專題10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【考點預(yù)測】1.對數(shù)式的運算(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；②常用對數(shù)：以為底，記為；③自然對數(shù)：以為底，記為；(3)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2.對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，【方法技巧與總結(jié)】1.對數(shù)函數(shù)常用技巧在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠(yuǎn)離軸．(見下圖)【題型歸納目錄】題型一：對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題【典例例題】題型一：對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）計算；（2）已知，求實數(shù)x的值；（3）若，，用a，b，表示．例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）求的值.（2）已知，，試用，表示例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知a，b，c均為正數(shù)，且3a＝4b＝6c，求證：；（2）若60a＝3，60b＝5，求的值．例4．（2022·全國·模擬預(yù)測）若，，則（

）A．a(chǎn)＋b＝100 B．b－a＝eC． D．例5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，，，，，，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．例7．（2022·全國·江西師大附中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)則不等式的解集為______．例8．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校二模）若函數(shù)滿足：（1），且，都有；（2），則___________.（寫出滿足這些條件的一個函數(shù)即可）例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點.（1）解關(guān)于x的方程；（2）不等式的解集是，試求實數(shù)a的值.【方法技巧與總結(jié)】對數(shù)的有關(guān)運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對數(shù)單調(diào)性去掉對數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)的問題，但這里必須注意對數(shù)的真數(shù)為正.題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像例10．（2022·山東濰坊·二模）已知函數(shù)（且）的圖像如圖所示，則以下說法正確的是（

）A． B． C． D．例11．（2022·江蘇省高郵中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)且的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．（多選題）例12．（2022·福建·莆田二中模擬預(yù)測）已知函數(shù)（且）的圖象如下所示．函數(shù)的圖象上有兩個不同的點，，則（

）A．， B．在上是奇函數(shù)C．在上是單調(diào)遞增函數(shù) D．當(dāng)時，例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，若的圖象與軸有3個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為______.【方法技巧與總結(jié)】研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））例14．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高二期中（文））函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．例15．（2022·天津·南開中學(xué)二模）已知函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．例16．（2022·浙江·模擬預(yù)測）己知實數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））函數(shù)f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是（

）A．0 B．1C．2 D．a(chǎn)例18．（2022·重慶·模擬預(yù)測）若函數(shù)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題例19．（2022·北京·高三專題練習(xí)）若不等式在內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例20．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例21．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實數(shù)的取值范圍是___________.例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，已知實數(shù)，若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值與最小值之和為．（1）求實數(shù)的值；（2）對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例24．（2022·陜西安康·高三期末（文））已知函數(shù).(1)若，求a的值；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.例25．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（2）對任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像求解；（2）分離自變量與參變量，利用等價轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題例26．（2022·河北·張家口市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知定義域為的單調(diào)遞增函數(shù)滿足：，有，則方程的解的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，．若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于x的方程恰有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．例28．（2022·廣西柳州·高一期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．例29．（2022·河北保定·二模）已知函數(shù)在上先增后減，函數(shù)在上先增后減.若，，，則（

）A． B． C． D．例30．（2022·廣東·三模）已知，e是自然對數(shù)的底，若，則的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是函數(shù)的零點，則_______．

【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·遼寧遼陽·二模）區(qū)塊鏈作為一種新型的技術(shù)，被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.在區(qū)塊鏈技術(shù)中，某個密碼的長度設(shè)定為512B，則密碼一共有種可能，為了破解該密碼，在最壞的情況下，需要進(jìn)行次運算.現(xiàn)在有一臺計算機，每秒能進(jìn)行次運算，那么在最壞的情況下，這臺計算機破譯該密碼所需的時間大約為（參考數(shù)據(jù)，）（

）A． B．C． D．2．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知，，其中且，且，若，則的值為（

）A． B． C．2 D．33．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））已知正實數(shù)x，y，z滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2022·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過定點A．（2，2） B．（2，1） C．（3，2） D．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））設(shè)函數(shù)，，若對任意的，都存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）設(shè)且，若對恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·浙江·模擬預(yù)測）己知實數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·重慶市天星橋中學(xué)一模）已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值是4B．的最小值是2C．的最小值是D．的最小值是10．（2022·廣東汕頭·二模）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．11．（2022·河北·高三階段練習(xí)）下列函數(shù)中，存在實數(shù)a，使函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．12．（2022·江蘇·南京師大附中高三開學(xué)考試）當(dāng)時，，則的值可以為（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2022·天津·二模）已知，則的最小值為__________.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________．15．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍為___________.16．（2022·河南·開封高中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)為奇函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任意x都有．當(dāng)時，．給出以下4個結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱；②函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；③當(dāng)時，；④函數(shù)在上單調(diào)遞減．其中所有正確結(jié)論的序號為______．四、解答題17．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)，函數(shù)的定義域為[m，n](m<n)，值域為[0，1]，定義“區(qū)間[m，n]的長度等于n－m”，若區(qū)間[m，n]長度的最小值為求實數(shù)a的值；18．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1．(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)當(dāng)a＞1時，求使f(x)＞0的x的解集．19．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，作出的大致圖像并寫出它的單調(diào)性