桃浦中學(xué)2023學(xué)年度第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)3月月考試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則此冪函數(shù)的表達(dá)式為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)此冪函數(shù)的表達(dá)式為，從而可得，求解即可.【詳解】設(shè)此冪函數(shù)的表達(dá)式為，依題意可得，，即，解得，所以此冪函數(shù)的表達(dá)式為.故答案為：.2.不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)移項，通分，將分式不等式化為且，即可求解.【詳解】有已知得，，，,即且，則不等式的解集為，故答案為：.3.現(xiàn)有一組數(shù)1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，則該組數(shù)的第25百分位數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)集，應(yīng)用百分?jǐn)?shù)的求法求第25百分位數(shù).【詳解】由題設(shè)，數(shù)據(jù)集（從小到大排列）中共有10個數(shù)據(jù)，則，所以該組數(shù)的第25百分位數(shù)為第三個數(shù).故答案為：4.已知扇形圓心角所對的弧長，則該扇形面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)弧長公式以及扇形面積公式即可求解.【詳解】由弧長公式可得，所以扇形面積為，故答案為：5.函數(shù)的定義域為______．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得不等式，然后解指數(shù)不等式可得．【詳解】由題意，即，∴，，∴定義域為．故答案為：．6.已知，則的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】由，然后結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：7.將向量繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義以及兩角差的正弦、余弦公式求解.【分析】設(shè)為終邊的角為，為終邊的角為，，所以且，,所以且所以，即,故答案為:.8.圓的半徑的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出半徑，根據(jù)的范圍利用拋物線的單調(diào)性可得答案.【詳解】由可得，當(dāng)表示圓，即解得的取值范圍是，半徑為，是開口向下對稱軸為的拋物線，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以時最大值為.故答案為：．9.記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則______．【答案】或【解析】【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)得出也成等比數(shù)列，從而求得，然后求得公比后，再求得即得．【詳解】設(shè)的公比是，，同理，由已知，否則公比，，與已知矛盾，所以也成等比數(shù)列，，又，，所以，解得或，又，所以與同號，因此，所以，，，若，則，，即，若，則，，即．故答案為：或．10.若存在實數(shù)，使函數(shù)在上有且僅有2個零點，則的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】利用的圖像與性質(zhì)，直接求出函數(shù)的零點，再利用題設(shè)條件建立不等關(guān)系且，從而求出結(jié)果.【詳解】因為，由，得到，所以或，所以或，又因為存在實數(shù)，使函數(shù)在上有且僅有2個零點，所以且，即且，解得.故答案為：11.已知邊長為2菱形中，，P、Q是菱形內(nèi)切圓上的兩個動點，且，則的最大值是_____________．【答案】##0.25【解析】【分析】畫出圖形，求出內(nèi)切圓半徑，設(shè)出，表達(dá)出，結(jié)合求出最值.【詳解】如圖，，故菱形內(nèi)切圓半徑為點到的距離，故內(nèi)切圓半徑，由對稱性可知，關(guān)于軸對稱，設(shè)，，則，，其中，故，當(dāng)時，取得最大值，最大值為.故答案為：12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為_________.【答案】【解析】【分析】因為,即,畫出函數(shù)圖象,設(shè)有三個不同實數(shù)解,故方程有兩個根,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】畫出函數(shù)圖象:設(shè)有三個不同實數(shù)解,方程有兩個根其中一個在區(qū)間上,一個根為或在區(qū)間上,若方程一個根為,,另一根為,不滿足條件.故方程有兩個根,其中一個在區(qū)間上,一個在區(qū)間令①當(dāng)時則解得:②當(dāng)時即,故,將代入可得:,解得:滿足方程兩個根中,一個在區(qū)間上,一個在區(qū)間綜上所述,實數(shù)的取值范圍為:.故答案為:.【點睛】本題主要考查了根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍,解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)零點的定義,數(shù)形結(jié)合,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）13.對成對數(shù)據(jù)、、…、用最小二乘法求回歸方程是為了使（）A. B.C.最小 D.最小【答案】D【解析】【分析】由最小二乘法的求解即可知.【詳解】根據(jù)最小二乘法的求解可知：回歸方程是為了使得每個數(shù)據(jù)與估計值之間的差的平方和最小，故選：D14.設(shè)a，b表示空間的兩條直線，α表示平面，給出下列結(jié)論：（1）若且，則（2）若且，則（3）若且，則（4）若且，則其中不正確的個數(shù)是（）A.1 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線與直線平行、直線與平面平行的性質(zhì)分別判斷命題真假即可得解.【詳解】若且，則或，故命題錯誤；若且，則或為異面直線，故命題錯誤；若且，則或，故命題錯誤；若且，則或相交或異面，故命題錯誤.故選：D15.對于全集R的子集A，定義函數(shù)為A的特征函數(shù)．設(shè)A，B為全集R的子集，下列結(jié)論中錯誤的是（）A.若，則 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行驗證．【詳解】選項A，，若，則，此時，若且，則，，若，則，則，所以成立，A正確；選項B，由補(bǔ)集定義知時，，，同樣知時，，，所以，B正確；選項C，時，必有且，因此，當(dāng)時，與中至少有一個成立，因此，而與至少有一個成立，綜上有，C正確；選項D，當(dāng)時，若，則，，，因此，此時不成立，D錯誤．故選：D．16.如圖，一個由四根細(xì)鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時針排布），若，一個半徑為1的球恰好放在支架上與四根細(xì)鐵桿均有接觸，則球心到點的距離是（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】將支架看作一個正四棱錐，根據(jù)已知及相切關(guān)系得到三角形相似，利用相似比求球心到點的距離.【詳解】如上圖正四棱錐，為底面中心，為球心，為球體與的切點，又，故各側(cè)面均為等邊三角形，若側(cè)面三角形邊長為，則，，，顯然△△，故，則.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足（正整數(shù)（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{}的前n項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意轉(zhuǎn)化條件得，結(jié)合即可得證；（2）由題意可得，進(jìn)而可得，由分組求和法即可得解.【小問1詳解】證明：已知遞推公式，兩邊同時加上3，得：，因為，所以，又，所以數(shù)列是以為首項、以2為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1），則，所以.18.為了慶祝黨的二十大順利召開，某學(xué)校特舉辦主題為“重溫光輝歷史展現(xiàn)堅定信心”的百科知識小測試比賽．比賽分搶答和必答兩個環(huán)節(jié)，兩個環(huán)節(jié)均設(shè)置10道題，其中5道人文歷史題和5道地理環(huán)境題．（1）在搶答環(huán)節(jié)，某代表隊非常積極，搶到4次答題機(jī)會，求該代表隊至少搶到1道地理環(huán)境題的概率；（2）在必答環(huán)節(jié)，每個班級從5道人文歷史題和5道地理環(huán)境題各選2題，各題答對與否相互獨立，每個代表隊可以先選擇人文歷史題，也可以先選擇地理環(huán)境題開始答題．若中間有一題答錯就退出必答環(huán)節(jié)，僅當(dāng)?shù)谝活悊栴}中2題均答對，才有資格開始第二類問題答題．已知答對1道人文歷史題得2分，答對1道地理環(huán)境題得3分．假設(shè)某代表隊答對人文歷史題的概率都是，答對地理環(huán)境題的概率都是．請你為該代表隊作出答題順序的選擇，使其得分期望值更大，并說明理由．【答案】（1）（2）該代表隊?wèi)?yīng)該先答人文歷史題，再答地理環(huán)境題；理由見解析【解析】【分析】（1）先求出“某代表隊沒有搶到地理環(huán)境題”的概率，再由對立事件即可求出答案；（2）分別求出某代表隊先答人文歷史題，再答地理環(huán)境題和先答地理環(huán)境題，再答人文歷史題的數(shù)學(xué)期望，比較它們大小即可得出答案.【小問1詳解】從10道題中隨機(jī)抽取4道題，所有的基本事件的個數(shù)為，將“某代表隊沒有搶到地理環(huán)境題”的事件記為，事件的對立事件為“某代表隊搶到至少1道地理環(huán)境題”．則，【小問2詳解】情況一：某代表隊先答人文歷史題，再答地理環(huán)境題，設(shè)該代表隊必答環(huán)節(jié)的得分為，，，，，，，則的分布為：此時得分期望情況二：某代表隊先答地理環(huán)境題，再答人文歷史題，設(shè)該代表隊必答環(huán)節(jié)的得分為，,，，，，，則的分布為：此時得分期望由于，故為了使該代表隊必答環(huán)節(jié)得分期望值更大，該代表隊?wèi)?yīng)該先答人文歷史題，再答地理環(huán)境題．19.如圖，三角形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分別為、的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及三角形的中位線定理，利用平行四邊的判定及性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理即可求解；（2）根據(jù)已知條件、面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合二面角的平面角的定義及向量夾角的關(guān)系即可求解.【小問1詳解】連接，因為、分別為、的中點，所以且，又因為，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】因為三角形與梯形所在的平面互相垂直，，又平面平面,平面，所以平面，又平面，所以，所以以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，,．所以，，由題意知，平面的法向量，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.20.已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，左焦點與右焦點都在軸上，離心率為，過點的動直線與雙曲線交于點、．設(shè)．（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）若點、都在雙曲線的右支上，求的最大值以及取最大值時的正切值；（關(guān)于求的最值．某學(xué)習(xí)小組提出了如下的思路可供參考：①利用基本不等式求最值；②設(shè)為，建立相應(yīng)數(shù)量關(guān)系并利用它求最值；③設(shè)直線l的斜率為k，建立相應(yīng)數(shù)量關(guān)系并利用它求最值）.（3）若點在雙曲線的左支上（點不是該雙曲線的頂點，且，求證：是等腰三角形．且邊的長等于雙曲線的實軸長的2倍．【答案】（1）（2），（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率求出，即可求出漸近線方程；（2）方法1、設(shè)，，則利用基本不等式求出的最大值；方法2、設(shè)，其中，則，求得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值；方法3、設(shè)直線為，聯(lián)立方程組得到，從而化簡得到，得到取得最大值，此時可得，則軸且，求出，即可求出，再利用二倍角公式求出；（3）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，依題意可得，即可求出，從而求出，再根據(jù)雙曲線的定義得到，即可得證.【小問1詳解】解：設(shè)雙曲線方程為，焦距為，由離心率，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.【小問2詳解】解：由（1）可得，，所以雙曲線方程為，方法1、設(shè)，，因為點都在雙曲線的右支上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即；當(dāng)時，所以，所以軸且，又由雙曲線的方程為，即，由，解得，可知，因為，所以，所以.方法2、因為點都在雙曲線右支上，設(shè)，其中，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，即；當(dāng)時，所以，所以軸且，又由雙曲線的方程為，即，由，解得，可知，因為，所以，所以方法3、設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，可得且，，可得，因為點都在雙曲線的右支上，可得異號，所以，解得，可得，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，最大值為；當(dāng)時，所以，所以軸且，又由雙曲線的方程為，即，由，解得，可知，因為，所以，所以.【小問3詳解】解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，可得且，，由，可得，故，又因為同號，所以，即，所以，解得，此時直線的斜率的絕對值為，可知直線與雙曲線的兩支都相交，因為，所以，則，它等于雙曲線實軸長的倍，此時，所以是等腰三角形.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算判別式；（3）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為和（或和）的形式；（5）代入韋達(dá)定理，列出方程進(jìn)行求解.21.已知，其中.（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；（2）設(shè)，函數(shù)在時取到最小值，求關(guān)于的表達(dá)式，并求的最大值；（3）當(dāng)時，設(shè)，數(shù)列滿足，且，證明：.【答案】（1）2（2），1（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)曲線切線的關(guān)系，結(jié)合直線垂直斜率的關(guān)系，可得答案；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用換元法，建立新函數(shù)，可得答案；（3）利用綜合法，整理不等式，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值.【小問1詳解】由，則，由直線，則其斜率為，由切線與上述直線垂直，則，解得.【小問2詳解】解法一：由，則，當(dāng)時，顯然，則有兩異號實根，設(shè)為其正根，則在上，在上，即在上為嚴(yán)格減函數(shù)，在上為嚴(yán)格增函數(shù)，故，的最小值.令，，在上，為嚴(yán)格增函數(shù)；在上，為嚴(yán)格減函數(shù)；的最大值在取到，故.綜上：，的最大值為1.解法二：由，則，當(dāng)時，顯然，則有兩異號實根，設(shè)為其正根，滿足在上，在上，即在上