第01講數(shù)學(xué)與我們同行

練內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：主動學(xué)

沙士”［識教材精講精析，全方位預(yù)習(xí)

講典例練習(xí)題教材習(xí)題學(xué)解題，快速掌握解題方法

4大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：用心記

只只學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握，思維導(dǎo)圖助力掌握知識脈絡(luò)，理清知識之間的聯(lián)系

第三步：限時測

過關(guān)檢測效果好，查漏補缺練考點

折翱物以

fij知識點1：生活觀察

1.什么是數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。

2.圖形與生活

生活中充滿了圖形，各式各樣的圖形不僅起到美化生活的作用，而且包含著很多信息和數(shù)

學(xué)知識；生活中的圖形一般有基本的幾何圖形構(gòu)成.不同的圖形具有不同的意義，起到不同的

作用。

生活中各種神奇的幾何圖形：

3.數(shù)字與生活

生活中離不開數(shù)字，數(shù)字是我們表達和交流的重要工具。

例如：身份證號碼、學(xué)籍號、高鐵票等等；

:：??；c

示

■■MO?S/p>

例

?—“鼻―■▲省市縣出生日期順序碼校驗碼

11

P077722皿帔斤A"5P077722:左上角的紅色數(shù)字代表出售窗口代碼

青島北站C6565煙臺站C6565:表示車次

示Qingdaobei\anlai

2019年08月25H1042k03車03C”2019年08月25日10:42：火車的發(fā)車日期和時間

例￥61.0兀網(wǎng)二等座

限乘當(dāng)日當(dāng)次車61.0元：車票的價格

2…黑譚

03車03C：表示車上對應(yīng)的座位

［買票謚期2306發(fā)貨記鋪局061整卷

:…￥畋史幽埃途里/____:鹵淋工A4A5:表示候車室

I8M83II44W25P177777音島北售

數(shù)字，圖形是我們生活的重要組成部分，要學(xué)會從數(shù)字和圖形中獲取有用信息。

4.數(shù)學(xué)與文化

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的相關(guān)知識之前，了解其背后相關(guān)的數(shù)學(xué)文化是非常有必要的，可以幫助我們更

好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科，培養(yǎng)我們對數(shù)學(xué)的興趣，提高我們的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

例如：

我國很多經(jīng)典古籍中記載了“河圖洛書”，它是中國重要的文化遺產(chǎn).是三階幻方的一種表

示形式。

學(xué)會利用好網(wǎng)絡(luò)，快速查找自己需要的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的資料，提高自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率。

洛陽博物館中的“河圖洛書”圖1-1

近知識點2：活動思考

1.動手操作

動手操作，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種非常重要方法。通過動手操作，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和實踐能力，數(shù)

學(xué)中的動手操作主要包括：折疊，裁剪，拼圖，繪圖等活動。

2.運算推理

動手操作的目的是為了發(fā)現(xiàn)問題背后隱藏的規(guī)律，但是，只有操作是不夠的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還

需要運算，分析和推理證明的，只有這樣，才能找到背后隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律，找到規(guī)律所在，才

能真正地解決問題，使數(shù)學(xué)更好地為我們的生活服務(wù)。

3.分析問題

分析一個數(shù)學(xué)問題，可以從兩個方面入手，一是從數(shù)與式的角度，找出背后隱藏的規(guī)律，

二是從圖與形的角度，找出各種圖形之間的關(guān)系，從而解決問題。

國知識點3：交流表達

1.借助幾何圖形表達數(shù)學(xué)規(guī)律

表達一個數(shù)學(xué)規(guī)律，通常有幾種方式：語言敘述法、圖形圖象表示法、表格表示法、數(shù)學(xué)

式子表示法。

語言敘述法：就是用自己的語言去概括；

圖形圖象表示法：數(shù)學(xué)規(guī)律通過幾何圖形間的關(guān)系反應(yīng)出來；

例如：

如圖，先畫一個等邊三角形，然后連接三條邊的中點得到4個相同的三角形，將中間的三

1

語言敘述法：圖2中綠色三角形的面積是大三角形面積的4

圖形表示法：見上圖；

數(shù)學(xué)表達式法：s綠色=1s大三角形

2.借助表格表達數(shù)學(xué)規(guī)律

表達有關(guān)變化的規(guī)律可以借助表格列舉的方法，例如：室溫下開水溫度隨時間變化的規(guī)律

時間/分鐘05101525

溫度/℃9871554535

時間/分鐘3545556570

溫度/℃2824222222

3.借助圖像表達數(shù)學(xué)規(guī)律

活動二中關(guān)于室溫下開水溫度隨時間變化的規(guī)律，也可以借助圖象表達這一規(guī)律。

4.借助數(shù)學(xué)式子表達數(shù)學(xué)規(guī)律

表達一個量隨著另一個量的變化規(guī)律，常常用一個數(shù)學(xué)式子表示更方便，例如按照下圖所示的方式用

火柴棒搭正方形。

火柴棒根數(shù)和正方形個數(shù)之間的關(guān)系可以借助一個數(shù)學(xué)式子表示，設(shè)正方形的個數(shù)為n,

需要火柴棒的根數(shù)為s,則：

s=3n+1

s=+1這個數(shù)學(xué)等式就清晰地反映了火柴根數(shù)與所搭正方形個數(shù)之間的關(guān)系。

借助數(shù)學(xué)式子（等式、不等式）可以簡潔地反應(yīng)幾個研究對象之間的規(guī)律。

寸涮闞練溺

教材習(xí)題第05頁練習(xí)第2題解題方法指導(dǎo)

學(xué)校打算用16m長的籬笆圍成長方形的生物園飼方法一：嘗試用16厘米長的細(xì)繩圍成長方形，

養(yǎng)小兔。怎樣圍可使小兔的活動范圍盡可能大？度量其長和寬，計算其面積，進行比較，發(fā)現(xiàn)其

規(guī)律；

方法二：列表，讓長和寬取不同值，直接計算其

面積，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；

長7654321

寬

面積

方法三：借助幾何畫板嘗試。

【分析】

列表，讓長和寬取不同值，直接計算其面積，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（為了計算方便，可以取整數(shù)）

長7654321

寬1234567

面積712151615127

從以上列表計算可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)月昌成的f鷺笆變成正方形時，面積最大，小兔的活動范圍最大。

要獲得更精確的數(shù)據(jù)，可以讓七W和寬工雙小數(shù)或分?jǐn)?shù)，可以發(fā)現(xiàn)同樣的規(guī)律。

教材習(xí)題第09頁練習(xí)題

按照下圖所示的方式用火柴棒搭正方形。

解題方法指導(dǎo)

1111111111.選擇合適的表達方式；

2.語言敘述法；

（1）完成下表：

3.表格表示法；（填表）

正方形個數(shù)12345

.數(shù)學(xué)式子表示法；（找到兩者之間關(guān)系）

火柴棒根數(shù)4

比較各種方式的優(yōu)缺點。

（2）探究火柴棒根數(shù)與正方形個數(shù)之間的關(guān)系，表達這

個關(guān)系并與同學(xué)交流。

【分析】

正方形個數(shù)12345......

火柴棒根數(shù)47101316......

根據(jù)表格中的規(guī)律，可以用數(shù)學(xué)式子表示：m=3n+l（m表示火柴根數(shù)，n表示正方形個數(shù)）

號練翻明蝴

題型一：尋找圖形中的規(guī)律

1.如圖，圖1中小黑點的個數(shù)記為q=4,圖2中小黑點的個數(shù)記為g=8,圖3中小黑點的個數(shù)記為

(1)圖5中小黑點的個數(shù)記為的，則％;

(2)圖"中小黑點的個數(shù)記為與，則。“=(用含”的式子表示)；

(3)若第力個圖形中小黑點的個數(shù)比它前一個圖形中小黑點的個數(shù)多2023,則"的值是多少？

【答案】⑴=26

/c、"2+5〃+2

⑵?！岸?——

2

(3)n=2021

【分析】(1)由已知圖形得出%=1+2+3+4+5+6+5=26可得；

(2)由題意得q=1+2+.......+〃+(〃+1)+〃，整理即可得；

(3)利用(2)中所得結(jié)果列出方程，解之可得答案.

本題考查了圖形的變化類問題，是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，解題的關(guān)鍵是能夠找

到圖形變化的通項公式，難度不大.

【詳解】(1)解：將黑點從左向右分列觀察計算，

q=1+2+1,

%=1+2+3+2,

%=1+2+3+4+3,

,,,%=1+2+3+4+5+6+5=26?

(2)由(1)可知

+/.n2+5n+2

?！?1+2++〃+(〃+1)+〃=—-----+(幾+1)+〃=--------------

2v72

(3)由題意得4-=100,

IHH+5/Z+2(H—1)-+5(ra—1)+2

則----------------------------=2023,

22

解得：n=2021.

2.如圖所示，改變五子棋中黑棋的擺放方式，解答下列問題.

①②③④

圖②

(1)觀察圖①和圖②，五子棋分別被直線和折線隔開擺放成4層，按照圖中規(guī)律繼續(xù)擺下去，第n層有

__________個棋子；

(2)數(shù)圖中棋子的總個數(shù)可以有多種不同的方法：如：前2層棋子的個數(shù)和為(1+3)或22,因此可以得到

1+3=2?,同樣，前3層棋子的個數(shù)和為1+3+5=32,前4層棋子的個數(shù)和為1+3+5+7=42,…

根據(jù)上述規(guī)律，前n層棋子的個數(shù)和用含n的代數(shù)式可以表示為；

(3)運用(2)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,計算:1+3+5+...+99.

【答案】⑴(2"-1)

(2)1+3+5+...+(2n—1)="-

(3)2500

【分析】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，圖形的變化類，根據(jù)已知圖形得出數(shù)字的變化規(guī)律是解題關(guān)

鍵.

(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可得出每一層棋子個數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，進而得出答案；

(2)利用已知數(shù)據(jù)的規(guī)律即可得出答案；

(3)利用(2)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出答案即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得：第一層有1個棋子，

第二層有3=(2+1)個棋子，

第三層有5=(2*2+1)個棋子，

第四層有7=(2x3+l)個棋子，

第五層有9=(2x4+l)個棋子，

第六層有"=(2x5+1)個棋子，

由此發(fā)現(xiàn)，第"層有2(〃-1)+1=(2〃-1)個棋子,

故答案為：(2〃-1)；

(2)解：?.?前2層棋子的個數(shù)和為(1+3)或22,

因止匕可以得至111+3=22,

:前3層棋子的個數(shù)和為1+3+5=32,前4層棋子的個數(shù)和為1+3+5+7=42,

.?.前"層棋子的個數(shù)和1+3+5+...+(2〃-1)=〃2,

即前"層棋子的個數(shù)和用含"的代數(shù)式可以表示為1+3+5+…+(2〃-1)=".

故答案為:1+3+5+...+(2n-l)=n2；

(3)解：由(2)知，2(n—l)+l=(2n—1),

當(dāng)2"-1=99,即”=50時,

A1+3+5+7++99=502=2500.

3.下列圖案是某大院窗格的一部分，其中“)’代表窗紙上所貼的剪紙，求:

(1)第1個圖中所貼剪紙"”的個數(shù)為一個;第2個圖中所貼剪紙“)”的個數(shù)為一個;第3個圖中所貼剪紙“°”

的個數(shù)為一個；

(2)第w個圖中所貼剪紙的個數(shù)為一個；

(3)如果所貼剪紙“C”的個數(shù)為2024個時，那么它是第幾個圖？

【答案】⑴5,8,11

(2)(3〃+2)

⑶第674個圖

【分析】本題考查的知識點是規(guī)律型-圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是找出圖形變化的部分是按照什么規(guī)律變

化的，通過分析找到各部分變化的規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.

(1)第1個圖中所貼剪紙“?！钡膫€數(shù)為3+2=5；第2個圖中所貼剪紙“O”的個數(shù)為2x3+2=8；第3個圖

中所貼剪紙“(”的個數(shù)為3x3+2=11；

(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律可得出第〃個圖中所貼剪紙的個數(shù)為3x〃+2=3"+2；

(3)利用(2)中得出的規(guī)律代入求解即可.

【詳解】(1)解：第1個圖中所貼剪紙“0”的個數(shù)為3+2=5；

第2個圖中所貼剪紙“?！钡膫€數(shù)為2x3+2=8；

第3個圖中所貼剪紙“，'的個數(shù)為3x3+2=11；

故答案為：5,8,11；

(2)由(1)得：第〃個圖案所貼剪紙“)”數(shù)為(3w+2)個；

(3)43n+2=2024,貝1]3〃=2022

〃=674,因此是第674個

4.如圖，將形狀，大小完全相同的“?”和線段按照一定的規(guī)律擺成下列圖形，第1個圖案中“?”的個數(shù)為3,

第2個圖案中“?”的個數(shù)為8,第3個圖案中“?”的個數(shù)為15,…，以此類推.

>>j>才江

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

(1)第5個圖案中“?"的個數(shù)是.

(2)請用含n的代數(shù)式表示第〃個圖案中“?”的個數(shù).

(3)請用含n的代數(shù)式表示第n個圖案中最長的線段上“?”的個數(shù).

【答案】⑴35

(2)“(〃+2)或(“+1)2-1個

(3)力+1個

【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律.

(1)根據(jù)每組圖形規(guī)律列出點數(shù)即可求得；

(2)根據(jù)第一問列出的點數(shù)特點總結(jié)規(guī)律即可；

(3)根據(jù)每組圖形規(guī)律列出每個圖案中最長的線段上“?”的個數(shù)，即可得解.

【詳解】(1)解：觀察圖形：

第1個圖案中“?”的個數(shù)是2+1=3個，

第2個圖案中“?”的個數(shù)是2+3+2+1=8個，

第3個圖案中“?”的個數(shù)是2+3+4+3+2+1=15個，

第4個圖案中“?”的個數(shù)是2+3+4+5+4+3+2+1=24個，

，第5個圖案中“?”的個數(shù)是2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=35個，

故答案為:35；

(2)解：3=1x3,

8=2x4,

15=3x5,

24=4x6,

35=5x7……

由上規(guī)律知，第〃個圖案中“?”的個數(shù)為"("+2)或(“+1)2-1；

(3)解：第1個圖案中最長的線段上“?”的個數(shù)為2,

第2個圖案中最長的線段上“?”的個數(shù)為3,

第3個圖案中最長的線段上“?”的個數(shù)為4,

.?.第“個圖案中最長的線段上“?”的個數(shù)為“+L

5.如圖所示，是用圖形“一”和“?”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”.

o

Oooo

CDooooo

0ooDOOCOooooooo

0ooOOOooooooooo

ooOOooooooooo

00ooOOoooo

Oooooooooo

(1)按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第7個“小屋子”中圖形“O”的個數(shù)為個，“?"的個數(shù)為個；

(2)按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第幾個‘小屋子”中圖形“?！钡膫€數(shù)是圖形“,'的個數(shù)的4倍？

【答案】⑴28,16；

(2)第16個“小屋子”中圖形“個數(shù)是圖形“?”個數(shù)的4倍.

【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律、用代數(shù)式表示圖形的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“C.”和“?”的

個數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)所給圖形，依次求出“。”和“?”的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再利用規(guī)律列出一元二次方程求解即可.

【詳解】(1)解：由所給圖形可知，

第1個“小屋子”中圖形的個數(shù)為：1=1,“?”的個數(shù)為：4=lx2+2；

第2個“小屋子”中圖形的個數(shù)為：3=1+2,“?”的個數(shù)為：6=2x2+2；

第3個“小屋子”中圖形“0”的個數(shù)為:6=1+2+3,“?”的個數(shù)為：8=2x3+2；

第4個“小屋子”中圖形門的個數(shù)為：10=1+2+3+4,“?”的個數(shù)為：第=2x4+2；

第5個“小屋子”中圖形“O”的個數(shù)為：15=1+2+3+4+5,“?”的個數(shù)為：12=2x5+2；

由此可知，

第7個“小屋子”中圖形“產(chǎn)的個數(shù)為：28=1+2+3+4+5+6+7,的個數(shù)為：16=2x7+2；

故答案為：28,16；

(2)解：第〃個“小屋子”中圖形“O”的個數(shù)為1+2+3+.+w=〃("+l),“?”的個數(shù)為2〃+2；

2

由題意得e4=4(2〃+2),解得4=-1(舍)，%=16,

答：第16個“小屋子”中圖形“O”個數(shù)是圖形“■”個數(shù)的4倍.

題型二：探究數(shù)字間的規(guī)律

1.觀察下列等式：

13=12=1;

13+23=(1+2)2=9；

]3+23+33=0+2+3)2=36；

l3+23+33+43=(l+2+3+4)2=100；

根據(jù)上述規(guī)律，回答下列問題：

⑴寫出第5個等式：;

(2)寫出第〃個等式：；并求出F+23+33+43+53+63+73+83+9?的值.

【答案】(1)13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=225

(2)13+23+33++〃3=(I+2+3++療=/(，)；2025

【分析】本題主要考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，難度適中，注意找等式的規(guī)律時，要注意觀察等式的左

邊和右邊的規(guī)律，還要注意觀察等式的左右兩邊之間的關(guān)系.

(1)根據(jù)題意材料即可得出第5個等式F+23+33+43+53=(1+2+3+4+5『=225即可；

(2)根據(jù)題意材料即可得出第〃個等式戶+23+33+…+/=0+2+3+…+”)2=也等I即可；根據(jù)得出的

一般等式進行計算即可.

【詳解】(1)解：；13=12=］；

F+23=(l+2)2=9；

13+23+33=(1+2+3)2=36；

13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100；

.?.第5個等式為：

13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=225；

32

(2)解：V1=1=1；

13+23=(1+2)2=9；

13+23+33=(1+2+3)2=36；

13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100；

，第”個等式為：

13+23+33++H3=(1+2+3++“)2=〃(丁)；

當(dāng)〃=9時，

I3+23+33+43+53+63+73+83+93

=(1+2+3++9)2

92X(9+1)2

-4

=2025.

2.某數(shù)學(xué)興趣小組開展研究：若兩個兩位數(shù)，它們的十位上的數(shù)相同，個位上的數(shù)的和等于10,那么這兩

個數(shù)的積存在一定的規(guī)律，觀察下列算式，完成以下問題：

算式①：15x15=1x2x100+5x5=225；

算式②：35x35=3x4x100+5x5=1225；

算式③：48x42=4x5x100+8x2=2016；

算式④：53x57=5x6x100+3x7=3021；

⑴探索以上算式規(guī)律，請寫出71x79==；

(2)觀察算式①②的運算規(guī)律，若兩個兩位數(shù)的十位上的數(shù)都是。，個位上的數(shù)字都是5,請證明等式

(10q+5)(10<7+5)=aM+l)xlOO+5x5是成立的；

(3)觀察算式③④的運算規(guī)律，若兩個兩位數(shù)的十位上的數(shù)都是其中一個數(shù)的個位上的數(shù)字是b,請用等

式表示這兩個兩位數(shù)的積的一般規(guī)律，并證明這個規(guī)律.

【答案】(1)7x8x100+1x9,5609

(2)見解析

(3)(10a+Z?)(10a+10-Z?)=ax(a+l)xl00+Z?(10-Z?),證明見解析

【分析】本題主要考查了多項式乘多項式、數(shù)字的變化類規(guī)律等知識點，熟練掌握多項式乘多項式法則和

單項式乘多項式法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)所給的等式的形式，找出規(guī)律進行解答即可；

(2)利用多項式乘多項式法則和單項式乘多項式法則進行證明即可；

(3)根據(jù)(2)中的等式，寫出表示這兩個兩位數(shù)的積的一般規(guī)律，并證明這個規(guī)律即可.

【詳解】(1)解：71x79=7x8x100+1x9=5609.

(2)證明：左邊=(10。+5)(10。+5)=100/+2x5x10。+25=100/+100。+25,

又一右邊=a(a+1)x100+5x5=100a2+100a+25,

左邊二右邊,BP(10a+5)(10a+5)=a?(a+l)xl00+5x5.

(3)解：其中一個數(shù)的個位上的數(shù)字是b,個位上的數(shù)的和等于10,

...另一個數(shù)的個位上的數(shù)字是10-匕，

這兩個兩位數(shù)的積的一般規(guī)律是：

(10a+Z?)(10a+10-Z?)=ax(a+l)xl00+/?(10-Z?),

；左邊=(10。+6)(10。+10-b)=100/+100a-10而+10a。+10b-〃

=100a2+100a+10/?-Z?2,

又右邊=ax(a+l)xlOO+仇10-bhlCW+iooQ+iob—

左邊二右邊，BP(10a+b)(10a+10-b)=ax(a+l)xl00+b(10-b).

3.觀察下列各式：①lx；=l—；；②;=；一；;③;；

乙乙乙j乙jjjI*

^1111

⑷一X-=----------;...

4545

⑴根據(jù)上述規(guī)律寫出第⑤個等式：；

⑵請寫出第幾個等式(用含〃的式子表示)；

(3)若|x-2|+|y-3|=0,+x^—+^—x^—+..?+'xJ

1111xyx+1y+1x+2y+2x+99y+99

【答案】(l)Jx；=:一；

5656

(2)'，」--—

nn+1nn+1

⑶”

51

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，規(guī)律探索問題，

(1)根據(jù)已知等式寫出第⑤個等式即可；

(2)根據(jù)規(guī)律寫出第〃個等式即可；

(3)根據(jù)絕對值的非負(fù)性求得x,y的值后代入原式，然后根據(jù)規(guī)律裂項并計算即可.

【詳解】(1)根據(jù)上述規(guī)律寫出第⑤個等式：=

5636

1

故答案為：7X7=7

5656

(2)第"個等式為LxRnL-J

nn+1nn+1

(3)解：V|x—2|+|^—3|=0

.\x-2=0,y-3=0,

解得：x=2,y=3,

2334101102

11111111

—I——i—+…H--------

233445101102

11

2102

25

51

4.觀察下列等式:

第一個等式：22-21=4-2=2=21;

第二個等式：23-22-8-4=4=22;

第三個等式：2-23=16-8=8=23；

(D請按這個順序仿照前面的等式寫出第四個等式；

(2)根據(jù)你上面所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用含字母〃的式子表示第n個等式;

(3)請利用上述規(guī)律計算：2I+22+23+...+22a20+22021.

【答案】(1)25-24=32-16=16=24

(2)2"+1-2"=2"

(3)22022-2

【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律.

(1)根據(jù)題目中的式子，可以寫出第四個等式；

(2)根據(jù)題目中式子的特點可以寫出第〃個等式；

(3)根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，可以計算出所求式子的值.

【詳解】(1)解：第四個等式：25-24=32-16=16=24；

(2)解：第w個等式：2"+1-2"=2"!

(3)解：21+22+23+...+22020+22021

=(22-21)+(23-22)+(24-23)++(22021-22020)+(22022-22021)

=22期一2.

5.解答題.

觀察下列各式：I2+1=1x2

22+2=2X3

3?+3=3x4...

⑴按照上面的規(guī)律請寫出〃個等式.

(2)利用上面的結(jié)論計算2022：+2022

20232-2023

(3)請結(jié)合長方形的面積公式，利用面積的不同計算方式，解釋(1)的合理性.如需畫圖請先用鉛筆作圖,

確定后再用黑色碳素筆描繪清楚.

【答案】⑴〃2+〃=〃(〃+1)

⑵1

(3)見解析

【分析】本題考查了數(shù)字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題中的等式，找出規(guī)律，用字母表示；

(2)根據(jù)(1)中的公式計算；

(3)作邊長”和5+1)的長方形.

【詳解】(1)解：由題意可得，“2+〃=〃(〃+1)；

2022x(2022+1)

⑵解:原式==1;

2023(2023-1)

(3)解：如圖所示,

圖中大長方形的面積可表示為n2+nxl=n2+H,也可以表示為9+1),

所以/+〃=〃(〃+1).

題型三：月歷中隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律

1.如圖是某月的日歷.

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

282930

(1)帶陰影的方框中的9個數(shù)之和與方框正中的數(shù)有什么關(guān)系？

(2)不改變方框的大小如果將帶陰影的方程移至其他幾個位置試一試，上述關(guān)系還成立嗎？如成立，請說

明為什么成立.

活學(xué)活用：

小明是個愛動腦筋的同學(xué)，在發(fā)現(xiàn)教材中的用方框在月歷中移動的規(guī)律后，突發(fā)奇想，將連續(xù)的偶數(shù)2,4,

6,8,排成如圖形式，并用一個十字形框架框住其中的五個數(shù)，請你仔細(xì)觀察十字形框架中的數(shù)字的

規(guī)律，并回答下列問題：

246810

1214161820

2224262830

3234363840

(3)十字框中的五個數(shù)的和與中間的數(shù)16有什么關(guān)系？

(4)若將十字框上下左右移動，可框住另外的五個數(shù)，其它五個數(shù)的和能等于2010嗎？如能，寫出這五

個數(shù)，如不能，說明理由.

【答案】(1)方框中9個數(shù)之和為方框正中的數(shù)的9倍

(2)成立，理由見解析

(3)十字框中的五個數(shù)的和是中間數(shù)16的5倍

(4)不能，理由見解析

【分析】本題主要考查圖形與數(shù)字規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，

(1)根據(jù)圖示，列式求解即可；

(2)設(shè)中心數(shù)為〃，根據(jù)(1)中的計算方法即可求解；

(3)根據(jù)圖示，列式計算即可求解；

(4)設(shè)中間的數(shù)為"，由此列式求解可得”=402,再根據(jù)402在第41行的第一個數(shù)字進行判定即可求解.

【詳解】解：(1)3+4+5+10+11+12+17+18+19=99,

99+11=9,

方框中9個數(shù)之和為方框正中的數(shù)的9倍；

(2)成立，理由如下，

設(shè)中心數(shù)為”，

-8)+(〃-7)+(九一6)+(〃-1)+〃+(力+1)+(〃+6)+("+7)+(〃+8)=9〃,

???9個數(shù)之和是方框正中的數(shù)的9倍；

活學(xué)活用

(3)6+14+16+18+26=80,80+16=5,

十字框中的五個數(shù)的和是中間數(shù)16的5倍;

(4)不能，理由如下，

設(shè)中間的數(shù)為"，

.?.5〃=2010,則〃=402,

V402在第41行的第一個數(shù)字，

二框住的5個數(shù)的和不能為2010.

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345

6789101112

2.如圖是某月的月歷.

13141516171819

20212223242526

27282930

(1)十字框中的五個數(shù)的和與中間數(shù)16有什么關(guān)系？

(2)若將十字框上、下、左、右平移，可框住另外五個數(shù)，設(shè)中間數(shù)為m這五個數(shù)還有這種規(guī)律嗎？若有

請證明，若沒有請說明理由.

【答案】⑴十字框中的五個數(shù)的和與中間數(shù)16的關(guān)系是80+5=16

（2）有，證明見詳解

【分析】（1）先求出十字框中的五個數(shù)的和，然后觀察與中間數(shù)16的聯(lián)系即可；

（2）設(shè)中間數(shù)為m也用含有。的代數(shù)式表達其他4個數(shù)，觀察它們的特征，即可作答.

【詳解】（1）解：9+15+16+17+23=80,

80+5=16,

所以十字框中的五個數(shù)的和與中間數(shù)16的關(guān)系是80+5=16；

（2）解：設(shè)中間數(shù)為。，那么。的上方的數(shù)是。-7,a的左邊的數(shù)是a-1,a的右邊的數(shù)是。+1,。的下方

的數(shù)是。+7,

這25?個數(shù)的和是a-7+a-l+a+a+l+a+7=5a,

5。+5=。

所以十字框中的五個數(shù)的和+5=中間數(shù).

【點睛】本題屬于日歷中的問題，要解決此類題問題，關(guān)鍵是弄清楚各個數(shù)之間的關(guān)系，左右相鄰的兩個

數(shù)相差1,上下相鄰的兩個數(shù)相差7.

3.如圖1是2020年11月的日歷，請據(jù)圖回答下列問題：

_x_

——四五八日

1——四五六日

十六

2345678

十七十八十九二十廿一廿二廿三

9101112131415

a

廿四廿五廿六廿七廿八廿九初一

16171819202122

初二初三初四初五初六初七初八

23242526272829

初九初十十一十二十三十四十五

30

十六

圖1

（1）如圖1,如果本周六對應(yīng)日期用x（1<%<22,且x為整數(shù)）表示，那么本周五對應(yīng)日期可以表示為「

下周六對應(yīng)日期可以表示為「

（2）如圖2,陰影部分表示的5天中最中間一天的日期用。表示，5天之和用S表示，試猜想S與。之間的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）小明的爸爸每月18日值班，根據(jù)圖1可以推算出12月18日是星期一.

【答案】(1)X-1,X+7；(2)5=5。，見解析；(3)五

【分析】(1)根據(jù)日歷即可得出答案；

(2)將日期。的上周三，下周三，前一天和后一天表示出來，然后計算即可；

(3)根據(jù)12月18日與11月18日間隔30天，一星期有7天，計算出過了幾個星期，根據(jù)余數(shù)即可得出

答案.

【詳解】解：(1)由圖可知本周五對應(yīng)日期可以表示為尤-1,

下周六對應(yīng)日期可以表示為x+7；

(2)S=5a.

理由如下：日期。的上周三可表示為a-7,日期。的下周三可表示為a+7,日期。的前一天可表示為,

日期a的后一a+1,貝(]S—ci—7+a+7+a+a—l+a+l=5a；

(3)..T2月18日與11月18日間隔30天，一星期有7天，

.,.30+7=4........2,

.,.多出兩天，

,.T1月18日是周三，

12月18日是周五.

【點睛】本題考查了代數(shù)式的應(yīng)用和規(guī)律探索，理解日期的規(guī)律是解題關(guān)鍵.

4.日歷是一份來自時間的禮物，它讓生活有跡可循，同時提醒我們要珍惜時間，不負(fù)韶華.如圖是2025年

1月份的日歷，小穎用一個“X”形框選中了5個數(shù).

日一二三四五六

1_234

5、q至,91011

12母?45161718

19z辦平2425

265728293031

⑴請通過計算說明圖中“X”形框選中的五個數(shù)的和與中間數(shù)的關(guān)系；

(2)若在日歷中任意畫一個這樣的“X”形框且選中5個數(shù)，(1)中的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由.

【答案】⑴圖中“X”形框選中的五個數(shù)的和是中間數(shù)的5倍

(2)成立，理由見詳解

【分析】本題考查有理數(shù)的加法，求代數(shù)式的值，根據(jù)題意列代數(shù)式是解題的關(guān)鍵；

(1)計算這五個數(shù)的和，即可找到與中間數(shù)的關(guān)系；

(2)設(shè)中間的數(shù)為x,其余四個數(shù)分別為x-6,x-8,x+6,x+8,計算五個數(shù)的和即可求解；

【詳解】(1)解：6+8+14+20+22=70=5x14；

圖中“X”形框選中的五個數(shù)的和是中間數(shù)的5倍；

(2)解：成立；

設(shè)中間的數(shù)為無，其余四個數(shù)分別為x-6,x-8,x+6,x+8,

五個數(shù)的和為：x-6+x-8+x+6+x+8+x-5x；

圖中“X”形框選中的五個數(shù)的和是中間數(shù)的5倍;

(1)圖1中所框出的5個數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差為—，所框出的5個數(shù)的和為

(2)若在圖2中用一個“+”形框任意框出5個數(shù)，設(shè)這5個數(shù)中最小的數(shù)為a.貝生

①請在右邊的“+”形框中，用含"的代數(shù)式表示其它各數(shù)，然后求出這5個數(shù)的和為多少？(用含。的代數(shù)

式表示)

②若。=17,則框出的5個數(shù)中最大的數(shù)為多少？框出的5個數(shù)的和為多少？

【答案】⑴14,45；

(2)①表格見解析，5。+35；②最大的數(shù)為31,120

【分析】本題考查了列代數(shù)式以及代數(shù)式求值，根據(jù)各數(shù)之間的關(guān)系，用含。的代數(shù)式表示出其它4個數(shù)及

5個數(shù)之和是解題的關(guān)鍵.

(1)利用圖1中所框出的5個數(shù)中的最大數(shù)-最小數(shù)，即可求出圖1中所框出的5個數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)

的差，再將5個數(shù)相加，即可求出所框出的5個數(shù)的和；

(2)①根據(jù)各數(shù)之間的關(guān)系，可用含。的代數(shù)式表示出其它4個數(shù)，再將5個數(shù)相加，即可得出結(jié)論；

②代入。=17,即可求出結(jié)論.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得：圖1中所框出的5個數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差為16-2=14；

所框出的5個數(shù)的和為2+8+9+10+16=45.

故答案為:14,45；

(2)解：①根據(jù)題意，得：其它4個數(shù)分別為。+6,。+7,。+8,。+14,

如圖所示，

，5個數(shù)的和為。+。+6+。+7+。+8+。+14=5。+35；

②當(dāng)。=17時，

框出的5個數(shù)中最大的數(shù)為“+14=17+14=31；

框出的5個數(shù)的和為54+35=5x17+35=85+35=120.

題型四：火柴棒中的數(shù)學(xué)知識

1.綜合與實踐.

在一個創(chuàng)新教育中心，學(xué)生們正在參與一個名為“火柴棍工程”的綜合實踐活動.這個活動旨在通過動手實

踐來培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力、邏輯思維和數(shù)學(xué)計算能力.如圖所示，學(xué)生們需要使用火柴棍來構(gòu)建一系列

由三角形組成的圖形，并探索這些圖形的數(shù)學(xué)規(guī)律.

(D實踐操作：如果圖形中含有4個三角形，那么拼成這個圖形需要一根火柴棍.

(2)數(shù)學(xué)探究：如果圖形中含有〃個三角形，那么拼成這個圖形需要一根火柴棍.

(3)應(yīng)用數(shù)學(xué)：若圖形中含有2024個三角形，并且每根火柴棍的長度為“cm,則圖形中所有火柴棍的長度和

為多少？

【答案】(1)9

(2)(2〃+1)

(3)4049ocm

【分析】本題主要考查了圖形類的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意數(shù)出圖形中含有4個三角形時需要的火柴棒數(shù)量即可；

(2)觀察圖形可知，每多一個三角形，則要多兩根火柴棒，據(jù)此規(guī)律求解即可；

(3)根據(jù)(2)所求求出所需要的火柴棒數(shù)量即可得到答案.

【詳解】(1)解：由題意得，如果圖形中含有4個三角形，那么拼成這個圖形需要9根火柴棒；

(2)解：圖形中含有1個三角形，需要3根火柴棒，

圖形中含有2個三角形，需要3+2=5根火柴棒，

圖形中含有3個三角形，需要3+2x2=7根火柴棒，

圖形中含有4個三角形，需要3+2x3=9根火柴棒，

以此類推，可知，圖形中含有"個三角形，需要3+2（77-1）=（2〃+1）根火柴棒，

（3）解：當(dāng)圖形中含有2024個三角形時，火柴棍的根數(shù)為2x2024+1=4049（根）,

，圖形中所有火柴棍的長度和為4049（7cm.

2.用火柴棒按圖中的方式擺圖形：

①②③④

按圖示規(guī)律填空：

圖形標(biāo)號②③④⑤

火柴棒的

5913ab

根數(shù)

（1）々=,b—；

（2）按照這種方式搭下去，則搭第〃個圖形需要火柴棒的根數(shù)為；（用含〃的代數(shù)式來表示）

（3）按照這種方式搭下去，用（2）中的代數(shù)式求搭第2024個圖形需要的火柴棒的根數(shù).

【答案】⑴17,21

（2）4〃+1

（3）8097

【分析】此題主要考查了圖形的變化類，注意結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)蘊含的規(guī)律，找出解決問題的途徑.

（1）根據(jù)所給圖形可得a,b的值；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可得出規(guī)律；

（3）把H的值代入（2）的規(guī)律式中可求值.

【詳解】（1）解：由圖④可數(shù)出火柴棒的根數(shù)為17,故可得“=17,

由圖①②③④可得圖⑤為：4x5+1=21,

故6=21；

故答案為：17；21.

（2）解：由（1）可得第w個圖形需要火柴棒的根數(shù)為4〃+1,

故答案為：4〃+1；

（3）解：將"=2024代入4a+1中得：4x2024+1=8097.

即第2024個圖形需要的火柴棒根數(shù)為8097根.

3.火柴拼圖是一種道具簡單、開啟思維、挖掘智力、陶冶情趣的數(shù)字游戲.這種游戲形式萬千，可簡可繁.下

面是小明同學(xué)利用火柴按照一定的規(guī)律拼擺的一組圖形：

OO<XX>4XXX><xxxx?

第1個第2個第3個第4個

（1）填寫下面的表格：

第1第2第3第4第5

個個個個個

三角形的

123

個數(shù)

正方形的

35

個數(shù)

火柴棒總

1220

根數(shù)

（2）按此規(guī)律拼擺的第〃個圖中，三角形有個，正方形有個，所用的火柴棒總很數(shù)是；（用

含力的代數(shù)式表示）

（3）按這種方法拼擺出的第100個圖中，三角形有個，正方形有個，所用的火柴棒總根數(shù)是.

【答案】（1）見解析

（2）71；（2n+l）；4（2n+l）

（3）100；201；804

【分析】主要考查了圖形類規(guī)律探索.通過分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個統(tǒng)一的式子表示出分式的

符號的變化規(guī)律是此類題目中的難點.

（1）根據(jù)題意，數(shù)出圖中的三角形、正方形、火柴棒數(shù)量即可；

（2）由（1）可知，找出數(shù)量的變化規(guī)律，即可得到答案；

（3）把“=100代入4（2〃+1）,即可求出答案.

【詳解】（1）解：如下表格：

第1個第2個第3個第4個第5個......

拼成三角形個數(shù)12345......

拼成的正方形個

357911......

數(shù)

所用火柴棒總根1220283644......

數(shù)

（2）解：第"個圖中，三角形有“個，正方形：（2〃+1）個，所有火柴棒有4（2〃+1）根；

（3）解：當(dāng)九=100時，2/7+1=2x100+1=2