專題02全等三角形

鬻思維導(dǎo)圖

全等形

對點(diǎn)

全等三角形的有關(guān)概念

全等三角形對應(yīng)邊

對應(yīng)角

對應(yīng)邊相等

全等三角形的性質(zhì)對應(yīng)角相等

SSS:三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

SAS:兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

ASA:兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

全等三角形的判定

全等三角形AAS:兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

HL:斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

角的平分線判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

平移型

對稱型

全等的幾種模型：

旋轉(zhuǎn)型

倍長中線

常見輔助線截長補(bǔ)短

B-------------

給核心考點(diǎn)聚焦

1、全等圖形

2、全等三角形的性質(zhì)

3、全等三角形的判定方法

4、添加條件使三角形全等

5、全等三角形的應(yīng)用

6、全等三角形與動點(diǎn)問題

7、角平分線的性質(zhì)與判定

8、倍長中線模型

9、證明線段和差問題

10、常見的輔助線

一、全等三角形的定義和基本性質(zhì)

1.基本定義

(1)全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

(2)全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

(3)對應(yīng)頂點(diǎn)：全等三角形中互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn).

(4)對應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對應(yīng)邊.

(5)對應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對應(yīng)角.

2.尋找全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的三種方法：

(1)圖形特征法：

最長邊對最長邊，最短邊對最短邊；

最大角對最大角，最小角對最小角.

(2)位置關(guān)系法：

①公共角(對頂角)為對應(yīng)角、公共邊為對應(yīng)邊.

②對應(yīng)角的對邊為對應(yīng)邊，對應(yīng)邊的對角為對應(yīng)角.

(3)字母順序法:

根據(jù)書寫規(guī)范按照對應(yīng)頂點(diǎn)確定對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角.

3.全等三角形的性質(zhì)及應(yīng)用

①全等三角形的對應(yīng)邊相等；

②全等三角形的對應(yīng)角相等；

③全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線、角平分線分別相等；

④全等三角形的周長相等，面積相等.

二、三角形全等的判定方法及思路

1.全等三角形的判定方法：

“邊邊邊”定理(SSS)：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

“邊角邊”定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

“角邊角”定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

“角角邊”定理(AAS)：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

“斜邊、直角邊”定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

2.全等三角形的證明思路：

一找夾角fSAS

已知兩邊＜找直角—HL

找另一邊f(xié)SSS

'邊為角的對邊-＞找任一角-＞AAS

，找夾角的另一邊f(xié)SAS

已知一邊一角＜

邊為角的鄰邊找夾邊的另一角fASA

找邊的對角—AAS

,找夾邊f(xié)ASA

已知兩角＜

找一角的對邊f(xié)AAS

三、角平分線的性質(zhì)

1?角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

注意：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，到三邊的距離相等.

2.角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，通常連接角的頂點(diǎn)和該點(diǎn)就能得到角

平分線.

lUHBlh血

一、全等的幾種模型

（1）平移型

1.倍長中線法

倍長中線主要用于證明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定過程中，遇到一般三角形邊上的中線或

中點(diǎn)，考慮中線倍長.如圖：

已知：在三角形ABC中，。為BC邊中點(diǎn)，

輔助線：延長A。到點(diǎn)。使4?=。。，

結(jié)論：AAOBGADOC.

證明：如圖，延長A0到點(diǎn)。使49=。。，由中點(diǎn)可知，OB=OC,

OA^OD

在AAOB和A。。。中，\^AOB=ZDOC,：.AAOB^ADOC.

OB=OC

總結(jié)：由倍長中線法證明三角形全等的過程一般均是用SAS的方法，這是由于作出延長線后出現(xiàn)的對頂角

決定的.

2.截長或補(bǔ)短(含有線段一關(guān)系或求證兩線間關(guān)系時常用).

截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略.截長：在長線

段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分

等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段.

基本圖形，如下：

在△ABC中，AB>AC,AM平分LC

(1)在上截取AD=AC；(2)把AC延長到點(diǎn)E,使=

考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一、全等圖形

例1.如圖1,把大小為4x4的正方形網(wǎng)格分割成了兩個全等形.請在圖2中，沿著虛線畫出四種不同的分

割方法，把4x4的正方形網(wǎng)格分割成兩個全等形.

圖1

畫法1畫法2畫法3畫法4

圖2

【解析】???要求分成全等的兩塊，

每塊圖形要包含有8個小正方形.

考點(diǎn)二、全等三角形的性質(zhì)

例2.如圖，A,E,C三點(diǎn)在同一直線上，且△ABC絲ZX/ME.

⑴求證：DE=CE+BC-,

(2)猜想：當(dāng)VADE滿足什么條件時DE〃3C?并證明你的猜想.

【解析】(1)解：,/AABC^ADAE,

：.BC=AE,AC=DE,

??.DE=AC=CE+AE=CE+BC；

(2)解：猜想，NAED=90。時，DE//BC,

*.?AABC^ADAE,

：.ZAED=NBCA,

???DE//BC,

：.NBCE=NDEC,

:?NDEC=ZAED,

又ZDEC+ZAED=180°,

.??NAED=90。,

???當(dāng)VAD￡是直角三角形，且NAED=90。時，DE//BC.

考點(diǎn)三、全等三角形的判定方法

例3.如圖，點(diǎn)C,E,F,5在同一直線上，點(diǎn)A,。在異側(cè)，AB//CD,AE=DF,ZA=ZD.

⑴請判斷AB和8的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(2)若AB=CF,4=40。，求/。的度數(shù).

【解析】(1)證明：???AB〃CD,

在ZVIBE和△DCF中,

ZA=ZD

?.?]ZB=ZC,

AE=DF

???AABE之人DCF,

???AB=CD.

(2)解：△DCF,

：.AB=CDfBE=CF,/B=NC,

ZB=40°,

???ZC=40°.

AB=CF,

：.CF=CD,

：.ZD=ZCFD=|x（180°-40°）=70°.

考點(diǎn)四、添加條件使三角形全等

例4.如圖，已知=

（1）現(xiàn)要從如下條件中再添加一個①AC=EF；②AB=DE；③NA=NE；④a=C3得到

AABC^AEDF.你添加的條件是：.（填序號）

（2）選擇（1）中的一種情況進(jìn)行證明.

【解析】（1）解：②或③（任選一個填即可）

（2）選擇②

證明：-.CD=BF,

:.CD+CF=BF+CF,

:.DF=CB,

?;AB〃ED，

:.ZB=ZD,

AB=DE

，在△ABC和△EZ如中，=

、DF=CB

AABC^AEDF（SAS）；

選擇③

證明：■.■CD=BF,

：.CD+CF=BF+CF,

:.DF=CB,

-,-AB//ED，

:.ZB=ZD,

ZA=NE

...在AABC和A471中,=

DF=CB

AEOF(AAS).

考點(diǎn)五、全等三角形的應(yīng)用

例5.如圖①，油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品之一，起源于中國的一種紙制或布制傘.油紙傘的制作工藝十分巧

妙，如圖②，傘圈。沿著傘柄AP滑動時，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的/B4C,傘骨80,

的8,C點(diǎn)固定不動，且到點(diǎn)A的距離AB=AC.

(1)當(dāng)。點(diǎn)在傘柄AP上滑動時，處于同一平面的兩條傘骨和8相等嗎？請說明理由.

(2汝口圖③，當(dāng)油紙傘撐開時,傘的邊緣M,N與點(diǎn)、。在同一直線上，若/B4C=140。,/MBD=120。，求NCDA

的度數(shù).

【解析】(1)解：相等.理由如下：

?..傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的ZBAC,

：.ZBAD=ZCAD.

在和△ACD中,

AB^AC

?：\NBAD=ZCAD,

AD=AD

：.AABD^AACD(SAS).

...BD=CD.

(2)解：VZBAC=140°,

NBAD=ZCAD=-ABAC=-x140°=70°.

22

又「ZMBD=120°,

/.Z.BDA=ZMBD-NBAD=120。—70°=50°.

AABD^AACD,

...ZCDA^ZBDA^50°.

考點(diǎn)六、全等三角形與動點(diǎn)問題

例6.如圖，己知△ABC中，ZB=ZC,AB=8厘米，3C=6厘米，點(diǎn)。為43的中點(diǎn)，如果點(diǎn)尸在線段

3C上以每秒2厘米的速度由8點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段C4上以每秒。厘米的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)

運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為f(秒)(0Vt<3).

A

(1)用含，的代數(shù)式表示PC的長度；

(2)若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，ABPD與VCQP是否全等,請說明理由；

(3)若點(diǎn)P、。的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)。的運(yùn)動速度。為多少時，能夠使△8PD與VCQP全等?

【解析】(1)解：由題意得：PB=2t,

則尸C=6—2r；

(2)解：ACQPdBPD,理由如下：

當(dāng)f=l時，由題意得：a=2,PB=CQ=2,

：.PC=6—2=4,

ZB=ZC,

AC=AB=8,

,/。是A8的中點(diǎn)，

BD=-AB=4,

2

BD=PC=4,

在VCQP和ABPD中，

'PC=BD

?：\ZC=ZB,

CQ=PB

：.ZXCQP^ABPD(SAS)；

(3)解：?.?點(diǎn)尸、Q的運(yùn)動速度不相等,

PB半CQ,

當(dāng)ABPD與VCQP全等,且NB=NC,

:.BP=PC=3,CQ=BD=4,

*.*BP=2t=3,CQ=at=4,

2

2

Q

.?.當(dāng)。=點(diǎn)時，能夠使ABPD與VCgP全等.

考點(diǎn)七、角平分線的性質(zhì)與判定

例7.如圖，畫NAOB=90。，并畫/A03的平分線OC.

（1）將三角尺的直角頂點(diǎn)落在0c的任意一點(diǎn)P處，使三角尺的兩條直角邊與/A03的兩邊分別垂直，垂足分

別為E、/（如圖①），則PEPF；（填或“=”）

（2）把三角尺繞著點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)（如圖②），兩直角邊分別與。4、08交于點(diǎn)E、F,那么PE與尸尸相等嗎？試猜

想尸E與尸尸的大小關(guān)系，并說明理由.

【解析】（1）解：平分NAOB,PE1OA,PFLOB,

:.PE=PF,

故答案為：=;

（2）PE=PF,理由如下：

過戶作尸出，。4于PN1OB于N,如圖②所示：

貝U/PME=/PNF=90。，

???ZAO3=90°,0C平分ZA03,

..ZAOC=ZBOC=45。，

:.ZOPM=Z.OPN=45°,

:"MPN=90°,

■.■ZEPF=90°,

:.ZMPE=ZNPF,

由（1）得,PM=PN,

在Z\MPE和Z\NPF中,

AMPE=ZNPF

<PM=PN,

NPME=ZPNF

：.^MPE^^NPF(ASA),

:.PE=PF.

考點(diǎn)八、倍長中線模型

例8.(1)在△ABC中，AB=4,AC=6,是BC邊上的中線，則中線AD長范圍為:

(2)如圖，在ZXABC中，AO是BC邊上的中線，點(diǎn)、E,尸分別在AB,AC上，且￡)E_L￡)P,求證：

BE+CF>EF.

【解析】(1)如圖，延長AD至G,使OG=AT>,連接BG,

則AG^IAD,

-??AO是BC邊上的中線，

/.BD—CD,

在八位)。和△GDB中，

CD=BD

<ZADC=ZGDB,

AD=GD

.-.△ADC^AGDB(SAS),

BG=AC=6,

?/BG—AB<AG<BG+AB,

.*.6-4<AG<6+4,即2<AG<10,

/.2<2AD<10,

.*.1<AD<5,

故答案為：1<M><5；

(2)證明：如圖，延長至H使石。=D",連接C”,FH,

在△8。石和MDH中，

CD=BD

<ZBDE=ZCDH,

ED=HD

:./\BDE^/\CDH(SAS),

:.BE=CH,

?；DELDF，ED=HD,

:.EF=HF,

?;CF+CH>FH,

:.CF+BE>EF.

考點(diǎn)九、證明線段和差問題

例9.如圖所示，在ZVlBC,ZA=100°,ZABC=40°,5。平分/ABC交AC于點(diǎn)O,延長至點(diǎn)E,

使=連接CE.求證：BC=AB+CE.

【解析】證明：如圖所示，在BC上取一點(diǎn)尸使得防=鉆，連接。尸,

???ZABC=ZACB=40°f

???BD是ZXA5c的角平分線,

ZABD=ZFBD=20°,

在△河￡>和△FSD中，

AB=FB

</ABD=ZFBD,

BD=BD

：.AABZ)^AFBD(SAS),

:?NADB=NFDB,AD=DF,

XVAD=ED,NADB=NEDC,

JZADB=ZFDB=ZCDE=180°-100°-20°=60°,FD=ED,

：.NFDC=180°-ZADB-NFDB=60°=NEDC,

在△CDE和△CD廠中，

ED=FD

<ZCDE=/CDF,

CD=CD

：.ACDE^ACZ)F(SAS),

CE=CF,

：.BC=BF+CF=AB+CE.

考點(diǎn)十、常見的輔助線

例10.如圖，AABC中，AB=AC,在上取一點(diǎn)E,在AC的延長線上取一點(diǎn)E使CP=8瓦連接EF,交BC

于點(diǎn)D求證：DE=DF.

【解析】證明：作小〃AB交BC延長線于

H

BD

■:FHIIAB,

：.ZFHC=ZB,ZBED=ZHFD.

又,；A2=AC,

/.ZB=ZACB.

又NACB=NFCH,

：.ZFHC=ZFCH.

：.CF=HF.

又；BE=CF,

：.HF=BE.

在AOBE和A?！癋中，

,ZB=ZFHC

<BE=HF,

ABED=ZHFD

：./\DBE^/\DHF(ASA).

：.DE=DF.

，過關(guān)檢測

一、選擇題

1.如圖，工人師傅設(shè)計了一種測零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)。為A4'、班’的中點(diǎn)，只要量出A0的

長度，就可以知道該零件內(nèi)徑A3的長度.依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是()

A.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等B.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等

C.三邊分別相等的兩個三角形全等D.兩點(diǎn)之間線段最短

【答案】B

【解析】?,,點(diǎn)。為A4'、88'的中點(diǎn)，

:.OA=OA,OB=OB,

由對頂角相等得ZAOB=ZAOB',

在ZVIOB和△AOB'中，

OA=OA'

<ZAOB=ZA'OB',

OB=OB'

..△AO3四△A'Og'(SAS),

r

:.AB=ABf

即只要量出的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑的長度,

故選B.

2.如圖，△AQB也△ADC,NO=ND=90。，ZOAD=7009當(dāng)AO〃5C時，則NABO度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.45°D.55°

【答案】A

【解析】VAAOB^AADC,

AAB=AC,ZBAO=ZCAD,

：.ZABC=ZACBf

設(shè)NABC=NACB=x,

BC//OA,

：.ZABC=ZBAO=ZCAD=xfZACB-bZCAO=180°,

??.ZACB+ZCAD+ZOAD=180°,

ZOAD=r70°,

Ax+x+70°=180°,

解得：x=55°,

???ZBAO=55°,

?「ZAOB=90°,

JZABO=90°-55°=35°.

故選A.

3.如圖，點(diǎn)A,C,B,。在同一條直線上，已知：CE=DF,ZACE=NBDF,下列條件中不能判

定△ACE也△5。方的是

A.ZE=ZFB.AC=BDC.AE=BFD.AE//BF

【答案】C

【解析】A、符合全等三角形的判定定理ASA,能推出△ACE四△5。方，故本選項(xiàng)不符合題意;

B、符合全等三角形的判定定理SAS,能推出△ACE也△§￡＞產(chǎn)，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、不符合全等三角形的判定定理，SSA不能推出△ACE也△應(yīng)甲，故本選項(xiàng)符合題意；

D、因?yàn)槭?，所以NA=NFBD,所以符合全等三角形的判定定理AAS,能推出△ACE之△3￡甲，

故本選項(xiàng)不符合題意.

故選C.

4.如圖，在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,A￡＞平分N54C,BE,交AC的延長線于尸，E為

垂足，則結(jié)論：?AD=BF；②CF=CD；@AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE；其中正確結(jié)論

的個數(shù)是（）

【答案】D

【解析】BC=AC,ZACB=9Q°,

ZCAB=ZABC=45°,

?.?AD平分/8AC,

ZBAE=ZEAF=22.5°,

在RtAACD與RtABFC中，

NEAF+ZF=90°,ZFBC+NF=90°,

ZEAF=ZFBC,

VBC^AC,NEAF=NFBC,NBCF=ZACD,

：.RtAADC^RtABFC,

:.AD=BF,故①正確.

②?①中RtAADC^RtABFC,

:.CF=CD,故②正確.

③??,①中RtAADC^RtABFC

:.CF=CD,AC+CD^AC+CF^AF,

ZCBF=ZEAF=22.5°,

在RtAAEF中，ZF=90°-ZEAF=67.5°,

-,-ZCAB=45°,

ZABF=180°-ZF-ZCAB=180°-67.5°-45°=67.5°,

:./\ABE^/\AFE,

:.AF=AB,

即AC+CD=AB,故③正確.

④由③可知，AF^AB,

易知ZCBF=Z.EAB=22.5°,

若BE=CF,則有ABC尸絲△AEB,

則有=則可得△說為等邊三角形，

這與①中的/。止=45。矛盾，故④錯誤.

⑤由③可知，BE=EF,

:.BF=2BE,故⑤正確.

①②③⑤四項(xiàng)正確，

故選D.

5.如圖，在ZVLBC中，/ABC和—ACB的平分線相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作EF〃BC交AB于點(diǎn)E,交AC

于點(diǎn)色過點(diǎn)。作8,AC于點(diǎn)D.下列四個結(jié)論：

①EF=BE+CF；(2)ZBOC=90°+1ZA；③點(diǎn)。到△ABC各邊的距離相等；

④設(shè)0。=根，AE+AF=n,則S^AEF=gm〃.其中正確的結(jié)論有()

A

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【解析】①?.?NABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)O,

:.ZEBO=ZCBO,NBCO=NFCO,

'：EF//BC,

:.ZCBO=ZEOB,ZBCO=ZCOF,

:.ZEBO=ZEOB,ZFCO=ZCOF,

;.BE=EO,OF=CF,

EF=EO+OF=BE+CF,故①正確；

②?.?/ABC和，ACS的平分線相交于點(diǎn)O,

ZOBC+ZOCB=1(ZABC+ZACB)=1(180°-ZA)

\?BOC180?(?OBC?OCB)

=180°-^(180°-ZA)

=90。+144,故②正確；

2

③?.?NABC和，ACS的平分線相交于點(diǎn)O,

」?點(diǎn)。是△ABC的內(nèi)心，

.??點(diǎn)。到△ABC各邊的距離相等，故③正確;

④連接AO,

：.S^AFF^-AEOD+-AFOD

△AEF22

=-(AE+AF)OD

=-mn,故④正確；

綜上分析可知，正確的有4個.

故選D.

二、填空題

6.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出了N1和N2,則Nl+N2=度.

【答案】135

【解析】如圖，連接AO、BD,ZADB=90°,AD=BD=BC,NDAB=/DBA=45°,

由圖可知，在ADFB和△BEC中,

DF=BE

，ZDFB=ZBEC=9Q°,

FB=EC

;△DFB^^BEC(SAS),

:.ZDBF=Z2,

-.■ZDBA=45°,

Z1+Z2=Z1+Z.DBF=180°-45°=135°,

故答案為：135.

7.如圖，已知AC平分若添加一個條件使ZkABC經(jīng)3DC,則這個條件可以是（寫三個條件）.

【答案】4）=45或-3=/4或/6=/0

【解析】AC平分

.-.Z1=Z2,

又,.,AC=AC,

二添加AD=AB,利用SAS即可得到△ABC名△ADC；

添加/3=/4,利用ASA即可得到AABC^AADC；

添力口Nfi=ND,利用AAS即可得到△ABC峪八位）。.

故答案為：4）=鉆或/3=/4或/6=/￡>.

8.如圖，在Rt/XABC中，ZABC=90°,BC=5,3。_147于點(diǎn)。，點(diǎn)￡在邊鉆上，且BE=BC,過點(diǎn)E

作EF_LAB交3￡>延長線于點(diǎn)尸，若￡F=12,則AE=.

A

【答案】7

【解析】VEF±AB,

：./FEB=90。,

BF±AC,

：.ZADB=90°,

ZF+ZFBE=90°,ZA+ZFBE=90°,

：.ZA=ZF,

在△ACS和AFEB中，

ZA=ZF

<ZABC=NFEB,

CB=EB

：.AACB^AFBE(AAS).

AB=EF=12.

'：EB=BC=5,

：.AE=12-5=7.

故答案為：7.

9.如圖，已知在以小中，ZAEC=90。，點(diǎn)。，8分別在邊CE,AE上，DF工AC于F,BD=CD,BE=CF.

(1)若NC=60。，貝！JN&4D=；

(2)已知AC=10,BE=2,則A3的長是.

【解析】（1）?；/AEC=90。，DF±AC,

ABED=Z.DFC=90°,

在RtABDE和RtACDF中,

\BE=CF

[BD=CD'

RtABD￡^RtACDF(HL),

:.DE=DF,

.?.4。平分4"，

:.ZBAD=-ZEAC,

2

■.■ZAEC=90°,ZC=60°,

ZEAC=90°-ZACE=30°,

ZBAD=-ZEAC=15°,

2

故答案為：15。；

(2)?：BE=2,

：.CF=BE=2,

.-.AF=AC-CF=10-2=8,

在RtAADE和RtAADF中，

[DE=DF

[AD=AD'

RtAADE絲RtA4D廠(HL),

.-.AE=AF=8,

:.AB=AE-BE=8-2=6,

故答案為：6.

10.如圖，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段BC上以4厘

米/秒的速度由8點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)。在線段C4上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)。的運(yùn)動速度為_____厘

米/秒時，能夠在某一時刻使ABPD與△CQP全等.

【解析】設(shè)經(jīng)過x秒后，使與VCQP全等,

?.?AB=AC=24厘米，點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)，

，BD=12厘米，

ZABC=ZACB,

???要使△BPD與yCQP全等，必須3D=C尸或BP=CP,

即12=16-4x或4x=16—4x,

解得：x=l或x=2,

x=l時，BP=CQ=4,4+1=4；

x=2時，BD=CQ=12,12+2=6；

即點(diǎn)。的運(yùn)動速度是4厘米/秒或6厘米/秒，

故答案為：4或6.

三、解答題

11.如圖，在ZVLBC中，AB=AC,。為3c上一點(diǎn)，DE±AB,DF±AC,垂足分別為E、F,且

/.請選擇一對你認(rèn)為全等的三角形并加以證明.

(1)你選擇的是：△_________空4___________；

(2)根據(jù)你的選擇，請寫出證明過程.

【解析】(1)解：根據(jù)圖形和已知條件，選擇證明的全等三角形為A血絲AAFD,

故答案為：AED,AFD(答案不唯一)；

(2)證明：\DE±AB,DF1AC,

.?.△AEO和△AFD是直角三角形，

在RtAAED和RtAAFD中，

[AD=AD

[DE^DF'

RtAAED^RtAAFD(HL).

12.如圖，點(diǎn)￡＞、E分別在線段AB,AC上，AE=AD,不添加新的線段和字母，從下列條件①々=NC,

②BE=CD,③AB=AC,④NADC=NA￡B中選擇一個使得△ABEg/XACD.

A

DL\E

BC

(1)你選擇的一個條件是(填寫序號)

(2)根據(jù)你的選擇，請寫出證明過程.

【解析】(1)解：：=ZA=/4,可以利用SAS,AAS,ASA三種方法證明△ABEg/XACD；

故可以選擇的條件可以是：①或③或④

(2)選擇①：

在ZVLBE和△ACO中，

ZA=ZA

<ZB=ZC,

AE=AD

：.AABE^AACD(AAS)；

選擇③

在△ABE和△AC。中，

AB=AC

<ZA=ZA,

AE=AD

：.AABE^AACD(SAS)：

選擇④

在ZVIBE和△ACD中，

ZADC=ZAEB

<AE=AD,

ZA=ZA

AABE^AACD(ASA).

13.如圖，點(diǎn)A,B,C,。在同一條直線上，點(diǎn)E,尸分別在直線AB的兩側(cè)，且AE=3尸，ZA=ZB,

ZACE=ZBDF.

(1)求證：AADE芻Z\BCF.

⑵若AB=8,AC=2,求8的長.

【解析】(1)證明：在△/(：￡；和VBDF中,

/A=N3

<ZACE=ZBDF,

AE=BF

.-.AACE^ABDF(AAS).

AC=BD.

AD=BC.

在VAD￡和ABCF中

AE=BF

<AA=AB,

AD=BC

;△ADE名Z\BCF(SAS).

(2)由(1)知VACEHBD尸，

：.BD=AC=2,

?.,AB=8,

:.CD^AB-AC-BD^4,

故8的長為4.

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