專題03一元一次方程

方程：含有未知數(shù)的等式

一元-■次方程；只含一個未知數(shù)（元）且未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程

5一次方程

方程的解：使方程等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值

解方程：求方程的解的過程

等

式性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個教（或式子）,結(jié)果仍相等

的

性質(zhì)2:等式兩邊黍同f數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù),結(jié)果仍相等

性

質(zhì)次數(shù):單項式中所有學(xué)用的指數(shù)的和

去分母

去括號

解一元一次方觸步舞~移項

合并同類項

-

元審:弄清題盤,分清已知K和未知■,明瑜各數(shù)■間的關(guān)系

一

次設(shè):設(shè)未知數(shù)，并且用含未知數(shù)的代數(shù)式表示與所列方程有關(guān)的數(shù)1

方

程列:根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系、相等關(guān)系.倍數(shù)關(guān)系以及若干倍多或少個數(shù)字列方程

的

應(yīng)解:解所列的方程，求出未知數(shù)的值以及題目中所要求的相關(guān)數(shù)■的值

用

題驗:檢晚所求的解是否符合題意.是否符合實(shí)際意義

知識點(diǎn)1一元一次方程

L概念：只含一個未知數(shù)（元）且未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程；

標(biāo)準(zhǔn)式：ax+b=0（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且存0）.

2.方程的解：使方程等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

知識點(diǎn)2等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.

如果a=b,那么a±c二b±c；

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.

db

如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,cwO,那么一=—.

cc

知識點(diǎn)3：含參一元一次方程

1.次數(shù)含參：主要考查一元一次方程的定義.

2.常數(shù)項含參：求解一個常數(shù)項含參的一元一次方程，依然采用常規(guī)的五步法解題.

3.由已知解求參數(shù)：將解代入?yún)?shù)方程，求出參數(shù).

知識點(diǎn)4：解一元一次方程

解一元一次方程的步驟：

1.去分母

兩邊同乘最簡公分母.

2.去括號

（1）先去小括號，再去中括號，最后去大括號；

（2）乘法分配律應(yīng)滿足分配到每一項.

注意：特別是去掉括號，符號變化.

3.移項

（1）定義：把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項移到另一邊；

（2）注意：①移項要變符號；②一般把含有未知數(shù)的項移到左邊，其余項移到右邊.

4.合并同類項

（1）定義：把方程中的同類項分別合并，化成“公=/。工0）”的形式；

（2）注意：合并同類項時，把同類項的系數(shù)相加，字母不變.

5.系數(shù)化為1

b

（1）定義：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)。，得%=—;

a

（2）注意：分子、分母不能顛倒.

知識點(diǎn)5：一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用

審:弄清題意，分清已知量和未知量，明確各數(shù)量間的關(guān)系；

設(shè):設(shè)未知數(shù)，并且用含未知數(shù)的代數(shù)式表示與所列方程有關(guān)的數(shù)量；

列:根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系、相等關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系以及若干倍多或少個數(shù)字列方程；

解:解所列的方程，求出未知數(shù)的值以及題目中所要求的相關(guān)數(shù)量的值

驗:檢驗所求的解是否符合題意，是否符合實(shí)際意義.

，考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：一元一次方程的定義

【典例1］下列方程中是一元一次方程的是（）

A.x+3y=lB.%2+2x-5=0C.3x-6=0D.—3=0

x

【變式1-1］下列方程中，是一元一次方程的是（）

X3

A.x+y=2B.x2-2x=1C.—+2=1D.—=4x-1

2x

【變式1-2］已知方程訓(xùn)T+9=0是關(guān)于尤的一元一次方程，則根的值為（

A.1B.-1C.：D.0

考點(diǎn)二：等式的性質(zhì)

【典例2】下列是根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，正確的是（）

A.若彳=丫，則x+5=y-5B.^a-x=b+x,則a=6

D

c.若依=?y,貝”y-若沼，則一

【變式2-1］若。，b,。為有理數(shù)，則下列錯誤的是（）

A.因為a=Z?,所以〃一4=/?一4B.因為a=b,所以ac=Z?c

ab

C.因為—4a=2,所以〃=—2D.因為〃=/?,所以

c2+17TT

【變式2-2］下列變形中，正確的是（）

A.若5%—6=7,則5x=7—6

3

B.若一3九=5,則%=一二

C.若5x-3=4x+2,貝!j5x-4x=2+3

D.若『+罟=1,則2（l）+3（x+l）=l

考點(diǎn)三：一元一次方程的解

【典例3］若關(guān)于x的方程2辦+6=；的解為x=l,則6a+3A=

【變式3-1］若x=2是關(guān)于x的方程2x—a=0的解，則。的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式3-2】一元一次方程5x+7=7-2x的解是（）

A.x=3B.x=0C.x=—2D.x=2

【變式3-3］若是關(guān)于x的一元一次方程方+b=l的解，則代數(shù)式4a+2b-5的值為

考點(diǎn)四：解一元一次方程

【典例4】解方程:

(1)7—2x=3—4%；

(2)—(-X-1)=2--(x+2).

【變式4-1】解方程：

(1)3(%-1)-4=2(1—3%)；

⑵二2二1.

42

【變式4-2】老師在黑板上出了一道解方程的題：--=1,小明同學(xué)的解法如下：

解：方程兩邊乘6,得2x-2(x-l)=6①

去括號，得3x-2x-2=6②

合并同類項，得x-2=6③

解得x=8④

.,.原方程的解為x=8⑤

(1)上述解答過程中的第一步是，依據(jù)是;

(2)從第步出現(xiàn)錯誤(填序號)，錯誤原因是

(3)請直接寫出方程的解：.

考點(diǎn)五：同解方程

【典例5］已知關(guān)于x的方程—1-5(1-*)=9與2x-5a=2有相同的解，貝心=.

【變式5-1］若方程0y智4-1=1與方程彳+根=3有相同的解，則根=.

【變式5-2］關(guān)于x的方程2x-3=3m和2x-l=5有相同的解，則"?的值是.

考點(diǎn)六：一元一次方程的應(yīng)用-利潤問題

【典例6】某超市第一次用7850元購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的3多15件，甲、

乙兩種商品的進(jìn)價和售價如表：(注：獲利=售價-進(jìn)價)

甲乙

進(jìn)價(元件)2230

售價(元件)2940

(1)該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤？

(2)該超市第二次以第一次的進(jìn)價又購進(jìn)甲、乙兩種商品.其中甲種商品的件數(shù)不變，乙種商品的件數(shù)是第

一次的3倍；甲商品按原價銷售，乙商品打折銷售.第二次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次

獲得的總利潤多230元，求第二次乙種商品是按原價打幾折銷售？

【變式6-1]“雙11”期間，某個體商戶在網(wǎng)上進(jìn)購某品牌A3兩款羽絨服來銷售，若購進(jìn)3件A款和4件B款

需支付2400元，若購進(jìn)1件A款和1件8款，則需支付700元.

(1)求AB兩款羽絨服在網(wǎng)上的售價每件分別是多少元？

(2)若個體商戶把網(wǎng)上購買的兩款羽絨服各10件，均按每件600元進(jìn)行銷售，銷售一段時間后，把剩下

的羽絨服按6折銷售完，若總獲利為3800元，求個體商戶打折銷售的羽絨服是多少件？

【變式6-21某商場購進(jìn)了A、8兩種商品，其中A種商品每件的進(jìn)價比B種商品每件的進(jìn)價多20元，購

進(jìn)A種商品3件與購進(jìn)2種商品4件的進(jìn)價相同.

(1)求42兩種商品每件的進(jìn)價分別是多少元？

(2)該商場購進(jìn)了A、B兩種商品共100件，所用資金為6900元，出售時，A種商品按標(biāo)價出售每件的利潤

率為25%,8種商品按標(biāo)價出售每件可獲利15元.若按標(biāo)價出售A、B兩種商品，則全部售完商場共可獲

利多少元？

(3)在(2)的條件下，A商品按標(biāo)價全部出售，8商品按標(biāo)價先出售一部分后，余下的再按標(biāo)價九折出售，

A,8兩種商品全部售出，總獲利比全部按標(biāo)價售出獲利少了150元，則B商品按標(biāo)價售出多少件？

考點(diǎn)七：一元一次方程的應(yīng)用-工程問題

【典例7】一個道路工程，甲隊單獨(dú)施工8天完成，乙隊單獨(dú)施工12天完成.為了加快進(jìn)度，甲乙兩隊共

同施工，一段時間后由于甲隊另有任務(wù)離開，剩下的工程由乙隊單獨(dú)完成，最終共用6天完成了此工程，

問甲隊工作了多少天？

【變式7-11六年1班承擔(dān)了學(xué)校操場的清掃工作，計劃每天清掃200平方米，30天可以清掃完.

(1)若學(xué)校要求25天清掃完，每天應(yīng)清掃多少平方米？

(2)若實(shí)際每天清掃的面積比計劃每天清掃的面積提高了：，實(shí)際多少天能清掃完整個學(xué)校操場？

(3)若六年1班按照(2)的速度完成一半時，學(xué)校要求此計劃提前8天完成，提速后每天清掃面積是多少平

方米？

【變式7-2】列方程(組)解應(yīng)用題：

有一批核桃要加工成罐頭，甲工人每天能加工32公斤，乙工人每天能加工48公斤，且甲單獨(dú)加工這批核

桃要比乙多用10天.

(1)這批核桃共多少公斤？

(2)為了盡快加工完成，先由甲、乙兩工人按原速度合作一段時間后，甲工人停工，而乙工人每天的生產(chǎn)速

度提高25%,乙工人單獨(dú)完成剩余部分，且乙工人的全部工作時間是甲工人工作時間的3倍還多1天，求

乙工人共加工多少天？

考點(diǎn)八：一元一次方程的應(yīng)用-行程問題

【典例8】一艘船從甲碼頭順流而行，用了3小時到達(dá)乙碼頭，該船從乙碼頭返回甲碼頭逆流而行，用了5

小時，已知水流速度是3千米/小時，求船在靜水中的速度.

【變式8-1】甲、乙兩人從A,8兩地同時出發(fā)，沿同一條路線相向勻速行駛，已知出發(fā)后經(jīng)3小時兩人相

遇，相遇時乙比甲多行駛了60千米，相遇后再經(jīng)1小時乙到達(dá)A地.

(1)甲，乙兩人的速度分別是多少？

(2)兩人從A,B兩地同時出發(fā)后，經(jīng)過多少時間后兩人相距20千米？

【變式8-2］以下是兩張不同類型火車(“Dxxx次”表示動車，“Gxxx次”表示高鐵)的車票:

Dxxx次Gxxx次

A地一------?B地A地—?B地

2023年9月29日02車12號2023年9月29日03車13號

￥360元20:00￥560元21:00

限乘當(dāng)日當(dāng)次車AJ也售限乘當(dāng)日當(dāng)次車A地售

(1)根據(jù)車票中的信息填空：該列動車和高鐵是(填“相”或“同”)向而行，該列動車比高鐵發(fā)車

(填“早”或“晚”).

(2)已知該列動車和高鐵的平均速度分別為200km/h,300km/h,兩列火車的長度不計，高鐵比動車早到lh,

求A,8兩地之間的距離.

(3)在(2)的條件下，求高鐵出發(fā)多少小時后兩車相距150km.

考點(diǎn)九：一元一次方程的應(yīng)用-方案設(shè)計問題

【典例9】下表中有兩種移動電話計費(fèi)方式:

月使用費(fèi)/元主叫限定時間/min主叫超時費(fèi)/(元/min)

方式一141200.08

方式二304000.1

其中，月使用費(fèi)固定收，主叫不超過限定時間不再收費(fèi)，主叫超過部分加收超時費(fèi).

(1)如果每月主叫時間不超過400min,當(dāng)主叫時間為多少時，兩種方式收費(fèi)相同？

(2)如果每月主叫時間超過400min,選擇哪種方式更省錢？

【變式9-1】某網(wǎng)店銷售一種羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定價300元，羽毛球每筒定價50元.“國慶，

期間，該網(wǎng)店決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案.

方案一：買一副球拍送兩筒球；方案二：球拍和球都打九折銷售.

現(xiàn)某客戶要在該網(wǎng)店購買球拍10副，球x筒(x>20).

(1)若該客戶按方案一購買，需付款一元；(用含x的代數(shù)式表示)

若該客戶按方案二購買，需付款一元；(用含尤的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)x為何值時，兩種方式購買所需費(fèi)用一樣？

(3)當(dāng)x=50時，請直接寫出你的一種更為省錢的購買方案.

【變式9-2］為慶祝“建黨100周年"，甲、乙兩校組織代表隊參加文藝匯演活動.已知甲、乙兩校共有92

名學(xué)生參加活動，其中甲校參加活動的學(xué)生有46~90名，現(xiàn)準(zhǔn)備統(tǒng)一購買服裝用于文藝匯演，下面是某服

裝廠給出的服裝的價格表，當(dāng)甲、乙兩校單獨(dú)購買服裝時，一共需付5000元.

購買服裝的套數(shù)1~45套46-90套91套以上

每套服裝的價格60元50元40元

(1)若甲、乙兩校聯(lián)合起來購買服裝，則比各自購買服裝共可以節(jié)省多少元？

(2)求甲、乙兩校各有多少名學(xué)生參加文藝匯演活動？

考點(diǎn)十：一元一次方程的應(yīng)用-數(shù)軸動點(diǎn)問題

【典例10】在數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)。，點(diǎn)B表示數(shù)6,并且a,b滿足|a+12|+(5-6)2=0.

(1)求點(diǎn)AB之間的距離；

⑵點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)。在點(diǎn)B的左側(cè)，AC為13個單位長度，30為7單位長度，求C,O之間的距離.

(3)動點(diǎn)P以每秒3個單位的長度的速度從A出發(fā)沿著正方向運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以每秒2個單位的速度從B出

發(fā)沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動，則它們幾秒相距2個單位？

【變式10-1］如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為0,點(diǎn)B表示的數(shù)為6,且(。-10)2+忸+610.

B0A

⑴求a,6的值；

(2)若動點(diǎn)P,。分別以每秒4個單位長度和每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)A,8同時出發(fā)沿數(shù)軸向負(fù)方向做

勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為t秒時.

①寫出點(diǎn)P,。所表示的數(shù)；(用含f的式子表示)

②若數(shù)軸上的點(diǎn)M到點(diǎn)A,P的距離相等，求點(diǎn)。，M之間的距離.

，過關(guān)檢測

一、選擇題

3x

1.已知下列方程：①x—2=—；②0.3x=l；③7=5X—1；@X2—4X=3；⑤X=0；⑥x+2y=0,其中一元

x2

一次方程的個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

2.下列等式變形正確的是()

A.如果mx=my,那么x=yB.如果那么x=3

C.如果x-3=y+3,那么％D.如果那么mx=my

3.方程2+如U=-?去分母得(

3o

A.2+2(2%—4)=-(％-7)B.12+2（2?！?）——x—7

C.12+(2x-4)=—(x—7)D.12+2（2兀-4）=一（％—7）

4.若關(guān)于尤的方程彳-2=能的解與2(尤+1)=m+2的解之和等于5,則機(jī)的值是()

A.-1B.3C.2D.1

5.把一些圖書分給某班學(xué)生，如果每人分3本，則余20本；如果每人分4本，則缺25本.設(shè)有x名學(xué)生,

則可列方程為（）

x+20x-25口x-20尤+25

A.3x+20=4x-25B.3x—20=4x+25C.

3434

6.如圖是某年的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出3x3個位置的9個數(shù)（如3,4,5,10,11,

12,17,18,19）.若用這樣的矩形圈圈這張日歷表的9個數(shù)，則圈出的9個數(shù)的和不可能為下列數(shù)中的

)

日一四五六

12:345：6

789；101112：13

141516；171819；20

21222324252627

2S293031

A.81B.90C.108D.216

7.某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸價格為2元，當(dāng)用水超過4噸而不

超過7噸時，超過部分每噸水的價格為3元，當(dāng)用水超過7噸時，超過部分每噸水的價格為5元，李老

師10月份付了水費(fèi)32元，則李老師用水噸數(shù)為（）

A.7B.10C.11D.12

8.某輪船在靜水中的速度為20km/h,水流速度為4km/h,該船從甲碼頭順流航行到乙碼頭，再返回甲碼

頭，共用時5h（不計停留時間），設(shè)甲、乙兩碼頭之間的距離為xkm,則可列方程為（）

A.20x+4x=5B.(20+4)x+(20—4)x=5

x

D.-----------1------x-----5

20+420-4

二、填空題

9.已知尤=5是關(guān)于X的方程m-2）尤-“=2的解,那么a=

10.某商店對一種商品調(diào)價，按原價的8折出售，打折后的利潤率是20%,已知該商品的定價是63元，則該

商品的進(jìn)價是元

11.已知2x-3y-5=0,貝!J9y-6x+16=

12.為迎接七年級新生，47中清華分校對校園重新美化裝修.現(xiàn)計劃對教室墻體重新粉刷一遍（所有教室

面積相同）.現(xiàn)有甲，乙兩個裝修隊承擔(dān)此項工作.已知甲隊3天粉刷5個教室，結(jié)果其中有30平方米墻

面未來得及粉刷；乙隊5天粉刷7個教室外還多粉刷20平方米.已知甲隊比乙隊每天多粉刷10平方米,

則每間教室的面積為.平方米.

三、解答題

13.解方程:

(1)5(x—1)=8A:-2(X+1)；

(2)2一旦“

36

14.已知X。為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算“※:滿足=.根據(jù)以上信息，解決下列問題:

(1)求3X4的值；

(2)若2※(-2a)=6,求。的值.

15.我們把有相同的解的兩個方程稱為同解方程.例如：方程3x=6與方程4x=8的解都為x=2,所以它們

為同解方程.若關(guān)于x的方程》-2(*-3)=5和三'-9=：是同解方程，求相的值.