專(zhuān)題20解三角形【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式；；.常見(jiàn)變形(1)，，；(2)，，；；；.（2）面積公式：（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r.）知識(shí)點(diǎn)二：相關(guān)應(yīng)用（1）正弦定理的應(yīng)用=1\*GB3①邊化角，角化邊=2\*GB3②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊=3\*GB3③合分比：（2）內(nèi)角和定理：=1\*GB3①同理有：，.=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列.知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)際應(yīng)用（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．（2）方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類(lèi)似．（4）坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱(chēng)為坡比．【方法技巧與總結(jié)】1.方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解2.在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到.【題型歸納目錄】題型一：正弦定理的應(yīng)用題型二：余弦定理的應(yīng)用題型三：判斷三角形的形狀題型四：正、余弦定理與的綜合題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用題型六：倍角關(guān)系題型七：三角形解的個(gè)數(shù)題型八：三角形中的面積與周長(zhǎng)問(wèn)題【典例例題】題型一：正弦定理的應(yīng)用例1．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）在中，，，則外接圓的半徑為（

）A．1 B． C．2 D．3例2．（2022·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（文））在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且的面積．(1)求角B的大小；(2)若，求．例3．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．例4．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c若，角C為鈍角，.(1)求的值；(2)求邊c的長(zhǎng).例5．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知．(1)若，求的值；(2)若，的面積為，求邊，的值．例6．（2022·青海西寧·二模（理））在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，面積為S，且，，________？【方法技巧與總結(jié)】（1）已知兩角及一邊求解三角形；（2）已知兩邊一對(duì)角；.（3）兩邊一對(duì)角，求第三邊.題型二：余弦定理的應(yīng)用例7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若的面積為S，且，則（

）A．1 B． C． D．例8．（2022·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（理））在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4例9．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室三模（理））在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊．若a，b，c成等比數(shù)列，且，則A的大小是（

）A． B． C． D．例10．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足，則___________．【方法技巧與總結(jié)】(1)已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊.(2)已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，若余弦值題型三：判斷三角形的形狀例11．（2022·吉林·三模（理））在中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若且，則是（

）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形例12．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若，則的形狀是（

）A．等邊三角形B．C為直角的直角三角形C．C為頂角的等腰三角形D．A為頂角的等腰三角形或B為頂角的等腰三角形例13．（2022·青?！ず|市教育研究室一模（理））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則為（

）A．等腰非等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形例14．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知中，三內(nèi)角滿(mǎn)足，三邊滿(mǎn)足，則是（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形例15．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角滿(mǎn)足，又，則這個(gè)三角形的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形例16．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，，的對(duì)邊分別為，，，，則的形狀一定是（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【方法技巧與總結(jié)】（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形.（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.題型四：正、余弦定理與的綜合例17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））如圖，在中，D是AC邊上一點(diǎn)，為鈍角，．(1)證明：；(2)若，，再?gòu)南旅姊佗谥羞x取一個(gè)作為條件，求的面積．①；②．注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．例18．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.已知在四邊形ABCD中，，，且______.(1)證明：；(2)若，求四邊形ABCD的面積.例19．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，_____?例20．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△的面積為.(1)證明：；(2)若，求.例21．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知邊上的高等于a．(1)求證：；(2)若，求的值．例22．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．(1)求角；(2)是邊上的點(diǎn)，若，，求的值．【方法技巧與總結(jié)】先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解.題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用例23．（2022·陜西·西安中學(xué)一模（理））為了測(cè)量隧道口、間的距離，開(kāi)車(chē)從點(diǎn)出發(fā)，沿正西方向行駛米到達(dá)點(diǎn)，然后從點(diǎn)出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達(dá)點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)出發(fā)，沿東南方向行駛400米到達(dá)隧道口點(diǎn)處，測(cè)得間的距離為1000米.(1)若隧道口在點(diǎn)的北偏東度的方向上，求的值；(2)求隧道口間的距離.例24．（2022·上海市建平中學(xué)高三期中）如圖，某沿海地區(qū)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通A、B兩地，A處位于東西方向的直線MN上的陸地處，B處位于海上一個(gè)燈塔處，在A處用測(cè)角器測(cè)得，在A處正西方向1km的點(diǎn)C處，用測(cè)角器測(cè)得.現(xiàn)有兩種鋪設(shè)方案:①沿線段AB在水下鋪設(shè)；②在岸MN上選一點(diǎn)P，設(shè)，，先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段PB在水下鋪設(shè)，預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為2萬(wàn)元/km、4萬(wàn)元/km.(1)求A、B兩點(diǎn)間的距離；(2)請(qǐng)選擇一種鋪設(shè)費(fèi)用較低的方案，并說(shuō)明理由.例25．（2022·廣東湛江·二模）如圖，一架飛機(jī)從地飛往地，兩地相距.飛行員為了避開(kāi)某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場(chǎng)起飛以后，就沿與原來(lái)的飛行方向成角的方向飛行，飛行到地，再沿與原來(lái)的飛行方向成角的方向繼續(xù)飛行到達(dá)終點(diǎn).(1)求、兩地之間的距離；(2)求.例26．（2022·山東泰安·高三期末）在某海域處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東方向，相距海里的處有一可疑船只，此可疑船只正沿射線（以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東，正北方向分別為軸，軸正方向，1海里為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系）方向勻速航行.巡邏船立即開(kāi)始沿直線勻速追擊攔截，巡邏船出發(fā)小時(shí)后，可疑船只所在位置的橫坐標(biāo)為.若巡邏船以30海里/小時(shí)的速度向正東方向追擊，則恰好1小時(shí)與可疑船只相遇.(1)求的值；(2)若巡邏船以海里/小時(shí)的速度進(jìn)行追擊攔截，能否搃截成功？若能，求出搃截時(shí)間，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.例27．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個(gè)小島，小島B位于小島A北偏東距離60海里處，小島B北偏東距離海里處有一個(gè)小島C.(1)求小島A到小島C的距離；(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C，求游船航行的方向.例28．（2022·黑龍江大慶·高三階段練習(xí)（理））如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與.現(xiàn)測(cè)得，，.在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0.5°.(1)求與兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到）；(2)求塔高（結(jié)果精確到）.參考數(shù)據(jù)：取，，.【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識(shí)求解.題型六：倍角關(guān)系例29．（2022·北京豐臺(tái)·二模）在中，，，，則______．例30．（2022·全國(guó)·高考真題（文））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：例31．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)若，，求的面積；(2)若，且的邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，求．例32．（2022·上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）已知中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.(1)若，，的外接圓半徑為，，求的大??；(2)若，，，求邊的長(zhǎng).例33．（2022·山東·高三開(kāi)學(xué)考試）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，且．(1)若角B為鈍角，求△ABC的面積；(2)若，求a．例34．（2022·天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求的值；(2)求的值.題型七：三角形解的個(gè)數(shù)例35．（2022·江西·二模（文））設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿(mǎn)足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．例36．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有兩組解的a的值可以為（

）A．4 B． C． D．例37．（2022·河南·許昌高中高三開(kāi)學(xué)考試（文））在三角形ABC中（A點(diǎn)在BC上方），若，，BC邊上的高為h，三角形ABC的解的個(gè)數(shù)為n，則以下錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，例38．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，則根據(jù)條件解三角形時(shí)恰有一解的一組條件是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，例39．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））中，已知下列條件：①；②；③；④，其中滿(mǎn)足上述條件的三角形有兩解的是（

）A．①④ B．①② C．①②③ D．③④題型八：三角形中的面積與周長(zhǎng)問(wèn)題例40．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求證：；(2)若，，，且，求的面積．例41．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）從①，②這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并完成解答．已知銳角中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且．(1)求角B；(2)已知，且______，求的值及的面積．例42．（2022·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．例43．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．．(1)求的值；(2)若，，，求c和面積S的值．例44．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．，．請(qǐng)?jiān)購(gòu)臈l件①：，；條件②：，．這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：(1)的值；(2)c和面積S的值．例45．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．例46．（2022·青海·大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（文））在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.(1)求角的大?。?2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).例47．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的值；(2)若2a+b=6，且的面積為，求的周長(zhǎng).例48．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，(1)求；(2)若為銳角，求的面積．例49．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·江西師大附中三模（理））滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代詩(shī)人王勃詩(shī)句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而流芳后世．如圖，小明同學(xué)為測(cè)量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）測(cè)得樓頂A，滕王閣頂部C的仰角分別為和，在樓頂A處測(cè)得閣頂部C的仰角為，則小明估算滕王閣的高度為（

）（精確到）A． B． C． D．2．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（文））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，,，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．74．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，．則的值為（

）A． B．C． D．5．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)（文））的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，已知，，，則（

）A．16 B．9 C．－9 D．－167．（2022·北京昌平·二模）在△中，只需添加一個(gè)條件，即可使△存在且唯一.條件：①；②；③中，所有可以選擇的條件的序號(hào)為（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，三邊長(zhǎng)滿(mǎn)足，則的值為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的周長(zhǎng)為 D．的面積為10．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知中，為外接圓的圓心，為內(nèi)切圓的圓心，則下列敘述正確的是（

）A．外接圓半徑為 B．內(nèi)切圓半徑為C． D．11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中各角所對(duì)得邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有（

）A．則為等邊三角形；B．已知，則；C．已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為；D．在，，，解三角形有兩解．12．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且滿(mǎn)足，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2022·河北·高三期中）已知中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則的面積，該公式稱(chēng)作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出．若的周長(zhǎng)為15，，則的面積為_(kāi)__________________．14．（2022·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（理））在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，，則的面積為_(kāi)_____．15．（2022·遼寧·沈陽(yáng)二中模擬預(yù)測(cè)）沈陽(yáng)二中北校區(qū)坐落于風(fēng)景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的一泓碧水蜿蜒形成了一個(gè)