第01講相交線

??s?

制卜角：衢卜角互補

TS情況----------------------

相-----------對頂角：對頂角相等

-----------------------------

交-----------存在性和唯f

相交成直角一垂線

線----------------------垂線段最短T點到直線的距離

?市—一士d二'同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

JH兩條直線被第三條直線所載-------------------------

國板回回

知識點1：相交線

1.相交線的定義

在同一平面內(nèi)，如果兩條直線只有一個公共點，那么這兩條直線叫做相交線，公共點稱為兩條直線的

交點.如圖1所示，直線AB與直線8相交于點O.

圖1

2.對頂角的定義

若一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，那么這兩個角叫做對頂角.

如圖2所示，/I與N3、/2與/4都是對頂角.

注意：兩個角互為對頂角的特征是:

（1）角的頂點公用;

（2）角的兩邊互為反向延長線;

（3）兩條相交線形成2對對頂角.

3.對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.

4.鄰補角的定義

如果把一個角的一邊反向延長，這條反向延長線與這個角的另一邊構(gòu)成一個角，此時就說這兩個角互為

鄰補角.如圖3所示，N1與/2互為鄰補角，由平角定義可知/1+/2=180。.

知識點2：垂線

1.垂線的定義：如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一

條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.如下圖，兩條直線互相垂直，記作或ABLCD

垂足為點O.

注意：垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即:

ZAOC=90°25CDXAB.

2.垂線的畫法：過一點畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角

邊和己知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點，沿此直角邊畫直線，則所畫直

線就為已知直線的垂線(如圖所示).

注意：

(1)如果過一點畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上,

也可能在線段的延長線上.

(2)過直線外一點作已知直線的垂線，這點與垂足間的線段為垂線段.

3.垂線的性質(zhì)：

(1)在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

(2)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.

4.點到直線的距離：

定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離.

BCD

如圖4所示，式的垂線段PB的長度叫做點P到直線m的距離.

注意：

（1）點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，不能說垂線段是距離；

（2）求點到直線的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計算或度量垂線段的長度.

知識點3：三線八角

兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖5所示.

（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)/I與N5都處于直線/的同一側(cè)，直線。、6的同一方，這樣位置的一對角就是同

位角.圖中的同位角還有/2與N6,/3與N7,/4與/8.

（2）內(nèi)錯角：可以發(fā)現(xiàn)/3與/5處于直線/的兩旁，直線。、〃的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯角.圖

中的內(nèi)錯角還有/4與/6.

（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)N4與/5都處于直線/的同一側(cè)，直線6的兩方，這樣位置的一對角就是同

旁內(nèi)角.圖中的同旁內(nèi)角還有/3與/6.

A考點剖析

考點一：鄰補角

【典例1】如圖所示，直線AB,CD交于點。，射線3/平分/AOC,若NAOM=36。，則—3OC等于（）

【答案】C

【解析】?.?/AOA/=36。，射線CM平分/AOC,ZAOC=2ZAOM=72°,

ZBOC=180°-72°=108°,故選C.

【變式1-1】下列圖形中，N1與N2是鄰補角的是（）

A.\B.1M2C.I/D.

_Jz\力

【答案】c

【解析】A、不是鄰補角，原選項不符合題意；

B、是對頂角，原選項不符合題意；

C、是鄰補角，原選項符合題意；

D、不是鄰補角，原選項不符合題意.

故選：C.

【變式1-2］如圖，直線AB,CD相交于點。，ZAOD=140°,則/AOC的度數(shù)是（）

/

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】A

【解析】VZA<9D+ZA<9C=180°,ZAOC=180°-ZAOO="40。，故選：A.

【變式1-3］如圖，己知。是直線CO上的點，平分/30C,ZAOC=35°,則-30。的度數(shù)為______

一

【答案】110°

【解析】O是直線co上的點，平分/3OC,ZAOC=35°,

ZBOC=2ZAOC=70°,ZBOD=1800-ZBOC=110J故答案為110。.

考點二：對頂角及其性質(zhì)

【典例2］如圖，已知直線與CD相交于點F,FA平分ZCFE,若Z,CFE=70°,則NBED度數(shù)是()

“y----------B

A.55°B.45°C.35°D.25°

【答案】C

【解析】：￡4平分/。在，AZAFC=|zCF￡=35°,；.NBFD=ZAFC=35。.故選：C.

【變式2-1】光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象，如圖①所示.小華為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計了圖

②所示的實驗：通過細管可以看見水底的物塊，但從細管穿過的直鐵絲，卻碰不上物塊.圖③是實驗的示

意圖，點A,C,8在同一直線上，下列各角中，/尸口似的對頂角是（）

圖③

A.Z.BCDB.NFDBC.ZBDND.NCDB

【答案】C

【解析】由對頂角的定義可知，NPDM的對頂角是故選C.

【變式2-2］如圖，兩條直線相交于點。，若/1+/2=60。，貝1/2=度.

【解析】VZl+Z2=60°,Z1=Z2（對頂角相等），N2=30。.故答案為：30.

【變式2-3】【真實問題情境】如圖，為了測量古塔外墻底角NAO3的度數(shù)，王明設(shè)計了如下方案：作40,

BO的延長線OD,OC,量出NCOD的度數(shù),就得到了203的度數(shù)，王明這樣做的依據(jù)是

【答案】對頂角相等

【解析】根據(jù)對頂角的定義和性質(zhì)可知，若與NC8為對頂角，ZAOB=NCOD.

故答案為：對頂角相等.

考點三：垂線的定義

【典例3】如圖，直線AB,CD相交于點O,NAOC:ZAOD=7:11,OE工OF,OE平分NBOD,則NOO尸

的度數(shù)為（）

F

D

A.55°B.45°C.65°D.70°

【答案】A

【解析】VZAOC:ZAOD=7:U,ZAOC+ZAOD=180°,

7

ZAOC=180°x-------=70°,/BOD=ZAOC=70°,

7+11

OE平分/BOD,：.NDOE=-ZBOD=35°,

2

VOE1.OF,：.ZEOF=9Q°,

：./DOF=ZEOF-ZDOE=55°,

故選A.

【變式3-1］如圖，在同一平面內(nèi)，OA±l,OBVI,垂足為。，則。4與03重合的理由是（）

、、B

■4

O1

A.兩點確定一條直線

B.垂線段最短

C.同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

D.垂直于同一直線的兩條直線平行

【答案】C

【解析】OAU,OBLI,垂足為O,

.:OA與重合(同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直)，

故選：C.

【變式3-2】如圖，直線至、CD相交于點于點。，且400=35。，則NCOE=()

A.25°B.35°C.55°D.65°

【答案】C

【解析】VOE±AB,：.ZAOE=90°,

：.ZCOE=ZAOE-ZAOC=ZAOE-ZBOD=90°-35°=55°,故選C.

【變式3-3］如圖，OALm,OBLn,則A,O,8三點共線的理由是（）

..A

__________c_________m

O

B

A.垂線段最短

B.兩點確定一條直線

C.過一點只能作一條垂線

D.在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線

【答案】D

【解析】OBLm,

0,8三點共線（在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線），

故選：D.

考點四：垂線的畫法

【典例4］如圖，已知直線8C和直線外一點A,按下列要求作圖：過點C作CDLAB,垂足為點D

A

B

【解析】如圖所示，即為所求.

A

【變式4-1】下列各圖中，過直線/外一點P畫它的垂線C。，三角板操作正確的是()

【答案】D

【解析】觀察各選項圖形，可知D的畫法正確，故選D.

【變式4-2］如圖是一條河，C是河邊A2外一點，M是河邊A2上一碼頭.

c.C.

圖1圖2

(1)若要從C走到碼頭請在圖1中作出最短路線示意圖.

(2)現(xiàn)欲用水管從河邊A8將水引到C處，請在圖2上作出所需水管最短的鋪設(shè)方案.

【解析】(1)根據(jù)題意畫出圖，如圖所示：

圖1

(2)根據(jù)題意畫出圖，如圖所示:

CT

考點五：垂線段的性質(zhì)

【典例5】如圖，測量運動員跳遠成績選取的是A3的長度，其依據(jù)是（）

Up—

A.兩點確定一條直線B.垂線段最短

C.兩點之間線段最短D.垂直的定義

【答案】B

【解析】測量運動員跳遠成績選取的是A3的長度，其依據(jù)是：垂線段最短.

故選:B.

【變式5-1】如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路.小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑

馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）

A.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直B.垂線段最短

C.兩點之間，線段最短D.兩點確定一條直線

【答案】B

【解析】A、該選項是垂線的一條性質(zhì)，根據(jù)理解不符合題意，故A不符合題意；

B、直線外一點到這條直線上各點的連線中，垂線段最短，故B符合題意；

C、連接兩點的所有線中，線段最短，故C不符合題意；

D、兩點確定一條直線，是直線的性質(zhì)，故D不符合題意.

故選：B.

【變式5-2】如圖所示，小暢家住在點P處，計劃從門前小河引河水到家，過點P作于點D,然后

沿鋪水管，可節(jié)省材料和工錢，這樣做法的依據(jù)是.

【答案】垂線段最短

【解析】這樣做的依據(jù)是：垂線段最短，故答案為：垂線段最短.

【變式5-3］如圖，三角形ABC中，AC±BC,。為邊上的任意一點，連接E為線段AQ上的一

個動點，過點E作EFLAB點EBC=6,AB=W,AC=8,則CE+EF的最小值為（）

【答案】B

【解析】過C作CFLAB于尸，交AD于E,則CE+E廠的最小值為CF.

BC=6,AC=8,AB=10,

：.-ABCF=-BCAC,

22

即CE+￡F的最小值為：4.8,故選B.

考點六：點到直線的距離

【典例6】如圖，在三角形A3c中，ZACB=90°,CD1AB,垂足為。，則下列說法不正確的是（）

A.線段AC的長是點A到8C的距離B.線段4。的長是點C到A3的距離

C.線段BC的長是點B到AC的距離D.線段的長是點B到CD的距離

【答案】B

【解析】A、線段AC的長是點A到8C的距離，正確，不合題意；

B、線段AD的長是點A到CO的距離，錯誤，符合題意；

C、線段BC的長是點8到AC的距離，正確，不合題意；

D、線段8。的長是點8到8的距離，正確，不合題意.

故選：B.

【變式6-1］如圖，AC±BC,CD±AB,則點B到CD的距離是線段（）的長度

c

A.BDB.CDC.BCD.AD

【答案】A

【解析】CD，AB,...點8到8的距離是線段3。的長度，故選：A.

【變式6-2】如圖，點8和C在線段AD上，PCLAD,PA=1.2,PB=6,PC=3.6,PD=4.8,則點P到

線段AD的距離是（）

P

ABCD

A.7.2B.6C.4.8D.3.6

【答案】D

【解析】'：PC±AD,PC=3.6,；.點尸到線段AO的距離為3.6.故選D.

【變式6-3】尸為直線機外一點，A,B,C為直線加上三點，B4=4cm,PB=5cm,PC=6cm,則點尸到

直線m的距離（）

A.等于5cmB.等于4cmC.小于4cmD.不大于4cm

【答案】D

【解析】根據(jù)垂線段最短得出點尸到直線機的距離是不大于4cm,故選D.

考點七：同位角

【典例7】下列圖形中N1和N2不是同位角的是（）

A.

【答案】B

【解析】A、N1和N2滿足同位角的定義，故N1和N2是同位角，不符合題意;

B、N1和N2不滿足同位角的定義，故N1和N2不是同位角，符合題意；

C、N1和N2滿足同位角的定義，故N1和N2是同位角，不符合題意；

D、N1和N2滿足同位角的定義，故/I和N2是同位角，不符合題意.

故選：B.

【變式7-1］下列所示的四個圖形中，N1和N2是同他用的是（）

11

11

/<2\人2斗

①②④

A.②③B.①②③C.①②④D.①④

【答案】C

【解析】圖①中的N1與N2是同位角,

圖②中的N1與N2是同位角，

圖③中的/I與/2不是同位角，

圖④中的N1與N2是同位角，

所以在如圖所示的四個圖形中，圖①②④中的/I和N2是同位角.

故選：C.

【變式7-2］如圖，直線久匕被直線c所截，N2與/5是（）

A.同位角B.內(nèi)錯角C.同旁內(nèi)角D.對頂角

【答案】A

【解析】N2與/5在直線以人的下方，在直線c的左側(cè)，是直線°、人被直線c所截得的同位角.

故選：A.

考點八：內(nèi)錯角

【典例8】如圖，下列各角與N1是內(nèi)錯角的是（）

Z3C.Z4D.Z5

【答案】B

【解析】A、N2與N1是同旁內(nèi)角;

B、/3與N1是內(nèi)錯角；

C、N4與N1不是內(nèi)錯角;

D、N5與N1是同位角.

故選：B.

【變式8-1］如圖，直線6被直線c所截，則N1與N2是（）

C.對頂角D.內(nèi)錯角

【答案】D

【解析】由“三線八角”模型可得，N1與N2是內(nèi)錯角，故選：D.

【解析】A中，N1與N2不是內(nèi)錯角，故不符合題意;

B中，N1與N2不是內(nèi)錯角，故不符合題意；

C中，N1與N2不是內(nèi)錯角，故不符合題意；

D中，/I與N2是內(nèi)錯角，故符合題意.

故選：D.

考點九：同旁內(nèi)角

【典例9】如圖，N1的同旁內(nèi)角是（）

【答案】D

【解析】N1的同旁內(nèi)角是N5.故選：D.

【變式9-1】如圖所示，兩只手的食指和拇指在同一平面內(nèi)，它們構(gòu)成的一對角可以看成（）

A,同位角B.同旁內(nèi)角C.內(nèi)錯角D.對頂角

【答案】B

【解析】兩只手的食指和拇指在同一個平面內(nèi)，兩個拇指所在的兩條直線被兩個食指所在的直線所截，并

且形成的兩角位于兩直線之間且在截線同側(cè)，因而構(gòu)成的一對角可看成是同旁內(nèi)角.

故選：B.

【變式9-2］如圖所示，N1和N2是（）

A.同位角B.內(nèi)錯角C.同旁內(nèi)角D.鄰補角

【答案】C

【解析】由圖可知，N1和N2是同旁內(nèi)角，故C正確.故選：C.

【變式9-3］如圖，a,b,c三條直線兩兩相交,下列說法錯誤的是（)

A.N1與N2是同位角B.N2與N4是內(nèi)錯角

C./3與/4是對頂角D.N1與N3是同旁內(nèi)角

【答案】B

【解析】A.N1與N2是直線。、直線6被直線c所截，所得到的同位角，因此選項A不符合題意;

B.N2與N4是直線。、直線c被直線6所截，所得到的同位角，因此選項B符合題意；

C.N3與N4是對頂角，因此選項C不符合題意；

D.N1與N3是直線從直線c被直線，所截，所得到的同旁內(nèi)角，因此選項D不符合題意.

故選：B.

?過關(guān)檢測

一、選擇題

1.如圖，點。在直線上，OA±OC,Zl=20°,則N2的度數(shù)為（）

120°C.110°D.100°

【答案】c

【解析】?..點。在直線。8上，OA±OC,Zl=20°,

ZAOC=90°,則NBOC=90°-20°=70°,

.".Z2=180°-70°=110°.

故選C.

2.如圖，在鐵路旁有一李莊，現(xiàn)要建一火車站，為了使李莊人乘車最方便，請你在鐵路線上選一點來建火

C.點CD.點D

【答案】A

【解析】根據(jù)垂線段最短可得：應(yīng)建在A處，故選：A.

3.若點P為直線a外一點，點A、B、C、D為直線a上的不同的點，其中E4=3,PB=4,PC=5,

產(chǎn)。=3.那么點P到直線a的距離是

A.小于3B.3C.不大于3D.不小于3

【答案】A

【解析】：點P為直線外一點，點A、B、C、D為直線/上的不同的點，其中PA=3,PB=4,PC=5,PD=3,

垂線段最短,

.?.點P到直線。的距離是小于3.

故選A.

4.如圖，直線。,6相交形成四個角，互為對頂角的是（）

B.N2與N3

D.N2與N4

【答案】D

【解析】由圖可得，N1與/2,N2與/3,/3與/4都是鄰補角;

/2與N4,/3與N1都是對頂角，

故選D.

5.下列各圖中，N1和/2可能是鄰補角的只有（）

【答案】B

【解析】根據(jù)鄰補角的定義可知：只有B圖中的是鄰補角，其它都不是.

故選B.

6.已知:如圖，直線AB、CD被直線EF所截，則/EMB的同位角是（）

C.ZENCD.ZEND

【答案】D

【解析】因為直線AB、CD被直線EF所截，所以只有NEND與NEMB在截線EF的同側(cè)，NEND是NEMB

的同位角.

故選D.

7.如圖，AB,CD,0相交于點。，且下列結(jié)論正確的是（）

B.Z1+ZAOC=180°

C.Z1+ZAOC=90°D.Z1=Z2

【答案】D

【解析】A.與N2是對頂角,N1=N2,但無法得至！JN1+N2=90°,

故選項錯