軸長，離心率依次為________.答案10，6，eq\f(4,5)解析由題意，將橢圓方程化為標準式為eq\f(y2,25)＋eq\f(x2