專題40拋物線及其性質(zhì)【考點預測】知識點一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．注：若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點．知識點二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)拋物線的標準方程有4種形式：，，，，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向圖形標準方程頂點范圍，，，，對稱軸軸軸焦點離心率準線方程焦半徑【方法技巧與總結】1、點與拋物線的關系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點到準線的距離，即焦準距，越大，拋物線開口越大．4、焦點弦若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結論：（1）．（2）．（3）焦點弦長公式1：，，當時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則（1）弦長公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法（法）（1）焦點為，準線為（2）焦點為，準線為如，即，焦點為，準線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點弦方程拋物線的切線方程為，為切點切點弦方程為，點在拋物線外與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結果．9、拋物線的通徑過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．10、弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關系：11、焦點弦的?？夹再|(zhì)已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設，為垂足，則、、三點在一條直線上【題型歸納目錄】題型一：拋物線的定義與方程題型二：拋物線的軌跡方程題型三：與拋物線有關的距離和最值問題題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題題型五：焦半徑問題題型六：拋物線的性質(zhì)【典例例題】題型一：拋物線的定義與方程例1．（2022·黑龍江·佳木斯一中三模（理））已知拋物線的焦點為，準線為，過點且傾斜角為30°的直線交拋物線于點（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點，若，則拋物線的方程是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結】求拋物線的標準方程的步驟為：（1）先根據(jù)題設條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點位置：（2）根據(jù)題目條件列出P的方程（3）解方程求出P，即得標準方程例2．（2022·全國·高三專題練習）頂點在原點，關于x軸對稱，并且經(jīng)過點的拋物線方程為________.例3．（2022·湖南·高三開學考試）已知拋物線的焦點在軸上，直線與拋物線交于點，且.寫出拋物線的一個標準方程___________.例4．（2022·全國·高三專題練習）點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是（

）A． B．或C． D．或例5．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學一模（文））已知點是拋物線的焦點，是上的一點，，則（

）A． B． C． D．例6．（2022·北京·高三開學考試）拋物線W：的焦點為F.對于W上一點P，若P到直線的距離是P到點F距離的2倍，則點P的橫坐標為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例7．（2022·全國·高三專題練習）以軸為對稱軸，頂點為坐標原點，焦點到準線的距離為4的拋物線方程是（

）A． B． C．或 D．或例8．（2022·全國·高三專題練習）頂點在原點，焦點在x軸上，過焦點作垂直于x軸的直線交拋物線于A，B兩點，AB的長為8，求拋物線的方程．題型二：拋物線的軌跡方程例9．（2022·上海市復興高級中學高三開學考試）在平面上，到點的距離等于到直線的距離的動點的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線【方法技巧與總結】常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標志的定點連起來做判斷．焦點往往有以下的特征：（1）關于坐標軸對稱的點；（2）標記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當看到滿足以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.例10．（2022·全國·高三專題練習）已知點，直線，若動點到的距離等于，則點的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．直線例11．（2022·全國·高三專題練習）若動點滿足，則點M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線例12．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．例13．（2022·全國·高三專題練習（理））已知點?，若過?兩點的動拋物線的準線始終與圓相切，該拋物線焦點的軌跡是某圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線是（

）A．橢圓 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線例14．（2022·全國·高三專題練習）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．例15．（2022·全國·高三專題練習）斜線段與平面所成的角為，平面內(nèi)的動點滿足，則點的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓C．拋物線 D．雙曲線的一支例16．（多選題）（2022·江蘇南京·高三階段練習）已知直線，點，圓心為的動圓經(jīng)過點，且與直線相切，則（

）A．點的軌跡為拋物線B．圓面積最小值為C．當圓被軸截得的弦長為時，圓的半徑為D．存在點，使得，其中為坐標原點例17．（2022·全國·高三專題練習）與點和直線的距離相等的點的軌跡方程是______．例18．（2022·全國·高三專題練習）已知動點的坐標滿足，則動點的軌跡方程為_____________．例19．（2022·湖北·荊州中學高三開學考試）已知動點到定點與定直線的距離的差為1．則動點的軌跡方程為________．例20．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知定圓A的半徑為1，圓心A到定直線l的距離為d，動圓C與圓A和直線l都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線，記這兩拋物線的焦點到對應準線的距離分別為，，則（

）A． B． C． D．例21．（2022·全國·高三專題練習）動點到y(tǒng)軸的距離比它到定點的距離小2，求動點的軌跡方程．題型三：與拋物線有關的距離和最值問題例22．（2022·全國·高三專題練習）已知為拋物線C：上一動點，過C的焦點F作：的切線，切點為A，則線段FA長度的最小值為（

）A．3 B． C． D．【方法技巧與總結】拋物線上任意一點到焦點的距離等于到準線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題或點到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點到定直線（并非準線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解。例23．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測（文））拋物線上任意一點P到點的距離最小值為___________.例24．（2022·全國·高三專題練習）已知M為拋物線上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，，則的最小值為___________.例25．（2022·全國·高三專題練習）若拋物線上一點到焦點的距離為6，P、Q分別為拋物線與圓上的動點，則的最小值為______．例26．（2022·全國·高三專題練習）已知為拋物線上的一個動點，為圓上的一個動點，那么點到點的距離與點到拋物線準線的距離之和的最小值是______.例27．（2022·寧夏·吳忠中學三模（文））已知拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離與到點的距離之和的最小值為2，則實數(shù)p的值為_____，例28．（2022·全國·高三專題練習）已知為拋物線的焦點，為拋物線上的動點，點.則最大值為_______.例29．（2022·遼寧朝陽·高三階段練習）已知F為拋物線的焦點，P為拋物線上的動點，點，則的最小值為______．例30．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，P點在拋物線上，Q點在圓上，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10例31．（2022·廣西桂林·高三開學考試（理））已知，點P是拋物線上的動點，過點P向y軸作垂線，垂足記為點N，點，則的最小值是（

）A． B． C． D．例32．（2022·全國·高三專題練習）已知A，F(xiàn)為拋物線的焦點，點M在拋物線上移動，當取最小值時，點的坐標為（

）A． B． C． D．例33．（2022·上海市向明中學高三開學考試）設拋物線的焦點為F，準線為，為C上一動點，，則下列結論錯誤的是（

）A．當時，的值為6B．當時，拋物線C在點P處的切線方程為C．的最小值為3D．的最大值為例34．（2022·云南民族大學附屬中學模擬預測（理））已知點為拋物線上的動點，設點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．例35．（2022·全國·高三專題練習）已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于兩點（在的右邊），為上一點，，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．5例36．（2022·全國·高三專題練習）已知定點，點為拋物線上一動點，到軸的距離為，則的最小值為（

）A．4 B．5 C． D．例37．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知A（a，0），M（3，-2），點P在拋物線上，則（

）A．當時，最小值為1B．當時，的最小值為3C．當時，的最小值為4D．當時，的最大值為2例38．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知F是拋物線的焦點，P是拋物線上一動點，Q是上一動點，則下列說法正確的有（

）A．的最小值為1 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為例39．（多選題）（2022·江蘇·南京市第一中學高三階段練習）已知拋物線，圓為圓心），點在拋物線上，點在圓上，點，則下列結論中正確的是（

）A．的最小值是B．的最小值是C．當最大時，D．當最小時，例40．（2022·江蘇·南京市金陵中學河西分校高三階段練習）是拋物線上的動點，到軸的距離為，到圓上動點的距離為，則的最小值為________．題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題例41．（2022·貴州貴陽·高三開學考試（理））已知拋物線的焦點為是拋物線上的一點，若，則(為坐標原點)的面積是（

）A． B．1 C．2 D．4【方法技巧與總結】解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，并構成直角三角形或直角梯形，從而計算其面積或面積之比。例42．（2022·河南·高三開學考試（文））已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于兩點（點在第一象限），若，則______．例43．（2022·全國·高三專題練習）設拋物線的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B．設，與相交于點D．若，則的面積為__________．例44．（2022·全國·高三專題練習）設拋物線的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上，已知點A的橫坐標為，，則的面積___________.例45．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于、兩點，延長交準線于點，分別過點、作準線的垂線，垂足分別記為、，若，則的面積為________.例46．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知點F為拋物線的焦點過點F且斜率存在的直線交拋物線C于A，B兩點，點D為準線l與x軸的交點，則的面積S的取值范圍為______．例47．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預測）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，延長交準線于點C，分別過點A，B作準線的垂線，垂足分別記為M，N，若，則的面積為_______．例48．（2022·安徽省定遠縣第三中學高三階段練習）已知拋物線的焦點是，是的準線上一點，線段與交于點，與軸交于點，且，（為原點），則的方程為___________.例49．（多選題）（2022·河北廊坊·高三開學考試）已知拋物線：的焦點為，坐標原點為，直線與拋物線交于A，兩點（與均不重合），以線段為直徑的圓過原點，則與的面積之和可能為（

）A． B． C． D．例50．（多選題）（2022·云南大理·模擬預測）設點為拋物線：的焦點，過點斜率為的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），直線交拋物線的準線于點，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的面積為（為坐標原點）例51．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學高三階段練習（文））已知為拋物線的焦點，點A為上一點，點的坐標為，若，則的面積為（

）A．2 B．4 C．8 D．16例52．（2022·云南師大附中高三階段練習）已知是拋物線上一點，為拋物線的焦點，點，若，則的面積為（

）A． B． C． D．例53．（2022·山西運城·高三階段練習（文））過點P作拋物線的切線，切點分別為，若的重心坐標為，則P點坐標為（

）A． B． C． D．題型五：焦半徑問題例54．（2022·云南·高三階段練習）已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，過點作準線的垂線，垂足為，若，則（

）A．2 B． C． D．4【方法技巧與總結】（1）．（2）．（3）． 例55．（2022·全國·高三專題練習）過拋物線的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若，則此拋物線方程為__________．例56．（2022·廣東·高三階段練習）已知拋物線的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標為2，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8例57．（2022·全國·高三專題練習（文））已知拋物線C：的焦點為，A是C上一點，|AF|=，則=（

）A．1 B．2 C．4 D．8例58．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，且過點，圓，過圓心的直線l與拋物線和圓分別交于點P，Q，M，N，則的最小值為（

）A．23 B．26 C．36 D．62例59．（2022·河南·模擬預測（文））設拋物線的焦點為F，點A、B在拋物線上，若軸，且，則（

）A．或 B．或 C．或 D．例60．（2022·廣東汕頭·高三階段練習）已知的三個頂點都在拋物線上，為拋物線的焦點，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12例61．（2022·江西·高三開學考試（理））已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點A滿足，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．例62．（2022·江西·高三階段練習（文））已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，過焦點的直線與拋物線交于、兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．9例63．（2022·河南·商丘市第一高級中學高三開學考試（文））已知拋物線：的焦點為，準線與軸交于點，點在第一象限且在拋物線上，則當取最大值時，直線方程為（

）A． B． C． D．例64．（多選題）（2022·重慶八中高三階段練習）已知為坐標原點，為軸上的動點，過拋物線焦點的直線與交于兩點，其中在第一象限，，若，則（

）A．B．C．當時，的縱坐標一定大于D．不存在使得例65．（多選題）（2022·湖南師大附中高三階段練習）已知是拋物線上兩動點，為拋物線的焦點，則（

）A．直線過焦點時，最小值為4B．直線過焦點且傾斜角為時（點在第一象限），C．若中點的橫坐標為3，則最大值為8D．點坐標，且直線斜率之和為與拋物線的另一交點為，則直線，方程為：例66．（2022·全國·成都七中高三開學考試（理））設?是拋物線?的焦點，點A?在拋物線?上，?，若?，則?____________.例67．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，點A是拋物線C的準線與坐標軸的交點，點P在拋物線C上，若，則__________.例68．（2022·全國·高三專題練習）過拋物線，的焦點F作直線l，交拋物線于A，B兩點，若，則直線l的傾斜角等于__________.題型六：拋物線的性質(zhì)例69．（2022·湖南·新邵縣教研室高三期末（文））已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點，則（

）A．1 B．3 C．6 D．8【方法技巧與總結】在處理拋物線的考題的時候，要更加注意定義優(yōu)先原則，考察頻率更高，很多問題用上拋物線定義可以簡化計算．例70．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）關于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向左 B．焦點坐標為 C．準線為 D．對稱軸為軸例71．（2022·江西·高三階段練習（文））若拋物線上一點P到焦點的距離為6，則點P到x軸的距離為____________．例72．（2022·四川省南充市白塔中學高三階段練習（理））已知點F是拋物線的焦點，O為坐標原點，A，B是拋物線E上的兩點，滿足，則______．例73．（2022·江西南昌·模擬預測（文））拋物線的焦點到準線的距離為（

）A．4 B．2 C．1 D．例74．（2022·全國·高三專題練習）下列四個拋物線中，開口朝下且焦點到準線的距離為5的是（

）A． B．C． D．例75．（2022·湖北十堰·三模）下列四個拋物線中，開口朝左的是（

）A． B． C． D．例76．（2022·江西南昌·高三階段練習）若拋物線上的點到焦點的距離比到直線的距離小1，則=（

）A． B． C．6 D．例77．（2022·全國·高三專題練習）對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為例78．（2022·青海·大通回族土族自治縣教學研究室高三開學考試（理））拋物線C：的焦點為F，準線l交x軸于點，過焦點的直線m與拋物線C交于A，B兩點，則（

）A．B．C．直線AQ與BQ的斜率之和為0D．準線l上存在點M，若為等邊三角形，可得直線AB的斜率為例79．（2022·江西·高三階段練習（理））已知拋物線的焦點為F，點F到直線的距離為，則p的值為_____________．例80．（2022·河北邯鄲·高三開學考試）若拋物線的準線與圓相切，則___________.例81．（2022·廣東深圳·高三階段練習）已知點為拋物線的焦點，經(jīng)過點的直線交于兩點，交軸于點，若，則點的縱坐標為___________.例82．（2022·全國·高三專題練習）拋物線的準線方程是，則實數(shù)___________.例83．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線，為其焦點，為其準線，過任作一條直線交拋物線于兩點，分別為在上的射影，為的中點，給出下列命題：①；②；③//；④與的交點在軸上；⑤與交于原點.其中真命題是__________．（寫出所有真命題的序號）例84．（2022·安徽省太和中學高三階段練習）在平面直角坐標系xOy中，，⊙M：與拋物線C：有且僅有兩個公共點，直線l過圓心M且交拋物線C于A，B兩點，則______．例85．（2022·全國·高三專題練習）已知直線過拋物線：（）的焦點，且與拋物線交于，兩點，若使的直線有且僅有1條，則______.【過關測試】一、單選題1．（2022·河南·寶豐縣第一高級中學高三開學考試（理））已知拋物線的焦點為F，準線為l，與x軸平行的直線與l和C分別交于A，B兩點，且若，則（

）A．2 B． C． D．42．（2022·安徽·高三開學考試）已知點在拋物線上，若以點為圓心半徑為5的圓與拋物線的準線相切，且與軸相交的弦長為6，則（

）A．2 B．8 C．2或8 D．63．（2022·安徽·高三開學考試）設拋物線上一點到軸的距離是1，則點到該拋物線焦點的距離是（

）A．3 B．4 C．7 D．134．（2022·河南·上蔡縣衡水實驗中學高三階段練習（文））直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，則（

）A．6 B．8 C．2 D．45．（2022·陜西·西鄉(xiāng)縣教學研究室一模（文））已知過拋物線的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，Q為AB的中點，P為C上一點，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．56．（2022·福建師大附中高三階段練習）設拋物線的焦點為，若與拋物線有四個不同的交點，記軸同側(cè)的兩個交點為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022·廣東廣東·高三階段練習）在曲線上有兩個動點，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．18．（2022·山東師范大學附中高三期中）拋物線C：的焦點為F，P是其上一動點，點，直線l與拋物線C相交于A，B兩點，下列結論正確的是（

）A．的最小值是2B．動點P到點的距離最小值為3C．存在直線l，使得A，B兩點關于直線對稱D．與拋物線C分別相切于A、B兩點的兩條切線交于點N，若直線AB過定點，則點N在拋物線C的準線上二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的焦點為F，點P在拋物線C上，，若為等腰三角形，則直線的