第7章線性離散系統(tǒng)7.1離散系統(tǒng)的基本概念7.2信號的采樣7.3信號的保持7.4z變換理論7.5離散系統(tǒng)的數(shù)學模型7.6離散系統(tǒng)性能分析7.7解題示范小結習題

7.1離散系統(tǒng)的基本概念

在離散系統(tǒng)中既有連續(xù)信號又有離散信號，因此，需要對同一系統(tǒng)中兩種不同類型的信號進行相互轉換。本節(jié)重點討論離散系統(tǒng)的定義和結構。7.1.1離散系統(tǒng)的定義、分類及典型結構

1.離散系統(tǒng)的幾個定義

1)離散信號

若信號在時間上是離散的，則該信號被稱為離散信號。這類信號的特點是,它不再是時間t的連續(xù)函數(shù)，而只在離散的時間點上才有定義。離散信號又可分為兩類：一類是時間上是離散的，而幅值上是任意的，即幅值上未進行量化的信號，稱之為脈沖序列或采樣信號，如圖7-1(b)所示；另一類是時間和幅值上都是離散的，即幅值上是量化的，稱為數(shù)字信號或數(shù)碼，如圖7-1(c)所示。圖7-1連續(xù)信號、離散信號與采樣開關

2)離散系統(tǒng)

系統(tǒng)中只要有一處的信號是脈沖序列或數(shù)碼時，就稱為離散系統(tǒng)。換句話說，系統(tǒng)中只要有一處的信號是離散信號，該系統(tǒng)就是離散系統(tǒng)。

3)采樣

把連續(xù)信號變成脈沖序列或數(shù)碼的過程，稱為采樣。用來實現(xiàn)采樣的裝置叫采樣器，又稱為采樣開關。采樣器可以是電子開關，也可以是A/D轉換器。通常，由于計算機中A/D轉換器有足夠的字長來表示數(shù)碼，即量化單位q足夠小，因此由量化引起的幅值上的斷續(xù)性可以忽略。這樣在理論上，數(shù)字信號仍可看做脈沖序列。而A/D轉換器就可以用一個理想的采樣開關來表示。采樣開關的輸出稱為采樣信號，記為x*(t)。采樣開關的開閉周期記為T，稱為采樣周期，如圖7-1(d)所示。

4)保持

從離散信號中將連續(xù)信號恢復出來的過程，稱為保持。實現(xiàn)保持的裝置稱為保持器，具有低通濾波特性的電網絡和D/A轉換器都是這類裝置。

2.離散系統(tǒng)的分類

按離散系統(tǒng)中離散信號的不同，把離散系統(tǒng)分為兩類：一類是離散信號為脈沖序列的離散系統(tǒng)，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)，其特點是離散信號是脈沖序列；另一類是離散信號為數(shù)字序列的離散系統(tǒng)，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機控制系統(tǒng)，其特點是離散信號是數(shù)字信號。由于在理論上數(shù)字信號又可看做脈沖序列，因此從控制理論的角度來說，這兩類系統(tǒng)在本質上沒有什么區(qū)別。

3.離散系統(tǒng)的典型結構

1)采樣控制系統(tǒng)

(1)定義。

采樣控制系統(tǒng)是指間斷地對系統(tǒng)中的某些變量進行測量和控制的系統(tǒng)。

(2)典型結構。

根據(jù)采樣裝置在系統(tǒng)中所處的位置不同,可以構成各種采樣系統(tǒng)。例如：

開環(huán)采樣系統(tǒng)：采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之外，或系統(tǒng)本身不存在閉合回路。

閉環(huán)采樣系統(tǒng)：采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之內。

常用誤差采樣控制的閉環(huán)采樣系統(tǒng)如圖7-2所示。圖7-2誤差采樣控制的閉環(huán)采樣系統(tǒng)又如圖7-3所示的多點溫度采樣控制系統(tǒng)。

圖7-3所示的多點溫度采樣控制系統(tǒng)內的控制器和對象均是連續(xù)信號處理器，用采樣開關實現(xiàn)多個對象共享一個控制器。類似的系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng)。圖7-3多點溫度采樣控制系統(tǒng)以上兩圖中，r(t)、e(t)、y(t)分別為輸入、誤差、輸出的連續(xù)信號，如圖7-4(a)所示。其中:

S——采樣開關或采樣器，為實現(xiàn)采樣的裝置。

T——采樣周期。

e*(t)——是連續(xù)誤差信號e(t)經過采樣開關后，獲得的一系列離散的誤差信號，如圖7-4(b)所示。

e*(t)作為脈沖控制器的輸入,經控制器對信號進行處理，再經過保持器(或濾波器)將脈沖信號e*(t)復現(xiàn)為階梯信號e(t),如圖7-4(c)所示。當采樣頻率足夠時，e(t)接近于連續(xù)信號，從而去控制被控對象，對象輸出又反饋到輸入端進行調節(jié)。圖7-4信號的變化過程

(3)幾個術語。

①采樣過程：把連續(xù)信號轉變?yōu)槊}沖序列的過程稱為采樣過程，簡稱采樣。

②采樣器：實現(xiàn)采樣的裝置，或稱采樣開關。

③保持器：將采樣信號轉化為連續(xù)信號的裝置(或元件)。

④信號復現(xiàn)過程：把脈沖序列轉變?yōu)檫B續(xù)信號的過程。

(4)特點。

采樣系統(tǒng)中既有離散信號，又有連續(xù)信號。采樣開關接通時刻，系統(tǒng)處于閉環(huán)工作狀態(tài)；而在采樣開關斷開時刻，系統(tǒng)處于開環(huán)工作狀態(tài)。

2)數(shù)字控制系統(tǒng)

(1)定義。

數(shù)字控制系統(tǒng)是指含有數(shù)字計算機或數(shù)字編碼元件的系統(tǒng)，是一種以數(shù)字計算機為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。

(2)組成。數(shù)字控制系統(tǒng)包括工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字計算機和工作于連續(xù)狀態(tài)下的被控對象兩大部分，如圖7-5所示。圖7-5數(shù)字控制系統(tǒng)計算機作為系統(tǒng)的控制器，其輸入和輸出只能是二進制編碼的數(shù)字信號，即在時間上和幅值上都是離散信號，而系統(tǒng)中被控對象和測量元件的輸入和輸出是連續(xù)信號，故控制系統(tǒng)內必有A/D、D/A轉換器以完成連續(xù)信號與離散信號之間的相互轉換。A/D的作用是對連續(xù)輸入信號定時采樣和把模擬量在采樣時刻的十進制變?yōu)槎M制代碼。D/A的作用是把離散的數(shù)字信號轉換成離散的模擬信號(即解碼)和經保持器把離散模擬信號復現(xiàn)為連續(xù)的模擬信號(即復現(xiàn))。通常，測量元件、執(zhí)行元件和被控對象均為模擬元件。在圖7-5中，A/D相當于采樣器(采樣開關)，D/A相當于保持器(零階保持器)，計算機相當于脈沖控制器，所以數(shù)字計算機控制系統(tǒng)可在數(shù)學上等效于一個典型的采樣控制系統(tǒng)，如圖7-6所示。采樣系統(tǒng)的研究方法可直接應用于數(shù)學控制系統(tǒng)。

無論是采樣控制系統(tǒng)還是數(shù)字控制系統(tǒng)，它們均面臨一個共同的問題：怎樣把連續(xù)信號近似為離散信號，即“整量化”(連續(xù)信號在時間和幅值上均具有無窮多的值，而在計算機上是用有限的時間間隔和有限的數(shù)值取代之，這種近似的過程稱為整量化，簡稱量化)問題。

圖7-6采樣控制系統(tǒng)7.1.2離散系統(tǒng)的優(yōu)點

由于目前在控制工程中，離散系統(tǒng)一般都是計算機控制系統(tǒng)，因此與連續(xù)系統(tǒng)相比，離散系統(tǒng)具有以下優(yōu)點：

(1)系統(tǒng)精度、靈敏度高，抗干擾能力強，可實現(xiàn)遠距離傳送。由于離散信號是以數(shù)碼形式傳送和計算的，因而信號傳遞和轉換的精度可以做得很高，而且有效地抑制了噪聲，致使系統(tǒng)精度和抗干擾能力得到了提高。另外，數(shù)字計算機精度高，允許采用高靈敏度的元件來提高系統(tǒng)的靈敏度。

(2)系統(tǒng)結構簡單，控制靈活。只要改變計算機的控制程序，就能靈活地實現(xiàn)各種所需的控制，如自適應控制、最優(yōu)控制及智能控制，從而大大提高了系統(tǒng)的性能。

(3)可采用分時控制，可實現(xiàn)復雜的控制目標，可實現(xiàn)控制與管理一體化，能實現(xiàn)多路控制，用一臺計算機對多個控制系統(tǒng)進行控制，設備利用率高，經濟性好。

(4)對于具有大慣性，特別是大延遲的控制系統(tǒng)，采用采樣控制方式可以使系統(tǒng)穩(wěn)定并具有良好的動態(tài)性能。

(5)信號的檢測精度和轉換精度可以做得很高。

7.2信號的采樣

前已述及，信號的采樣是把連續(xù)信號轉換為離散信號的手段。而在大量的實際應用中，為了控制連續(xù)式的部件，離散信號不能直接作為控制對象的輸入信號，而要將其轉換為連續(xù)信號。把離散信號轉換為連續(xù)信號的過程稱為(連續(xù))信號的復現(xiàn)，通常采用“保持器”來實現(xiàn)。為定量研究離散系統(tǒng)，必須對信號的采樣過程用數(shù)學方法加以描述。7.2.1采樣過程

為了對采樣控制系統(tǒng)進行定量分析，首先需要對采樣過程加以定量描述。前已述及，把連續(xù)信號轉換成離散信號的過程叫做采樣過程。在采樣方式中，最常用的工作方式為采樣開關等周期開閉的工作方式，又稱為周期采樣。以下討論的內容均是周期采樣的情況。

1.采樣信號f*(t)的數(shù)學表達式

將連續(xù)信號f(t)加到采樣開關S的輸入端，采樣開關以周期T閉合一次，閉合的持續(xù)時間為τ，在閉合期間，截取被采樣的f(t)的幅值，作為采樣開關的輸出。在斷開期間,采樣開關的輸出為零。于是,在采樣開關的輸出端就得到了寬度為τ的脈沖序列f*(t)，如圖7-7所示。圖7-7采樣過程由于開關閉合的持續(xù)時間τ很短，遠小于采樣周期T，即τ<<T，因而可近似認為f(t)脈沖的幅值在τ時間內變化不大，這樣采樣信號f*(t)可近似表示為一串高為f(kT)，寬為τ的矩形脈沖序列，如圖7-8所示。其數(shù)學描述可寫成：

(7-1)由于在控制系統(tǒng)中，當t<0時，f(t)=0，因此序列k取從0到+∞。式(7-1)中,1(t-kT)-1(t-kT-τ)為兩個階躍函數(shù)之差，表示一個在kT時刻，高為1、寬為τ、面積為τ的矩形，如圖7-8所示。由于τ很小，比采樣開關以后系統(tǒng)各部分的時間常數(shù)小很多，即可認為τ→0，則此矩形可近似用發(fā)生在kT時刻的δ函數(shù)表示：

(7-2)圖7-8

kT時刻的矩形波式中,δ(t-kT)為t=kT處的δ函數(shù)。于是式(7-1)可表示為

(7-3)

由于τ為常數(shù)，為了方便，把τ歸到采樣開關以后的系統(tǒng)中去，則采樣信號可描述為

(7-4)由于t=kT處f(t)的值就是f(kT)，因此式(7-4)可寫作

(7-5)

式中,稱為單位理想脈沖序列，若用δT(t)表示，則式(7-5)可寫作

(7-6)式(7-6)就是信號采樣過程的數(shù)學描述。它表示在不同的采樣時刻有一個脈沖，脈沖的幅值由該時刻的f(t)的值決定。

從物理意義上看，式(7-6)所描述的采樣過程可以理解為脈沖調制過程(單位理想脈沖序列δT(t)被輸入信號f(t)進行幅值調節(jié)的過程)。采樣開關(即采樣器)是一個幅值調制器，輸入的連續(xù)信號f(t)為調制信號，而單位理想脈沖序列δT(t)則為載波信號，采樣器的輸出則為一串調幅脈沖序列f*(t)，如圖7-9所示。圖7-9采樣器相當于幅值調制器在數(shù)字控制系統(tǒng)中，數(shù)字計算機接收和處理的是量化后代表脈沖強度的數(shù)列，即把幅值連續(xù)變化的離散模擬信號用相近的間斷的數(shù)碼(如二進制)來代替，如圖7-10所示。圖中小圓圈表示的是數(shù)碼可以實現(xiàn)的數(shù)值，是量化單位的整數(shù)倍數(shù)。由于量化單位是很小的，因此數(shù)字控制系統(tǒng)的采樣信號f(kT)仍認為與f(t)成線性關系，仍用f*(t)表示。圖7-10

f(t)經采樣后變成數(shù)碼

2.f*(t)的拉普拉斯變換

對f*(t)取拉氏變換，即把脈沖序列轉變?yōu)檫B續(xù)信號的過程，即

故

(7-7)幾點說明:

(1)f*(t)只描述了f(t)在采樣瞬時的數(shù)值，故F*(s)不能給出連續(xù)函數(shù)f(t)在采樣間隔之間的信息。

(2)采樣拉氏變換F*(s)與連續(xù)信號f(t)的拉氏變換F(s)類似，如f(t)為有理函數(shù)，則F*(s)也總可以表示成eTs的有理函數(shù)形式。

(3)求F*(s)的過程中，初始值常規(guī)定采用f(0+)。7.2.2采樣定理

在解決了采樣信號的數(shù)學描述后，就要進一步研究如何從采樣信號f*(t)中將原連續(xù)信號f(t)復現(xiàn)出來的問題。前已指出，要對對象進行控制，通常要把采樣信號恢復成原連續(xù)信號(實際上信號經過處理、運算以后，要恢復的則是原連續(xù)信號的函數(shù)，為了方便起見，討論時仍認為要恢復的是原連續(xù)信號)。此工作一般是由低通濾波器來完成的。但是信號能否恢復到原來的形狀，主要決定于采樣信號是否包含反映原信號的全部信息。實際上這又與采樣頻率有關，因為連續(xù)信號經采樣后，只能給出采樣時刻的數(shù)值，不能給出采樣時刻之間的數(shù)值，亦即損失掉f(t)的部分信息。由圖7-7可以直觀地看出，同樣的采樣頻率下，連續(xù)信號變化越緩慢，或連續(xù)信號周期不變而采樣頻率越高，則采樣信號f*(t)就越能反映原信號f(t)的變化規(guī)律，即越多地包含反映原連續(xù)信號的信息。采樣定理則是定量地給出采樣頻率與被采樣的連續(xù)信號的“變化快慢”的關系。下面分析采樣前后信號頻譜的關系。首先將式(7-6)中的δT(t)展開成復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)：

(7-8)式中:ωs——采樣角頻率；

fs——采樣頻率；

T——采樣周期；

ck——傅里葉級數(shù)的系數(shù)，由下式決定:

(7-9)由于δT(t)在-T/2到+T/2區(qū)間僅在t=0時取值為1，因此系數(shù)

(7-10)

因為當t≤0時，f(t)=0，所以由式(7-4)、式(7-8)和式(7-10)可得

(7-11)這是采樣信號f*(t)的傅立葉級數(shù)表達式。對此式進行拉氏變換，由復位移定理可得采樣信號的拉氏變換式為

(7-12)于是，得到采樣信號的頻率特性為

(7-13)

式中:F(jω)——原輸入信號f(t)的頻率特性；

F*(jω)——采樣信號f*(t)的頻率特性。

|F(jω)|為原輸入信號f(t)的幅頻特性，即頻譜。|F*(jω)|為采樣信號f*(t)的頻譜。假定|F(jω)|為一孤立的頻譜，它的最高角頻率為ωmax，如圖7-11(a)所示，則采樣信號f*(t)的頻譜|F*(jω)|為無限多個原信號f(t)的頻譜|F(jω)|之和，且每兩條頻譜曲線的距離為ωs,見圖7-11(b)。其中k=0時，就是原信號的頻譜，只是幅值為原來的1/T；而其余的是由采樣產生的高頻頻譜。如果|F*(jω)|中各個波形不重復搭接，相互間有一定的距離(頻率)，即

(7-14)

則可以用理想低通濾波器(其頻率特性如圖7-11(b)中虛線所示)，把ω>ωmax的高頻分量濾掉，只留下|F(jω)|/T部分，就

能把原連續(xù)信號復現(xiàn)出來。否則，如果ωs/2<ωmax，那么會使|F*(jω)|中各個波形互相搭接，如圖7-11(c)所示，就無法通過濾波器濾除F*(jω)中的高頻部分，復現(xiàn)為F(jω)，也就不能從

f*(t)恢復為f(t)。這就是香農(Shannon)采樣定理。圖7-11原連續(xù)信號與采樣信號的頻譜采樣定理可敘述如下：如果采樣周期滿足下列條件，即

(7-15)

或

式中ωmax為連續(xù)信號f(t)的最高次諧波的角頻率,則采樣信號f*(t)就可以無失真地再恢復為原連續(xù)信號f(t)。這就是說，如果選擇的采樣角頻率足夠高，使得對連續(xù)信號所含的最高次諧波，能做到在一個周期內采樣兩次以上的話，那么經采樣后所得到的脈沖序列，就包含了原連續(xù)信號的全部信息,就有可能通過理想濾波器把原信號毫無失真地恢復出來。否則,若采樣頻率過低，信息損失很多，則原信號不能準確復現(xiàn)。采樣定理給出了從采樣信號中不失真地復現(xiàn)出原連續(xù)信號所必須的理論上的最小采樣頻率，也就是說,在設計離散系統(tǒng)時采樣頻率必須足夠高。同時,采樣頻率或采樣周期還與離散系統(tǒng)的性能好壞有關，還要考慮到工程上便于實現(xiàn)。因此，在確定采樣頻率或采樣周期時，必須通盤考慮上述因素。需要指出的是，采樣定理只是在理論上給出了信號準確復現(xiàn)的條件,但還有兩個實際問題需要解決。其一，實際的非周期連續(xù)信號的頻譜中最高頻率是無限的，如圖7-12(a)所示，因此不可能選擇一個有限采樣頻率，使信號采樣后頻譜波形不重復搭接,即不論采樣頻率選得多高，采樣后信號頻譜波形總是重復搭接的，如圖7-12(b)所示，經過濾波后，信息總是有損失的。為此,實際上采用一個折中的辦法：給定一個信息容許損失的百分數(shù)b，即選擇原信號頻譜的幅值由|F(0)|降至b|F(0)|時的頻率為最高頻率ωmax，按此選擇采樣頻率ωs=2ωmax。這樣可以做到信息損失允許，采樣頻率又不致太高。圖7-12非周期連續(xù)信號采樣前后的頻譜

【例題7-1】設連續(xù)信號f(t)=e-2t，試選擇采樣頻率，使信息損失不超過5%。

解取f(t)=e-2t的拉氏變換得

則其幅頻特性為其零頻振幅為

若b＝0.05，則ωmax可由下式確定:

所以ωmax≈40，根據(jù)采樣定理應取ωs≥80。

其二，需要一個幅頻特性為矩形的理想低通濾波器，才能把原信號不失真地復現(xiàn)出來，而這樣的濾波器實際上是不存在的。因此復現(xiàn)的信號與原信號是有差別的。

7.3信號的保持

信號保持是指從采樣信號f*(t)中恢復出原連續(xù)信號的過程。用于實現(xiàn)這種過程的裝置稱為保持器。

1.信號保持的基本原理

由采樣定理可知，若采樣頻率ωs=2π/T>2ωmax，則可用一個理想的低通濾波器把全部高頻頻譜分量濾掉，從而把原連續(xù)信號不失真地恢復出來。這種濾波器的頻率特性應該是具有銳截止特性的低通濾波器。根據(jù)前面的分析可知，連續(xù)信號經采樣后變成脈沖序列，其頻譜中除原信號的頻譜外，還有無限多個在采樣過程中產生的高頻頻譜。因此，為了從采樣信號復現(xiàn)出原連續(xù)信號，而又不使上述高頻分量進入系統(tǒng)，應在采樣開關后面串聯(lián)一個信號復現(xiàn)濾波器，它的功能是濾去高頻分量，而無損失地保留原信號頻譜。能使采樣信號不失真地復現(xiàn)為原連續(xù)信號的低通濾波器應具有理想的矩形頻率特性,即

(7-16)式中,ωs滿足采樣定理，即ωs>2ωmax。ωmax為原連續(xù)信號頻譜的最高頻率。圖7-13所示為理想低通濾波器的頻率特性。經過這樣的濾波器濾波之后，信號的頻譜變?yōu)?/p>

(7-17)圖7-13理想低通濾波器的頻率特性上式意味著，經過理想濾波以后，脈沖序列的頻譜與原連續(xù)信號的頻譜一樣，只是幅值為原來的1/T。實際上，具有圖7-13所示理想頻率特性的濾波器是不存在的,工程上只能采用具有低通濾波功能的保持器來代替，最常用的就是零階保持器。

2.零階保持器

零階保持器是一種低通濾波器，設其傳遞函數(shù)用Gh(s)來表示。其工作原理是：把kT時刻的采樣值恒定不變地保持到下一個采樣時刻(k+1)T。也就是說，在時間區(qū)間［kT,(k+1)T］內，保持器的輸出值一直保持為f*(kT)，其變化率為零。

保持器將采樣信號轉換成連續(xù)信號的過程恰好是采樣過程的逆過程。而從數(shù)學上說，保持器的任務是解決采樣時刻之間的插值問題。在kT時刻，采樣信號f*(kT)直接轉換成連續(xù)信號f(t)|t=kT。同理，在(k+1)T時刻，連續(xù)信號為f(t)|t=(k+1)T=f*［(k+1)T］。但在kT和(k+1)T之間，即當kT<t<(k+1)T時，連續(xù)信號應取何值就是保持器要解決的問題。實際上，保持器具有“外推”作用，即保持器現(xiàn)時刻的輸出信號取決于過去時刻離散信號值的外推。實現(xiàn)外推常用的方法是采用多項式外推公式，即

f(kT+Δt)=a0+a1Δt+a2Δt2+…+amΔtm

(7-18)

式中:

Δt——以kT為時間原點的時間坐標，0<Δt<T。

a0,a1,a2,…,am——由過去各采樣時刻的采樣信號值f(kT)、f［(k-1)T］、f［(k-2)T］等確定的系數(shù)。

工程上一般按式(7-18)的第一項或前二項組成外推裝置。只按第一項組成的外推裝置，因所用外推多項式是零階的，故稱為零階保持器；同理，按前二項組成的外推裝置稱為一階保持器。應用最廣泛的是零階保持器。零階保持器的外推公式為

f［(kT+Δt)］=a0

(7-19)由于ΔT=0時上式也成立，因此a0=f(kT)，從而得到

f［(kT+Δt)］=f(kT)

0≤Δt<T

(7-20)

上式表明，零階保持器的作用是把kT時刻的采樣值，保持到

下一個采樣時刻(k+1)T到來之前，或者說按常值外推,如圖7-14所示。圖7-14零階保持器的作用為了對零階保持器進行動態(tài)分析，需求出它的傳遞函數(shù)。由圖7-14可以看出，零階保持器的單位脈沖響應是一個幅值

為1、寬度為T的矩形波fh(t)，實際上就是一個采樣周期應輸

出的信號。此矩形波可表達為兩個單位階躍函數(shù)的疊加，即

gh(t)=1(t)-1(t-T)

或

gh(t)=1(t-kT)-1(t-kT-T)

(7-21)根據(jù)傳遞函數(shù)就是單位脈沖響應函數(shù)的拉氏變換，可求得零階保持器的傳遞函數(shù)為

(7-22)其頻率特性則為

(7-23)因為T=2π/ωs，代入上式，則有

據(jù)此可繪出零階保持器的幅頻特性和相頻特性曲線，如圖7-15所示。由幅頻特性可以看出，其幅值隨頻率增高而減小，所以零階保持器是一個低通濾波器，但不是所要求的理想濾波器。在主頻譜之內，放大系數(shù)逐漸減小，不是理想銳截止特性。在主頻譜之外，幅值很小，但不等于零，因此高頻頻譜分量還可通過一部分。故復現(xiàn)出的連續(xù)信號與原連續(xù)信號是有差別的。從相頻特性上看，零階保持器會產生正比于頻率的滯后相移，且隨頻率增高而加大。因此，由零階保持器恢復的信號f(t)是與原信號f(t)是有差別的：一方面含有一定的高頻分量；另外，在時間上滯后T/2。把階梯狀信號fh(t)的每個區(qū)間的中點光滑連接起來，所得到的曲線的形狀與f(t)相同，但滯后了T/2，如圖7-14(c)所示。圖7-15零階保持器的頻率特性零階保持器比較簡單，容易實現(xiàn)，相位滯后比一階保持器小得多，因此被廣泛采用。步進電機、數(shù)控系統(tǒng)中的寄存器、數(shù)/模轉換器等都是零階保持器的實例。

7.4

z

變換理論

前面對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，應用拉普拉斯變換作為數(shù)學工具，將系統(tǒng)的微分方程變換成代數(shù)方程，從而對系統(tǒng)進行建模、分析和設計。與此相似，對于線性定常離散系統(tǒng)，也可應用基于拉普拉斯變換方法的所謂z變換法進行建模、分析和設計。z變換法是離散系統(tǒng)理論的數(shù)學工具。7.4.1

z變換的定義及求法

1.z變換的定義

z變換實質上是拉氏變換的一種擴展，也稱做采樣拉氏變換。在采樣系統(tǒng)中，連續(xù)函數(shù)信號f(t)經過采樣開關，變成采樣信號f*(t)，由式(7-4)給出，即

對上式進行拉氏變換:

(7-24)從此式可以看出，任何采樣信號的拉氏變換中，都含有超越函數(shù)e-kTs。因此，若仍用拉氏變換處理采樣系統(tǒng)的問題，就會給運算帶來很多困難。為此，引入新變量z，令

(7-25)

則將F*(s)記做F(z)，則式(7-24)可以改寫為

(7-26)

這樣就變成了以復變量z為自變量的函數(shù)，稱此函數(shù)為f*(t)的z變換,記做：

F(z)=z［f*(t)］

因為z變換只對采樣點上的信號起作用，所以上式也可以寫為

F(z)=z［f(t)］應注意，F(xiàn)(z)是f(t)的z變換，其定義就是式(7-26)，不要誤以為它是f(t)的拉氏變換式F(s)中的s以z簡單置換的結果。將式(7-26)展開:

F(z)=f(0)z0+f(T)z-1+f(2T)z-2+…+f(kT)z-k+…

(7-27)

可見，采樣函數(shù)的z變換是變量z的冪級數(shù)。其一般項f(kT)z-k具有明確的物理意義：f(kT)表示采樣脈沖的幅值；z的冪次表示該采樣脈沖出現(xiàn)的時刻。因此它包含著量值與時間的概念。正因為z變換只對采樣點上的信號起作用，因此，如果兩個不同的時間函數(shù)f1(t)和f2(t)，它們的采樣值完全重復(見圖

7-16)，則其z變換是一樣的。即f1(t)≠f2(t),但由于f*1(t)=f*2(t)，故F1(z)=F2(z)，就是說,采樣函數(shù)f*(t)與其z變換函數(shù)是一一對應的,但采樣函數(shù)所對應的連續(xù)函數(shù)不是唯一的。圖7-16連續(xù)函數(shù)與z變換的非一一對應

2.z變換的求法

z變換有多種求法，下面介紹兩種常用的方法。

1)用定義求(級數(shù)求和法)

已知時間函數(shù)f(t)，則顯然，只要知道連續(xù)函數(shù)f(t)在各采樣時刻的采樣值，再根據(jù)無窮級數(shù)求和公式

其中|q|<1

即可求出函數(shù)的z變換。

【例題7-2】求下列序列的z變換:

u(kT)=e-akT

其中：k=0,1,2,…；a為常數(shù)。

解

則將上式兩邊同時乘以e-(s+a)T，得到的結果再與上式兩邊對應相減，若滿足e-(s+a)T<1，則可以得到

其中，δ是s的實部，由此我們可以得到u*(t)的z變換，即

在本例中，假如a=0，我們可以得到

u(kT)=1,

k=0,1,2,…

這個式子表示其序列值均為單位值，則這個表達式可寫為

或

2)用查表法求(部分分式法)

利用這種方法求z變換時，若已知函數(shù)的拉氏變換(象函數(shù))，用部分分式法將其展開，直接逐項查z變換表，便可很快得到F(z)。這是工程中常用的方法。

設連續(xù)函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換F(s)為s的有理分式，并具有如下形式：

將上式展成部分分式，得兩邊取拉普拉斯反變換，得

利用已知的指數(shù)函數(shù)z變換公式，即可求出對應的z變換，即

【例題7-3】求的z變換。

解

所以

e(t)=1-e-at

對上式兩邊取z變換，得7.4.2

z變換的性質

由于z變換實質上是拉普拉斯變換的擴展，因此和拉普拉斯變換的性質相類似，z變換也有線性，位移(時位移、復位移)，初、終值定理等若干性質或定理。利用這些性質或定理，可以方便地求出某些函數(shù)的z變換，或根據(jù)z變換求出原函數(shù)，也可以根據(jù)函數(shù)的z變換推知原函數(shù)的性質。所以,z變換的性質在分析和研究離散系統(tǒng)時是很有用的。下面不加證明地給出z變換的幾個常用性質或定理，嚴格的證明請參考有關資料。

1.時域性定理

若z［f1(t)］=F1(z),z［f2(t)］=F2(z),a、b均為常數(shù)，則

z［af1(t)+bf2(t)］=aF1(z)+bF2(z)

(7-28)

上式的含義是，函數(shù)線性組合的z變換，等于各函數(shù)z變換的線性組合。

【例題7-4】求sinωt

的z變換。

解，根據(jù)線性定理，則

2.延遲定理

若z［f(t)］=F(z)，且t<0時，f(t)=0，則有

z［f(t-nT)］=z-nF(z)

(7-29)

該定理說明,原函數(shù)f(t)在時域中延遲n個采樣周期，相當于在象函數(shù)F(z)上乘以z-n。算子z-n可表示時域中的時滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲n個采樣周期。

【例題7-5】求1(t-nT)的z變換。

解

3.超前定理

若z［f(t)］=F(z)，則

(7-30)

zn相當于把時間信號超前n個周期。

特殊情況，當m=0,1,2,…,n-1時，f(kT)=0,則z［f(t+nT)］=znF(z)。

【例題7-6】求f(t)=1(t+T)的z變換。

解

4.復位移定理

若z［f(t)］=F(z)，則

(7-31)

【例題7-7】求e-αtsinωt的z變換。

解因為，所以

5.復微分定理

若z［f(t)］=F(z)，則

(7-32)

【例題7-8】求f(t)=t的z變換。

解因為t=t·1(t),z［1(t)］=，所以

6.初值定理

若z［f(t)］=F(z)且

則

(7-33)

【例題7-9】求f(t)=e-αt的初值。

解因為

所以

7.終值定理

若z［f(t)］=F(z)，且(z-1)F(z)在平面上以原點為圓心的單位圓上和圓外沒有極點或(z-1)F(z)全部極點位于z平面單位圓內，則

(7-34)

【例題7-10】設f(t)的z變換為

試求f(t)的終值。

解

8.卷積定理

若z［f1(t)］=F1(z)，z［f2(t)］=F2(z)，則

(7-35)7.4.3

z反變換

正如在拉氏變換方法中一樣，z變換方法的一個主要目的是要先獲得時域函數(shù)f(t)在z域中的代數(shù)解，其最終的時域解可通過反z變換求出。當然，F(xiàn)(z)的反z變換只能求出f*(t)，即只能是f(kt)。如果是理想采樣器作用于連續(xù)信號f(t)，則在t=kT瞬間的采樣值f(kT)可以獲得。z反變換可以記做：

z-1［F(z)］=f*(t)

(7-36)求z反變換的方法通常有以下三種：

(1)部分分式展開法；

(2)級數(shù)展開法(綜合除法)；

(3)留數(shù)法。

在求z反變換時，仍假定當k<0時，f(kT)=0。下面分別介紹求z反變換的方法。

1.部分分式展開法

此法是將F(z)通過部分分式分解為低階的分式之和，直接從z變換表中求出各項對應的z反變換，然后相加得到f(kT)。具體步驟如下：

(1)先將變換式寫成，展開成部分分式:

(2)兩端乘以z:

(3)查z變換表。

【例題7-11】已知，求f(kT)。

解由于F(z)中通常含有一個z因子，因此首先將式展成部分分式較容易些，即再求F(z)的分解因式：

查z變換表，得到：所以

f(kT)=-1+2k

即

f(0)=0,f(T)=1,f(2T)=3,

f(3T)=7,f(4T)=15,f(5T)=31

2.級數(shù)展開法

級數(shù)展開法又稱綜合除法,即把式F(z)展開成按z-1升冪排列的冪級數(shù)。因為F(z)的形式通常是兩個z的多項式之比，即

(n≥m)所以，很容易用綜合除法展成冪級數(shù)。對上式用分母去除分子，所得之商按z-1的升冪排列，即

(7-37)

這正是z變換的定義式。z-k項的系數(shù)ck就是時間函數(shù)f(t)在采樣時刻t=kT時的值。因此，只要求得上述形式的級數(shù)，就可知道時間函數(shù)在采樣時刻的函數(shù)值序列，即f(kT)。

【例題7-12】設，求z反變換。

解整理得則可見此法計算f*(t)較為簡單，在實際應用中，常常只需計算有限的幾項就夠了。

3.留數(shù)法(反演積分法)

設連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)及全部極點zi已知，則

(7-38)

式中,

,為在s=zi時的留數(shù)。當F(s)具有一階極點s=z1時，其留數(shù)Ri為

(7-39)

當F(s)具有一階極點n階重復極點時，則相應的留數(shù)為

(7-40)計算時，直接利用反演積分分式進行求解，即

(7-41)

表示函數(shù)F(z)=zn-1在極點處的函數(shù)留數(shù)。若zi(i=1,2,…)為一階極點，則相應的留數(shù)為

(7-42)

若zj為n階重極點，則相應的留數(shù)為

(7-43)

【例題7-13】

,試用留數(shù)法求z反變換。

解

有z1=1和z2=0.5兩個極點，極點處的留數(shù)為,則故采樣函數(shù)為7.5離散系統(tǒng)的數(shù)學模型

線性定常連續(xù)系統(tǒng)有兩種基本的數(shù)學模型：微分方程和傳遞函數(shù)。與此類似，線性離散系統(tǒng)也有兩種基本的數(shù)學模型：時域模型差分方程和復數(shù)域模型脈沖傳遞函數(shù)。由于這兩類系統(tǒng)的數(shù)學模型在形式、分析計算的方法和物理意義的理解方面都有很大的相似性，因此在學習本節(jié)內容時，注意到這種平行對應關系，并與連續(xù)系統(tǒng)中的相應內容進行比較，只要把握住兩者之間的共同點和不同點，就會很容易掌握。7.5.1差分方程

從基本概念來說，差分與微分類似，差分方程與微分方程類似。微分方程是描述連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)過程的最基本的數(shù)學模型，差分方程是離散系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。由于在離散系統(tǒng)中采樣時間的離散性，因而要描述采樣信號即脈沖序列隨時間的變化規(guī)律(動態(tài)過程)，只能采用相鄰脈沖之間的差值即差分的概念。

1.差分的概念

所謂差分，是指在采樣信號的脈沖序列中，相鄰脈沖之間的差值。因此，一系列插值變化的規(guī)律，可反映出采樣信號的變化規(guī)律。按序列數(shù)減少的方向取差值，還是在增大的方向取差值，差分又分為前向差分和后向差分。

如圖7-17所示，連續(xù)函數(shù)f(t)，經采樣后為f*(t)，在kT時刻，其采樣值為f(kT)，為簡便計，常寫做f(k)。圖7-17前向差分與后向差分一階前向差分的定義為

Δf(k)=f(k+1)-f(k)

(7-44)

二階前向差分的定義為

Δ2f(k)=Δ［Δf(k)］

=Δ［f(k+1)-f(k)］

=f(k+2)-f(k+1)-［f(k+1)-f(k)］

=f(k+2)-2f(k+1)+f(k)

(7-45)

n階前向差分的定義為

Δnf(k)=Δn-1f(k+1)-Δn-1f(k)

(7-46)

同理，一階后向差分的定義為

(7-47)

二階后向差分的定義為

(7-48)

n階后向差分的定義為

(7-49)

從上述定義可以看出，前向差分所采用的是kT時刻未來的采樣值，而后向差分所采用的是kT時刻過去的采樣值。在實際中后向差分用得更廣泛。

2.差分方程

在連續(xù)系統(tǒng)中，描述系統(tǒng)的輸入信號與輸出信號之間動態(tài)關系的方程是微分方程。在離散系統(tǒng)中，描述系統(tǒng)的輸入和輸出這兩個采樣信號之間的動態(tài)關系，只能用這兩個脈沖序列之間的差值，即差分的變化規(guī)律來反映，這就是差分方程。因此，差分方程就是用來描述離散系統(tǒng)的輸入和輸出這兩個采樣信號之間的動態(tài)關系的方程，方程的變量除了含有f(k)本身外，還有f(k)的各階差分Δf(k)、Δ2f(k)、…、Δnf(k)等。對于輸入、輸出為采樣信號的線性采樣系統(tǒng)，描述其動態(tài)過程的差分方程的一般形式為

(7-50)

式中u(k)、y(k)分別為輸入信號和輸出信號，an,…,a0;bm,…,b0均為常系數(shù)，且有n≥m。差分方程的階次是由最高階差分的階次而定的，其在數(shù)值上等于方程中自變量的最大值和最小值之差。式(7-55)中，最大自變量為k+n，最小自變量為k，因此方程的階次為(k+n)-k=n階。

3.差分方程的解法

與微分方程的解法類似，差分方程也有三種解法：常規(guī)解法、z變換法和數(shù)值遞推法。常規(guī)解法比較煩瑣，數(shù)值遞推法適于用計算機求解，下面重點介紹z變換法。

應用z變換的線性定理和時移定理，可以求出各階前向差分的z變換函數(shù)為:

(7-51)

(7-52)

(7-53)

其中:Δ0f(0)=f(0)。同理，各階后向差分的z變換函數(shù)為：

(7-54)

(7-55)

(7-56)

式中:t<0時，f(t)=0。

【例題7-14】已知一階差分方程為

設輸入為階躍信號u(kT)=A，初始條件y(0)=0，試求響應y(kT)。

解將差分方程兩端取z變換，得代入初始條件，求得輸出的z變換為

為求得時域響應y(kT)，需對Y(z)進行反變換，先將Y(z)/z展成部分分式，即于是

查變換表，求得上式的反變換為

k=0,1,2,…

【例題7-15】試用z變換法解下面的差分方程:

已知初始條件為y(0)=0,y(1)=1，求y(k)。

解對方程兩邊取z變換，并應用時移定理，得代入初始條件，整理后得

查變換表，進行反變換得

k=0,1,2,…7.5.2脈沖傳遞函數(shù)

在連續(xù)系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)定義為在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比。傳遞函數(shù)是基于拉普拉斯變換下的連續(xù)系統(tǒng)的一種復數(shù)域數(shù)學模型。對于離散系統(tǒng)，在z變換的基礎上也有類似的定義，稱為脈沖傳遞函數(shù)。這是離散系統(tǒng)的第二種數(shù)學模型。

1.脈沖傳遞函數(shù)的定義

在分析和研究離散控制系統(tǒng)的性能時，一般均是已知控制系統(tǒng)的結構圖。我們知道,在連續(xù)系統(tǒng)中,傳遞函數(shù)是分析和設計基于系統(tǒng)結構圖的有力工具。類似地，我們也可定義脈沖傳遞函數(shù)。對于如圖7-18所示的離散系統(tǒng)結構圖，定義脈沖傳遞函數(shù)為：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號的z變換與輸入采樣信號的z變換之比，即

(7-57)

所謂零初始條件，是指t<0時，輸入脈沖序列各采樣值以及輸出脈沖序列各采樣值均為0。式(7-57)中，g(kT)是單位沖激響應g(t)的離散表示；U(z)、Y(z)分別是離散過程輸入離散信號和輸出離散信號的z變換，即:

U(z)=z［u*(t)］

Y(z)=z［y*(t)］

如果有一個系統(tǒng)如圖7-19所示，則此時有圖7-18離散過程的結構圖圖7-19開環(huán)采樣系統(tǒng)方框圖嚴格地說，G(s)和U*(s)表示不同類型的函數(shù)，不能直接用拉氏變換求出其對應的時間函數(shù)。作為一種轉換，可以假定在輸出端存在一個采樣開關S2，其采樣周期與S1的相同，且S2與S1同步動作，則在S2后可表示為y*(t)，上式可轉換為

Y*(s)=G(s)U*(s)

則有

Y(z)=G(z)U(z)

即當一個環(huán)節(jié)的輸出不是離散信號時，嚴格說來，其脈沖傳遞函數(shù)不能求出。這時，可采用虛擬開關的辦法經轉換后來求。

2.脈沖傳遞函數(shù)的求法

(1)由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)。用z變換的實位移定理，并假設初始條件為零，對差分方程兩端取z變換，整理后得到Y(z)，用Y(z)除以U(z)可得脈沖傳遞函數(shù)G(z)。

(2)由傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)G(z)的拉氏反變換是單位脈沖響應函數(shù)δ(t)，將δ(t)離散化得單位脈沖響應序列δ(nT)，將δ(nT)進行z變換得G(z)。這一變換過程可表示如下：

上式表明，G(s)到G(z)的變換，中間過程可以省略，只要將G(s)表示成z變換表中的標準形式，直接查表可得G(z)。7.5.3由結構圖求脈沖傳遞函數(shù)

和連續(xù)系統(tǒng)一樣，若已知離散系統(tǒng)的結構圖，則也可以由結構圖求出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

假定輸出變量前有采樣開關(或有一理想的虛擬采樣開關)，或者輸入變量后有采樣開關，則我們分析下面兩種情況。

(1)串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關。

圖7-20(a)所示兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣器隔開，所以有：

U1(z)=G1(z)U(z)

(7-58)

Y(z)=G2(z)U1(z)

(7-59)

式中:G1(z)、G2(z)分別為線性環(huán)節(jié)G1(s)、G2(s)的脈沖傳遞函數(shù)，即G1(z)=z［G1(s)］，G2(z)=z［G2(z)］，則由式(7-58)和式(7-59)可得

Y(z)=G1(z)G2(z)U(z)所以，圖7-20(a)所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

可見，兩個環(huán)節(jié)間有采樣器隔開時，環(huán)節(jié)串聯(lián)等效脈沖傳遞函數(shù)為兩個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。同理，n個環(huán)節(jié)串聯(lián)，且所有環(huán)節(jié)之間均有采樣器隔開時，等效脈沖傳遞函數(shù)為所有環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積,即

G(z)=G1(z)·G2(z)…Gn(z)

(7-60)圖7-20環(huán)節(jié)串聯(lián)的開環(huán)系統(tǒng)

(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣器。

如圖7-20(b)所示，由于環(huán)節(jié)間沒有采樣器，因而G2(s)環(huán)

節(jié)輸入的信號不是脈沖序列，而是連續(xù)函數(shù)，所以不能像圖

7-20(a)那樣求G2(z)=Y(z)/U1(z)，而應先把G1(s)、G2(s)進行串聯(lián)運算,求出等效環(huán)節(jié)G1(s)·G2(s)，則G1(s)G2(s)的z變換才是U(z)、Y(z)之間的脈沖傳遞函數(shù)，即

(7-61)

式中,G1G2(z)表示G1(s)·G2(s)乘積經采樣后的z變換。顯然,

z［G1(s)G2(s)］=G1G2(z)≠G1(z)G2(z)(7-62)

即各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的z變換，不等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)z變換的乘積。

由此可知，兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣器隔開時，等效脈沖傳遞函數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積經采樣后的z變換。同理，此結論也適用于多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而無采樣器隔開的情況，即

G(z)=z［G1(s)G2(s)…Gn(s)］=G1G2…Gn(z)

(7-63)

如果串聯(lián)的多個環(huán)節(jié)中存在上述兩種情況，則可分段按上述原則處理。如果把離散后的傳遞函數(shù)或變量記為G*(s)，則可以把上述兩種情況簡單歸納為下面兩個重要公式：

若Y(s)=E*(s)G(s),則

Y*(s)=［E*(s)G(s)］*=E*(s)G*(s)

即

Y(z)=E(z)·G(z)

(7-64)

若Y(s)=E(s)G(s)，則

Y*(s)=［E(s)G(s)］*=EG*(s)=GE*(s)

即

Y(z)=EG(z)=GE(z)(7-65)

【例題7-16】結構圖如圖7-21(a)所示，求零階保持器與環(huán)節(jié)串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù)。

解已知，由于GH(s)與GP(s)之間無采樣開關，因此串聯(lián)環(huán)節(jié)的z變換不等于單個環(huán)節(jié)z變換后的乘積。圖7-21有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)為分析方便起見，將圖7-21(a)等效為圖7-21(b)的形式。由圖可見，采樣信號u*(t)分兩條通道作用于開環(huán)系統(tǒng):一條直接作用于；另一條通過純滯后環(huán)節(jié)，滯后一個采樣周期作用于GP′(s)，其響應分別為:所以

最后求得開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

(7-66)

【例題7-17】若圖7-21所示系統(tǒng)中

試求開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

解

查變換表，進行z變換，得

根據(jù)式(7-66)和上述結果得

2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

與環(huán)節(jié)串聯(lián)一樣，在離散系統(tǒng)中，環(huán)節(jié)并聯(lián)的情況也不是唯一的。首先介紹兩個等效圖形，如圖7-22(a)、(b)所示。

注意，并聯(lián)環(huán)節(jié)后的變量是相加減關系，只有同類型的變量才能相加減。因此，我們討論圖7-23所示的并聯(lián)環(huán)節(jié)。圖7-22并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效圖7-23并聯(lián)環(huán)節(jié)方框圖顯然有:

即

(7-67)

3.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

根據(jù)不同結構，我們把離散系統(tǒng)分為下面兩種情況：

①輸入信號在進入反饋回路后，至回路輸出節(jié)點前，至少有一個真實的采樣開關，則可用簡易法計算。

②不滿足①中條件的一般不能用簡易法計算。

(1)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的一般計算方法。

求閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)時，一般按定義的方法進行計算，即在已知系統(tǒng)的結構圖中注明各環(huán)節(jié)的輸入、輸出信號，用代數(shù)消元法求出系統(tǒng)輸入、輸出關系式。眾所周知，對于比較復雜的離散控制系統(tǒng),用這種方法計算將是十分復雜和困難的。本文對脈沖傳遞函數(shù)準確的計算是指求取輸出的z變換關系式(對于脈沖傳遞函數(shù)不存在的系統(tǒng))。如圖7-24所示，在這個系統(tǒng)中，連續(xù)的輸入信號直接進入連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s)，如前所述，在這種情況下，只能求輸出信號的z變換表達式Y(z)，而求不出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。下面我們來求圖7-24所示系統(tǒng)的Y(z)。圖7-24閉環(huán)采樣系統(tǒng)結構圖對于連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s)，其輸入為u(t)-b(t)，輸出為d(t)，于

是有

D(s)=G1(s)［U(s)-B(s)］=G1(s)U(s)-G1(s)B(s)

(7-68)

對于連續(xù)環(huán)節(jié)G2(s)H(s)，其輸入為d*(t)，輸出為b(t)，于是有

B(s)=G2(s)H(s)·D*(s)

(7-69)

將式(7-69)代入式(7-68)，有

D(s)=G1(s)U(s)-G1(s)G2(s)H(s)·D*(s)對上式采樣，有

D*(s)=［G1(s)U(s)］*-［G1(s)G2(s)H(s)］*D*(s)

取z變換得

D(z)=G1U(z)-G1G2H(z)·D(z)

所以

(7-70)因為

Y(s)=G2(s)·D*(s)

采樣后得

Y*(s)=G*2(s)·D*(s)

z變換為

Y(z)=G2(z)D(z)

(7-71)將式(7-70)代入式(7-71)，得

(7-72)

由式(7-72)知，解不出，但有了Y(z)，仍可由z反變換求輸出的采樣信號y*(t)。

部分離散系統(tǒng)結構圖及其脈沖傳遞函數(shù)如表7-1所示。

(2)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的簡易計算方法。

這里我們介紹一種脈沖傳遞函數(shù)的簡易計算方法：

①將離散系統(tǒng)中的采樣開關去掉，求出對應連續(xù)系統(tǒng)的輸出表達式。②對表達式中各環(huán)節(jié)乘積項逐個決定其“*”號。方法是：乘積項中某項與其余相乘項兩兩比較，當且僅當該項與其中任一相乘項均被采樣開關分隔時，該項才能打“*”號；否則,需相乘后才打“*”號。

③取z變換，把有“*”號的單項中的s變換為z，多項相乘后僅有一個“*”號的,其z變換等于各項傳遞函數(shù)乘積的z變換。下面舉例說明。

【例題7-18】系統(tǒng)如圖7-25所示，求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

解顯然該系統(tǒng)可用簡易法計算，去掉采樣開關后，連續(xù)系統(tǒng)的輸出表達式為圖7-25系統(tǒng)結構圖對上式進行脈沖變換(加“*”)：

變量置換得

【例題7-19】系統(tǒng)如圖7-26所示，求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

解用代數(shù)消元法求出系統(tǒng)的輸入輸出關系式：圖7-26系統(tǒng)結構圖所以所以

即

其中關鍵是求出U*1(s)。如果在圖7-26中的Gc(s)前增加采樣開關(根據(jù)圖7-22(a)，此時等價于在綜合點前分別增加兩個采樣開關)，則

該結果與用簡易法獲得的結果一致(此時滿足簡易法計算條件)。如果在圖7-26中的Gc(s)后增加采樣開關(根據(jù)圖7-22(b)，此時等價于在H2(s)前增加采樣開關)，則

該結果仍與用簡易法計算得到的結果一致(此時仍滿足簡易法計算條件)。

【例題7-20】系統(tǒng)如圖7-27所示，求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

解用代數(shù)消元法求得圖7-27系統(tǒng)結構圖其中：YU(z)是輸出對應于U輸入時的響應，從圖7-27可知，此時滿足簡易法條件，其結果亦與簡易法計算所得結果一致；YD(z)是輸出對應于D輸入時的響應，從圖7-27可知，此時不滿足簡易法條件，其結果便與簡易法計算所得結果不同。7.5.4數(shù)學模型之間的轉換

和連續(xù)系統(tǒng)一樣，對于離散系統(tǒng)，其兩種數(shù)學模型——差分方程與脈沖傳遞函數(shù)之間也可以相互轉換。由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)的問題，前面已經討論過，下面主要討論由脈沖傳遞函數(shù)如何建立差分方程。差分方程的建