完成時(shí)間：月日天氣：:

作業(yè)直角三角形

K題型一：直角三角形的性質(zhì))

■（題型二：直角三角形的判定)

■（題型三：添加條件利用HL使三角形全等

鞏固提升練)

■（題型四：利用HL證明三角形全等)

■（題型五：利用HL和全等三角形性質(zhì)的運(yùn)用)

■（題型六：判段逆命題的真假)

《題型七：判段三邊能否構(gòu)成直角三角形)

（直角三角形）

題型三網(wǎng)格中的直角三角形

能力培優(yōu)練)

題型二：下而勾股定理的逆定理計(jì)算)

題型三：勾股定理的逆定理的實(shí)際應(yīng)用)

創(chuàng)新題型練題型一：勾股定理的逆定理的綜合運(yùn)用)

題型二：與直角三角形有關(guān)的綜合題)

三層必刷：鞏固提升+能力培優(yōu)+創(chuàng)新題型

1鞏固提升練【題型一：直角三角形的性質(zhì)】

（2025?陜西寶雞?二模）

1.如圖，在RCA3C中，ZACB=90。，點(diǎn)。在邊A3上，將△C3D沿CD折疊，使

點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)E處.若ZA=20。，則（）

（2025?湖北荊州.三模）

2.在中，48=50。,。平分/4點(diǎn)，則N1等于（）

D

A.10B.20°C.25D.30°

(24-25七年級(jí)下?重慶?期中)

3.已知點(diǎn)E為VABC中A3邊上一點(diǎn)，連接CE,ZA=10°,4=50。，當(dāng)BCE為

直角三角形時(shí)，則/ACE的度數(shù)是.

(24-25七年級(jí)下?浙江溫州?期中)

4.如圖，在VABC中，ZA=90。，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)，已知ZADE+NC=90。.

⑴試說明近〃3c.

(2)若所平分4>EC,ZB=56°,求NDEF的度數(shù).

(24-25八年級(jí)上?吉林四平?階段練習(xí))

5.如圖，在VA3C中，AC>BC,ZA=45°,點(diǎn)。是48邊上一點(diǎn)，且CD=CB,

過點(diǎn)B作班工CD于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)C作CGL5。，垂足為點(diǎn)G.

(1)求證：NBCD=2NABF；

(2)判斷V3C尸的形狀，并說明理由.

試卷第2頁(yè)，共21頁(yè)

【題型二：直角三角形的判定】

（24-25七年級(jí)下?山西太原?階段練習(xí)）

6.在下列條件；d）ZA+ZB=ZC；②ZA:ZB:NC=1:2:3；③ZA=ZB=2NC；④

==⑤ZA=2/B=3/C中，能確定VABC為直角三角形的條件有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

（2024春?鹽城月考）

7.在下列條件中：@ZA+ZB=ZC；②ZA:N3:NC=1:2:3；③ZA=ZB=2NC；④

ZA=2N8=3/C中，能確定VABC是直角三角形的條件有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

（24-25八年級(jí)下?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）

8.滿足下列條件的VASC,不是直角三角形的是（）

A.a:b:c=6:8:10B.NC=ZA-NB

C.b2^a2-c2D.ZA:ZB:ZC=3:4:5

（2024秋?浙河區(qū)校級(jí)月考）

9.如圖，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,D是AB上一點(diǎn)，且NACD=NB.求

證：AACD是直角三角形.

10.如圖，在AABC中，ZB=3O°,ZC=62°,AE平分N3AC.

⑴求Zfi4E；

（2）若AD，3c于點(diǎn)。，ZADF=74°,證明：△ADR是直角三角形.

【題型三：添加條件利用HL使三角形全等】

（24-25八年級(jí)下?廣東梅州?階段練習(xí)）

11.如圖，點(diǎn)3,F,C,E在一條直線上，NBAC=/EDF=90。,AB=DE,BC=EF,

則可得到△ABC/△DEF的依據(jù)是（）

A.ASAB.SASC.SSSD.HL

（24-25八年級(jí)下?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）

12.如圖，DC±AE,垂足為C,且AC=CD,點(diǎn)8在CD上，若用“HL”證明

△AB8ADEC,則需添加的條件是（）

A.CE=BCB.AB=DE

C.ZA=ZDD.ZABC=ZE

（24-25八年級(jí)下?陜西安康?期中）

13.如圖，BE=CF,AErBC,DFYBC,若CD=AB,則RtZ\ABE/Rt4CF的理由

是（）

試卷第4頁(yè)，共21頁(yè)

A.AASB.SASC.HLD.ASA

（24-25八年級(jí)下?河北保定?階段練習(xí)）

14.如圖，AB±BC,CDLBC,垂足分別為8,C,要根據(jù)“HL”直接證明

RtABC^RtDCB,應(yīng)添加的條件是.

（24-25八年級(jí)上?江西上饒?期末）

15.如圖，"=〃=90。，若利用HL證明ABC&BAD,需添加的條件

是.（寫出一種即可）

【題型四：利用HL證明三角形全等】

16.已知：如圖，VABC中，。是A3中點(diǎn)，DE2AC垂足為E,小，垂足為

F,且ED=FD,求證：VA3C是等腰三角形.

c

17.如圖，AB=CD,DEJ.AC,BF,LAC,E、是垂足，=B尸，求證：AABFACDE.

（24-25八年級(jí)下?廣東梅州?階段練習(xí)）

18.如圖，點(diǎn)C,。均在線段AB上，且40=3。，分別過點(diǎn)C,D在A3的異側(cè)

^FCIAB,EDIAB,連接瓦交AB于點(diǎn)G,AE=BF.

⑴求證：DE=CF.

（2）求證：G是線段w的中點(diǎn).

（2023下?湖北武漢?八年級(jí)校聯(lián)考期中）

19.如圖，在「ABC中，點(diǎn)D是2C的中點(diǎn)，DE±AB,DFLAC,S.DE=DF.

試卷第6頁(yè)，共21頁(yè)

(1)求證：一BDE2CDF；

(2)連接AD,求證：AD平分/BAC.

(23-24八年級(jí)上?廣西河池?期末)

20.如圖，AD//BC,?B90?,E是48上的一點(diǎn)，且A￡=BC,Z1=Z2.

⑴證明：RtAADE鄉(xiāng)RtABEC；

(2)判斷CDE的形狀，并說明理由.

【題型五：利用HL和全等三角形性質(zhì)的運(yùn)用】

(24-25八年級(jí)上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí))

21.如圖，在VABC中，鈿==,加。=90。,尸為"延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)￡在布上,

S.AE=CF.

⑴求證：AABE/ACBF；

(2)若NA4E=25。，求ZACF的度數(shù).

(24-25八年級(jí)下?河南鄭州?階段練習(xí))

22.如圖所示，VABC中，AB=AC,直線經(jīng)過點(diǎn)A,CDA.DE,BEJ.DE,垂

足分別是點(diǎn)。，E,且AD=BE.

B

(1)求證：ACD^tBAE-

(2)求NACB的度數(shù).

（24-25八年級(jí)上?河南南陽(yáng)?期中）

23.如圖，已知AC=B￡>,ZC=Z￡>=90°,AC與即相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EFLAB,

垂足為八

⑴求證：ABC.BAD；

⑵若AD=3,ZDE4=60°,求A8的值并說明理由.

（2025?湖南懷化?三模）

24.如圖，在VABC中，AD為BC邊上的高，垂足為。，/為AD上一點(diǎn)，且3/=AC,

DF=DC,延長(zhǎng)所交AC于點(diǎn)E.

(1)求證：△血心△ACD；

(2)若OHIO,AC=26,求AF的長(zhǎng).

(24-25八年級(jí)下?貴州貴陽(yáng)?期中)

25.如圖，DE上AB于E,DFlAC^F,若BD=CD,BE=CF.

試卷第8頁(yè)，共21頁(yè)

（1）求證：DE=DF-,

（2）已知AC=14,BE=2,求AB的長(zhǎng).

【題型六：判段逆命題的真假】

（24-25八年級(jí)下?遼寧遼陽(yáng)?期中）

26.下列命題的逆命題是真命題的有（）

（1）對(duì)頂角相等;（2）全等三角形的面積相等；（3）如果x>0,那么小>0；（4）

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

（24-25八年級(jí)下?廣東惠州?期中）

27.下列命題的逆命題是假命題的是（）

A.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

B.角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等

C.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等

D.對(duì)頂角相等

（24-25八年級(jí)下?福建莆田?階段練習(xí)）

28.下列命題中，逆命題正確的是（）

A.如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么他們的絕對(duì)值相等

B.如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等

C.對(duì)頂角相等

D.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

（24-25八年級(jí)下?湖北武漢?期中）

29.下列各命題的逆命題不成立的是（）

A.同位角相等，兩直線平行

B.如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的立方相等

C.對(duì)頂角相等

D.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

（24-25八年級(jí)上?湖南永州?期中）

30.下列命題為真命題的是（）

A.每個(gè)定理都有逆定理B.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

C.等腰三角形的底角必為銳角D.等腰三角形的頂角一定是銳角

【題型七：判段三邊能否構(gòu)成直角三角形】

（24-25八年級(jí)下?湖北武漢?期中）

31.用下列長(zhǎng)度的線段首尾相連構(gòu)成三角形，其中不能構(gòu)成直角三角形的是（）

35

A.7,24,25B.4,5,回C.1,-D.40,50,60

44

（2025?河北邯鄲?一模）

32.五根小木棒的長(zhǎng)度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角

形，下列圖形正確的是（）

（24-25八年級(jí)下?四川南充?期中）

試卷第10頁(yè)，共21頁(yè)

33.已知a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，如果滿足（°-9）2+7^^+上-15|=0,則三

角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.底與腰不相等的等腰三角形

34.AABC中，ZAZB,NC的對(duì)邊分別是a，b,c,且/一/j?，則下列說法正

確的是（）

A.NC是直角B.是直角C.NA是直角D.-A是銳角

35.已知a,A,c是的三邊長(zhǎng)，根據(jù)下列條件，判斷VABC是不是直角三角

形.

=h=31,c=21；

（2）a=m2—n2,b=m2+n2,c=2mn（n,m,〃為正整數(shù)）.

2能力培優(yōu)練【題型一：網(wǎng)格中的直角三角形】

（24-25八年級(jí)下?陜西安康?期中）

36.如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,A、8、C在小正方形的格點(diǎn)上，連接A3,BC,

A.45°B.30°C.90°D.60°

（24-25八年級(jí)下?山東臨沂?期中）

37.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,A,B,C分別是小正方形的頂點(diǎn)，則一A5C

A.30°B.40°C.45°D.50°

（24-25八年級(jí)下?福建福州?階段練習(xí)）

38.如圖是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知點(diǎn)A和點(diǎn)3

在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格中的格點(diǎn)上另找一點(diǎn)G使A,B,。三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角

形，則這樣的點(diǎn)。共有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

（24-25八年級(jí)上?江蘇南通?期末）

39.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)均在格點(diǎn)上,

E是A5與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則。E的長(zhǎng)是（）

B

1

A.73C.6D,

（24-25八年級(jí)下?北京?期中）

40.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,A,B,C,。均為格點(diǎn).

A

試卷第12頁(yè)，共21頁(yè)

（1）直接寫出下列線段的長(zhǎng)度：AB=_,AD=_;

（2）連接判斷形狀，并證明你的結(jié)論.

【題型二：利用勾股定理的逆定理計(jì)算】

（23-24八年級(jí)上?陜西西安?期中）

41.如圖，。為VA8C的邊上一點(diǎn)，已知AB=10,4）=8,AC=17,BD=6,

則3C的長(zhǎng)為（）

A.18B.21C.20D.23

（24-25八年級(jí)上?河南開封?期末）

42.如圖，在四邊形A3CD中，AB=3,BC=6,CD=\,AD=2?,且/BCD=90。,

則四邊形鉆8的面積為（）

（24-25八年級(jí)下?安徽合肥?期中）

43.如圖，在VA8C中，AB=4A/2,AC=4A/3,AD是BC邊上的中線，且"）=2,

則BC的長(zhǎng)為（）

A.12B.10C.4A/5D.6白

（24-25八年級(jí)下?天津河西?期中）

44.如圖，在VABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,OE是△AB。的邊AB上的高,

且AZ)=5,BD=5班,求DE的長(zhǎng).

（24-25八年級(jí)下?湖北武漢?期中）

45.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=60°,。為邊BC上一點(diǎn)，CD=10,過

。作于E,DE=4.

（1）求AC的長(zhǎng)；

⑵求四邊形ACDE的面積.

【題型三：勾股定理的逆定理的實(shí)際應(yīng)用】

（23-24八年級(jí)下?山西呂梁?期末）

46.如圖，老李家有一塊草坪，家里想整理它，需要知道其面積，老李測(cè)量了草

坪各邊得知：AB=3米，3。=4米，AD=12米，8=13米，且則這塊草

坪的面積是（）

試卷第14頁(yè)，共21頁(yè)

D

A.36m2B.26m之C.30m2D.40m2

（23-24八年級(jí)下?河北保定?期末）

47.如圖，。4=6,OB=8,AB=10,點(diǎn)A在點(diǎn)。的北偏西50。方向，則點(diǎn)3在

點(diǎn)。（）

A.北偏東40。的方向上B.北偏東50。的方向上

C.南偏東40。的方向上D.南偏東50。的方向上

（23-24八年級(jí)下?河北廊坊?期中）

48.如圖，點(diǎn)E在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD內(nèi)，測(cè)得CE=3,DE=4,則陰影部分

的面積是（）

A.12B.16C.19D.25

（24-25八年級(jí)下?廣東東莞?期中）

49.如圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖，現(xiàn)測(cè)得AB=CD=6dm,

BC=3dm,AD=9dm,其中A3與50之間由一個(gè)固定為90。的零件連接（即

1ABD90?）.

A

圖1

⑴請(qǐng)求出8。的長(zhǎng)度；

（2）根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足BCLCD,通過計(jì)算說明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn).

（24-25八年級(jí)下?遼寧葫蘆島?期中）

50.如圖，四邊形ABC。為某街心花園的平面圖，經(jīng)測(cè)量AB=8C=300m,

Ar）=2073m,C￡>=40V3m,且？390?.

⑴求，DAB的度數(shù)；

（2）若射線8E為公園的車輛進(jìn)出口道路（道路的寬度忽略不計(jì)），工作人員想要在

點(diǎn)。處安裝一個(gè)監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路3E的車輛通行情況.已知攝像頭能監(jiān)控的

最遠(yuǎn)距離為20gm,請(qǐng)問在道路BE上，且與點(diǎn)8距離700m的一輛車能否被攝

像頭監(jiān)控到？請(qǐng)說明理由.

3創(chuàng)新題型練【題型一：勾股定理的逆定理的綜合運(yùn)用】

（23-24八年級(jí)下?福建廈門?期中）

51.定義：如圖，點(diǎn)時(shí)，N（點(diǎn)M在N的左側(cè)）把線段A3分割成AM,MN,

NB.若以AM,MN,N3為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)〃、N是線段

A3的購(gòu)股分割.

試卷第16頁(yè)，共21頁(yè)

AMNB

(1)已知“、N把線段A3分割成AM,MN,BN,若AM=1.5,MN=25,BN=2.0,

則點(diǎn)〃、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由；

(2)已知點(diǎn)M、N是線段A3的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB=30,AM=5,

求3N的長(zhǎng).

(23-24八年級(jí)上?江蘇徐州?期中)

52.在VABC中，BC=a,AC=b,AB=c,設(shè)c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)時(shí)，vABC是

直角三角形；當(dāng)/+62片02時(shí)，利用代數(shù)式/+人2和,2的大小關(guān)系，探究VABC的

形狀(按角分類).

⑴當(dāng)VABC三邊分別為6、8、9時(shí)，VABC為________三角形；當(dāng)VABC三邊分別

為6、8、11時(shí)，YABC為_______三角形；

(2)猜想：當(dāng)"+廿'?時(shí)，VABC為銳角三角形；當(dāng)。?+〃°?時(shí),

7ABe為鈍角三角形；(填“〉”或“〈”或“=”)

(3)判斷：當(dāng)。=5,6=12時(shí)，

當(dāng)VABC為直角三角形時(shí)，則。的取值為.；

當(dāng)VA5c為銳角三角形時(shí)，貝卜的取值范圍_______；

當(dāng)NABC為鈍角三角形時(shí)，則。的取值范圍_______.

(24-25八年級(jí)下?江蘇南通?期中)

53.如圖，直線?。?x+3與過點(diǎn)4(5,0)的直線4交于點(diǎn)C(/M),與x軸交于點(diǎn)B.

(1)求加的值;

⑵求VA8C的面積；

(3)若點(diǎn)P在直線BC上，且使得△河是直角三角形，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

（23-24八年級(jí)下?福建莆田?階段練習(xí)）

54.定義：若a,b,C是VA2C的三邊，Sa2+Z,2=2c2,則稱VA3C為“方倍三角

形”.

（1）對(duì)于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是_.

A.①一定是“方倍三角形”B.②一定是“方倍三角形”

C.①②都一定是“方倍三角形"D.①②都一定不是“方倍三角形”

（2）如圖，VABC中，ZABC=120。，ZACB=45。，尸為AC邊上一點(diǎn)，將沿直

線的進(jìn)行折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)。處，連接CO,AD.若△河為“方倍三角形”，

且AP=&，求△PDC的面積.

（2025?河南南陽(yáng)?二模）

55.定義：在一個(gè)四邊形中，若一條對(duì)角線能把該四邊形分成的兩個(gè)三角形中，

至少有一個(gè)三角形為等腰直角三角形，則這個(gè)對(duì)角線叫做“奮進(jìn)線”，這個(gè)四邊形

叫做“奮進(jìn)四邊形

⑴①如圖1,在四邊形ABCD中，若AB=AC=AD=2,CD=2叵,則四邊形ABCD

.（填“是”或“否”）“奮進(jìn)四邊形”，若是，則是“奮進(jìn)線”（若不是，

此空不填）；

②如圖1,若四邊形A3C。為“奮進(jìn)四邊形”，AC為“奮進(jìn)線”，且AB=5,BC=6,

試卷第18頁(yè)，共21頁(yè)

NC4D=90。時(shí)，當(dāng)VABC為等腰三角形時(shí)，C。的長(zhǎng)為；

(2)如圖2,四邊形ABC。和四邊形AMBC均為“奮進(jìn)四邊形"，ZG4D=90°,

ZBAM=9Q°,對(duì)角線AC,AS分別為這兩個(gè)四邊形的“奮進(jìn)線”，求證：BD=CM-

⑶如圖3,四邊形ABCD為“奮進(jìn)四邊形”，AC為“奮進(jìn)線"，若AB=2,BC=3,

ZCBA=45°,當(dāng)AC為“奮進(jìn)線”時(shí)，且AC恰好為等腰直角三角形的一條直角邊,

直接寫出此時(shí)即的長(zhǎng).

【題型二：與直角三角形有關(guān)的綜合題】

(2023上?河北衡水?八年級(jí)校考期末)

56.如圖，在VABC中，ZC=90°,ZCAD=ZBAD,?！旯B于E,點(diǎn)R在邊AC上，

連接。尸.

⑴求證：AC^AE-

(2)若AC=8,AB=10,求。E的長(zhǎng)；

⑶若CF=BE,直接寫出線段AB,AF,EB的數(shù)量關(guān)系.

(24-25七年級(jí)下?上海閔行?階段練習(xí))

57.如圖，在VA3C中，ZA=90°,AB=AC,。是BC的中點(diǎn)，將一把三角尺的直

角頂點(diǎn)與。重合，并繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使該三角尺的兩直角邊與邊A3、AC相交于點(diǎn)

E、F(E、/不與A、B、C重合)，連接EP.

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，試觀察，。燈的形狀，并證明你的結(jié)論；

⑵試猜想：線段超、EF、用能否組成一個(gè)直角三角形？若能，請(qǐng)給出證明;

若不能，請(qǐng)說明理由.

（2024上?福建莆田?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）

58.在平面直角坐標(biāo)系中，A,P分別是x軸、y軸正半軸上的點(diǎn)，3是線段04上

①求證：NDBO=NCBA；

②若=求證：BD+BC=BP；

⑵如圖2,4（5,0）,3（2,0）,G是加的中點(diǎn)，連接AG,航是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，

PM=2AG,當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)〃的坐標(biāo)是否會(huì)發(fā)生變化？若不

變，求點(diǎn)”的坐標(biāo)；若改變，求出其變化的范圍.

（24-25八年級(jí)下?江西撫州?階段練習(xí)）

59.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、3、C坐標(biāo)分別為（-1，0）、（4。）、。2）,連接AC、BC.

(1)如圖1,求證：BC=2AC-

(2)如圖1,求證：ACA.BC-

試卷第20頁(yè)，共21頁(yè)

（3）如圖2,點(diǎn)G在C4延長(zhǎng)線上，連接BG,尸是BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)R作3G的垂線

交V軸于點(diǎn)。，。點(diǎn)坐標(biāo)（。，7）,垂足為E,當(dāng)DEWE+BG時(shí)，求歹點(diǎn)坐標(biāo).

（24-25八年級(jí)下?河北石家莊?期中）

60.如圖1,在VA3C中，ZB=60°,AB=20,3c=10,AC=10&.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A

出發(fā)，沿邊48以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3,動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)從點(diǎn)3出發(fā),

沿邊BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（5）.

⑴求NACB的度數(shù)；

⑵當(dāng)必。是等邊三角形時(shí)，求/的值；

⑶在點(diǎn)P,。的運(yùn)動(dòng)過程中，求當(dāng).P8Q是直角三角形時(shí)?的值；

（4）如圖2,若。是邊AC的中點(diǎn)，連接CP,DP,請(qǐng)直接寫出CP+OP的最小值.

參考答案

1.C

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知

識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)折疊的性質(zhì)可得=NCDE=NCDB,結(jié)合

NACB=90。得到NDCE=gNAC3=45。，再利用三角形外角的性質(zhì)得到

ZCDB=ZDCE+ZA=65°,即可得出答案.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得，NDCE=NDCB,NCDE=NCDB,

又：ZACB=90。，

ZDCE=-ZACB=-x90°=45°,

22

,ZA=20°,

ZCDB=ZDCE+ZA=450+20°=65°,

:.ZCDE=ZCDB=65°.

故選：C.

2.B

【分析】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)（兩銳角互余）以及角平分線的定義，先根據(jù)直角

三角形兩銳角互余求出NACB的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)求出Z1的度數(shù).

【詳解】解：.,在中，44=90。，4=50。，

ZACB=90°-ZB=40°,

CD平分/ACS,

Z1=-ZACB=20°.

2

故選：B.

3.30°或80°

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，掌握分類討論的思想是解題

的關(guān)鍵.

分情況討論：當(dāng)/3CE=90?；虍?dāng)4EC=90。時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和，和直角三角形的兩個(gè)

銳角互余分別求解即可.

【詳解】解：：ZA=10°,ZB=50°,

：.Z.BCA=180°-10°-50°=120°,

當(dāng)/BCE=90。時(shí)，3CE為直角三角形，

答案第1頁(yè)，共42頁(yè)

此時(shí)ZACE=ZAC3—N3CE=120°—90°=30°,

當(dāng)ZBEC=90°時(shí)，BCE為直角三角形，

ZBCA=180°-10°-50°=120°

ZACE=ZACB-ZBCE=120°-40°=80°,

故答案為：30?；?0。.

4.⑴見解析

（2）73°

【分析】本題考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握直角三角

形的兩個(gè)銳角互余，平行線的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)直角三角形性質(zhì)得/3+NC=90。，再根據(jù)NAT>E+NC=90。得=然

后根據(jù)同位角相等兩直線平行即可得出結(jié)論；

（2）先求出NC=34。，再根據(jù)（1）的結(jié)論得4史C=180。-NC=146。，然后根據(jù)角平分

線的定義即可得出NDEF的度數(shù).

【詳解】（1）證明：在ABC中，NA=90。，

ZB+ZC=90°,

ZADE+ZC=90°,

:.ZB=ZADE,

DE//BC；

（2）解：ZB=56°,ZB+ZC=90°,

.-.zc=90°-ZB=34°

由（1）可知：DEBC,

.?.ZDEC+ZC=180°,

:./DEC=180。一NC=180°-34。=146°,

EF平分/DEC,

ZDEF=-/DEC=1x146°=73°.

22

5.⑴見解析

答案第2頁(yè)，共42頁(yè)

（2）等腰三角形，見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，掌握以上知識(shí)是

解題的關(guān)鍵.

（1）過點(diǎn)C作CG，AB于點(diǎn)G,根據(jù)直角三角形的兩銳角互余及角平分線的定義即可得解；

（2）由NA=45。，CG_LAB得出NACG=45。，即得448=45。+/3CG,根據(jù)三角形外

角定理得出/5尸。=45。+/4^,由（1）知=可得NBCF=/BFC,由“等

角對(duì)等邊，，即可得解.

【詳解】（1）證明：如圖，

BC=DC,

△BCD為等腰三角形，

CG1BD,

：.ZDCG=/BCG=-/BCD

2

ZDCG+ZCDG=90°,

'：BfUCD于點(diǎn)E,

，ZABF+/CDG=90°,

：.ZABF=ZDCG=-ZBCD,

2

，NBCD=2/ABF；

(2)解：VBCP是等腰三角形，

理由：VZA=45°,CGIAB,

：.ZACG=45°,

'：ZACB=ZACG+NBCG=45°+NBCG,ZBFC=NA+ZABF=45°+NABF,

由(1)知ZBCG=ZDCG=ZABF,

：.NBCF=NBFC,

：.BC=BF,

.?.VBB是等腰三角形.

答案第3頁(yè)，共42頁(yè)

6.C

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的定義，利用三角形的內(nèi)角和定理求

出角的度數(shù)，即可分別進(jìn)行判斷.

【詳解】解：①由/A+/3+/C=180。得到2/C=180。，即NC=90。，是直角三角形；

-3

②由題可得NC=180。*后方=90。，是直角三角形；

③由NA+/B+NC=180。得到2NC+2NC+NC=180。，解得NC=36。，NA=/3=72。，

不是直角三角形；

④由NA+/B+NC=180。得到/A+2ZA+3ZA=180。，解得NA=30。，ZB=60°,ZC=90°,

是直角三角形；

⑤由NA+N8+NC=180。得到NA+：NA+gzA=180。，解得NA=［甯）。，不是直角三角

形；

故選：C.

7.B

【分析】此題主要考查了直角三角形的判定，三角形的分類；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和直角

三角形的判定進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：?ZA+ZB=ZC,則NC=90。，VABC是直角三角形；

②NA:N8:NC=1:2:3,則NB=2NA,ZC=3ZA,由三角形內(nèi)角和定理，得

ZA+2ZA+3ZA=18O°,解得，ZA=30。，于是有NC=9O。，VABC是直角三角形；

③ZA=ZB=2NC,又ZA+ZB+NC=180。，貝?。?NC=180。，則NC=36。，ZA=/B=72°,

不是直角三角形；

@ZA=2ZB=3ZC,則==由三角形內(nèi)角和定理，得

ZA+1ZA+1ZA=18O°,解得，44=］詈］。，不是直角三角形；

能確定VA3C是直角三角形的條件有2個(gè)，

故選：B.

8.D

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理，熟練掌握

以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.利用以上知識(shí)點(diǎn)對(duì)各選項(xiàng)分別判斷，即可求解.

222

【詳解】解：A、由a:Z?:c=6:8:l。，設(shè)々=6%,貝ljb=8x,c=10xf（6x）+（8A:）=（10A:）,

答案第4頁(yè)，共42頁(yè)

得〃+戶=02,...Age是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、由NC=/A-/B,得NC+N3=/A,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，ZA=90°,/.ABC是直

角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、由/=儲(chǔ)一°2,可得/+匕2=02,...是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、由NA:N3:NC=3:4:5,得最大角NC=---xl80°=75°90°,/.ABC不是直角三

3+4+5

角形，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

9.證明見詳解

【分析】由/ACD=/B,得出/A+/ACD=90。，由/ACB=90。，得出/A+/B=90。，然后

根據(jù)兩銳角互余的三角形是直角三角形即可得出答案.

【詳解】證明：???NACB=90。

ZA+ZB=90°,

VZACD=ZB,

ZA+ZACD=90°,

ZADC=90°,

ACD±AB.

??.AACD是直角三角形

【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出/A+NB=90。.

10.(1)44°

(2)見解析

【分析】(1)由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合題意可求出NB4C=88。，再根據(jù)角平分線的定義即

可求出/S4E的大?。?/p>

(2)由直角三角形兩個(gè)銳角互余可求出/取。=60。，從而可求出/EAD=16。，進(jìn)而可求

出/4￡＞尸+/石4。=90。，得出NAFD=90。，即證明△〃＞尸是直角三角形.

【詳解】(1)解：。N3=30。,ZC=62°,

ABAC=18O°-ZB-ZC=180°-30°-62°=88°,

平分/BAC,

NBAE=-ABAC=2x88°=44°；

22

(2)證明：'：ADLBC,

答案第5頁(yè)，共42頁(yè)

，ABAD=90°-AB=90°-30°=60°,

ZEAD=ZBAD-ZBAE=60°-44°=16°.

NAD斤=74°,

ZADF+ZEAD=74°+16°=90°,

ZAFD=90°,

△相＞尸是直角三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，難度不大.利

用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

11.D

【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)題目中的條件，可以寫出判斷△ABC9△￡?廠的

依據(jù)，即可解答.解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法.

【詳解】解：QNBAC=NEDF=90。,AB=DE,BC=EF,

.-.VABC^VDEF(HL),

故選：D.

12.B

【分析】本題考查運(yùn)用“HL”證明三角形全等，根據(jù)“HL”證明三角形全等的條件即可解答.

【詳解】解：1AE,

：.ZACB=NDCE=90°,

當(dāng)=時(shí)，

在RtAABC和RtADEC中

(AB=DE

[AC^DC'

：.RtZkABC^RtADEC(HL).

故選：B

13.C

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，能熟練地運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可.

【詳解】解：：DF±BC,

：.ZCFD=ZAEB=90°,

答案第6頁(yè)，共42頁(yè)

在RtAABE和RtDCF中

（BE=CF

[CD=AB'

：.RtAABE^RtADCF（HL）.

故選：C.

14.AC=BD

【分析】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定方法“HL”是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)“HL”判定方法求解即可.

【詳解】解：應(yīng)添加的條件是AC=9,理由是：

VABLBC,CD1BC,

：.ZABC=ZDCB=90°,

VBC=CB,AC=BD,

：.RtAABC^RtAr＞CB（HL）,即應(yīng)添加的條件是AC=BD,

故答案為：AC=BD.

15.AC=BD（或5c=A￡＞）

【分析】本題主要考查的是直角三角形全等的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題

關(guān)鍵.

根據(jù)兩個(gè)直角三角形全等的判定方法HL,即“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形

全等”即可求解.

【詳解】解：QZC=ZD=90°,

ABC和一區(qū)4。都是直角三角形，

AB=BA,/C=ZD,

...當(dāng)AC=8￡＞或5C=AD時(shí)，RtABC^RtBAD（HL）.

故答案為：AC=BD（或5C=AD）.

16.見解析

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟

練掌握全等三角形的判定和性質(zhì).由點(diǎn)。是43中點(diǎn)，可得"＞=瓦＞,再證明

Rt.ADE絲RtBDF可得ZA=/B,然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：???。是A3中點(diǎn)，

答案第7頁(yè)，共42頁(yè)

/.AD=BD,

DELAC,DF，BC,

在RtADE和RtABQ尸中，

jED=FD

[AD=3?！?/p>

Z.RtADE絲RtBDF(HL),

ZA=NB,

：.AC=BC,即7ABe是等腰三角形.

17.見解析

【分析】求出/DEC=/BE4=90。，根據(jù)HL定理推出即可.

【詳解】證明：DELAC,BFJ.AC,

:.ZDEC=ZBFA=90°,

在RtAB尸和Rt-CDE中，

[AB=DC

[BF=DE'

.-.RtABF=RtCDE(HL).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：判定兩直角三角形全等的判定定

理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.

18.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì).

(1)由RTLAEEDLAB得//CB=90°,ZEDA=9Q°,證明FCB沿EDA(HL),即可

證明。E=CF；

(2)證明/CGWEDG(AAS),得到CG=DG即可.

【詳解】(1)VFC1AB,EDIAB,

：.ZFCB=90°,Z￡ZM=90°,

VAD=BC,AE=BF,

；...FCB會(huì)EZM(HL),

答案第8頁(yè)，共42頁(yè)

DE=CF；

(2),:DE=CF,ZFCG=ZEDG=90°,/FGC=/EGD,

：.FCG^EDG(AAS),

：.CG=DG,

即G是線段AB的中點(diǎn).

19.⑴見解析

(2)見解析

【分析】⑴求出3D=CD,NDEB=NDFC=90°,根據(jù)乩證出及BDE^RtCD產(chǎn)即可;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出=NC,根據(jù)等腰三角形的判定推出即可.

【詳解】(1)證明：ZJ是BC的中點(diǎn)，

BD=CD,

'.DE-LAB,DF1AC,

:.ZDEB=/DFC=90。,

在RtBDE與RtCDF中

(BD=DC

\DE=DF,

:.RtBDE"RtCDF(HL),

(2)證明：RtBDERtCDF,

A

.?.AD平分/BAC.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的判定的應(yīng)用.

20.⑴見解析;

(2)CDE是等腰直角三角形，理由見解析.

【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定,

答案第9頁(yè)，共42頁(yè)

掌握全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.

(1)先由等腰三角形的判定可得OE=CE,然后證明NA=4=90。，根據(jù)“HL”證明

RtAADE^RtABEC即可；

(2)由(1)可知RtA4DE■絲Rt^BEC,DE=CE,再通過全等三角形的性質(zhì)得出/3=/4,

然后求出/4+/5=90。，即有ZDEC=90。，最后通過等腰三角形的定義即可得證.

【詳解】(1)證明：；N1=N2,

DE=CE,

'：AD//BC,

：.ZA+ZB=180°,

ZA=ZB=90°,

在RtADE和RtBEC中,

AE=BC

DE=CE

：.RtADE絲RtBEC(HL)；

(2)解：CUE是等腰直角三角形，理由:

如圖，

由(1)可知RtA4DE絲RtzXBEC,DE=CE,

/3=/4,

；N3+Z5=90°,

N4+N5=90°,

ZDEC=90P,

&CDE是等腰直角三角形.

21.(1)證明見解析

答案第10頁(yè)，共42頁(yè)

(2)70°

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)

點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

(1)運(yùn)用“HL”定理直接證明四尸，即可得解；

(2)求出/BC4=N54C=45。，證出/BCF==25。，即可得解.

【詳解】⑴證明：ZASC=90°,

.;ABE與VCB尸為直角三角形，

在RtAABE與RtACBF中,

[AB=BC

[AE=CF'

/.RtABE四Rt_CB/(HL)；

(2)解：AB=BC,ZABC=9Q°,

ZBCA^ABAC45°,

ZBAE=25°,AABE名ACBF,

ABCF=ABAE=25°,

ZACF=ZACB+ZBCF=45°+25°=70°.

22.⑴見解析；

(2)45°.

【分析】本題考查全等三角形的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握全等三角形判定定理.

(1)由CD_L￡)E,BEJ.DE,可得4>=/E=90。，再由"印了'即可證明ACD四BAE；

(2)由ACDW&必可知NC4JD=NABE,進(jìn)而求得NC4B=90。，結(jié)合AB=AC,即可得

解.

【詳解】(1)解：證明：CD1DE,BEJ.DE,

:.ZD=ZE=90°,

[AD=BE

在RtZkACZ)和RtABAE中彳

AC=f\.D

ACD^_BAE(HL)；

(2)解：AACD沿ABAE,

答案第H頁(yè)，共42頁(yè)

:.ZACD=ZBAE,

CDIDE,

.?.NO=90。，

???ZCAD^-ZACD=90°,

.?./CAD+/3AE=90。,

???ZCAB=9Q0,

AB=AC,

:.ZABC=ZACB=45°.

23.⑴證明見解析

(2)6；理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，30。所對(duì)直角邊是斜邊的一半，三角形的外

角性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)運(yùn)用HL證明即可作答.

(2)先得ZEAB=ZEBA,因?yàn)镹DE4是二的外角，故/?！?=/用8+/￡區(qū)4=60。，

貝i]NEBA=30。，所以AB=2AD=6.

【詳解】(1)證明：???/。=/。=90。，

???VA3。與B4D都是直角三角形，

在和Rt瓦⑦中，

(AB=BA

[AC=BD9

RtABC^RtBAD(HL)；

(2)解：V.ABC^BAD,

:.ZEAB=ZEBA,

?；ZDEA是應(yīng)15的外角，

???/DEA=/EAB+/EBA=60°

ZEBA=30°9

?：?D90?,

：.AB=2AD=6.

24.(1)見解析

答案第12頁(yè)，共42頁(yè)

⑵14

【分析】本題考查了直角三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形的判定方法.

(1)根據(jù)HL即可證明；

(2)由勾股定理求出AD,再根據(jù)線段的和差即可求解.

【詳解】(1)證明：AD1BC,

:./BDF=ZADC=90°,

在V班m'和△AOC中，

[BF^AC

[DF=DC'

RtBDF^Rt?ADC(HL)；

(2)解：在"DC中，DF^DC^IQ,

AD=A/AC2-CD2=A/262-102=24，

:.AF=AD-DF=24-10=14.

25.⑴見解析

⑵1。

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS,

ASA,AAS,SSS,全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

(1)求出=尸C=90。，根據(jù)全等三角形的判定定理得出/RtZXCFD,推出

DE=DF；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=AF,由線段的和差關(guān)系求出答案.

【詳解】(1)證明：???DELAB,DF1AC,

ZE=ZDFC=90°,

在RtB