人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)講義

第六章

知識(shí)點(diǎn)1向量的概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

2.數(shù)量：只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.

知識(shí)點(diǎn)2向量的幾何表示

1.有向線段

具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度，如圖所示.

/B（終點(diǎn)）

4（起點(diǎn)）

以/為起點(diǎn)、8為終點(diǎn)的有向線段記作誦，線段的長(zhǎng)度叫做有向線段葩的長(zhǎng)度記作I成I.

2.向量的表示

（1）幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方

向表示向量的方向.

（2）字母表示：向量可以用字母a,b,c,…表示（ER刷用黑體a,b,c,書寫時(shí)用匕3,c）.

3.模、零向量、單位向量

向量費(fèi)的大小，稱為向量荏的長(zhǎng)度（或稱模），記作|萬(wàn)長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記

作0；長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量.

知識(shí)點(diǎn)3相等向量與共線向量

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.

（1）記法：向量a與石平行，記作前而

（2）規(guī)定：零向量與任意向量平行.

2.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

3.共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.

要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆

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知識(shí)點(diǎn)4向量加法的定義及其運(yùn)算法則

1.向量加法的定義

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.

2.向量求和的法則

已知非零向量日是，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)4作樂=a,BC=

b,則向量就叫做2與3的和，記作N+3,即石+3=通+

BC=AC.

這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.

三角形法則

對(duì)于零向量與任意向量窗規(guī)定N+d=b+R=a

向量求和Ed

的法則

以同一點(diǎn)。為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量另為鄰邊作4%"，則

以。為起點(diǎn)的對(duì)角線方就是'與了的和.把這種作兩個(gè)向量

平行四邊形和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則

法則B?.

2^'

0以--<4

位移的合成可以看作向量加法的三角形法則的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行

四邊形法則的物理模型.

知識(shí)點(diǎn)5向量加法的運(yùn)算律

向量加法的運(yùn)算律

交換律a+h=b+a

結(jié)合律(a+b)+c=a+(h+c)

知識(shí)點(diǎn)6相反向量

1.定義：與向量2長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做N的相反向量，記作-之

2.性質(zhì)

(1)零向量的相反向量仍是零向量.

(2)對(duì)于相反向量有：a+(-a)=(-a)+a=0.

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(3)若出另互為相反向量，則2=—3，b=—a,a+b=O.

知識(shí)點(diǎn)7向量的減法

1.定義：向量d加上另的相反向量，叫做d與3的差，即B-3=Z+(-用，因此減去一個(gè)向量,

相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.

2.幾何意義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作正？=Z,OB=b,則向量4-另=瓦?，如圖所示.

B

3.文字?jǐn)⑹觯喝绻褍蓚€(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，那么這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起

點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

知識(shí)點(diǎn)8向量數(shù)乘的定義

實(shí)數(shù)4與向量Z的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作4a,其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如

下：

(1)|Aa|=|A||d|.

⑵府應(yīng)力6)的方向

當(dāng)4>0時(shí)，與日同向；

當(dāng)％<o時(shí)，與a反向；

特別地，當(dāng)4=0時(shí)，2a=0.

當(dāng)2=—1時(shí)，(-l)a=-a.

知識(shí)點(diǎn)9向量數(shù)乘的運(yùn)算律

1.(l)/z(Za)=A(/za)=A/za.

(2)(A+ii)a—Aa.+fia.

⑶；1(2+另)=Aa+Ab.

2.向量的線性運(yùn)算

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量ai,以及任意實(shí)數(shù)尢出,出2,

恒有+四2石)=加有+入比2b-

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知識(shí)點(diǎn)10向量共線定理

向量N（2片6）與B共線的充要條件是：存在唯——個(gè)實(shí)數(shù)4,使3=

Aa.

知識(shí)點(diǎn)11兩向量的夾角與垂直

1.夾角：已知兩個(gè)非零向量N和丸。是平面上的任意一點(diǎn)，作瓦5=出OB=b,貝|J〃OB=

0（0<ew兀）叫做向量a與3的夾角（如圖所示）.

當(dāng)0=0時(shí)，石和另同向；當(dāng)。=兀時(shí)，立和反反向.

2.垂直：如果a和3的夾角是3則稱a和3垂直，記作a13.

知識(shí)點(diǎn)12向量數(shù)量積的定義

非零向量a石的夾角為凡數(shù)量mEicose叫做向量/訪的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作心丸

即a,B=I引歷|cos。，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積等于0.

知識(shí)點(diǎn)13投影向量

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作麗=乙ON=b,過(guò)點(diǎn)M作直線。N的垂線，垂足為Mi，則西就

是向量3在向量3上的投影向量.

設(shè)與加方向相同的單位向量為落a與另的夾角為。，則西=\a\cosd■e

知識(shí)點(diǎn)14平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)向量,與另都是非零向量，它們的夾角為仇3是與B方向相同的單位向量則

(1)d-e=e-a=\a\cos3

—?

(2)五_Lb=,4,bT*=O,

\a\\b\五與3同向

（3）當(dāng)五||那寸，a-b=f

-\a\\b\,五與B反向

特別地,a-a=口/或同=Va-a|

—?

(4)a-fo<\a\\b\

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知識(shí)點(diǎn)15平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

1.2不=九2(交換律).

2.(Aa)-b=A(a,母=港(店)(數(shù)乘結(jié)合律).

3.(a+b)-c—a-c+b-c(分配律).

知識(shí)點(diǎn)16平面向量基本定理

L平面向量基本定理：如果瓦，夙是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的

任一向量窗有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)%,%，使瓦+小豆.

2.基底：若瓦，石不共線，我們把｛瓦，石｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

知識(shí)點(diǎn)17平面向量的正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

知識(shí)點(diǎn)18平面向量的坐標(biāo)表示

1.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i,/,取億/｝作

為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量窗由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,

使得之=jd+yj.平面內(nèi)的任一向量五都可由x,y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量

R的坐標(biāo)，記作N=(x,y).

2.在直角坐標(biāo)平面中，i=(1,0),]=(0,1),0=(0,0).

知識(shí)點(diǎn)19平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示

設(shè)d=(%i，%)，b=(x2,y2),

數(shù)學(xué)公式文字語(yǔ)言表述

兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)

向量加法a+b^(x+x,%+y)

122向量相應(yīng)坐標(biāo)的和

兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)

向量減法d-b=(%i一久2，yi-y2)

向量相應(yīng)坐標(biāo)的差

已知點(diǎn)4(久*為)，B(X2,y2),那么向量荏=(冷一久i，火一月)，即任意一個(gè)向量的坐標(biāo)

等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).

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知識(shí)點(diǎn)20平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

已知五=(x,y),貝奴日=(2久，Ay),即：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向

量的相應(yīng)坐標(biāo).

知識(shí)點(diǎn)21平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)石=(久1，%),3=(*2，%)，其中3大6.

則窗3共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)3使2=43.

如果用坐標(biāo)表示，可寫為01，為)=久(>2，丫2)，當(dāng)且僅當(dāng)山火一*2%=。時(shí)，向量窗3共

線.

要理解并熟記這一公式，可簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相減.

知識(shí)點(diǎn)22平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

設(shè)非零向量N=。］,%),3=8，%)，日與「的夾角為火

則N?3=x1x2+yry2-

⑴若2=(%,y),則同2=刀2+y2或同=J久2+y2.

若表示向量日的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為01，乃)，(%2?丫2)，則d=(久2-

x22

xi,y2-yi)>\a\=7(2-^i)+(y2-yi)-

(2)d130%i%2+7172=0?

(3)cos8=A^=1

知識(shí)點(diǎn)23向量方法解決平面幾何問題的步驟

用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化

為向量問題.

(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.

(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)24向量方法解決物理問題的步驟

用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來(lái)說(shuō)分為四個(gè)步驟：

⑴問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.

(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.

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(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.

知識(shí)點(diǎn)25余弦定理

在△/胸中，角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,則有

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的

語(yǔ)言敘述

和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

2

。2=爐+c-2bccosA

公式表達(dá)b2=a2+c2—laccosB

222

余弦定理c=a+b-2abcosC

D十C-u

cos/=.......--------

2bc

a2+c2-b2

推論cosB=--------------

2ac

a2+b2-c2

COSC=2ab

知識(shí)點(diǎn)26余弦定理可以用于兩類解三角形問題

1.已知三角形的兩邊和它們的夾角，求三角形的第三邊和其他兩個(gè)角.

2.已知三角形的三邊，求三角形的三個(gè)角.

知識(shí)點(diǎn)27解三角形

一般地，把三角形的三個(gè)角4B,C和它們的對(duì)邊a,b,。叫做三角形的元素.已知三角形

的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.

知識(shí)點(diǎn)28正弦定理

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.

即

abc

-----=------=------=2R

sinAsinBsinC

其中R是△/%外接圓的半徑

知識(shí)點(diǎn)29正弦定理的變形公式

1.a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

2.sinA=—,sinB=—,sinC=—

2R2R2R

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第七章

知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

1.復(fù)數(shù)

(1)定義：我們把形如。+兒(a/6/?)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足產(chǎn)=—1.

(2)表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即2=。+乩9/6/?),其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，6叫

做復(fù)數(shù)z的虛部.

2.復(fù)數(shù)集

(1)定義：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.

(2)表示：通常用大寫字母C表示.

知識(shí)點(diǎn)2復(fù)數(shù)的分類

1.復(fù)數(shù)z—a+bi(a,beR)

①實(shí)數(shù)：6=0

純虛數(shù)，a=0

②虛數(shù)：b豐。

.非純虛數(shù)，aK0

2.復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)3復(fù)數(shù)相等的充要條件

設(shè)a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，則

①a+bi=c+dioa=c且b=d

②a+bi=O<^>a—b=0.

知識(shí)點(diǎn)4復(fù)平面

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知識(shí)點(diǎn)5復(fù)數(shù)的幾何意義

1.復(fù)數(shù)z=a+bi{a,beR)；''對(duì)應(yīng)*復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).

2.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)?對(duì)應(yīng)*平面向量應(yīng)

知識(shí)點(diǎn)6復(fù)數(shù)的模

1.定義：向量被的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模或絕對(duì)值.

2.記法：復(fù)數(shù)z=a+札的模記為憶|或|a+b4.

3.公式：|z|=\a+bi\=y/a2+b2

知識(shí)點(diǎn)7共軌復(fù)數(shù)

1.定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軌復(fù)數(shù).虛部

不等于0的兩個(gè)共物復(fù)數(shù)也叫共輾虛數(shù).

2.表示：z的共輛復(fù)數(shù)用5表示，即若z=a+bi,則5=a-bi.

知識(shí)點(diǎn)8復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則

1.設(shè)Zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dER)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),則

(l)zi+Z2=(a+c)+(b+d)i；

(2)zi—z2=(a—c)+(h—d)i.

2.對(duì)任意Z],z2,z3EC,有

(1)Z]+Z2=Z2+Z];

(2)(Z1+Z2)+Z3=z1+(z2+z3).

知識(shí)點(diǎn)9復(fù)數(shù)加減法的幾何意義

如圖，設(shè)復(fù)數(shù)Z2對(duì)應(yīng)向量分別為兩，兩，四邊形0Z1ZZ2為平行四邊形，向量應(yīng)與復(fù)

數(shù)Z1+Z2對(duì)應(yīng)，向量Z2Z；與復(fù)數(shù)Z]-Z2對(duì)應(yīng).

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知識(shí)點(diǎn)10復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律

1.復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)Zi=a+bi,Z2=c+b,c,dER)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則z1?z2=(a+bi)(c+di)=

(ac-bd)+(ad+bc)i.

2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

對(duì)任意復(fù)數(shù)z2,z3ec,有

交換律zlz2=Z2Z1

結(jié)合律(z1z2)z3=zr(z2z3)

乘法對(duì)加法的分配律Z1Q2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3

知識(shí)點(diǎn)11復(fù)數(shù)除法的法則

設(shè)Zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dCR,且c+diW0)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),

UIHZI_a+bi_ac+bd+(bc-ad)i

22

、z2c+dic+d

第八章

知識(shí)點(diǎn)1多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義

類別多面體旋轉(zhuǎn)體

一條平面曲線(包括直線)繞它所在

由若干個(gè)平面多邊形圍成平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的

定義

的幾何體曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍

成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體

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$

E

HA

)

圖形

LB)

F

i

面：圍成多面體的各個(gè)多

邊形

相關(guān)概念軸：形成旋轉(zhuǎn)體所繞的定直線

棱：相鄰兩個(gè)面的公共邊

頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)2棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1.棱柱的概念

名稱定義圖形及表示相關(guān)概念

底面(底)：兩個(gè)

?'

有兩個(gè)面互相平行，其余D互相平行的面

各面都是四邊形，并且相側(cè)面T\<\\?底面?zhèn)让妫浩溆喔髅?/p>

側(cè)棱建徵

棱柱鄰兩個(gè)四邊形的公共邊側(cè)棱：相鄰側(cè)面

A頂點(diǎn)

都互相平行，由這些面所的公共邊

如圖可記作：棱柱

圍成的多面體叫做棱柱頂點(diǎn)：側(cè)面與底

ABCDEF—A'B'C'D'E'F'

面的公共頂點(diǎn)

2.棱柱的分類

(1)按底面多邊形邊數(shù)來(lái)分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……

(2)按側(cè)棱是否與底面垂直：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱

叫做斜棱柱.

底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.

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知識(shí)點(diǎn)3棱錐的結(jié)構(gòu)特征

1.棱錐的概念

名稱定義圖形及表示相關(guān)概念

底面(底)：多邊形

S/'頂點(diǎn)面

A

有一個(gè)面是多邊形，其余側(cè)\\側(cè)面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)

各面都是有一個(gè)公共頂?shù)母鱾€(gè)三角形面

棱錐

C---底-面

點(diǎn)的三角形，由這些面所B側(cè)棱：相鄰側(cè)面的

圍成的多面體叫做棱錐如圖可記作:棱錐公共邊

S—ABCD頂點(diǎn)：各側(cè)面的公

共頂點(diǎn)

2.棱錐的分類

(1)按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……

(2)底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.

知識(shí)點(diǎn)4棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

名稱定義圖形及表示相關(guān)概念分類

上底面：平行于棱

錐底面的截面由三棱錐、四

用一個(gè)平行于泉下底面：原棱錐的棱錐、五棱

棱錐底面的平4落”面底面錐……

側(cè)面市值側(cè)棱

面去截棱錐，側(cè)面：其余各面截得的棱臺(tái)

棱臺(tái)J/F底面

\B

底面與截面之頂點(diǎn)側(cè)棱：相鄰側(cè)面的分別叫做三

間那部分多面如圖可記作：棱臺(tái)公共邊棱臺(tái)、四棱

體叫做棱臺(tái)ABCD—A'B'C'D'頂點(diǎn)：側(cè)面與上臺(tái)、五棱

(下)底面的公共頂臺(tái)...

點(diǎn)

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知識(shí)點(diǎn)5圓柱的結(jié)構(gòu)特征

圓柱圖形及表示

定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊

旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱軸

『底黑面

相關(guān)概念：

圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸

圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面葉C底面

圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面

圖中圓柱表示為圓柱

圓柱側(cè)面的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸

0'0

的邊

知識(shí)點(diǎn)6圓錐的結(jié)構(gòu)特征

圓錐圖形及表示

定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，

其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體￡軸

相關(guān)概念：

圓錐的軸：旋轉(zhuǎn)軸

圓錐的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面底薩牛

側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圖中圓錐表示為圓錐S。

母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊

第13頁(yè)共32頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)7圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

圓臺(tái)圖形及表示

定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面

之間的部分叫做圓臺(tái)

相關(guān)概念：

圓臺(tái)的軸：旋轉(zhuǎn)軸

圓臺(tái)的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓面

圓臺(tái)的側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面

母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊0'0

知識(shí)點(diǎn)8球的結(jié)構(gòu)特征

球圖形及表示

定義：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的

曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球

相關(guān)概念:

球心：半圓的圓心

半徑：連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段

直徑：連接球面上兩點(diǎn)并經(jīng)過(guò)球心的線段

知識(shí)點(diǎn)9簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

1.概念：由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體.

2.基本形式:一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成,另一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成.

知識(shí)點(diǎn)10水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法

用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

第14頁(yè)共32頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)11空間幾何體直觀圖的畫法

立體圖形直觀圖的畫法步驟

(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個(gè)Z軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是z'軸.

(2)畫底面：平面久'O'y’表示水平平面，平面y'0'z'和，O'z'表示豎直平面，按照平面圖形的畫

法，畫底面的直觀圖.

(3)畫側(cè)棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長(zhǎng)度都不變.

(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

知識(shí)點(diǎn)13棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

幾何體體積說(shuō)明

棱柱V棱柱=ShS為棱柱的底面積，％為棱柱的高

1

棱錐V棱錐=3ShS為棱錐的底面積，％為棱錐的高

S',S分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，九為

棱臺(tái)V棱臺(tái)=斜+4M+S)h

棱臺(tái)的高

第15頁(yè)共32頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)14圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積

表面積公式

底面積：S底=2R丫2

側(cè)面積：S側(cè)=2TITI

表面積：S=2nr(r+Z)

底面積：S底="產(chǎn)

側(cè)面積：S側(cè)=幾包

表面積：S=nr(r+Z)

上底面面積：S上底=n丫'2

下底面面積：S下底=71丫2

側(cè)面積：S^=7i(rrl+r/)

zr

表面積：S=7r(r2+產(chǎn)+ri+丁1)

知識(shí)點(diǎn)15圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積

幾何體體積說(shuō)明

圓柱底面圓的半徑為

圓柱V圓柱=Sh=nr2h

r,面積為S,高為h

V圓錐=錯(cuò)誤!未定義書簽。Sh圓錐底面圓的半徑為

圓錐

=錯(cuò)誤!未定義書簽。nr2hr,面積為S,高為八

圓臺(tái)上底面圓的半徑

7

明臺(tái)=錯(cuò)誤!未定義書簽。(S+屈+W)h為r',面積為S',下底

圓臺(tái)=錯(cuò)誤!未定義書簽。7r(r2

面圓的半徑為r,面積

+rr'+r，2)h

為S,高為h

知識(shí)點(diǎn)16球的表面積和體積公式

1.球的表面積公式S=4TIR2(R為球的半徑).

2.球的體積公式，=錯(cuò)誤!未定義書簽。nR\

知識(shí)點(diǎn)17平面

第16頁(yè)共32頁(yè)

1.平面的概念

幾何中所說(shuō)的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等，這樣的一些物體中抽象出來(lái)

的.類似于直線向兩端無(wú)限延伸，幾何中的平面是向四周無(wú)限延展的.

2.平面的畫法

我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面，它的銳角通常畫成45°,且橫邊長(zhǎng)等于

其鄰邊長(zhǎng)的2倍，如圖①.

如果一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫

出來(lái)，如圖②.

3.平面的表示法

圖①的平面可表示為平面a、平面4BCD、平面2C或平面BD.

知識(shí)點(diǎn)18點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

1.直線在平面內(nèi)的概念

如果直線I上的所有點(diǎn)都在平面a內(nèi)，就說(shuō)直線2在平面a內(nèi)，或者說(shuō)平面a經(jīng)過(guò)直線，

2.一些文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

文字語(yǔ)言表達(dá)符號(hào)語(yǔ)言表示文字語(yǔ)言表達(dá)符號(hào)語(yǔ)言表示

點(diǎn)4在直線1上AeI點(diǎn)4在直線矽卜Ae1

點(diǎn)2在平面a內(nèi)AEa點(diǎn)4在平面a外Aa

直線Z在平面a內(nèi)Iua直線/在平面a外1仁a

直線乙m相交于點(diǎn)AIAm=A平面a,0相交于直線2aC0=1

知識(shí)點(diǎn)19平面的基本性質(zhì)及作用

1.

基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)作用

力，B)C三點(diǎn)

一是確定平面；二

過(guò)不在一條直線不共線=存在

是證明點(diǎn)、線共面

基本事實(shí)1上的三個(gè)點(diǎn)，有唯一的平面a

問題；三是判斷兩

且只有一個(gè)平面使力，B,ce

個(gè)平面重合的依據(jù)

a

第17頁(yè)共32頁(yè)

如果一條直線上

既可判定直線和點(diǎn)

的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)AEl,BEl,

是否在平面內(nèi)，又

基本事實(shí)2平面內(nèi)，那么這且/ea,Be

ZS7能說(shuō)明平面是無(wú)限

條直線在這個(gè)平a01ua

延展的

面內(nèi)

如果兩個(gè)不重合

的平面有一個(gè)公Pea且「e①判定兩平面相交

基本事實(shí)3共點(diǎn)，那么它們BnaCi的依據(jù)

有且只有一條過(guò)B=l,且尸eI②判定點(diǎn)在直線上

該點(diǎn)的公共直線

2.利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2,再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可以得到下面三個(gè)推論:

推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

①②③

知識(shí)點(diǎn)20空間兩直線的位置關(guān)系

1.異面直線

(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.

(2)異面直線的畫法(襯托平面法)

如圖①②③所示，為了表示異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面來(lái)襯托.

(3)判斷兩直線為異面直線的方法

①定義法；②兩直線既不平行也不相交.

2.空間兩條直線的三種位置關(guān)系

［相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

共面直線V

［平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

第18頁(yè)共32頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)21直線與平面的位置關(guān)系

直線a在平面a外

位置關(guān)系直線a在平面a內(nèi)

直線a與平面a相交直線a與平面a平行

公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)只有1個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)

符合表示quaaAa=Aa\\a

3----a

圖形表示一///

知識(shí)點(diǎn)22平面與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交

公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（在一條直線上）

符號(hào)表示a||/?aC\p=1

圖形表示口

%/

知識(shí)點(diǎn)23基本事實(shí)4

文字語(yǔ)言平行于同一條直線的兩條直線平行

------------a

圖形語(yǔ)言------------b

------------C

符號(hào)語(yǔ)言直線a,b,c,a\\b,b\\ca\\c

作用證明兩條直線平行

說(shuō)明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性

知識(shí)點(diǎn)24空間等角定理

1.定理

文字語(yǔ)言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

0A||OrAr,OB||O'B'=ZAOB=或+/A'O'B'=

符號(hào)語(yǔ)言

180°

第19頁(yè)共32頁(yè)

X4

0'「^-------AfB'

圖形語(yǔ)言

「/

O^---------------A0^------------------A

作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

2.推廣

如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.

知識(shí)點(diǎn)25直線與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，

文字語(yǔ)言

那么該直線與此平面平行

符號(hào)語(yǔ)言。仁a,bu%。b=。||a

圖形語(yǔ)言/y

知識(shí)點(diǎn)26直線與平面平行的性質(zhì)定理

一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此

文字語(yǔ)言

平面相交，那么該直線與交線平行

符號(hào)語(yǔ)言a||a,au0,an/?=b=>a||h

p-4

圖形語(yǔ)言

〃b/

知識(shí)點(diǎn)27平面與平面平行的判定定理

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)

文字語(yǔ)言

平面平行

符號(hào)語(yǔ)言aua,bua,anb=4aIIS，bIIS=aIIS

第20頁(yè)共32頁(yè)

圖形語(yǔ)言

知識(shí)點(diǎn)29兩直線的位置關(guān)系

1.異面直線

(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.

⑵畫法：

\b

\-------b

①②③

2.兩條直線的位置關(guān)系

相交直線一只有一個(gè)公共點(diǎn)

共面直線

平行直線］

沒有公共點(diǎn)

異面直線

3.兩個(gè)定理

(1)基本事實(shí)4

①文字語(yǔ)言：平行于同一條直線的兩條直線平行.

②符號(hào)語(yǔ)言：直線a,b,c,a||b,c\\b=>a\\c.

③作用：證明空間兩條直線平行.

(2)等角定理

①內(nèi)容：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

②作用：證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

第21頁(yè)共32頁(yè)

4.平面內(nèi)兩直線的夾角

（1）定義：平面內(nèi)兩條直線相交成4個(gè)角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角（或

夾角）；規(guī)定兩直線平行時(shí)夾角為0°,垂直時(shí)夾角為90°.

（2）范圍：兩條直線夾角a的取值范圍是（TWaW90。.

知識(shí)點(diǎn)30異面直線所成的角

1.定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)。分別作直線優(yōu)||a,b|||b,則異面直

線a與6所成的角（或夾角）就是直線優(yōu)與b'所成的銳角（或直角）.

2.范圍：0。＜。W90。.特別地，當(dāng)8=90。時(shí)，a與b互相垂直，記作a14

知識(shí)點(diǎn)31直線與平面垂直的定義

如果直線2與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線/與平

面a互相垂直

直線/叫做平面a的垂線，平面a叫做直線/的垂面，它們唯一的公共

點(diǎn)P叫做垂足

畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的

一邊垂直

注意：過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條，該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到該平

面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.

知識(shí)點(diǎn)32直線與平面垂直的判定定理

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此

文字語(yǔ)言

平面垂直

符號(hào)語(yǔ)言I1a,I1b,aua,bua,aC\b=P^lla

第22頁(yè)共32頁(yè)

圖形語(yǔ)言

知識(shí)點(diǎn)33直線與平面所成的角

有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形

一條直線與平面a相交，但不與這個(gè)平面垂直，

斜線

這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，如圖中直線序

斜足斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)//

/上/

過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足

射影和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，圖r

中斜線PA在平面a上的射影為直線A0

定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，圖中/巴。

直線與平面

規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平

所成的角

面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°

取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為仇0°<0<90°

知識(shí)點(diǎn)34直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

符號(hào)語(yǔ)言ala,bla^allb

圖形語(yǔ)言

注意：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線

到這個(gè)平面的距離，如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距

離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.

知識(shí)點(diǎn)35二面角的概念

1.定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.

第23頁(yè)共