8.3困

【考點梳理】

1.圓的定義

在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓.確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑.

2.圓的標準方程與一般方程

（1）圓的標準方程：方程（X—a*+（y-b）2=戶（廠＞0）叫做以點3,力為圓心，匚為半徑長的圓的標準方程.

（2）圓的一般方程：方程r+V+Dr+Ey+FnOl小上年出川）叫做圓的一般方程.

注：將上述一般方程配方得G+￥+Q+ff=0+：-4尸此為該一般方程對應(yīng)的標準方程，表示的是

以（一今，一9為圓心，可—+中一方為半徑長的圓.

3.點與圓的位置關(guān)系

點與圓的位置關(guān)系有三種：

圓的標準方程（X—〃）2+。一份2=’（廠＞0）,點M（xo，yo）,

（1）點M在圓上（初一。）2+（則-5）2=/；（2）點M在圓外：（初一4）2+（燈一方）2＞產(chǎn)；

（3）點M在圓內(nèi)：畫—a）2+（也一方＞vr2.

4.確定圓的方程的方法和步驟

確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為⑴根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；（2）根據(jù)條件

列出關(guān)于。，b,r或。，E,尸的方程組；（3）解出m4r或。，E,F,代入標準方程或一般方程.

考點一圓的方程

【例題】（1）已知圓M的方程為（x+l）2+（y-2＞=4,則圓心M的坐標是（）

A.(-1,2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)

【答案】A

【解析】(x-a)2+(>-6)2=產(chǎn)的圓心坐標為(q,6)；，(了+1)2+(y_2)2=4的圓心坐標為(-1,2),故選：A.

(2)已知圓C的圓心為(2,-3),且過點(0,0),則圓的方程為()

A.(x+2『+(y-3)2=5B.(x-2)2+(^+3)2=5

C.(X+2)2+(J-3)2=13D.(X-2)2+(^+3)2=13

【答案】D

【解析】根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=/(r>0),因為圓C過點(0,0),所以

(O-2)2+(O+3)2=r2,解得產(chǎn)=13,所以圓的方程為(x-2)，(y+3)2=13,故選：D.

(3)若方程Y+y2+2x-4y+5k=0表示圓，則實數(shù)上的取值范圍是()

A.。,+8)B.(-8,1]

C.[1,+?)D.(-oo,l)

【答案】D

【解析】因為方程?+丁+2工一4>5左=0表示圓，所以。2+￡2-4尸=4+16-204>0,解得左<1,故選:

D.

(4)與圓/+必一2》+4丫+3=0同圓心，且過點的圓的方程是()

A.x2+y2-2x+4y-4=0B.x2+y2-2x+4y+4=0

C.x2+y2+2x—4y-4=0D.x2+y2+2x-4y+4=0

【答案】B

【解析】設(shè)所求圓的方程為f+V-2x+4y+機=0,由該圓過點得m=4,所以所求圓的方程為

x2+y2-2x+4y+4=0,故選：B.

(5)圓x2+y2-2x+4y-4=0關(guān)于直線x+y-l=。對稱的圓的方程是()

A.(%-3)2+/=16B.x2+(y-3)2=9

C.x2+(y-3)2=16D.(x-3)2+y2=9

【答案】D

【解析】圓/+/一2x+4y—4=0的圓心坐標為(1,一2),半徑為3,設(shè)點(L-2)關(guān)于直線x+y—1=0的對稱

n+2

----二1

m~\°,解之得A7Z—3

點為(％,〃),則，C，貝IJ圓x2+y2_2x+4y_4=0關(guān)于直線尤+y_]=0對稱

m+1n-2y八n=\)

------+---------1=0

22

的圓的圓心坐標為(3,0),則該圓的方程為(x-3>+y2=9,故選：D.

(6)圓Y+V一2x+4y=0的面積為

【答案】5兀

【解析】圓的方程可化為(x-l)2+(y+2)2=5,所以圓的半徑/=非，面積為+=5兀，故答案為：5限

【變式】(1)圓心在坐標原點，半徑為2的圓的標準方程是()

A.x2+y2=1B.x2+y2=4

C.(x+l)2+(y+l)2=3D.(X+1)2+(J+1)2=6

【答案】B

【解析】圓心在坐標原點，半徑為2的圓的標準方程為f+丁=4,故選：B.

(2)圓心為。,-1)且過原點的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y+l)2=1B.(x+l)2+(y-l)2=1

C.(x-l)2+(y+l)2=2D.(x+l)2+(y-l)2=2

【答案】C

【解析】圓心為(L-l)且過原點的圓的半徑為J(1-0)2+(-1-0)2=夜,故圓心為(1,-1)且過原點的圓的圓的方

程為(1)2+(>+1)2=2,故選：C.

(3)圓Y+y2+4x-2y+4=。的圓心坐標和半徑分別為()

A.(—2,1),r=1B.(—2,1),r=2

C.(2,-1),r=1D.(2,-1),r=2

【答案】A

【解析】由于圓/+/+4彳-2k4=°,所以其圓心坐標為I2'2)；即(-2,1)；半徑為

(4)圓V+)?一2x-8y+13=0的圓心到原點的距離為.

【答案】歷

【解析】根據(jù)題意，圓爐+J_2x-8y+13=0的圓心為(1,4),則其圓心到原點為距離”=近工正=加7,故

答案為：V17.

(5)以兩點A(-3,-1)和8(5,5)為直徑端點的圓的方程是()

A.(%-l)2+(y-2)2=10B.(I)?+(—)2=25

C.(x-l)2+(y-2)2=5D.(X-1)2+(J-2)2=100

【答案】B

【解析】由題意可得，圓心為線段AB的中點C(L2),半徑為r=亞行=5,故要求的圓的方程

22

為(I)?+(—)2=25,故選：B.

(6)若圓的方程為一+/+丘+2、+左2=0,且圓的面積為兀，則圓心坐標為.

【答案】(°'T)

【解析】因為圓/+：/+區(qū)+2y+/=o的面積為兀，所以圓的半徑為1,即空運三亞=1日二定=1，

22

所以左=0,所以圓的方程為Y+y2+2y=0,得圓心坐標為(0,-1),故答案為：(0,-1).

考點二點與圓的位置關(guān)系、三角形的外接圓

【例題】(1)已知圓C的標準方程是(x-2)2+(y-3)2=4,則點p(3,2)()

A.在圓C外B.在圓C內(nèi)

C.在圓C上D.不能確定

【答案】B

【解析】圓C(x-2)2+(y-3)2=4的圓心為C(2,3),半徑為2,因為|PC|=,(3-2丫+(2-3『='<2,所

以點P在圓內(nèi)，故選：B.

(2)已知圓f+/一2ox-2y+(。-1)2=0(。<。<1),則原點。在()

A.圓內(nèi)B.圓外C.圓上D.圓上或圓外

【答案】B

【解析】將圓的方程化成標準方程(x-a)?+(y-1)~=2a,因為所以(0-a)~+(0-1)?=a~+1>2a,

即原點。在圓外，故選：B.

(3)點(1,。)與圓/+/一4》-2丫+1=0的位置關(guān)系是.(填“在圓內(nèi)”、“在圓上”、“在圓外”)

【答案】在圓內(nèi)

【解析】圓f+V-4x-2y+1=0的圓心坐標為(2,1),半徑為2,點(1,0)到圓心的距離7(2-1)2+(1-0)2=近，

因為0<2,所以點(1，。)在圓內(nèi)，故答案為：在圓內(nèi).

(4)若點(2“,2)在圓/+/一23；-4=0的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(0,1)C.HD.,lj

【答案】A

【解析】因為點(2a,為在圓4+y2—2y_4=0的內(nèi)部,所以(2ay+4-4-4<0,解得：a￡(-1,1),故選:

(5)若AOB的三個頂點坐標分別為A(2,0),磯0,-4),0(0,0),則AO3外接圓的圓心坐標為()

A.(1,-1)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(-2,1)

【答案】C

【解析】由題得是直角三角形，且4408=9。，所以的外接圓的圓心就是線段的中點,

由中點坐標公式得x=^2+0=l,y=N0-4=-2,故選：c.

【變式】(1)點4(1,2)與圓：/+y+2彳一今-1=0的位置關(guān)系為()

A.點在圓外B.點在圓內(nèi)且不是圓心

C.點在圓上D.點是圓心

【答案】B

【解析】由題得/+尸+2工-分-1=1+4+2-8-1=-2<0,所以點A(l,2)在圓內(nèi)，又

x~+y2+2x—4y—1=(x+l)~+(y—2)2=6,所以圓心為(一1,2),所以點A(l,2)在圓內(nèi)且不是圓心，故選：B.

(2)已知ABC的頂點A(0,0),3(0,2),C(-2,2),則其外接圓的方程為()

A.(x+l)2+(j-l)2=2B.(x-l)2+(j+l)2=2

C.(x-l)2+(y-l)2=2D.(x+l)2+(y+l)2=2

【答案】A

【解析】設(shè)ABC的外接圓的方程為a-。)'"-》)'/,因為aABC的頂點A(0,0),B(0,2),C(-2,2),

a1+b~=r2a--l

所以1+(2-勿2=產(chǎn)，解得卜=i,因此(x+l)2+(y-l)2=2即為所求圓的方程，故選：A.

(-2-?)2+(2-fe)2=r2［一夜

(3)點(1,1)在圓(x—。)2+。+。)2=4的內(nèi)部，則。的取值范圍是()

A.-l<a<lB.0<a<l

C.。>1或a>—1D.a=±l

【答案】A

【解析】由于點(1,1)在圓(尤一a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部，所以(1—a)2+(l+a)2<4,a2<l,所以一l<a<L

故選：A.

(4)若點(4a-l,3a+2)不在圓(x+l『+(y-2)2=25的外部，則a的取值范圍是()

A.-JL<a<—B.-l<a<l

55

C.烏三叵D.-l<a<l

55

【答案】D

【解析】由已知得(甸?+(3a)*25,解得.?.冏<1,gp-1<?<1,故選：D.

（5）過三點A（0,0）,3（3,0），C（-l,2）的圓的方程.

【答案】x2+y2-3x-4y=0

【解析】依題，設(shè)圓的一般方程為丁+必+6+切+尸=0（。、E、F為參數(shù)），將三點A（0,0）,3（3,0）,C（T,2）

F=QfD=-3

代入：，9+3。+尸=0解得”=-4,綜上所述，圓的一般方程為尤?+/-3尤-4y=0,故答案為：

1+4-D+2E+F=0[F=Q

x2+y2-3x-4y=0.

【方法總結(jié)】

1.注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)解題

圓的圖形優(yōu)美，定理、性質(zhì)豐富，在學此節(jié)時，重溫圓的幾何性質(zhì)很有必要，因為使用幾何性質(zhì)，能簡化

代數(shù)運算的過程，拓展解題思路.

2.圓的方程的確定

由圓的標準方程和圓的一般方程，可以看出方程中都含有三個參數(shù)，因此必須具備三個獨立的條件，才能

確定一個圓，求圓的方程時，若能根據(jù)已知條件找出圓心和半徑，則可用直接法寫出圓的標準方程，否則

可用待定系數(shù)法.

3.求圓的方程的方法

（1）幾何法：即通過研究圓的性質(zhì)，以及點和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系，求得圓的基本量（圓心坐標

和半徑長），進而求得圓的方程.確定圓心的位置的方法一般有：

①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在圓的任意弦的垂直平分線上；③圓心在圓的任意兩條不

平行的弦的中垂線的交點上；④兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線.確定圓的半徑的主要方法是構(gòu)造直角

三角形（即以弦長的一半，弦心距，半徑組成的三角形），并解此直角三角形.

（2）代數(shù)法：即設(shè)出圓的方程，用“待定系數(shù)法”求解.

8.3圓

一、選擇題

i.下列方程表示圓的是（）

A,x?+y~+xy—1=0B.x~+y~+2尤+2y+2=。

C.x?+-3x+y+4=0D.2廠+2y~+4x+5y+l=0

【答案】D

【解析】對于A選項，方程/+/+◎一1=。中有孫項，該方程不表示圓；對于B選項，

對于方程/+/+2工+2、+2=0,.22+22-4X2=0-該方程不表示圓；對于C選項，對

于方程月+尸-3工+、+4=0,.(-3)2+l2-4x4<0,該方程不表示圓；對于D選項，方程

2%2+2y2+4x+5y+l=0n\jt^Jx2+y2+2x+-y+-=0,因為r+僅]-4x->0,該方程

2212J2

表示圓，故選：D.

2.己知圓的方程是/+丁一2》-4=0,則該圓的圓心坐標及半徑分別為()

A.(1,0)與5B.(1,0)與石

C.(-1,0)與5D.(TO)與石

【答案】B

【解析】由圓的一般方程為爐+〉2-2彳-4=0,配方得圓的標準方程為。-1)2+丁=5,所

以圓心坐標為(1,0)半徑為石，故選：B.

3.圓心為(5,12)且過(0,0)的圓的方程是()

A.x2+y2=13B.x2+y2=169

C.(x-5)2+(y-12)2=169D.(x+5)2+(y+12)2=169

【答案】C

【解析】圓的半徑為r=丁層=13,因此，所求圓的方程為(*-5)2+。-12)2=169,故

選：C.

4.若方程？+y2-4x+2y+5左=0表示圓，則實數(shù)上的取值范圍是()

A.(1,+QO)B.(-oo,l)C.工+8)D.(^o,l]

【答案】B

【解析】因為方程尤2+/—4尤+2y+5左=0表示圓，所以("4了+2?—4x5左>。，解得左<1,故

選：B.

5.若點(5〃+1,12〃)在圓(％-1)2+9=1的內(nèi)部，則實數(shù)。的取值范圍是()

F.111111

A.—1<Q<1B.—<〃<一C.—<。<一D.------<a<—

33551313

【答案】D

【解析】因為點尸(5a+l,12a)在圓(x-l)2+/=i的內(nèi)部，貝噌4+(12“y=169〃<1,解

用

得：---1<a<—1.

1313

故選：D.

6.已知圓￡:x2-。工+_/一2了一2=0關(guān)于直線/：無一;y=0對稱，貝()

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【解析】由題得圓心的坐標為(?」)，因為已知圓E：/一依+y2-2y-2=0關(guān)于直線

/:x_y=0對稱，

所以—1=0,;.。=2,故選：C.

2

7.已知圓C的方程為爐+?2+2。1-2。y=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.圓C關(guān)于直線y=x對稱B,圓C的圓心在x軸上，且過原點

C.圓C關(guān)于直線x+y=o對稱D.圓C的圓心在y軸上，且過原點

【答案】C

【解析】因為圓C的方程為/+丁+2辦-2分=0,BP(x+a)2+(y-a)2=2a2,所以圓心坐

標為半徑「=0時,(。/0),對A：圓C的圓心不在直線>=%上，所以圓C不關(guān)

于直線y=x對稱，故選項A錯誤；對B：圓C的圓心不在x軸上，但圓C過原點，故選項

B錯誤；對C：圓C的圓心在直線x+y=0上，所以圓C關(guān)于直線x+y=0對稱，故選項C

正確；對D：圓C的圓心不在y軸上，但圓C過原點，故選項D錯誤；故選：C.

8.已知圓C1：(尤-iy+(y_2)2=9與圓C?關(guān)于x軸對稱，則CZ的方程為()

A.(x-l)2+(y+2)2=9B.(x+1)2+(y-2)2=9

C.(x+l)2+(y+2)2=9D.(x-2)2+(y-l)2=9

【答案】A

【解析】圓C：(x-l)2+(y-2)2=9的圓心(1,2)關(guān)于x軸對稱的點(1,-2),故圓C2的

方程為：(x-l)2+(y+2)2=9,故選：A.

9.已知半徑為2的圓經(jīng)過點(2,1),則其圓心到原點的距離的最小值為()

A.6+2B.6-2C.6D.3

【答案】B

【解析】依題意，半徑為2的圓經(jīng)過點(2,1),所以圓心的軌跡是以(2,1)為圓心，半徑為2

的圓，所以圓心到原點的距離的最小值為行了一2=石-2,故選：B.

10.已知A(2,0),3(3,3),C(-l,l),貝LABC的外接圓的一般方程為()

A.x2+y2+2x-4y=0B.x2+y2-2x-4y=0

C.x2+y2-2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y+l=0

【答案】C

22

【解析】設(shè)一/WC外接圓的方程為：X+y+DX+Ey+F=0,由題意，得

22+02+2D+0￡+F=0,[￡>=-2,

22

<3+3+3D+3E+F=0,解得E=-4,,即ABC的外接圓的方程為f+V-2x-4y=0,

(-I)2+I2-D+E+F=O,[F=O,

故選：c.

二、填空題

11.圓心在第一象限，半徑為I,且同時與x,y軸相切的圓的標準方程為.

【答案】(x-l)2+(y-l)2=l

【解析】由題設(shè)，圓心在第一象限，半徑為1,且同時與x,y軸相切，則圓心為(1,1),???

圓的標準方程為(X-1)2+4-1)2=1，故答案為：(x-l)2+(y-1)2=1.

12.方程/+/+4/nx-2y+5/=0表示圓，則加的取值范圍為.

【答案】機或機>1

4

91

【解析】由題意知：(4m)+(-2)2-4-5m>0,BP4m2-5m+l>0,解得相或加>1，故答

案為：或機>1.

4

13.知4-3,0),5(1,0),則以A8為直徑的圓的方程為.

【答案】(x+iy+y2=4

【解析】由已知可得圓心坐標為(TO),半徑為=2,所以圓的方程為：(x+l)2+/=22,

故答案為：(X+1)2+V=4.

14.如果點P(a,a+1)在圓f+^=25內(nèi)部，那么a的取值范圍________.

【答案】(T3)

【解析】由題意/+(.+1)2<25,解得Y<a<3,故答案為：《3).

15.圓/+6一1)2=1的圓心到直線x+y+l=o的距離為.

【答案】&

【解析】圓/+(y-l)2=i的圓心坐標為(0,1),所以圓心到直線x+y+l=0的距離

d=L——L=>/2,故答案為：血.

V1+1

16.圓心在》-丫-2=0上，過A(4,0),3(0,T)的圓的標準方.

【答案】(x-l)2+(y+l)2=10

【解析】由已知岫=1，A8中點坐標為(2,-2),垂直平分線方程為x+y=。，則由

r+y=f八，解得D，所以圓心C(l,-1),因此半徑r=|4C|=?所以圓C的標準方

[x-y-2=0[y=-l

程(x-l)2+(y+l)2=10,故答案為：(XT)'+(y+l)2=10.

17.已知圓C:(x-1)2+(>+2)2=2關(guān)于直線2ax+by-2=0對稱，貝l]6-a=.

【答案】-1

【解析】因為圓C：(x-iy+(y+2)2=2關(guān)于直線2ar+勿-2=0對稱，則圓心(1,-2)再直線

2ax+Z?y—2=0F,即2a-2b-2=0,解得b-a=-1,故答案為：-1.

18.圓Y+y2-2尤一6y+9=0上的點至u直線2尤一y—4=0的距離的最大值為.

【答案】V5+1

【解析】圓尤2+/一2》-6>+9=0的圓心為(1,3)半徑為1,圓心到直線2x-y-4=0的距離

J?-：]0,所以圓上的點到直線距離的最大值為石+1,故答案為：V5+1.

三、解答題

19.求滿足下列條件的圓的標準方程：

(1)圓心為點(—2,1),半徑為百;

(2)圓心為點(3,4),且過坐標原點.

【答案】(l)(x+2)2+(y-l)2=3；(2)(x-3猿+(>-4)2=25

【解析】解：(1)由題意可得圓的標準方程：(x+2)2+(y-l)2=3；

(2)由題意可得圓的半徑為：目百=5,所以圓的標準方程：(x-3)2+(y-4)2=25.

20.已知兩點勺(3,8)和鳥(5,4),求以線段勺巴為直徑的圓的標準方程，并判斷點M(5,3),

N(3,4),P(3,5)是在圓上、在圓內(nèi)、還是在圓外.

【答案】(x-4)*23+(y-6)2=5；M在圓外，N在圓上，尸在圓內(nèi).

【解析】解：由題可知圓心坐標為(4,6),圓的半徑/=；忸司=；'/7正=6，.?.圓的標準

方程為(x-4y+(y-6)2=5,分別計算點M、N、尸到圓心(4,6)的距離：

7(4-5)2+(6-3)2=A/10>75,7(4-3)2+(6-4)2=75,J(4-3)?+(6-5>=叵<非,M在圓夕卜，

N在圓上，尸在圓內(nèi).

21.已知的三個頂點分別是點A(4,0),0(0,0),3(0,3),求的外接圓的標準

方程.

【答案】(尤-2)2+(y-孑=與

24

3

【解析】解：由題意知，A3為圓的直徑，設(shè)圓心為C(a,6),則AB中點即為C(2,3),所

以半徑為|OC|=J(2_0)2+(|_0)2故外接圓的標準方程為：。-2)2+(了-令2=5.

22.若一個圓經(jīng)過點“(2,-2)及圓爐+12-61=0與圓/+丁=4的交點，求此圓的方程.

【答案】x2+y2-3x-2=0

22

x=—x=—

33

【解析】解：聯(lián)立/+/-6x=0與尤2+丁=4,解得:或，4五，即兩圓交點

472

y=—y=--------