五年級奧數(shù)專題精講精練一

第37講簡單列舉

一、專題簡析：

有些題目，因其所求的答案有多種，用算式不容易表示，需要采用一一列舉的

方法解決。這種根據(jù)題目的要求，通過一一列舉各種情況，最終達(dá)到解答整個

問題的方法叫做列舉法。

用列舉法解題時需要掌握以下三點：

1、列舉時應(yīng)注意有條理的列舉，不能雜亂無章地羅列；

2、根據(jù)題意，按范圍和各種情況分類考慮，做到既不重復(fù)又不遺漏；

3、排除不符合條件的情況，不斷縮小列舉的范圍。

二、精講精練

例1有一張5元、4張2元和8張1元的人民幣，從中取出9元錢，共有多少

種不同的取法？

練習(xí)一

1、有足夠的2角和5角兩種人民幣，要拿出5元錢，有多少種不同的拿法?

2、有2張5元、4張2元、8張1元的人民幣，從中拿出12元，有幾種拿法?

例2有1、2、3、4四張數(shù)字卡片，每次取3張組成一個三位數(shù)，可以組成多

少個奇數(shù)？

練習(xí)二

1、用0、1、2、3四個數(shù)字，能組成多少個三位數(shù)?

2、用3、4、5、6四張數(shù)字卡片，每次取兩張組成兩位數(shù)，可以組成多少個偶

數(shù)？

例3在一張圓形紙片中畫10條直線，最多能把它分成多少小塊?

練習(xí)三

1、在下面的長方形紙中畫出5條直線最多能把它分成多少塊？請你動手畫一畫。

2、請你算一算，在一張圓形紙片中畫20條直線，最多能把它分成多少塊?

例4有一張長方形的周長是200厘米，且長和寬都是整數(shù)。問：當(dāng)長和寬是多

少時它的面積最大？當(dāng)長和寬是多少時，它的面積最小？

練習(xí)四

1、a和b都是自然數(shù)，且a+b=81。a和b相乘的積最大可以是多少？

2、有一段竹籬笆全長24米，現(xiàn)把它圍成一個四邊形，所圍面積最大是多少平

方米?

例5從1到400的自然數(shù)中，數(shù)字“2”出現(xiàn)了多少次?

練習(xí)五

1、從1至I」100的自然數(shù)中，數(shù)字“1”出現(xiàn)了多少次?

2、從1至I」100的自然數(shù)中，完全不含數(shù)字“1”的數(shù)共有多少個?

三、課后作業(yè)

1、用紅、黃、綠三種顏色去涂下面的圓，每個圓涂一種顏色，共有多少種不同

的涂法？

OOO

2、甲、乙、丙、丁四位同學(xué)和王老師站成一排照相，共有多少種不同的站法?

3、在一個圓形紙片上畫三條橫著的平行線和三條豎著的平行線，把此圓分成了

多少塊？

4、a、b、c三個數(shù)都是自然數(shù)，且a+b+c=30。那么aXbXc的積最大可以是

多少？最小可以是多少？

5、1X2X3X-X100,這100個數(shù)乘積的末尾有幾個連續(xù)的0?

第37講簡單列舉

專題簡析：

有些題目，因其所求的答案有多種，用算式不容易表示，需要采用一一列舉的方法解決。這種根據(jù)題目的

要求，通過一一列舉各種情況，最終達(dá)到解答整個問題的方法叫做列舉法。

用列舉法解題時需要掌握以下三點：

L列舉時應(yīng)注意有條理的列舉，不能雜亂無章地羅列；

2,根據(jù)題意，按范圍和各種情況分類考慮，做到既不重復(fù)又不遺漏；

3,排除不符合條件的情況，不斷縮小列舉的范圍。

例1有一張5元、4張2元和8張1元的人民幣，從中取出9元錢，共有多少種不同的取法？

分析：如果不按一定的順序去思考，就可能出現(xiàn)遺漏或重復(fù)的取法。因此，我們可以按照從大到小、從少

到多的順序，先排5元的，再排2元的，最后排1元的，把可以組成9元的情況一一列舉出來。

5元2元1元

1O4

112

12O

O17

O25

O33

O41

從上面的列舉中可以看出：取9元錢共有7種不同的取法。

練習(xí)一

1,有足夠的2角和5角兩種人民幣，要拿出5元錢，有多少種不同的拿法？答案

解：2角=0.2元，5角=0.5元，

02x5+0.5x2=2（元），所以可以是5張2角的和2張5角的；

0.2x10=2（元），所以可以是10張2角的；

0.5x4=2（元），所以可以是4張5角的和.

要保證拿出的總錢數(shù)是2元即可.

故答案為：

三種

解析

本題運(yùn)用排列規(guī)律解決實際問題，是明確拿出的總錢數(shù)必須是5角和2角的幣值組成,

將方法列舉出來.

本題考察的知識點是：運(yùn)用排列規(guī)律解決實際問題；解決此類問題的關(guān)鍵是：是明確

拿出的總錢數(shù)必須是5角和2角的幣值組成，將方法列舉出來.

2,有2張5元、4張2元、8張1元的人民幣，從中拿出12元，有幾種拿法？答案

九種拿法：

8張1元+2張2元=12元;7張1元+1張5元=12元;6張1元+3張2元=12元;5

張1元+1張2元+1張5元=加元;4張1元+4張2元=12元;3張1元+2張2元

+1張5元=I2元;2張1元+2張5元=12元;1張1元+3張2元+1張5元=12元;1

張2元+2張5元=12元.

3,用紅、黃、綠三種顏色去涂下面的圓，每個圓涂一種顏色，共有多少種不同的涂法？

OO。答案

解：

第一個圓涂色，有三種選擇；

第二個圓涂色，有三種選擇；

第三個圓涂色，有三種選擇；

所以根據(jù)乘法原理知共有：3x3x3=27（種）

答：共有27種不同的涂法。

解析

1、分析題意可知有三種顏色，每個圓涂一種顏色，想想給第一個圓涂色時，有幾種選

擇呢？第二個圓，第三個圓呢？

2、給第一個圓涂色時，可在紅、黃、綠中任意選擇一種顏色，那么第一個圓有三種顏

色供選擇；

3、第二個圓、第三個圓也有三種顏色供選擇，接下來根據(jù)乘法原理即可求出共有多少

種不同的涂法。

例2有1、2、3、4四張數(shù)字卡片，每次取3張組成一個三位數(shù)，可以組成多少個奇數(shù)？

分析要組成的數(shù)是奇數(shù)，它的個位上應(yīng)該是1或者3。當(dāng)個位是1時，把能組成的三位數(shù)一一列舉出來:

321,421,231,431,241,341共6個；同樣，個位是3的三位數(shù)也是6個，一共能組成6X2=12個。

練習(xí)二

1,用0、1、2、3四個數(shù)字，能組成多少個三位數(shù)？答案

解：

要組成的數(shù)是三位數(shù)，那么0不能在百位，當(dāng)百位是1時，把能組成的三位數(shù)一一列

舉出來：102、103、120、123、130、132；同樣，百位是2時的三位數(shù)也是6個，百

位是3的三位數(shù)也是6個，一共能組成6x3=18（個）.

故答案為：

18個

0不能在百位上.

解析

要組成的數(shù)是三位數(shù)，那么0不能在百位，當(dāng)百位是1時，把能組成的三位數(shù)一一列

舉出來：102、103、120、123、130、132；同樣，百位是2時的三位數(shù)也是6個，百

位是3的三位數(shù)也是6個，一共能組成6x3=18（個）.

2,用3、4、5、6四張數(shù)字卡片，每次取兩張組成兩位數(shù)，可以組成多少個偶數(shù)？答案

按照你的敘述應(yīng)該能組成六組偶數(shù)分別是：34

36

54

56

46

64

四選二應(yīng)該一共能組成12組兩位數(shù)（階乘的知識），而3456這四個數(shù)中奇數(shù)和偶

數(shù)各占一半,也就是說他們所組成的12個兩位數(shù)，奇數(shù)和偶數(shù)各占一半.

3,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)和王老師站成一排照相，共有多少種不同的站法？答案

解：

5x4x3x2xl

20x3x2x1

60x2x1

=120（個）

故答案為：

120個

依次確定每個位置的情況.

解析

從左到右依次排列：第一個位置有5種選擇，當(dāng)?shù)谝粋€位置確定時，第二個位置有4

種選擇；第二個位置確定時，第三個位置有3種選擇；第三個位置確定時，第4個位

置有2種選擇;第四個位置確定時，第5個位置有1種選擇.所以有5x4x3x2xl=120（個）.

例3在一張圓形紙片中畫10條直線，最多能把它分成多少小塊?

分析：我們把所畫直線的條數(shù)和分成的塊數(shù)列成表進(jìn)行分析：

十十

OG.......

直線的條數(shù)0123.......10

所分塊數(shù)1i+i1+1+21+1+2+3.......1+1+2+3+...+10

1+1+2+3H----P10=56（塊）

練習(xí)三

L在下面的長方形紙中畫出5條直線最多能把它分成多少塊？請你動手畫一畫。

答案

解:

1+1+2+3+4+5=16；

在一個長方形上畫上5條直線，最多能把長方形分成16部分.

故答案為:

16塊

直線間相互交叉，交點越多，則分割的空間越多，每多第幾條直線，就加幾個部分.

解析

兩條直線把正方形分成4部分，第三條直線與前兩條直線相交多出3部分，共分成7

部分；第四條直線與前3條直線相交，又多出4部分，共11部分，第五條直線與前4

條直線相交，又多出5部分，由此作答.

2,請你算一算，在一張圓形紙片中畫20條直線，最多能把它分成多少塊？答案

1.二條直線最多分成4個

2.三條直線最多分成7個

3.四條直線最多分成11個

4.五條直線最多分成16個

5.六條直線最多分成22個

6.n條直線最多分成(n2+n+2)/2個

所以n=20時,(n2+n+2)/2=211

3,在一個圓形紙片上畫三條橫著的平行線和三條豎著的平行線，把此圓分成了多少塊？答案

4x4=16塊。如果任意6條直線，最多能分成22塊。

例4有一張長方形的周長是200厘米，且長和寬都是整數(shù)。問：當(dāng)長和寬是多少時它的面積最大？當(dāng)長

和寬是多少時，它的面積最?。?/p>

分析因為長方形的周長200厘米，所以，長方形的長+寬=100厘米。由于長和寬都是整數(shù)，我們可以舉

例觀察?？梢钥闯觯寒?dāng)長與寬都是50厘米時，它的面積最大；當(dāng)長與寬的差最大，即長99厘米，寬1厘

米時，面積最小。

練習(xí)四

1,a和b都是自然數(shù)，且a+b=81。a和b相乘的積最大可以是多少？答案

b8b

解析

提示1：如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系那么較小數(shù)是它們的最大公約數(shù)，較大數(shù)是它們的最

小公倍數(shù)，因為a+b=8,所以a=8xb,也就是a和b的最大公約數(shù)是b；最小公倍數(shù)

是a.由此可以解決.

提示2：如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系那么較小數(shù)是它們的最大公約數(shù)，較大數(shù)是它們的最

小公倍數(shù)解：因為a和b是倍數(shù)關(guān)系，所以它們的最大公約數(shù)是較小的那個數(shù)b,最

小公倍數(shù)是較大的那個數(shù)a,

故答案為b；a.

2,有一段竹籬笆全長24米，現(xiàn)把它圍成一個四邊形，所圍面積最大是多少平方米？答案

設(shè)邊長為xm,則S=工(12_工)=121_工

一上=絲=6

2a2，所以當(dāng)工=6時面積最大

S=6x6=36

3,a、b、c二個數(shù)都是自然數(shù)，且a+b+c=30o那么aXbXc的積最大可以是多少？最小可以是多少？

答案

最大是當(dāng)a=b=c=10時,axbxc=1000

最小a=0B=0之類的.axbxc=0

自然數(shù)有包括6

額.

例5從1到400的自然數(shù)中，數(shù)字“2”出現(xiàn)了多少次？

分析：在1—400這400個數(shù)中，“2”可能出現(xiàn)在個位、十位或百位上。

(1)”2”在個位上：2、12、22、…、92；102、112、122、…、192；202、212、222、…、292；302、

312、…、392o

共：10X4=40(次)

(2)“2”在十位上：20、21、…、29；120、121、…、129；220、221、…、229；320、321、…、329?

共10X4=40(次)

(3)“2”在百位上：從200至?。?99共100次。

所以，數(shù)字“2”出現(xiàn)了10X4+100=180(次)o

練習(xí)五

L從1到100的自然數(shù)中，數(shù)字“1”出現(xiàn)了多少次？答案

鏟1-10…人11-20…人21-30右I

解：中有2個，中有10個，有1

人31—40右?人41—5()右?人51—60右?人61—70

個，有1個，有1個，有1個，

有-71-80有1個,81.90有591-100中有2個岫

個.

解析

中有1。個,21-30有1

…人11-20

1-10中有2個,

人為人為人右?人

個，31—40有1個，41—50有1個，51—60有1個，61-70

右?人右?人右?人巾右。人?「文

有1個，71—8()有1個，81—90有1個，91-100中有2個,11這

個數(shù)字中就有兩個1，應(yīng)算兩次,答案為21個.

此題也可這樣理解:個位為1的有10個;十位為1的有10個，減去11算重的，共9個；

再加上100中的1個;一共21個.

2,從1到100的自然數(shù)中，完全不含數(shù)字“1”的數(shù)共有多少個？答案

解：

從1至U100的自然數(shù)中，數(shù)字“1”可能出現(xiàn)在個位、十位或百位上.

⑴“1”在個位上:1,11,21,31,41,...91；共10次.

(2)“1”在十位上：10,11,12,13,14,15,19,共10次.

(3)“1”在百位上:100,共1次.

數(shù)字11,個位上含有個1,十位上含有個1.

所以：