高二數(shù)學下學期期末模擬卷人教A版

一、單選題

1.已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數(shù)為正數(shù)，對此描述正確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

2.已知等比數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，若%=2,心=6,則&=（）

A.4B.2也C.V3D.3石

3.現(xiàn)有7位學員與3位攝影師站成一排拍照，要求3位攝影師互不相鄰，則不同排法數(shù)為（）

A.A；A；B.A；C；C.A；A；D.A；A；

4.某市衛(wèi)健委用模型y=ln（履+6）+1的回歸方程分析2022年4月份感染新冠肺炎病毒的人數(shù)，令

z=e＞后得到的線性回歸方程為z=3x+e,貝|6=（）

A.1B.e-1C.eD.3e

5.若數(shù)列｛4｝滿足q=2,4=3,%=也"23且aeN*）,則的024的值為（）

an-2

A.3B.2C.—D.一

23

6.已知某一家旗艦店近五年“五一”黃金周期間的成交額如下表：

年份20202021202220232024

年份代號/12345

成交額y（萬元）50607080100

若》關于/的線性回歸方程為亍=12/+&,則根據(jù)回歸方程預測該店2025年“五一”黃金周的成交額是

()

A.84萬元B.96萬元C.108萬元D.120萬元

8.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比

賽獲勝的概率分別為P”Pz，n，且。3＞必＞n＞°.記該棋手連勝兩盤的概率為P，則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

二、多選題

7234567

9.（1-2x）=a0+OjX+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x+a7x,則下列結論中正確的是（）

A.〃5=32B.6Z0+62!+tz2H----1-Oy=—1

C.同+同+同+…+|%|=3,D.Oj+a3+a5+（^=—2._

10.有甲、乙、丙、丁、戊五名同學，下列說法正確的是（）

A.5名同學排成一排，甲乙相鄰且丙丁不相鄰，則不同的排法有24種

B.5名同學排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有54種

C.5名同學排成一排，甲乙丙按從左到右的順序，則不同排法共有20種

D.若將5名同學分配到3個班進行宣講，每班至少1名同學，且每名同學只去1個班，則有150

種不同的分配方案

11.若函數(shù)〃x）=lnx+加-2在區(qū)間，,2）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)。的取值可以為（）

A.a=—3B.a=—2C.a=—lD.a=0

三、填空題

12.若隨機變量X服從二項分布8人,￡|,y=3X+l,則儀丫）=.

13.已知函數(shù)y=〃x）,其中〃x）=e*sinx,則曲線y=〃x）在點（0,〃0））處的切線方程為.

14.已知數(shù)列｛?！埃灿袡C+左項（〃=m其中加項為0,k項為1.若數(shù)列｛?！埃凉M足

對任意三相+左嗎,％，…M中的0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，則稱數(shù)列｛4｝為“規(guī)范數(shù)列”.當加=3,k=3

時，“規(guī)范數(shù)歹廣的個數(shù)為,記2+上表示數(shù)列｛4｝是“規(guī)范數(shù)歹『'的概率，則以+2的最小值

為.

四、解答題

is.某景區(qū)試賣一款紀念品，現(xiàn)統(tǒng)計了該款紀念品的定價》(單位：元)與銷量y(單位：百件)的

對應數(shù)據(jù)，如下表所示：

X1212.51313.514

y14131198

⑴求該紀念品定價的平均值元和銷量的平均值y；

⑵計算X與y的相關系數(shù)；

(3)由(2)的計算結果，判斷能否用線性回歸模型擬合y與X的關系，并說明理由.

參考數(shù)據(jù)：之(X廠元)(％-田=-8層?0.992.

z=iV65

參考公式：相關系數(shù)不二-----/T.

副F出―)2

16.某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據(jù)難度進行賦分，已知甲、乙、丙

三人都參加了該項闖關活動.每個人闖關活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得

分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.

(1)假設該闖關活動平均分數(shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲

得獎勵，請說明理由；

⑵丙得知他的分數(shù)為430分,而乙告訴丙:“這次闖關活動平均分數(shù)為201分,351分以上共有57人”，

請結合統(tǒng)計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?

附：若隨機變量Z~NJ,"),貝|P(〃-crVXV〃+cr)“0.6827；尸(〃-2bMXW〃+2cr)-0.9545；

尸(〃一3crVXV〃+3。)。0.9973.

17.2024年巴黎奧運會上，網(wǎng)球女單決賽中，中國選手鄭欽文擊敗克羅地亞選手維基奇獲得中國在

該項目上首枚金牌！展現(xiàn)了祖國至上，為國爭光的赤子情懷.已知網(wǎng)球比賽為三局兩勝制，在鄭欽文

與維基奇的單局比賽中，鄭欽文獲勝的概率為P,且每局比賽相互獨立.

(1)在此次決賽之前，兩人交手記錄為2021年庫馬約爾站：鄭欽文。比2不敵維基奇；2023年珠海

W7A超級精英賽：鄭欽文以2比1戰(zhàn)勝維基奇.若用這兩次交手共計5局比賽記錄來估計P.

(i)P為多少？

(ii)請利用上述數(shù)據(jù)，若鄭欽文再次遇到維基奇，求比賽局數(shù)X的分布列.

(2)如果比賽可以為五局三勝制，若使鄭欽文在五局三勝制中獲勝的概率大于三局兩勝制中獲勝的概

率，求P的取值范圍？

18.近期，我國國產(chǎn)AI大模型深度求索(DeepSeek)在人工智能領域取得了重大技術突破，并且通

過開源策略和高性價比的模式，為AI行業(yè)的發(fā)展提供了新的可能性.為了評估DeepSeek的使用頻率

與用戶滿意度之間是否存在關聯(lián)，一研究團隊在某大學隨機抽取了200名用戶進行調(diào)查，收集整理得

到了如表的數(shù)據(jù)：

高滿意度低滿意度

頻繁使用DeepSeek7030

不頻繁使用DeepSeek5050

(1)依據(jù)小概率值。=0.005的/獨立性檢驗，能否認為DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間有關

聯(lián)；

(2)若已知樣本中學生人數(shù)為120人，其中高滿意度用戶數(shù)為80人，教師人數(shù)為80人，其中高滿意

度用戶數(shù)為40人.以樣本頻率估計總體的概率.

①若從全校使用DeepSeek的用戶中每次抽取1名用戶，直到抽出2名高滿意度用戶即停止抽取.求

恰好第4次抽取后停止抽取的概率.

②若從全校使用DeepSeek的學生用戶和教師用戶中各隨機抽取2名，設這4人中學生和教師的高滿

意度用戶數(shù)分別為X和V,令J=求J的分布歹U.

n(ad-be)2

參考公式：/=，其中〃=Q+Z?+c+d,超期=7.879.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19.定義：若函數(shù)/(%)與g。)在公共定義域內(nèi)存在%,使得/(%o)+g(%°)=。，則稱/⑴與g。)為“契

合函數(shù)”，/為“契合點

⑴若/(%)=Tnx-1與且(尤)=辦為“契合函數(shù)、且只有一個“契合點”，求實數(shù)〃的取值范圍.

⑵若°。)=6'-燈11彳與4(尤)=/?：-1為“契合函數(shù)”，且有兩個不同的“契合點”看,3.

①求6的取值范圍；

②證明：XxX2<1.

參考答案

題號12345678910

答案CBAAACDDBCDACD

題號11

答案CD

1.C

【分析】根據(jù)相關系數(shù)的性質(zhì)可得正確的選項.

【詳解】對于AB,當氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，故AB錯誤.

對于CD,因為相關系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時，海水表層溫度呈上升趨勢，

故C正確，D錯誤.

故選：C.

2.B

【分析】利用等比中項的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為等比數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，所以%9=吊=12,所以必=26.

故選：B

3.A

【分析】將3位攝影師插入站好的7位同學的8個空里.

【詳解】先排7位學員，共有A；種排法，再從8個空位中選3個安排給3位攝影師，故不同排法數(shù)

為A；A；.

故選：A

4.A

【分析】利用對數(shù)與指數(shù)的互化可得出關于b的等式，即可解得b的值.

【詳角星】z=e'=e"依=e("+/?)=Aex+be=3x+e,所以，be=e,角犁得b=l.

故選：A.

5.A

【分析】利用遞推數(shù)列的性質(zhì)，找到數(shù)列的周期，求出即可.

【詳解】因為4=2,g=3,見==(〃23且〃eN*),

an-2

3a.1a.1a.2a,Q7c

所以?二一二彳,〃4=一二3嗎=一=~,a6=一=—,a7=一=2,as=一=3,…，

%2a22a33a43a5a6

所以數(shù)列｛為｝具有周期性，且7=6,所以％024="337x6+2=“2=3.

故選：A.

6.C

【分析】求出i，3,根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點求出即可求出回歸直線方程，再代入t=6

計算可得.

【詳解】依題意，=g(l+2+3+4+5)=3,y=|(50+60+70+80+100)=72,

又線性回歸方程為尸⑵+&必過點(F,y),

所以72=12x3+。，解得<3=36,所以夕=12/+36,

2025年的年份代號為6,所以當f=6時，9=12x6+36=108,

所以根據(jù)回歸方程預測該店2025年“五一”黃金周的成交額是108萬元.

故選：C.

7.D

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導數(shù)法判斷.

【詳解】解：因為函數(shù)/(無)的定義域為：{x|xeR,x*0},且=

所以函數(shù)〃x)是偶函數(shù)，

當x>0時，=

令得％=^/^,

當Ovx<0時，/'(x)<0,當X>夜時，

所以當x=0時，f(x)取得極小值，

故選：D

8.D

【詳解】解法一：要求連勝兩局，故只能第一局和第二局連勝，或第二局和第三局連勝，則第二局和

誰比賽很重要，第二局的對手實力越強，連勝兩局的概率越小，第二局的對手實力越弱，連勝兩局的

概率越大，所以根據(jù)條件估算得到丙實力最弱，所以D選項正確.

解法二：該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，

記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為,

則此時連勝兩盤的概率為外

則P<￥[(1-P2)P\Pi+P2Pl(1-03)]+)[(1-POPS+P3Pl(!-P2)]

=PKP2+P3)-2p、p2P3.

記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為P乙，

則Pzt=（1-P1）P2P3+-03）=。2（。1+。3）-2Plp2P3

記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為。丙

則P丙=（1一Pl）P3P2+Aft（I-A）=A（A+p2）-2PlP2P3

貝1J那一。乙=Pl（。2+。3）—2Plp2P3—[必（Pl+。3）-2Plp203]=（月一2）。3<°

。乙一。丙=。2（P1+。3）-2Plp22一[。3（Pl+2）-2Plp203]=（。2一。3）P1<°

即P甲<P乙,P乙<P丙,

則該棋手在第二盤與丙比賽，P最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤;

。與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關.選項A判斷錯誤.

故選：D

9.BCD

【分析】由特殊值法將無取-1和1,可判斷出選項B和D的正誤，再結合二項式定理判斷展開式各

項系數(shù)的正負，可判斷A和C的正誤.

【詳解】令x=l,可得a。+/+%+...+%=（—1）7=—1①，

故B正確;

令X=—1,可得旬—％++。4—%+。6—%=3,,

37—j37-1-1-37

由①+②可得%+%+%+。6=-----------以4]+%+%+%=—]—

2-2-

故D正確；

由二項式定理可知，(1-2x)7=C；(-2x)°+C?(-2%)1+...+C°(-2%)7,

故q=C；X(-2)5=—672,

故A錯誤；

aQ,a2,a4,a6的系數(shù)均為正數(shù)，%%，％,%的系數(shù)均為負數(shù)，

3,—]—1—37

以|%|+|%|+|%|+?,?+|%|=。0+〃2+“4+“6—(4+/+%+%)=-------------=37,

故C正確.

故選：BCD.

10.ACD

【分析】由捆綁法，插空法即可判斷A,由特殊元素優(yōu)先法即可判斷B,由倍縮法即可判斷C,先分

組再分配然后代入計算，即可判斷D.

【詳解】對于A,A；A；A；=24,故A正確，

對于B,最左端排甲時，有A：=24種不同的排法，最左端排乙時，最右端不能排甲，

則有A；A；=18種不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，

則不同的排法共有24+18=42種，故B不正確，

對于C,甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有寫=20種，故C正確，

對于D,將5名同學分為3,1,1或2,2,1三組，然后分配到三個班，

C2c2

所以分配方案有C；A；+丁A；=150種，D正確.

故選：ACD

11.CD

【分析】求出函數(shù)/'(x)的導數(shù)，利用導函數(shù)的符號，轉(zhuǎn)化求解表達式的最小值，然后推出。的范圍,

結合選項即可判斷.

【詳解】f(x)=-+2ax=^aX+1,

XX

因為函數(shù)/(x)=lnx+辦2—2在區(qū)間［a］內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，

所以2"+1>0在［2］內(nèi)有解，所以〃〉一^有解，

由于所以八1,4),故一*(2,-J

則實數(shù)。的取值范圍是(-2,E),結合選項可知。=-1,。=0符合題意.

故選：CD.

12.7

【分析】根據(jù)二項分布期望公式以及性質(zhì)，求解即可.

【詳解】由于X服從二項分布?6,g］,所以E(X)=6xg=2,故E(y)=3E(X)+l=7.

故答案為：7

13.y=x

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出/''(0),即可得出切線方程.

【詳解】因為/(x)=e"sinx,所以/‘⑴=6飛皿:+爐以小，

貝|J/(O)=O,/,(0)=e°sin0+e°cos0=l,

所以所求切線的方程為丫=干

故答案為：v=匕

14.5-

3

【分析】根據(jù)定義列出當根=3,左=3條件下的所有“規(guī)范數(shù)列”，由此可得第一空結論，結合組合數(shù)

定義確定有機個0,2個1,機，2,meN*時數(shù)列｛4｝的個數(shù)，再求其中“規(guī)范數(shù)列”的個數(shù)，結合古

典概型概率公式求結論.

【詳解】(1)當加=3,左=3時，滿足要求的“規(guī)范數(shù)列”有

0,0,0,1,1,1；0,0,1,0,1,1；0,0,1,1,0,1；0,1,0,0,1,1；0,1,0,1,0,1；

所以當加=3,4=3時，"規(guī)范數(shù)列''的個數(shù)為5.

(2)n=m+k,m>k,九ZeN*時，具有“規(guī)范數(shù)列”數(shù)列特征的數(shù)列｛%｝的個數(shù)為了(相次)，

當k=2,機與2,meN*時，由己知數(shù)列｛4｝共有根+2項，其中機項為0,2項為1,

所以滿足條件的數(shù)列｛an｝的個數(shù)為C〉2,

若數(shù)列｛%｝為“規(guī)范數(shù)列”，則第一項為0，

若第一項為0,第二項為0時，“規(guī)范數(shù)列”個數(shù)為C：,

當?shù)谝豁棡?,第二項為1,第三項必然為0,止匕時“規(guī)范數(shù)列”個數(shù)為cl-

所以/(私2)=第+C"

/(m,2)m2+m-2m-12

故?忑「正而幣TkE

因為函數(shù)y=i-岳在［2,”)上單調(diào)遞增，

21

所以當"=2時，匕,+2取最小值，(4+2濡=1-耳="

故答案為：5；—.

15.(1)13；11

(2)-0.992

(3)可以用線性回歸模型擬合y與x之間的關系，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接求平均值即可；

(2)分別求出可2和「刃2,再代入公式即可求解；

1=1Z=1

(3)根據(jù)相關系數(shù)的絕對值大于0.75且非常接近1判斷即可.

【詳解】(1)由題可知元=g(12+12.5+13+13.5+14)=13,y=1(14+13+11+9+8)=11；

(2)計算得元『=2.5,￡(%-川=26,

i=li=l

5

Z(—)(y-)o

*r==I:=--=?-0.992.

(3)由(2)可知，y與尤的相關系數(shù)的絕對值近似為0.992,大于0.75且非常接近1,

說明y與x的線性相關性很強，從而可以用線性回歸模型擬合y與尤之間的關系.

16.(1)甲能夠獲得獎勵，理由見詳解

(2)乙所說為假

【分析】(1)由且〃=171,計算求出前400名參賽者的最低得分，與甲的得分比

較即可;

(2)假設乙所說為真，由〃=201計算。，求出P(X2〃+3b)。0.0013<0.005,利用小概率事件即

可得出結論.

【詳解】(1)甲能夠獲得獎勵，理由如下：

設此次闖關活動的分數(shù)記為X~NJ。?).

57

由題意可知4=171,因為右布=0.0228,

l-P(Li-2(y<X<n+2(T)1-0,9545

且尸(X〉〃+2。)=——以------——-——1=；x0.0228,

所以〃+2。=351,則口=351-171=90；而出_=o/6,

22500

口…、1-P(〃-bWXW〃+cr)1-0.6827…g…

J3.尸(X>〃+cr)=------------------------=x0.1587<0.16,

可知前400名參賽者的最低得分高于〃+b=261,而甲的得分為270分，

所以甲能夠獲得獎勵.

(2)假設乙所說為真，則〃=201,

P/V、一、1一尸(〃一2bVXV〃+2o)1-0.9545

>〃+2cr)=-----------------------------------=------------a0.0228,

57351—70]

而jL=0.0228,所以.==75,從而〃+3cr=201+3x75=426<430,

25002

工、1一尸(〃一3crVXV〃+3cr)1-0,9973

而尸(zX2〃+3b)=-----卅---------------=——-——?0.0013<0.005,

所以X2〃+3b為小概率事件，即丙的分數(shù)為430分是小概率事件，可認為其一般不可能發(fā)生，但卻

又發(fā)生了，所以可認為乙所說為假.

17.(1)(i)0.4；(ii)分布列見解析

(2)(0.5,1)

【分析】(1)(i)計算兩次交手記錄鄭欽文獲勝的頻率即可；

(ii)按照獨立事件和互斥事件的概率公式求尸(X=2),再利用P(X=3)=1-尸(X=2)即可求出分

布列；

(2)按照獨立事件和互斥事件的概率公式分別求出兩種情況下的鄭欽文獲勝的概率/2，再解關于

P的不等式即可.

2

【詳解】(1)(i)根據(jù)兩次交手記錄，鄭欽文共勝2局，負3局，因此P的估計值為1=0.4.

(ii)由題知，X可取值為2、3,

P(X=2)=0.42+0.6?=0.52,P(X=3)=1-P(X=2)=0.48,

所以X的分布列為

X23

P0.520.48

2

(2)三局兩勝制鄭欽文最終獲勝概率<=+c'2p(1一0)=-2/+3p2=/(3一2p),

五局三勝制中鄭欽文最終獲勝的概率

g=p3+c；p30_0+c/30_02=03回2_15?+10)

所以萬(6p2T5p+10)>p2(3—2p),化簡得3P2(2—)2>0,

因為p>0,1-2>0,所以2〃一1>0,即p>0.5,所以

所以使得五局三勝制獲勝的概率大于三局兩勝獲勝的概率P的取值范圍是(0.5,1).

18.(1)認為DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間有關聯(lián)

1AQ

(2)①二二工；②答案見解析

625

【分析】(1)根據(jù)/計算公式計算即可得出結論；

(2)①由題意轉(zhuǎn)化為前3次抽取中恰有1次抽取的是高滿意度用戶，第4次恰好抽取的是高滿意度

用戶，利用獨立事件同時發(fā)生的乘法公式求解；②分別求出x,y對應取值的概率，據(jù)此計算q=|x-y|

對應取值的概率，列出分布列即可.

【詳解】(1)零假設為H。：DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間無關聯(lián).

200x(70x50-50x30)225

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，Z2=-X8.333>7.879,

100x100x120x803

根據(jù)小概率值￡=0.005的獨立性檢驗，推斷”。不成立,

即認為DeepSeek的使用頻率與用戶滿意度之間有關聯(lián).

3

(2)(1)由題知，樣本中DeepSeek高滿意度用戶的頻率為《，

設事件A="恰好第4次抽取后停止抽取”，

需在前3次抽取中恰有1次抽取的是高滿意度用戶，第4次恰好抽取的是高滿意度用戶,

3108

則P(A)=C；

5-625

即恰好第4次抽取后停止的概率為黑.

625

(2)由題知，樣本中學生的高滿意度用戶頻率為!■,教師的高滿意度用戶頻率為5.

3/

又P(X=0)='J=j尸(X=l)=C1|T44

=§，P(X=2)=

9

p(y=i)=c，H，p(y=2)=g：=>

J的所有可能取值為0,1,2,

則?C=o)=尸(x=o,y=o)+?(x=i,y=i)+?(x=2,y=2)

11414113

=—x——?——x——?——X—=——

94929436

p記=i)=p(x=o,y=i)+p(x=I,Y=o)+p(x=i,y=2)+p(x=2,y=i)

114141411

=—x——i——x——i——x——i——x—=—,

929494922

p(^=2)=p(x=o,y=2)+p(x=2,y=o)=|xl+1xl=A.

所以隨機變量4的分布列為：

自012

135

P

36~236

19.(l)(-oo,0]u{l};

(2)@(-oo,l-e)；②證明見解析.

【分析】(1)由給定的定義把問題轉(zhuǎn)化為方程。=史出有唯一零點，再構造函數(shù)，利用導數(shù)探討

X

函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

x

1p

(2)①根據(jù)給定的定義將問題轉(zhuǎn)化為方程6=Inx+^-J有兩個不同的零點求解；②由①中信息，

XX

利用極值點偏移求解.

【詳解】(1)由/(%)=Tn%-l與g(x)=ox為“契合函數(shù)”,得玉W(0,+oo),使/(%)+g(x)=。

0-ln%-l+ax=Oo〃=電二土L令o(x)=lnx+1,依題意，方程〃=根(%)有唯一解，

XX

一Inx

求導得加(x)=——,當0<%<1時，rri(x)>0；當犬>1時，m(x)<0,

函數(shù)根⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，則根(X)max=m⑴