中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《與圓有關(guān)的證明與計(jì)算》專項(xiàng)檢測卷(附答案)

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.如圖，AB為。的直徑，C為。上一點(diǎn)，。為弧的中點(diǎn)，DE工AC交AC的延長

線于點(diǎn)E.

E

(1)求證：直線OE為。的切線；

2

(2)延長AB,ED交于點(diǎn)F.若BF=2,AC=1，求cosNAFE的值.

2.如圖，過點(diǎn)尸作。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,連接。4,OB,OP,取。尸的中

點(diǎn)C,連接AC并延長，交于點(diǎn)。，連接80.

⑴求證：ZADB=ZAOP；

(2)延長O尸交的延長線于點(diǎn)E.若AP=10,tanZAOP=1,求OE的長.

3.如圖1,已知。內(nèi)切于四邊形ABC。,與AB,BC,CD,AD分別相切于點(diǎn)EF,G,H.

(1)求證：AD+BC=AB+CD；

(2汝口圖2,連接板，與EG交于點(diǎn)P,若HFLEG,求證：ZA+ZC=180°.

4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于「O,N1=N2,延長BC到點(diǎn)E,使得CE=AB,連接EZ).

D

(1)證明：BD=ED

(2)若AB=4,BC=6,ZABC=60°,求tan/ZJCB的值.

5.如圖1,AB是，。的直徑，直線AM與相切于點(diǎn)A,直線BN與：。相切于點(diǎn)3,點(diǎn)

C(異于點(diǎn)A)在AM上，點(diǎn)。在。上，且CD=G4,延長CD與BN相交于點(diǎn)E,連接AD

⑴求證：CE是。的切線；

⑵求證：BE=EF；

(3)如圖2,連接E0并延長與C。分別相交于點(diǎn)G、H,連接3”.若43=6,AC=4,求

tan/BHE.

6.如圖，AB是。的直徑，D,E是0。上的點(diǎn)，連接30,過點(diǎn)E作:。的切線，交BA

的延長線于點(diǎn)C,交2。的延長線于點(diǎn)下，且尸，連接BE.

F

(2)若AC=6,CE=60，連接AE,求AE的長.

7.如圖，AB為G。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作，：。的切線，交A8延長線于點(diǎn)

過點(diǎn)8作迎〃DC,交(。于點(diǎn)E,連接AE、AC.

E

(1)求證：CE=CB;

⑵若NR4E=60。，。的半徑為2,求AC的長.

8.圓。中，弧AD=弧80,連接OD交弦AB于點(diǎn)C.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：AC=3C；

⑵如圖2,點(diǎn)E在圓。上，連接E4、EO、03,若/4￡0+/450=45。，求證：/￡103=90。；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過A作AH_L砥,垂足為H,AH交08于點(diǎn)F,BF=4OF,AF=2,

求AE的長.

9.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于0,對(duì)角線3。為。的直徑，對(duì)角線AC是/BCD的平分

線，過點(diǎn)A作AE〃臺(tái)D,交CB的延長線于點(diǎn)E.

(2)^ZAEB=60°,BD=2^2,求AC的長.

10.如圖，，。是VA2C的外接圓，ADLCB交CB的延長線于點(diǎn)D,連接02交AC于點(diǎn)E,

ZBAD=ZDCA.

E

(1)求證：A。為。的切線.

1OF

(2)若tanN54D=彳，求一的值.

2BE

11.如圖，在△OAB中，點(diǎn)A在。上，邊。3交(。于點(diǎn)C,AD_LO3于點(diǎn)。.AC是44D

的平分線.

(今

(1)求證：AB為。的切線；

⑵若。的半徑為2,ZAOB=45。，求CB的長.

12.如圖，ABCD中，AC為對(duì)角線，S.AB=AC,VABC的外接圓C。交CD邊于點(diǎn)E.

AD

(S

B、-----

(1)求證：是。的切線；

(2)設(shè)N54C=a,當(dāng)AE=CE時(shí)，求cosa的值.

13.如圖，AB為?。的直徑，BD=CD，過點(diǎn)A作:。的切線，交。0的延長線于點(diǎn)E.

B

E

⑴求證：AC//DE；

(2)若AC=2,tanZE=1,求。的半徑和OE的長.

14.如圖，已知BE,8是。的直徑，，。的弦所交CD于點(diǎn)M,點(diǎn)M是所的中點(diǎn)，A

是CD延長線的-■點(diǎn)，連接AB,OE2=OM-OA.

(1)若NE=25。，求/COE的度數(shù)；

⑵求證：48是：。的切線；

(3)看一看，想一想，證一證：以下與線段AB、線段AD、線段項(xiàng)T線段CM有關(guān)的三個(gè)

結(jié)論：ADEM-ABCM〉。,AD-EM-ABCM=0,AD-EM-ABCM<0,你認(rèn)為哪個(gè)正

確？請(qǐng)說明理由.

15.如圖，A5為(。的直徑，DA和。相交于點(diǎn)EAC平分ND4B,點(diǎn)C在。上，且

CDrDA,AC交所于點(diǎn)P.

(2)若AC=2a,BC=2,求△BBC的面積；

(3)在(2)的條件下，求sin/DCP.

參考答案

1.(1)見解析

⑵還

3

【分析】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、余弦的定義，平行線分線段，熟練掌握切線的判定

與性質(zhì)、余弦的定義是解題的關(guān)鍵.

(1)連8,BC,證明DE〃BC,由垂徑定理得出。0_L3C,得出OD1DE,由切線

的判定可得出答案；

（2）設(shè)如,8C交于點(diǎn)G,設(shè)。8=r，根據(jù)平行線分線段成比例得出簽=,進(jìn)而求得

BF

r=l,勾股定理求得跖的長，進(jìn)而根據(jù)余弦的定義，即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OD,BC,

；AB為,。的直徑,

ZACB=90°,即BC_L4C,

DE.LAC,

：.DE//BC,

:。為弧3C的中點(diǎn),

ODLBC,

：.OD1DE,

是半徑，

直線。E為。的切線;

由（1）得：OD±EF,BC//EF,又DELAC,則四邊形CEDG是矩形,

：.CG=GB,

又?:AO=OB,

：.OG=-AC=-,

23

GD=CE=r——,

3

BC//EF,

.ABAC

??=~~,

BFCE

2

.2r_3

?丁r'

r——

3

解得：r=1（負(fù)值舍去），

214

???AE=AC+CE=-+1——=-,

333

尸=2+2=4,

8A/2

在Rt_AE/中，EF=y/AF2-AE2=

80

FFQ2V2.

cos/AFE==——

AF4丁

2.(1)見解析;

(2)Z)E長為44.

【分析】(1)利用切線長定理得。尸平分ZAO3,利用圓周角定理得=等

量代換即可證明；

(2)延長A。交(。于點(diǎn)憶連接。尸，利用條件求出線段長，再利用角度轉(zhuǎn)換證明三角形

相似，最后根據(jù)相似求得。E長.

【詳解】（1）證明：AP,3尸分別切:。于A點(diǎn)，2點(diǎn),

???。尸平分/AO3,

ZAOP=-ZAOB,

2

又AB=AB^

：.ZADB=-ZAOB

2f

ZADB=ZAOP.

(2)延長A0交:。于點(diǎn)R連接。尸，則？AD尸90?,

AP,BP分別切，：。于A點(diǎn)，B點(diǎn)、,

:.PA1.OA,

。為O尸的中點(diǎn),

PC=OC,

AC=OC=-OP,

2

又二AP=10,tanZAOP=—,

2

Ap

...AO=-------------=20,

tanZAOP

OP=y/AO^+AP2=A/202+102=10A/5>

AC=OC=-OP=5y/5,AF=2AO=40,

2

AC=OC,

:.ZCAO=ZAOC,

又iZ4O=/ADR=90。，

,POFA

,AO-DA'

04=^^x40=165CD^DA-AC^U>j5,

ZAOP=ZADB,ZACO=ZECD,

:AACOS^ECD,

,AOCO

,ED-CD)

，OE=LL^X20=44.

5^5

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線長定理，圓周角定理及推論，勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形

的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記切線長定理，圓周角定理，并且能根據(jù)題意作出合適的輔助線

是解題的關(guān)鍵.

3.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)切線長定理可得：AH=AE,BE=BF,CF=CG,DH=DG,問題隨

之得解；

(2)連接OEOF,OH,OG,GH,可得出NE(?/+NA=180。，ZFOG+ZC=180°,利

用圓周角定理求得NEOH=2NEGH,ZFOG=2ZFHG,進(jìn)一步計(jì)算得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：根據(jù)切線長定理可得：AH^AE,BE=BF,CF=CG,DH=DG,

：.AH+HD=AE+DG,BF+CF=BE+CG,

：.AD=AE+DG,BC=BE+CG,

VAB=AE+BE,CD=DG+CG,

：.AD+BC=BE+CG+AE+DG=AB+CD；

(2)證明：如圖，連接OE,OF,OH,OG,GH,

:四邊形ABC。的內(nèi)切圓f。與邊AB,BC,CD,AD分別相切于點(diǎn)E,F,G,H,

：.ZAEO=ZCFO=ZAHO=ZCGO=90°,

AZEOH+ZA=180°,ZF<9G+ZC=180°,

?/HFLEG,

：.ZEGH+ZFHG=90°,

ZEOH=2ZEGH,ZFOG=2ZFHG,

ZEOH+ZFOG=180°,

ZA+ZC=180°.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，圓中的弧、弦、圓周角之間的關(guān)系等知識(shí),

解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).

4.⑴見解析

⑵更

3

【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知NBAD+ZBCD=180。，再由ZECD+ZBCD=180。,

即可得出NR4O=NEC。，根據(jù)圓周角定理結(jié)合題意可知A。=CD，即得出由

此易證△AfiD絲△(7&),即得出3￡>=￡?；

(2)過點(diǎn)。作DW上3E,垂足為M,根據(jù)題意可求出3E=10,結(jié)合(1)可知

BM=ME=-BE=5,即可求出CAf=l,根據(jù)題意又可求出N2=30。，利用三角函數(shù)即可

2

求出。最后再利用三角函數(shù)即可求出最后結(jié)果.

3

【詳解】(1)證明：???N1=N2,

***AD=DC9

：.AD=DC.

???四邊形ABC。內(nèi)接于O,

/.ZBAD+ZBCD=180。，

VZECD+ZBCD=180°,

:.NBAD=NECD.

AD=CD

在△ABD和△CED中，/胡NECO,

AB=CE

:.△ABD2△CED,

???BD=ED；

(2)解：過點(diǎn)。作DM156于M,如圖.

VBC=6,CE=AB=^9

：.BE=BC+EC=10,

VBD=ED,DMJ.BE,

：.BM=ME=LBE=5,

2

：.CM=BC-BM=1.

VZABC=60°,Z1=Z2,

???Z2=30°,

73573

DM=BM?tanZ2=5x

3-一亍

tanZDCB==—

CM3

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三

角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想并正確作出輔助線.

5.(1)見解析

(2)見解析

3

【分析】(1)連接OD,根據(jù)等邊對(duì)等角可知：2CAD=ACDA,AOAD=AODA,再根據(jù)切

線的性質(zhì)可知=ACAD+AOAD=ACDA+NODA=90°=/既，由切線的判定定理

可得結(jié)論；

(2)連接根據(jù)等邊對(duì)等角可知=再根據(jù)切線的性質(zhì)可知

NODE=NOBE=90°,由等量減等量差相等得NEDB=N￡B￡),再根據(jù)等角對(duì)等邊得到

ED=EB,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及對(duì)頂角相等可得NEDF=NEED,推出￡>E=￡F,由此

得出結(jié)論；

(3)過E點(diǎn)作瓦；±加于L,作0±旗交￡8的延長線于J.則四邊形是矩形，

OB//HJ,根據(jù)勾股定理可求出BE的長，即可求出tan/BOE,可設(shè)

BE=3k,OB=OH=4k,則OE=5Z,EH=9k,再由“戊9a”,可得用=三%，

EJ=—k,BJ=EJ—BE=—k,從而得至?。?=—,再證得

55HJ3

ZBHE=AHBA=ABHJ,即可求出的值.

【詳解】(1)證明：如圖1中，連接OD,

?：CD=CA,0A=0D,

：.ACAD=/CDA,AOAD=AODA,

??,直線AM與-。相切于點(diǎn)A,

???ACAO=ACAD+LOAD=90°,

???ZODC=ACDA+AODA=90°,

???CE是。的切線.

圖1

(2)證明：如圖1中，連接BD,

OD=OB,

：.ZODB=ZOBD,

TCE是O的切線，M是C。的切線，

NOBE=ZODE=90°,

ZEDB=ZEBD,

:.ED=EB,

?.?AMLAB,BN.LAB,

：.AM//BN,

：.ZCAD=ZBFD,

???ACAD=ACDA=AEDF,

：.ZBFD=ZEDF,

???EF=ED,

:.BE=EF.

(3)解:如圖2中，過E點(diǎn)作區(qū)_L加于3作0±必交的延長線于，.則四邊形ABEL

是矩形，OB〃HJ,

:.BE=AL,EL=AB=6,

?；CE是。的切線，所是［0的切線，AC是二。的切線,

ABE=DE,AC=CD=4,

設(shè)AL=BE=xf則。=4—x,CE=4+x,

在RtZ%中，cC+EC=CE2，

：.(4+X)2=(4-X)2+62,

9

解得：x=-,

4

9

即的=一，

9

4-3

---

tan/BOE=-----14

OB6X

2-

???可設(shè)龐=3k,0B=OH=4k,則OE=5左，

???EH=9k,

?：OB//HJ,

-BOES^JHE,AHBA=ABHJ,

.OBOEEB

??HJ-EH-EJ'

.4k5k3k

HJ~9k~EJ9

.?_36_27

??HJz=k,EJ=k,,

2712

BJ=EJ—BE=—k—3k=—k

55

DJ1

tanZ.BHJ==—,

HJ3

,:OH=OB,

???ABHE=AHBA=/LBHJ,

tanZBHE=tanNBHJ=-.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，切線長定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直

角三角形等，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)，切線長定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理是解題的關(guān)鍵.

6.(1)見解析，

(2)AE=273

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線

是解題關(guān)鍵.

（1）連接OE,根據(jù)切線性質(zhì)可得OELEF,進(jìn)而可得O石〃3尸，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角

相等可得NO￡B=ZDBE,再由等邊對(duì)等角可知N4BE=NO￡B,由此即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)E尸是。的切線，可得NC4E+/AEO=90。，由A3是直徑，可得

ZAEO+ZOEB=90°,進(jìn)而可得NC4E=NO￡B,由此即可證明.OEs八CEB,利用相似

CFCAAF

三角形性質(zhì)可得育=有=福，進(jìn)而求出BC=12,BE=6AE，AB=3C-AC=6,在

CBCEBE

RtZ\AB￡1中由勾股定理可得AB?=^￡2+^2,即可求得AE=26?

【詳解】（1）證明：連接?！?

?；即是。的切線，

:.OELEF,

又；EFLBF,

：.OE//BF,

,ZOEB=ZDBE,

*；OE=OB,

JZABE=ZOEB,

???ZABE=ZDBE；

(2)解：如(1)圖所示,

?；EF是。的切線，

:.OE1.EF,

：.NCE4+ZAEO=90。，

又???AB是直徑，

ZAEB=90°,

：.ZAEO+ZOEB=90°,

：./CEA=/OEB,

'：OE=OBf

ZABE=NOEB,

：.ZCEA=ZABE；

又?:ZC=ZC,

CAEs&CEB,

,CECAAE

"CB~CE~BE'

VAC=6,CE=6桓,

.6726AE

：.BC=12,BE=y/2AE,

：.AB^BC-AC^6,

:在RtAABE中，AB2=AE2+BE2>

：.AE2+(y[2AE)2=62,

，AE=2目.(負(fù)值己經(jīng)舍去)

7.⑴見解析

(2)273

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，

是解題的關(guān)鍵：

(1)連接OC,OE,BC,等邊對(duì)等角，得到ZOAC=ZOCA,切線推出ZBCD+ZBCO=90°,

直徑得至l]NACB=90。，進(jìn)而得至(JNOC4+NOCB=90°,推出/A4C=N3CZ),平行線的性

質(zhì)，結(jié)合圓周角定理得到/3OC=/COE,等角對(duì)等弧，即可得證；

(2)延長C。交。于點(diǎn)連接AF,由(1)可推出E4c是含30度角的直角三角形，

利用三角函數(shù)進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)證明：連接OC,OE,BC,貝！|：OC=OA,

：.ZOAC=ZOCA,

:CD是。的切線，

OCA.CD,

：.ZBCD+ZBCO=90°,

：AB為」。的直徑，

ZACB=90°,

???ZOC4+ZOCB=90°,

???NOCA=/BCD,

：./BAC=/BCD,

,：BECD,

：./CBE=/BCD,

：.ZBAC=ZEBC,

■:ZBOC=2ZBAC,/COE=2ZCBE,

：.ZBOC=ZCOE,

***CE=CB;

(2)解：延長CO交i。于點(diǎn)尸，連接AF,貝U：。尸為〔。的直徑，

：.ZFAC=90%

???。的半徑為2,

???OC=2

：.CF=2OC=4,

由(1)知：CE=CB，

：.NEAC=ABAC=-/BAE=30°,

2

???ZACF=ZOAC=30°,

AC=AFcosZACF=4x走=2右.

2

8.⑴見解析

⑵見解析

⑶A*石

【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理等，掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

(1)連接Q4、OB,根據(jù)AO=&)，得出NAOD=NH9D,由此得出AC=3C；

(2)連接。4,先求出NE4B的度數(shù)，由此得出N￡O5=9。。；

(3)過。作07,5石于T,。加，4"于用，連接。1,利用勾股定理求出AE的長.

【詳解】(1)證明：連接04OB,

AD=BD，

:.ZAOD=ZBODf

/.AC=BC,OC±AB.

OA=OB

:.ZABO=ZOABf

ZAEO+ZABO=45。，

:.ZOAE+ZOAB=45°,

:.ZEAB=45°,

BE=BE，

.\ZEOB=2ZEAB=90°.

(3)解：過。作O7_L5￡于于M,連接Q4,

E

又AH工BE

:./OTB=/FHB=90。

:.OT//FH,

:.TH:BH=OF:BF

BF=4OF

,\BH=4TH,

設(shè)TH=m,則BH=4m,TB=5m,

OE=OB,ZEOB=90°

NOBE=NOEB=45。,

:.Z.TOB=90°-ZOBT=45°

:.ZTOB=ZTBO=45°,

OT=TB=5m

RtQTB中，由勾股定理得08=50機(jī)，

,-Z.OMH=Z.OTH=ZMHT=90°,

四邊形0汨揚(yáng)是矩形，

OM=TH=m,MH=OT=5m,

OA=OB=5y/2m

RtAAOM中，由勾股定理得AM=Im,

:.AH=7m+5m=12m

ZHBF=45°,ZFHB=90°,

.\ZHFB=45°=ZHBF

:.FH=HB=4m

AF=12m—4m=8m,

AF=2

/.8m=2

.,.加=0.25,

OTLEB

ET=TB=5m

EH=ET+TH=5m+m=6m,

在RtzXAEH中，由勾股定理得==-石

2

9.⑴見解析

⑵若+1

【分析】本題考查圓周角定理，切線的判定，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題

的關(guān)鍵：

(1)連接。4,根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合圓周角定理，推出NAO3=NAOD=90。，平行

得到ZOAE=ZAOD=90°,即可得證；

(2)過點(diǎn)8作8尸工AC于點(diǎn)F，圓周角定理，角平分線得到/BCD=90。，ZfiDC=30°,

求出BC的長，證明V2CP是等腰直角三角形，求出的長，在RtABF中，求出AF的

長，再根據(jù)線段的和差關(guān)系，進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)證明：如解圖，連接。4,

AC是/BCD的平分線，

:.ZACB=ZACD,

.-.ZAOB^ZAOD,

ZAOB+ZAOD^180°,

:.ZAOB=ZAOD=90°,

BD//AE,

:.ZOAE^ZAOD^90°,

04是(。的半徑，

.:AE是。的切線；

Q即是。的直徑,

:.ZBCD=90°,

.-.ZBDC=30°,

BC=-BD=yH,

2

由（1）得NACB=NACD,

ZBCD=90°,

:.ZACB=45°,

：.BCF是等腰直角三角形,

.-.CF=BF=BCsm45°=l,

/S4C=ZBQC=30°,

在RtABF^,

AC=AF+CF=y/3+l.

10.（1）見解析

⑵絲

⑵EB=26

【分析】（1）連接A。，結(jié)合圓周角定理設(shè)NAOS=2NACD=2（z,進(jìn)而推出NQ4B=90-cr,

ZBAD=ZACD=a,再根據(jù)NQ4B+/BA￡）=90。=NOAD,結(jié)合切線的判定定理證明，即

可解題；

（2）過點(diǎn)。作OG，CD交CO于點(diǎn)H,交。于點(diǎn)G.結(jié)合三角函數(shù)推出黑=；，設(shè)砒＞=2a,

則AD=4a,進(jìn)而得到CD=8a,BC=6a,結(jié)合垂徑定理推出四邊形OADH為矩形，HD=5a,

再證明.AEOsCE8,利用相似三角形性質(zhì)求解，即可解題.

【詳解】（1）證明：連接AO,

:弧筋=弧45,

設(shè)ZAOB=2.ZACD=2a,

AO=OB=r,

/.ZOAB=ZOBA="0_2q=90-a,

2

NBAD=ZACD=a,

ZOAB+ABAD=90°=Z.OAD,

:.OA1AD,且Q4為半徑,

???AD為。的切線.

（2）解：過點(diǎn)。作OG,CD交CO于點(diǎn)H,交：。于點(diǎn)G.

——=—,設(shè)BD=2a,貝！JAD=4a,

AD2

ABAD=ZDCA,tanZBAD=tanZDG4=-

2

1

在RtzXACD中,tan/Z)C4—-----——

CD2

AD=4a,貝！JCD=8。,BC=8a-2a=6a,

OG1BC,OB=OC=r,

???H為5C的中點(diǎn)，且NOHD=90。，

?/ZOAD=ZADB=9Q°f

???四邊形。4r歸為矩形，

/.HD=AO=HB+BD=3a+2a=5a,

AO//CD,

ZOAC=ZACB,ZAEO=NCEB,

:.^AEO^/\CEB,

.OE_AO_5

'EB~BC-6,

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的判定定理，矩形的性質(zhì)與判定，相似三

角形性質(zhì)與判定，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

11.(1)見解析

⑵C8=2&-2.

【分析】本題考查了切線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等.

(1)利用等邊對(duì)等角求得NOAC=NOC4,由角平分線的定義求得/IMC=/B4C,可證

明ABLQ4,即可證明為。的切線；

(2)先證明△OAB等腰三角形，求得。8=&。4=20，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)證明：：ADLQB,

ZDAC+ZACD=90°,

,：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：AC是/Al。的平分線，

NDAC=NBAC,

：.ZBAC+ZOAC=ZDAC+ZOCA=90°,

即AB，且。4為半徑，

.'AB為。的切線；

(2)解：：NAO3=45。，又ABLO4,

△Q43等腰直角三角形，

V。的半徑為2,

/.O4=2=0C,

OB=V2OA=2V2，

CB=OB-OC=2y/2-2.

12.(1)見解析

(2)cosa=，+]

4

【分析】本題考查切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知

識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵：

(1)連接并延長交BC于點(diǎn)。，連接O3,OC,易得A0垂直平分2C,根據(jù)平行四邊形

的性質(zhì)，得到AD〃3C,進(jìn)而得到。4,4),即可得證；

(2)等邊對(duì)等角求出NABC的度數(shù)，平行線的性質(zhì)，推出NACE=/B4C,等邊對(duì)等角，

求出/AEC的度數(shù)，圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)，求出-ABC的度數(shù)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)證明：連接A0并延長交BC于點(diǎn)。，連接O3,OC,貝ij：OB=OC,

?/AB=AC,

A。垂直平分BC,

?/ABCD,

：.AD//BC,

：.OA1AD,

為。的半徑,

，AD是0的切線

(2)VZBAC^a,AB=AC,

：.ZABC=1(180°-a)=90°-1?,

:ABCD,

AB//CD,

???ZACE=ZBAC=a,

u：AE=CE,

：.ZACE=/EAC,

ZAEC=180°-2af

???四邊形ABCE為圓內(nèi)接四邊形，

???ZABC+ZAEC=180°,

???90。-L。+180。-2。=180°,

2

a—36°,

???ZABC=ZACB=J2°f

作陽平分/ABC交AC于點(diǎn)尸，作3GLAC于點(diǎn)G,則:

/ABF=ZCBF=-ZABC=36°=ABAC,

2

：./BFC=180?！?BCF—ZACB=72。=ZACB,BF=AF,

：.BF=BC=AF,

?：/CBF=/BAC,ZBCF=NBCA,

ZXBCF^ZXACB,

.BCAC

??—9

CFBC

：.BC?=AC.CF=(CF+AF)?CF=(CF+BC)?CF,

???CF=J^~BC或CF=一下一'BC(舍去)，

22

J?_iJ?+1

???AB=AC=AF+CF=BC+-——BC=-——BC,

22

■:BF=BC,BG±CF,

：.FG=-CF=^^-BC,

24

AG=AF+GF=BC+^^-BC=^^-BC,

44

品3L

?，上AGV5+1

在RtAAGB中，cosa=――=--------=---

AC75+1_4

----------------/?I.

13.(1)見解析

(2),。的半徑為迷，OE的長為5

【分析】(1)連接AD,根據(jù)圓周角定理可得N&⑷=NC4D,再利用等邊對(duì)等角及等量代

換即可證得ZCAD=ZD從而證得結(jié)論；

(2)連接BC,利用直徑所對(duì)的圓周角是直角結(jié)合(1)中平行線的性質(zhì)可求得=4,

從而得到tan/B=tan/E,根據(jù)直角三角形的銳角三角函數(shù)的值結(jié)合勾股定理即可解答.

【詳解】(1)證明：如圖，連接A￡),

?：BD=CD，

：.ABAD=ACAD,

"：OA=OD,

,ZD=NBAD,

：.ZCAD=ZD,

：.AC//DE；

(2)解:如圖,連接BC,

為。的直徑,

...ZC=90°,

AC//DE,

???ZBAC=ZAOE,

?「AE是。的切線,

OA±AE,

：.ZOAE=90°=ZC,

:.ZB=NE,

tanZB=tanZE=—,

2

在RtZkOAE中，tan/B=g，AC=2,

2

4r21

tanNB===—,解得：BC=4,

BCBC2

.-.AB=JAC2+BC2=物+42=26，

OA=y[5,

:在RtABC中，tanZE=-,

2

.,AOV51

??tanZ-E==—，

AEAE2

解得：AE=245.

OE=VOA2+AE2=,(且+(2肩=5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定及性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)值

及勾股定理解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理及平行線的判定及銳角三角

函數(shù)值及勾股定理解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

14.(1)65°

(2)證明見解析

⑶=O正確，理由見解析

【分析】(1)由垂徑定理的推論可得OMA.EF,進(jìn)而根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解;

(2)證明EOM'AOB,可得NA8O=/￡MO=90。，進(jìn)而即可求證;

(3)連接BC,BD,EC,可證得至1」當(dāng)=!1，再證明..ECMs_.,CD3,

AonC

?,,,BDCMADCM

得z到茄=而‘即HnZ得B益=而,即可求蟀

【詳解】(1)解：：。的弦EF交CD于點(diǎn)點(diǎn)