專題17數(shù)列綜合題

1.（2022?新高考II）已知｛a“｝是等差數(shù)列，｝是公比為2的等比數(shù)列，S.a2—b2=a3-b3=b4-a4.

（1）證明：4=伉；

（2）求集合伙14=%，+%,啜帆500｝中元素的個(gè)數(shù).

2.（2021?新高考H）記S,是公差不為。的等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若%=$5，4%=S4.

（I）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。/

（II）求使Sn>an成立的n的最小值.

3.（2022?沈陽(yáng)一■模）等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列｛b“｝滿足%=4=1,a2+a4=14,b2b4=a6,且6“>0.

（1）求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式；

（2）己知：①包<1000；②6aeN+，使a”,=b”.設(shè)S為數(shù)列｛a｝中同時(shí)滿足條件①和②的所有的項(xiàng)的和,

求S的值.

4.(2022?沈陽(yáng)一■模)已知等差數(shù)列｛an｝和正項(xiàng)等比數(shù)列｛6“｝滿足q=4,4=2,bn+2=bn+1+2bn>a3=b3+2.

(1)求｛%｝和｛￡｝的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)于集合3,定義集合A-B=｛xeA且無(wú)設(shè)數(shù)列伍“｝和｛2｝中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A,B,

將集合A-3的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛%｝,求數(shù)列｛%｝的前30項(xiàng)和邑。.

5.(2022?沈河區(qū)校級(jí)二模)已知等差數(shù)列｛%｝滿足%=9,%+q=22.

(1)求｛6｝的通項(xiàng)公式；

(2)等比數(shù)列｛勿｝的前〃項(xiàng)和為S.,，且仿=q,再?gòu)南旅姊佗冖壑羞x取兩個(gè)作為條件，求滿足5“<2021的

n的最大值.

①4=q+的；

②S3=7；

③be>b,.

6.(2022?大連模擬)已知等差數(shù)列｛%｝的公差為正實(shí)數(shù)，滿足％=4,且％,a3,%+4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛2｝的前w項(xiàng)和為S,,若4=1,且,求數(shù)列｛。,+2｝的前幾項(xiàng)和為以下有三個(gè)條

件：

①斗=2"-1,nwN*；

②S“=2b“—1,neN*；

③S“+1=2S“-1,weN*.

從中選一個(gè)合適的條件，填入上面橫線處，使得數(shù)列｛々｝為等比數(shù)列，并根據(jù)題意解決問(wèn)題.

%+1,〃為偶數(shù)

7.(2022?遼寧一模)已知｛%｝是等差數(shù)列,=6,c%=12,目.b”—

為奇數(shù).

(1)求｛““｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛￡｝的前2〃項(xiàng)和.

8.(2022?遼寧模擬)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，滿足4=1,S7-12=6t72+o10.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列｛%-2"?。那啊?xiàng)和為《，求滿足組二型>4096的正整數(shù)”的最小值.

6〃一5

9.(2022?沙河口區(qū)校級(jí)模擬)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛風(fēng)｝,滿足02+q+04=28,且%+2是電，%的

等差中項(xiàng).

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)若仇=-加?“，Sn=bt+b2+...+bn,對(duì)任意正整數(shù)”，總有S“+(〃+,")%+]<0成立，試求實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍.

10.(2022?遼寧模擬)已知S.為數(shù)列｛q』的前〃項(xiàng)和，a,=3,S用+1=4%.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，求數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和7；.

?bn=

(S“+i+l)??+i

(-1)"-(2n2+10n+13)-24^2

②"=22

aa

n-n+i

11.(2022?大東區(qū)模擬)已知數(shù)列伍“｝的前〃項(xiàng)和為S,.

從下面①②③中選擇其中一個(gè)作為條件解答試題，若選擇不同條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

①數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，s2=6,且4a2，2%，為成等差數(shù)列；

②數(shù)列｛。,,｝是遞增的等比數(shù)列，。陷4=32,a2+a3=12；

@Sn=2an-2.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列出“｝的前幾項(xiàng)的和為7；,且2=-----------------,證明：T?<~.

(k)g2*)(log2a2"+i)2

12.(2022?遼寧模擬)已知數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和為S,,,滿足：j=%+l(〃eN*).

n

(I)求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

2

(II)若g=5,令b"=L,數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和為Tn,若不等式45(7；?+1-Tn)?m-5m對(duì)任意neN*恒成

立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

13.(2022?遼寧一模)記數(shù)列｛風(fēng)｝的前"項(xiàng)和為S“，a｝=-7,g=-6,an+x=kan+l｛n^N+,keR).

(1)證明數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式凡；

(2)記方=|qI+1a?I+14I-----HI，求1?

14.(2022?遼寧模擬)記正項(xiàng)等差數(shù)列伍“｝的前”項(xiàng)和為S",已知q=1,a2a3=S5.

(1)求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

(2)已知等比數(shù)列｛2｝滿足「b2=a2,若超=%82,求數(shù)列前加項(xiàng)的和

15.(2022?撫順一模)己知等差數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為S“，又對(duì)任意的正整數(shù)〃，m,都有殳二&=-2,

n—m

且&=30.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

倒

(2)設(shè)a=22,求數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和4.

16.(2022?丹東模擬)數(shù)列｛4｝中,4=2,%+|-2%=(-2)"2.

(1)計(jì)算出，的，猜想｛%｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)設(shè)S,為數(shù)列｛4｝的前a項(xiàng)和，證明：數(shù)列｛S,J中任意連續(xù)三項(xiàng)按適當(dāng)順序排列后，可以組成等差數(shù)列.

17.(2022?鐵東區(qū)校級(jí)模擬)已知凡是等差數(shù)列&｝的前〃項(xiàng)和，>0,S3=15,公差d>l,且從①02T

為4-1與%+1等比中項(xiàng)，②等比數(shù)列｛"｝的公比為q=3,4="，&=%這兩個(gè)條件中，選擇一個(gè)補(bǔ)充

在上面問(wèn)題的橫線上，使得符合條件的數(shù)列｛%｝存在并作答.

(1)求數(shù)列他“｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛—'―｝的前〃項(xiàng)和為7；,求證：Tn<~.

。“4+16

18.(2022?沈河區(qū)校級(jí)四模)已知數(shù)列以｝滿足q=1,a2=3,an+2=3an+l-2an(neN,),

(I)證明:數(shù)列凡｝是等比數(shù)列;

(II)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

19.(2022?錦州模擬)已知等比數(shù)列｛a,J的公比g>l,且%=2,q+%=5.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）在①4=1,Sn=nb?,②2S,=32-1這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的《存

在，求左的最小值；若左不存在，說(shuō)明理由.

問(wèn)題：設(shè)數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S_,數(shù)列｛q-勿｝的前"項(xiàng)和為7；,是否存在正整數(shù)%,使得

Tk>100?

20.（2022?大連二模）已知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)q=1的正項(xiàng)等比數(shù)列，｛a｝是公差d=2的等差數(shù)列，且滿足

%=2a2，/=2+1-

（I）求數(shù)列｛4｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

（II）若%=,求｛c?｝的前n項(xiàng)和Sn.

h-1

請(qǐng)?jiān)冖賑,=3““+S“-l）；②%=殳」.這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線中，并加以解答.

21.（2022?遼寧模擬）記S,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和,已知2s“=4,+/.

（D證明:數(shù)列飽+%｝為等差數(shù)列；

（2）求他“｝的通項(xiàng)公式.

22.（2022?遼寧二模）已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,%=2，對(duì)于任意正整數(shù)〃，有%+2=3a“+i-2a“.若

bn=%-2a“.

（1）判斷數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)q,=a“?log2a什[,求數(shù)列｛cj的前〃項(xiàng)和S”.

23.（2022?遼寧模擬）已知等比數(shù)列｛6“｝和遞增的等差數(shù)列｛a“｝滿足q=12,=1,a2=5b2,a3=2b3.

（1）求數(shù)列｛4｝和數(shù)列的,｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列｛%｝和數(shù)列｛或｝中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A和B,將A|J8的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成

一個(gè)新數(shù)列｛c.｝，求數(shù)列｛&｝前63項(xiàng)和心.

24.（2022?鞍山模擬）在①S“=2「3"l,②初=2q+3,4=-2,這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

面的問(wèn)題中，并作答.

設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.,且一（只需填入序號(hào)）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若6“=小（％+3）,求數(shù)列｛6“｝的w項(xiàng)和》.

25.（2022?遼寧三模）已知數(shù)列｛a/中，滿足q=a,a2=b,a,#]=左（〃,+%+2）對(duì)任意〃eN*都成立，數(shù)

列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,.

（1）若他“｝是等差數(shù)列，求左的值；

(2)若a=6=l,且｛%+%+J是等比數(shù)列，求％的值，并求S..

26.(2022?沈陽(yáng)模擬)已知公差大于1的等差數(shù)列中，的=3,且4+1,a3-i,%-3成等比數(shù)歹！J.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)數(shù)歹U｛—的前"項(xiàng)和為s“，求證：

a?an+l32

a

27.(2022?遼寧模擬)已知數(shù)列｛〃〃｝中，q=5且2a〃+i=4〃〃+〃一1(〃￡N*).

(1)求證：數(shù)列［為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S,.

28.(2022?遼陽(yáng)二模)①｛2"%｝為等差數(shù)列，且生=?；②｛上一｝為等比數(shù)列，且電=3.從①②兩個(gè)條

82n-l4

件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答在數(shù)列｛%｝中，4=＜，.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）已知｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，試問(wèn)是否存在正整數(shù)q,r,使得=p-軟…？若存在0,q,r的

值；若不存在，說(shuō)明理由.

29.（2022?葫蘆島二模）已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且與-1,@+2,4%+4分別是公比為2的等比數(shù)

列｛a｝中的第3,4,6項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛%｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛cn）通項(xiàng)公式為cn=bnsin（萬(wàn)a,）,求｛g｝的前100項(xiàng)和S100.

30.（2022?中山區(qū)校級(jí)一模）已知等差敝列｛%｝和等比數(shù)列｛a｝滿足%=1,%=4=3.

（1）求他“｝的通項(xiàng)公式；

（2）在①d=12；②％=11；③4+2&=3生這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，使得MJ存在且唯一，

并求數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和九

31.（2022?沈陽(yáng)模擬）設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為S,,數(shù)列｛S“｝的前w項(xiàng)積為7；,且S,+27；=l.

1

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

32.（2022?遼寧模擬）已知公比為4的等比數(shù)歹!J的前“項(xiàng)和為S“，且滿足4-24=8,S3=84,qeN*.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若僅萼二，求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和7；.

log?log產(chǎn)

33.（2022?沙河口區(qū)校級(jí)一模）在下面①和②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線中，并加以解答.已

知數(shù)列｛4｝滿足4=6,?2=-3..

①若4+%=2*（〃eN*）.設(shè)下=%-%，求證：數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列,若數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S,滿足

Sn?m（neN*）,求實(shí)數(shù)機(jī)的最小值；

②若數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，且可＞。用（"€N*）,%+%=-33,求數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)

公式.若數(shù)列他」的前"項(xiàng)和S’,，求|S".

34.（2022?遼寧三模）已知｛%+8｝是公比為2的等比數(shù)列,S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，l.S3=S2.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛|%|｝的前〃項(xiàng)和

35.(2022?沈河區(qū)校級(jí)模擬)已知等差數(shù)列｛4｝,其前〃項(xiàng)和為S“,等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù),公比

是q,且滿足：4=3,4=1,b2+S2=12fS2=b2q.

(I)求知與；

(II)設(shè)6“=32