學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)了解根軌跡的概念,會(huì)用根軌跡法分析系統(tǒng)性能。

(2)了解頻率特性的概念,會(huì)用頻率曲線分析系統(tǒng)性能。

(3)會(huì)用MATLAB繪制根軌跡及頻率曲線。

4.1根軌跡分析法

4.1.1根軌跡的概念自動(dòng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性由它的閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定。當(dāng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均處于復(fù)數(shù)平面的左半平面時(shí),系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定。反饋控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性也與系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)在復(fù)數(shù)平面上的位置有關(guān)。

以二階系統(tǒng)為例,其極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征方程s2+2ξωns+ω2n=0的根。如圖4－1所示,參數(shù)不同,方程的根也不同,不同的根對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線也表現(xiàn)出不一樣的穩(wěn)態(tài)與動(dòng)態(tài)性能。圖4－1不同極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)新能的影響

1948年,伊萬(wàn)斯(W.R.EVANS)提出了直接由開環(huán)函數(shù)判別閉環(huán)特征根的圖解法,解決了復(fù)雜系統(tǒng)的性能分析的難題,這就是著名的根軌跡法。所謂根軌跡,就是開環(huán)系統(tǒng)某

一參數(shù)從零變到無(wú)窮時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上變化的軌跡。由于根軌跡圖直觀、完整,且可以推算出系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的影響趨勢(shì),所以對(duì)研究及改

善系統(tǒng)性能都具有重要意義。其分析問(wèn)題的思路如圖4－2所示。圖4－2根軌跡法的基本思路

4.1.2根軌跡繪制

1.開/閉環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)表達(dá)式

圖4－3所示為一個(gè)常見的負(fù)反饋控制系統(tǒng),其開環(huán)函數(shù)為Gks()=G(s)H(s)。開環(huán)傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式方程的根稱為開環(huán)零點(diǎn),分母多項(xiàng)式方程的根稱為開環(huán)極點(diǎn)。圖4－3反饋系統(tǒng)框圖

為了直觀獲取自控系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn),我們習(xí)慣性地將n階負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)為以下零、極點(diǎn)形式

式中,zi為開環(huán)零點(diǎn);pj為開環(huán)極點(diǎn);Kg為根軌跡增益。

閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益也等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。一般我們研究的就是Kg變化時(shí)的根軌跡。在根軌跡圖中,“×”表示開環(huán)極點(diǎn),“○”表示開環(huán)零點(diǎn),實(shí)線表示根軌跡,箭頭表示參數(shù)增加的方向。

例4－1在復(fù)平面上標(biāo)出開環(huán)傳遞函數(shù)

的零、極點(diǎn)。

解由開環(huán)函數(shù),求得零點(diǎn)s=-1

極點(diǎn):s=0,s=-4,s=1±j1

所以,零極點(diǎn)分布圖如圖4－4所示。圖4－4例4－1

2.繪制根軌跡

繪制根軌跡有兩種常用方法,其中一種是伊文斯圖解法。利用伊文斯圖解法(手工畫法)獲得系統(tǒng)根軌跡是一種很實(shí)用的工程方法,只需要依據(jù)幾條規(guī)則做簡(jiǎn)單的計(jì)算,不需要求解系統(tǒng)特征方程。其繪制方法如下:

1)連續(xù)性與對(duì)稱性

系統(tǒng)根軌跡的各條分支是連續(xù)的,而且由于特征方程的根為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)(包括一對(duì)純虛根),所以根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸。

2)根軌跡的分支數(shù)n階系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)為n。開環(huán)傳遞函數(shù)為n階,故開環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)目都為n個(gè),當(dāng)Kg從0→+∞變化時(shí),n個(gè)根在s平面上連續(xù)形成n條根軌跡。一條根軌跡對(duì)應(yīng)一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)隨Kg的連續(xù)變化軌跡。注:根軌跡的分支數(shù)=系統(tǒng)的階數(shù)。

3)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)

系統(tǒng)的特征方程為

即

化簡(jiǎn)后可以得到

4)實(shí)軸上的根軌跡

在s平面實(shí)軸的線段上存在根軌跡的條件是,在這些線段右邊的開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目之和為奇數(shù)。假設(shè)一個(gè)特征根為s1,若它右邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)(開環(huán))個(gè)數(shù)的總和為

奇數(shù),則s1位于根軌跡上。

5)根軌跡的漸近線

當(dāng)特征根沿根軌跡無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)或無(wú)限接近間斷點(diǎn)時(shí),即到一條直線的距離無(wú)限趨近于零,那么這條直線稱為這條根軌跡的漸近線。若n>m,當(dāng)Kg從0→+∞時(shí),有(n-m)條根軌跡分支沿著實(shí)軸正方向夾角為θ、截距為σ的一組漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。

其中,

與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(σ,j0),且

常見的漸近線如圖4－5所示。圖4－5常見漸近線

6)根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)

若兩條根軌跡在復(fù)平面上的某一點(diǎn)相遇后又分開,則稱該點(diǎn)為根軌跡的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。此點(diǎn)對(duì)應(yīng)于二重根(實(shí)根和共軛復(fù)數(shù)根),一般多出現(xiàn)在實(shí)軸上。分離點(diǎn)的求解在本書

中不做要求。

7)根軌跡的出射角和入射角

出射角是指始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角。入射角是指止于開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角。出射角和入射角的求解在本書中不做要求。

8)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

隨著Kg的增大,根軌跡可能由s左半平面變到右半平面,系統(tǒng)會(huì)從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定,根軌跡與虛軸產(chǎn)生交點(diǎn),即閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根,出現(xiàn)臨界穩(wěn)定。由此根求解出的增益稱為臨界根軌跡增益。

9)閉環(huán)極點(diǎn)的和

當(dāng)n-m≥2時(shí),開環(huán)極點(diǎn)之和=閉環(huán)極點(diǎn)之和=常數(shù)。圖4－6例4－2根軌跡

例4－3已知例4－2中根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)為s=-0.423,分離角為90°,試畫出根軌跡圖,并求臨界根軌跡增益。

解閉環(huán)特征方程為

將s=jω代入方程,舍去不可能的解,得因此臨界根軌跡增益為6。根軌跡如圖4－7所示。圖4－7例4－3根軌跡圖48例44根軌跡

4.1.3根軌跡與系統(tǒng)性能

由根軌跡分析閉環(huán)控制系統(tǒng)性能的一般步驟如下:

(1)由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)的位置;

(2)分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響;

(3)分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能;

(4)根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù);

(5)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。

1.穩(wěn)定性

由根軌跡在s平面的分布情況就可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果全部根軌跡都位于s平面左半部分,則說(shuō)明系統(tǒng)是穩(wěn)定的;如果根軌跡有一條或一條以上的分支全部位于s平面的右半平面,則說(shuō)明系統(tǒng)始終不穩(wěn)定;如果根軌跡有一條或一條以上的分支有部分進(jìn)入s平面的右半平面,則說(shuō)明系統(tǒng)是有條件的穩(wěn)定,可以求出臨界參數(shù),為系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供依據(jù)。

例如,開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

其根軌跡如圖4－9所示,當(dāng)0<Kg<14和64<Kg<195時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定的;當(dāng)Kg>195和14<Kg<64時(shí),系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖4－9根軌跡

通過(guò)上述分析,可以得出以下兩條結(jié)論:

(1)開環(huán)放大系數(shù)K影響閉環(huán)極點(diǎn)分布;

(2)K與閉環(huán)極點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),進(jìn)而可確定系統(tǒng)穩(wěn)定性及其他各項(xiàng)性能指標(biāo)。

2.動(dòng)態(tài)性能

理論研究表明,系統(tǒng)的超調(diào)量、調(diào)整時(shí)間等動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)與控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的位置有關(guān)。

首先,閉環(huán)極點(diǎn)越遠(yuǎn)離虛軸,系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間就越小,快速性也越好。

其次,閉環(huán)極點(diǎn)越靠近實(shí)軸,系統(tǒng)超調(diào)量就越小,系統(tǒng)穩(wěn)定性也越高。圖4－10二階系統(tǒng)極點(diǎn)分布

分析動(dòng)態(tài)性能時(shí)需要注意以下三點(diǎn):

(1)若非主導(dǎo)極點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部比大于5,且主導(dǎo)極點(diǎn)附近又無(wú)閉環(huán)零點(diǎn),則非主導(dǎo)極點(diǎn)可忽略。

(2)當(dāng)主導(dǎo)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于β=±45°等阻尼線上,其對(duì)應(yīng)最佳阻尼系數(shù)為ζ=0.707,系統(tǒng)的平穩(wěn)性較好。

(3)閉環(huán)零點(diǎn)可以抵消或削弱附近閉環(huán)極點(diǎn)的作用。

3.增加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡和系統(tǒng)性能的影響

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)增加-p=-2或z=-2,分別畫出三幅零極點(diǎn)圖,討論對(duì)系統(tǒng)根軌跡和動(dòng)態(tài)性能的影響。圖4－11(a)為原系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖,圖4－11(b)為原系統(tǒng)增加極點(diǎn)后的零極點(diǎn)分布圖,圖4－11(c)為原系統(tǒng)增加零點(diǎn)后的零極點(diǎn)分布圖。圖4－11開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡和系統(tǒng)性能的影響

綜上所述,增加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響可以總結(jié)為以下四點(diǎn):

(1)改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布。增加開環(huán)零點(diǎn)會(huì)使根軌跡向左半s平面彎曲或移動(dòng),增加開環(huán)極點(diǎn)會(huì)使根軌跡向右半s平面彎曲或移動(dòng)。

(2)改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角和截距。

(3)可構(gòu)成開環(huán)偶極子,改善系統(tǒng)性能。

(4)根軌跡曲線向左偏移。

4.2頻域分析法

4.2.1頻率特性對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng),在其輸入端施加一個(gè)正弦信號(hào)時(shí),當(dāng)動(dòng)態(tài)過(guò)程結(jié)束后,在其輸出端必然得到一個(gè)與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào),其幅值和初始相位為輸入信號(hào)頻率的函數(shù)。對(duì)于不穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng),在正弦信號(hào)作用下,其輸出信號(hào)的瞬態(tài)分量不可能消逝,瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量始終存在。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量是無(wú)法觀察到的,但穩(wěn)態(tài)分量是與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)。

所以,可以將線性定常系統(tǒng)的正弦信號(hào)的幅值與輸入信號(hào)的幅值之比定義為幅頻特性A(ω),相位之差定義為相頻特性φ(ω)。系統(tǒng)的頻率特性就是指系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性,通常用復(fù)數(shù)來(lái)表示

4.2.2圖示方法

在工程分析和設(shè)計(jì)中,通常把頻率特性畫成一些曲線,從頻率特性曲線出發(fā)進(jìn)行研究。這些曲線包括幅頻特性和相頻特性曲線、幅相頻率特性曲線、對(duì)數(shù)頻率特性曲線以及對(duì)數(shù)

幅相曲線等。

為例,我們可以根據(jù)相關(guān)定義作出幾種常用的頻率特性曲線,如圖4－12~圖4－14所示。圖4－12幅相曲線圖4－13幅頻和相頻特性曲線圖4－14對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性曲線

4.2.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

前面介紹了兩種判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法,代數(shù)判據(jù)法是根據(jù)特征方程根和系數(shù)的關(guān)系判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,根軌跡法是根據(jù)特征方程式的根隨系統(tǒng)參量變化的軌跡來(lái)判斷系統(tǒng)的

穩(wěn)定性。本節(jié)介紹另一種重要并且實(shí)用的方法———奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。這種方法可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并能確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性稱為開環(huán)頻率特性。設(shè)系統(tǒng)的特征方程為F(s)=1+G(s)H(s)=0。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是特征方程的根,即F(s)的零點(diǎn),都位于

s平面的左半部。可以選擇如圖4－15所示的一條包圍整個(gè)s平面右半部的按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)的封閉曲線。圖4－15奈奎斯特回線

當(dāng)s沿著s平面上的奈奎斯特回線移動(dòng)一周時(shí),F(s)的值隨s的變化而變化,在F(s)平面得到相應(yīng)的映射曲線ΓF。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=F(s)-1,其映射曲線

ΓGH可以由ΓF向左平移一個(gè)單位得到。兩個(gè)曲線的關(guān)系如圖4－16所示。圖416ΓGH和ΓF的關(guān)系

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù))表述如下:閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是,當(dāng)ω從-∞變化到+∞時(shí),系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)按逆時(shí)針?lè)较虬鼑?-1,j0

)點(diǎn)N周,N等于位于s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目P。

在實(shí)際應(yīng)用中,常常只需畫出ω從0變化到+∞時(shí)的曲線,此時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)按逆時(shí)針?lè)较虬鼑?-1,j0)點(diǎn)N周。這時(shí)穩(wěn)定判據(jù)改寫為:

Z=P-2N=0

其中,Z為閉環(huán)系統(tǒng)位于右半部的極點(diǎn)數(shù)。

例4-5根據(jù)系統(tǒng)的幅相曲線及開環(huán)傳遞函數(shù),判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有一極點(diǎn)在s平面的原點(diǎn)處,因此ω從0到0+時(shí),幅相曲線應(yīng)以無(wú)窮大半徑順時(shí)針補(bǔ)畫

1/4周。)

解(1)由圖4－17可知,當(dāng)0<K<1時(shí),其幅相曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn),N=0,閉環(huán)系統(tǒng)位于右半部的極點(diǎn)數(shù)Z=P-2N=1,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)K>1時(shí),幅相曲線逆時(shí)針包圍(-1,

j0)點(diǎn)1/2周,N=1/2,Z=P-2N=0,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(2)在幅相曲線上順時(shí)針補(bǔ)畫1/4周后可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面沒有極點(diǎn),開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)又不包圍(-1,j0)點(diǎn),閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖4－17例4－5幅相曲線

4.2.4穩(wěn)定裕量

1.幅相曲線和伯德圖之間的關(guān)系

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅相曲線和伯德圖(Bode圖)之間存在著一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。奈氏圖上|G(jω)H(jω)|=1的單位圓與伯德圖對(duì)數(shù)幅頻特性的零分貝線相對(duì)應(yīng),單位圓以外對(duì)應(yīng)于L(ω)>0;奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于伯德圖上相頻特性的-π線,如圖4－18所示。圖4－18幅相曲線和伯德圖之間的關(guān)系

2.伯德圖和系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性

利用這種方法不僅可以定性地判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而且可以定量地反映系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,即穩(wěn)定的裕度。后者與系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)有著密切的關(guān)系。

系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性通常用相角裕度γ和幅值裕度Gm來(lái)衡量。

相角裕度γ在頻率特性上對(duì)應(yīng)于幅值A(chǔ)(ω)=1的角頻率稱為剪切頻率ωc(或稱截止頻率)。在剪切頻率ωc處,使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的臨界狀態(tài)所要附加的相角遲后量稱為相角

裕度,以γ或ρm表示。不難看出γ=180°+φ(ωc),其中φ(ωc)為開環(huán)相頻特性在ω=ωc處的相角。

幅值裕度Gm在頻率特性上對(duì)應(yīng)于相角φ(ω)=-π弧度處的角頻率稱為相角交界頻率ωg,開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)1/A(ωg)稱為幅值裕度,以Gm表示,即

圖4－19將穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性進(jìn)行對(duì)比。幅值裕度Gm是一個(gè)系數(shù),若開環(huán)增益增加該系數(shù)倍,則開環(huán)頻率特性曲線將穿過(guò)(-1,j0)點(diǎn),閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。開環(huán)增益增大有可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。在伯德圖上,幅值裕度用分貝數(shù)來(lái)表示:h=-20lgA(ωg)(dB)。圖4－19穩(wěn)定和不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性

保持適當(dāng)?shù)姆€(wěn)定裕度,可以預(yù)防系統(tǒng)中元件性能變化可能帶來(lái)的不利影響,提高相對(duì)穩(wěn)定性。為了得到較滿意的暫態(tài)響應(yīng),一般相角裕度γ應(yīng)當(dāng)在30°至70°之間,而幅值裕度應(yīng)大于6dB。在大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)中,要求開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻曲線在截止頻率ωc附近的斜率為-20dB/dec,且有一定的寬度。如果此斜率設(shè)計(jì)為-40dB/dec,系統(tǒng)即使穩(wěn)定,相角裕度也過(guò)小;如果此斜率為-60dB/dec或更小,則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

4.3MATLAB仿真

1.直接求特征多項(xiàng)式的根設(shè)p為特征多項(xiàng)式的系數(shù)向量,則MATLAB函數(shù)roots()可以直接求出方程p=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解v,該函數(shù)的調(diào)用格式為

2.由根創(chuàng)建多項(xiàng)式

如果已知多項(xiàng)式的因式分解式或特征根,可由MATLAB函數(shù)poly()直接得出特征多項(xiàng)式的系數(shù)向量,其調(diào)用格式為:

3.利用MATLAB繪制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

命令格式:

step(num,den)

step(num,den,t)

[y,x]=step(num,den)

函數(shù)格式l:給定num、den,求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。時(shí)間向量t的范圍自動(dòng)設(shè)定。

函數(shù)格式2:時(shí)間向量t的范圍可以人工給定(例如,t=0∶0.1∶10)。

函數(shù)格式3:返回變量格式。計(jì)算所得的輸出y、狀態(tài)x及時(shí)間向量t返回至命令窗口,不作圖。

4.繪制系統(tǒng)根軌跡

命令格式:

rlocus(sys)

rlocus(num,den)

注意:如果開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零極點(diǎn)的形式,則需要用下列語(yǔ)句先將該形式寫成多項(xiàng)式形式

[num,den]=zp2tf(z,p,k)

5.繪制奈氏曲線

控制系統(tǒng)工具箱中提供了一個(gè)MATLAB函數(shù)nyquist(),該函數(shù)可以用來(lái)直接求解Nyquist陣列或繪制奈氏圖。

命令格式

nyquist(num,den)

nyquist(G)

6.利用MATLAB繪制系統(tǒng)伯德圖

命令格式:

bode(num,den)

bode(num,den,w)

[mag,phase,w]=bode(mun,den)

函數(shù)格式1:在當(dāng)前圖形窗口中直接繪制系統(tǒng)的伯德圖,角頻率的范圍自動(dòng)設(shè)定。

函數(shù)格式2:用于繪制系統(tǒng)的伯德圖,為輸入給定角頻率,定義繪制伯德圖時(shí)的頻率范圍或者頻率點(diǎn)。

函數(shù)格式3:返回變量格式,不作圖。

7.計(jì)算穩(wěn)定裕度

命令格式:

margin(num,den)

[Gm,Pm,g,c]=margin(num,den)(Gm指相角裕度,Pm指幅值裕度)

函數(shù)格式1:給定開環(huán)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,作伯德圖,并在圖上標(biāo)注增益裕度和對(duì)應(yīng)頻率,相位裕度和對(duì)應(yīng)頻率。

函數(shù)格式2:返回變量格式,不作圖。

例4－6某一控制對(duì)象的傳遞函數(shù)為

畫出根軌跡并判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解由題意可知系統(tǒng)沒有零點(diǎn),有兩個(gè)極點(diǎn)λ1=6.9498,λ2=-6.9498。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的根軌跡如圖4－20所示,可以看出傳遞函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)位于右半平面,并且有一條根軌跡起始于該極點(diǎn),并沿著實(shí)軸向左到位于原點(diǎn)的零點(diǎn)處,然后沿著虛軸向上。這意味著無(wú)論增益如何變化,這條根軌跡總是位于右半平面,即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。圖4－20系統(tǒng)開環(huán)根軌跡圖4－21系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

例4－7繪制例4－6中系統(tǒng)的伯德圖和奈奎斯特圖,并分析系統(tǒng)性能。

解用MATLAB繪制系統(tǒng)的伯德圖如圖4－22所示,程序如下:

?clear;

num=[4.9];

den=[1,0,-48.3];

G=tf(num.den);

bode(G);grid圖4－22伯德圖

MATLAB繪制系統(tǒng)的奈奎斯特圖如圖4-23所示,程序如下:

?clear;

num=[4.9];

den=[1,0,-48.3];

G=tf(num.den);

nyquist(G);grid圖4－23奈奎斯特圖

從圖4－23可知系統(tǒng)沒有零點(diǎn),但存在兩個(gè)極點(diǎn),其中一個(gè)極點(diǎn)位于s右半平面,根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是當(dāng)ω從-∞到+∞變化時(shí),開環(huán)傳遞函數(shù)G(jω)H(jω)沿逆時(shí)針?lè)较虬鼑?1點(diǎn)P圈,其中P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。對(duì)于例4－6中的控制系統(tǒng),開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面有一個(gè)極點(diǎn),因