專題14特殊平行四邊形中的折疊問(wèn)題（解析版）

第一部分典例割析

類型一折疊中求角度

1.（2022春?花都區(qū)期中）如圖，對(duì)折矩形48。的紙片，使A3與。C重合，得到折痕ER然后把再對(duì)折

到△OHG,使得點(diǎn)A落在跖上且與點(diǎn)G重合，則/“￡）3為（）

C.40°D.45°

思路引領(lǐng)：由折疊的性質(zhì)可得。G=AO=AG,可得△AZJG是等邊三角形，即可求/AOG=60°,即可求解.

解：如圖，連接AG,

:對(duì)折矩形ABC。的紙片，使A8與。C重合,

：.AE=DE,EFLAD

J.DG^AG,

'：把△4。"再對(duì)折到△DHG

：.AD^DG,NADH=NGDH

：.AD=DG=AG,

：.△AQG是等邊三角形

ZADG=60°

：.ZHDG=3Q0

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，證明△AOG是等邊三角形是本題的關(guān)鍵.

2.（2022春?石家莊期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊A3,CD上，Z￡FC=120°,若將四邊形

/沿斯折疊，點(diǎn)8恰好落在邊上，則NAEB'為（

65°C.30°D.60°

思路引領(lǐng)：依據(jù)正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到/AEB=60°.

解：:四邊形ABC。是正方形，

：.AB//CD,/A=90°,

：.ZBEF+ZEFC=18Q°,

VZ￡FC=120°,

.".ZBEF=180°-Z￡FC=60°,

,/將四邊形EBCF沿EF折疊，點(diǎn)8恰好落在AD邊上，

:./BEF=NFEB=60°,

ZA￡B'=180°-ZBEF-ZFEB'=60°,

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合性運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

類型二折疊中求線段的長(zhǎng)

3.（2019春?泰山區(qū)期中）對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8的菱形ABCD如圖所示，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O折疊菱形,

使B,B'兩點(diǎn)重合，是折痕.若B'M=1.5,則CN的長(zhǎng)為（）

11

思路引領(lǐng)：連接AC、BD,利用菱形的性質(zhì)得0。=趙。=3,匆）=4,NCO0=9O°,再利用勾股定理計(jì)

算出CD=5,由ASA證得△08M之△O0N得到。N=3M,然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得8M=8M=1.5,則。N=1.5,

即可得出結(jié)果.

解：連接AC、BD,如圖，

???點(diǎn)O為菱形ABCO的對(duì)角線的交點(diǎn)，

11

/.OC=^AC=3,OB=OD=^BD=4,ZCOD=90°,

在RtACOD中,CD=y/OC2+OD2=V32+42=5,

U：AB//CD.

：./MBO=/NDO,

在△03M和△ODN中，

2MB0=乙NDO

OB=OD,

/BOM=乙DON

:?△OBMmAODN（ASA）,

:,DN=BM,

???過(guò)點(diǎn)。折疊菱形，使B,B'兩點(diǎn)重合，MN是折痕，

???DN=1.5,

：.CN=CD-DN=57.5=35

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),

熟練掌握折疊與菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?市北區(qū)一模）如圖，在矩形A8CD中，AD=2.將/A向內(nèi)翻折，點(diǎn)A落在8c上，記為A',折痕為

DE.若將沿EA向內(nèi)翻折，點(diǎn)B落在。E上，記為B,則A2的長(zhǎng)為（）

A.V3B.1C.2D.V2

思路引領(lǐng)：利用矩形的性質(zhì)，證明/4?！?=/4'。￡=/4。。=30°,/C=/A'HD=90°,推出A'之△OCA,

CD=B'D,設(shè)AB=OC=x,在中，通過(guò)勾股定理可求出A8的長(zhǎng)度.

解：：四邊形ABC。為矩形，

AZADC=ZC=ZB=90°,AB=DC,

由翻折知，△AED烏△A'ED,/\A'BE^AA'B'E,ZA'B'E=ZB=ZA'B'D=90°,

ZAED=ZA'ED,NA'EB=NA'EB',BE=BE,

1

ZAED=ZA'ED=ZA'EB^x180°=60°,

：.ZADE=90°-ZAED=30°,ZA1DE=90°-ZA'EB'=3Q°,

ZADE=ZA'DE=ZA'DC=30°,

又：/C=NAB'Z>=90°,DA'^DA',

.'.△DB'A0△OCA(AAS),

：.DC=DB,

在RtAAED中,

ZADE=30°,AD=2,

2_21/3

：.AE=石=''

設(shè)AB=OC=尤，則BE=B'E=x—詈,

'：AE1+AD2=DE1,

..號(hào))2+22=-竽)2

解得，xi=—,（負(fù)值舍去），X2=V3,

故選：A.

A_______________D

B，C

總結(jié)提升：本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是通過(guò)軸對(duì)稱的性質(zhì)證明

AEB=60°.

類型三折疊中求面積

5.（2021?牡丹江）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為3,E為8C邊上一點(diǎn)，BE=\.將正方形沿GF折疊，使點(diǎn)A恰

好與點(diǎn)￡重合，連接AREF,GE,則四邊形AGEF的面積為（）

.4^-----------------Q

A.2V10B.2遮C.6D.5

思路引領(lǐng)：設(shè)。尸=根，AG=〃，則b=3-m,BG=3-n,由折疊的性質(zhì)可得AP=ERAG=GE,在RtZ\A。尸

中，AF2=m2+9,在Rtz\￡戶C中，EF2=4+（3-m）2,則有根2+9=4+（3-m）2,可求相=|,在Rt/XBEG中，

527

后=(3-n)2+1,可求n=□，分另U求出S^GEB=S^ADF=1,SACEF=W，由S四邊形AGEF=S正方形ABC。-S^GEB

-S^ADF-CM代入即可求解.

解：設(shè)=根，AG=n,

??,正方形的邊長(zhǎng)為3,

CF=3-m,3G=3-n,

由折疊可得，AF=EF,AG=GE,

在RtZkAO尸中，AF1=DF2+DA2,

即AF1=m2+9,

在RtZXEFC中，EF1=EC1+CF2,

?；BE=1,

：.EC=2,

?,?E產(chǎn)=4+(3-m)2,

.,.m2+9=4+(3-m)2,

m=o，

在RSEG中，GE2=BG2+BE2,

?"2=(3-n)2+1,

n=

iq2

:?SAGEB=ix\X(3—=可

12

S/\ADF=2XwX3=l,

127

S/^CEF=2^2X(3—可)=w，

27

.'.s四邊形AGM=S正方形ABCD-SAGEB-S^ADF-SACEF=9-~1~3=5,

另解：過(guò)點(diǎn)尸作打交于H點(diǎn)，交AE于點(diǎn)Q,

???正方形A3CO的邊長(zhǎng)為3,BE=1,

：.AE=VTO,

VZHAQ-^-ZAQH=ZFQP-^-ZQFP=90o,

：.ZHAQ=ZQFP,

■:HF=AB,

:.AHFG必BAE(ASA),

：.FG=AE=V10,

**?S四邊形AGER=2xAEXGF=5,

方法三：在RtZXBEG中，GE2=BG2+BE2,

.*.n2=(3-n)2+l,

弓，

AG=可

115

.'.S四邊形AGEF=2SAAFG=2X々xAGXHF=2xxx3=5；

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、直角三角形面積公式，靈活應(yīng)用勾股定

理是解題的關(guān)鍵.

6.(2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考)如圖，四邊形A8C。是矩形，E、尸分別是線段A。、8c上的點(diǎn)，點(diǎn)。是跖與8。

的交點(diǎn).若將△BEO沿直線8。折疊，則點(diǎn)E與點(diǎn)尸重合.

(1)求證：四邊形BEZm是菱形；

(2)若EO=2AE,AB-AD=V3,求的值.

思路引領(lǐng)：(1)證明AOB/思△”>￡,得到03=0。即可得出結(jié)論.

(2)由E￡)=2AE,AB-AD=V3,可得出菱形BED尸的面積，進(jìn)而可得出￡尸8。的值.

(1)證明：將△8EO沿折疊，使E,P重合，

：.OE=OF,EFLBD,

:四邊形ABC。是矩形，

：.ZC=90°,AD//BC,

：.ZODE=ZOBF,

在△08歹和△ODE中，

Z.OBF=/.ODE

Z-BOF=乙DOE,

OF=OE

??.△OBF咨AODE(A4S),

：?OB=OD,

?：OE=OF,

四邊形BFDE是平行四邊形，

；EF_LBD,

四邊形BFDE是菱形.

(2)解：'：AB-AD=V3,

11

S^ABD=2A小AD=2'\/3,

?：ED=2AE,

：.ED=^AD,

S^BDE:S/^ABD=2:3,

.c_V3

??b/\BDE=

菱形BEDF的面積=/EF?BD=2SABDE=竽，

：.EF-BD=^-.

總結(jié)提升：本題考查了翻折變換的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

第二部分專題提優(yōu)洌練

1.(2022春?三臺(tái)縣月考)如圖，長(zhǎng)方形A8CD中將△AM1沿AF翻折至△A8P處，若/1=26°,則

/2AF的度數(shù)為（）

B'

A.57°B.58°C.59°D.60°

思路引領(lǐng)：由矩形的性質(zhì)得/ABC=90°,AD〃BC,則/A句5=ND4E由翻折得/夕=ZABF=90°,ZAFB'

=所以/APB'=NDAF,由/B'AM=Z1=26°，則/APB'+ZDAF=2ZDAF=ZAMB'

=64°,所以乙DAF=32°,即可求得NBAF=NB'AF=58°,于是得到問(wèn)題的答案.

解：：四邊形ABCO是矩形，

?.ZABC=90°,AD//BC,

：.ZAFB=ZDAF,

由翻折得/"=ZABF=90°,ZAFB'=NAFB,

：.ZAFB'=ZDAF,

\'AB'//BD,

：.ZB'AM=Z1=26°,

：.ZAMB'=900-ZB'AM=64°,

?.ZAFB'+ZDAF=2ZDAF=ZAMB'=64°,

ZDAF^32°,

：.ZBAF=ZB'AF^ZB'AM+ZDAF^26°+32°=58°,

故選：B.

總結(jié)提升:此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，

根據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明ZAFB'=ZDAF是解題的關(guān)鍵.

2.（2018春?沾化區(qū)期末）如圖，在正方形ABCE中，已知A8=3,DE=\,將△AEO沿著A。翻折使得點(diǎn)E,F

重合，延長(zhǎng)DF交BC于G點(diǎn)、,則BG的長(zhǎng)度為（）

思路引領(lǐng)：由“乩”可證RtAABGgRtZXAfG,BG=GF,在Rt2\C￡?G中，由勾股定理可求解.

解：如圖，連接AG,

??,將△AEZ)沿著AD翻折使得點(diǎn)E,尸重合，

：.AE=AF=3,DE=DF=LZE=ZAFD=90°,

：.AB=AF9Z)C=2,

在RtAABG和RtAAFG中，

(AB=AF

14G=AG9

：.RtAABG^RtAAFG(HL),

:,BG=GF,

在Rtz\C0G中，DG2=CG1+DC1,

：.(BG+1)2=4+(3-8G)2,

3

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，求證BG=GF

是解題的關(guān)鍵.

3.(2021春?江陰市月考)如圖，在Rt^ABC中，/C=90°,AC=2C=9CMI,點(diǎn)P從點(diǎn)2出發(fā)，沿54方向以每

秒加的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，將

沿2C翻折，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間f秒，若四邊形0PBp為菱形，貝卜的值為()

思路引領(lǐng)：由折疊可知，BP=BP',QP=QP',則只要當(dāng)BP=QP時(shí)，即可得四邊形QPBP'為菱形.作PDA.

BC于點(diǎn)D,由三線合一的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)可得△PDQ為等腰直角三角形，所以DQ=^(9-f),PQ=

&DQ=多(9-t),由即可建立方程=￥(9-力，解得f=3.

解：由折疊可知，BP=BP,。尸=QP,

只要當(dāng)8尸=。2時(shí)，即可得四邊形。尸8。為菱形.

作PDL2C于點(diǎn)。，如圖所示.

由NC=90°,AC=2C=9CMJ可得，ZABC=ZBAC=45°,

當(dāng)8P=0尸時(shí)，ZABC=ZPBQ=ZPgB=45°.

/.由三線合一的性質(zhì)可得DQ==*(BC-C。)(9-r),

：.PQ=V2DQ=孝(9-f),

,:BP=V2t,

即應(yīng)t=￥(9-r),解得f=3.

故選：B.

總結(jié)提升：本題以動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為背景考查了菱形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握菱形的

判定方法是解題的關(guān)鍵.

4.(2021春?重慶期末)如圖，在正方形48C。中，E為CD邊上一點(diǎn)，將沿著AE翻折得到△人￡f點(diǎn)。

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)/恰好落在對(duì)角線AC上，連接8?若EF=2,貝1]8產(chǎn)=()

A.4V2+4B.6+4V2C.12D.8+4&

思路引領(lǐng)：點(diǎn)尸作尸GL8C交于G點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為無(wú)，則AC=&x,由折疊可知，DE=EF,AD=AF,

ZD=ZDFA=90°,可得DE=2,EC=x-2,在RtA￡FC中，由勾股定理可得(%-2)2=4+(V2x-x)2,

解得尤，即為正方形的邊長(zhǎng)為2魚(yú)+2,再求出FC=2,由/ACB=45°,可求尸G=CG=2,BG=V2+2,在Rt

△BFG中，由勾股定理可得2產(chǎn)=(V2+2)2+2=8+4&.

解：過(guò)點(diǎn)尸作/G_L8C交于G點(diǎn)，

由折疊可知，DE=EF,AD^AF,ZD=ZDM=90°,

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,

\'EF=2,

.'.DE=2,EC=x-2,AC=V2x,

在RtZkE/C中，EC2=FE2+FC2,

(x-2)2=4+(2x-x)2,

解得x=2夜+2,

FC=2x-x=2,

VZACB=45°,

：.FG=CG=yf2,

/.BG=V2+2,

在RtZXBFG中，BF2=BG2+GF2=(V2+2)2+2=8+45/2,

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)，靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

5.