高等數(shù)學核心考點練習題集前言高等數(shù)學是理工科、經(jīng)濟學等專業(yè)的基礎(chǔ)課程，也是考研、專升本等考試的核心科目。其內(nèi)容涵蓋極限、導數(shù)、積分、級數(shù)、微分方程等模塊，知識點密集且邏輯性強。掌握核心考點并通過針對性練習鞏固，是提高解題能力的關(guān)鍵。本練習題集以核心考點為脈絡(luò)，以解題技巧為重點，按“考點解析—典型例題—練習題—答案解析”的結(jié)構(gòu)編排。每個考點均提煉其考查形式與易錯點，典型例題涵蓋基礎(chǔ)與綜合題型，練習題分層次設(shè)計（基礎(chǔ)題鞏固知識點、提高題鍛煉綜合能力），答案解析詳細說明思路與誤區(qū)，旨在幫助讀者系統(tǒng)梳理知識、突破難點、提升解題效率。第一章極限與連續(xù)1.1等價無窮小替換與極限計算考點解析等價無窮小替換是極限計算的“快捷工具”，適用于乘積或商形式的極限。常見等價無窮?。╘(x\to0\)時）：\(\sinx\simx\)，\(\tanx\simx\)，\(\arcsinx\simx\)，\(\arctanx\simx\)；\(\ln(1+x)\simx\)，\(e^x-1\simx\)，\(a^x-1\simx\lna\)；\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\)，\(\sqrt{1+x}-1\sim\frac{1}{2}x\)，\((1+x)^k-1\simkx\)（\(k\)為常數(shù)）。注意：加減項中直接替換需謹慎，若替換后結(jié)果為零，需用泰勒展開或洛必達法則進一步計算（如\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}\)）；等價無窮小替換可推廣至“無窮小乘以有界函數(shù)”（如\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0\)）。典型例題例1.1.1計算\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}\)。解析：分子為加減項，直接替換\(\tanx\simx\)、\(\sinx\simx\)會導致分子為零，需用泰勒展開或因式分解：\[\tanx-\sinx=\sinx\left(\frac{1}{\cosx}-1\right)=\sinx\cdot\frac{1-\cosx}{\cosx},\]當\(x\to0\)時，\(\sinx\simx\)，\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\)，\(\cosx\sim1\)，故：\[\lim_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3}=\frac{1}{2}.\]答案：\(\frac{1}{2}\)。例1.1.2計算\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)。解析：令\(t=\frac{1}{x}\)，則\(x\to\infty\)時\(t\to0\)，原式轉(zhuǎn)化為：\[\lim_{t\to0}\frac{\sint}{t}=1\quad(\text{重要極限}).\]答案：\(1\)。練習題1.計算\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)-2x}{x^2}\)；2.計算\(\lim_{x\to0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}\)；3.計算\(\lim_{x\to1}\frac{x^x-1}{x-1}\)；4.計算\(\lim_{x\to0}\frac{\arcsin2x-\sinx}{x}\)；5.計算\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{3x+1}\)。答案解析1.泰勒展開法：\(\ln(1+2x)=2x-2x^2+o(x^2)\)，分子\(=-2x^2+o(x^2)\)，故極限為\(-2\)；2.泰勒展開法：\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)，\(e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)，分子\(=x^2+o(x^2)\)，故極限為\(1\)；3.導數(shù)定義法：令\(f(x)=x^x\)，則\(\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)\)，\(f'(x)=x^x(\lnx+1)\)，故極限為\(1\)；4.等價無窮小替換：\(\arcsin2x\sim2x\)，\(\sinx\simx\)，分子\(\sim2x-x=x\)，故極限為\(1\)；5.無窮小分離法：\(\sin\frac{1}{x}\sim\frac{1}{x}\)（\(x\to\infty\)），原式\(=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2\cdot\frac{1}{x}}{3x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{3x+1}=\frac{1}{3}\)。1.2洛必達法則的應用考點解析洛必達法則適用于0/0型或∞/∞型極限，形式為：\[\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)}\quad(\text{需滿足：}f(a)=g(a)=0\text{或}\infty,g'(x)\neq0).\]注意：洛必達法則可多次應用，但每次需驗證是否為0/0或∞/∞型；若導數(shù)比的極限不存在（非∞），則洛必達法則失效，需換用其他方法（如\(\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sinx}{x}\)，導數(shù)比為\(\lim_{x\to\infty}\frac{1+\cosx}{1}\)，不存在，但原極限為1）；結(jié)合等價無窮小替換可簡化計算（如\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}\)，先用等價無窮小替換分子為\(x\cdot\frac{1}{2}x^2\)，再計算）。典型例題例1.2.1計算\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}\)。解析：0/0型，應用洛必達法則：\[\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{3x^2}\quad(\text{一次洛必達}),\]仍為0/0型，再次應用：\[\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{6x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{6x}=\frac{1}{6}\quad(\text{等價無窮小替換}).\]答案：\(\frac{1}{6}\)。例1.2.2計算\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{e^{x/2}}\)。解析：∞/∞型，多次應用洛必達法則：\[\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2}{\frac{1}{2}e^{x/2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6x}{\frac{1}{4}e^{x/2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6}{\frac{1}{8}e^{x/2}}=0.\]結(jié)論：指數(shù)函數(shù)增長快于多項式函數(shù)。答案：\(0\)。練習題1.計算\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x\cosx}{x^3}\)；2.計算\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{\sqrt{x}}\)；3.計算\(\lim_{x\to0^+}x\lnx\)；4.計算\(\lim_{x\to1}\frac{\lnx}{x-1}\)；5.計算\(\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sinx}{x+\sinx}\)。答案解析1.洛必達法則：\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx-\cosx+x\sinx}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{x\sinx}{3x^2}=\frac{1}{3}\)；2.洛必達法則：\(\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0\)；3.變形為0/0型：\(\lim_{x\to0^+}\frac{\lnx}{1/x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0\)；4.導數(shù)定義：\(\lim_{x\to1}\frac{\lnx-\ln1}{x-1}=(\lnx)'|_{x=1}=1\)；5.無窮小分離：\(\lim_{x\to\infty}\frac{1-\sinx/x}{1+\sinx/x}=1\)（\(\sinx/x\to0\)當\(x\to\infty\)）。1.3泰勒公式在極限中的應用考點解析泰勒公式是處理高階無窮小極限的“萬能工具”，尤其適用于加減項的極限計算。麥克勞林公式（\(x\to0\)時）：\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^n(0)}{n!}x^n+o(x^n).\]常用麥克勞林展開：\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\)；\(\sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})\)；\(\cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\)；\(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)\)。典型例題例1.3.1計算\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x+\frac{x^3}{6}}{x^5}\)。解析：用麥克勞林展開\(\sinx=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)\)，代入分子得：\[\sinx-x+\frac{x^3}{6}=\frac{x^5}{120}+o(x^5),\]故極限為：\[\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^5}{120}}{x^5}=\frac{1}{120}.\]答案：\(\frac{1}{120}\)。例1.3.2計算\(\lim_{x\to0}\frac{e^x\cosx-1-x}{x^2}\)。解析：用麥克勞林展開\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)，\(\cosx=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)，相乘得：\[e^x\cosx=(1+x+\frac{x^2}{2})(1-\frac{x^2}{2})+o(x^2)=1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{2}+o(x^2)=1+x+o(x^2),\]代入分子得：\[e^x\cosx-1-x=o(x^2),\]故極限為：\[\lim_{x\to0}\frac{o(x^2)}{x^2}=0.\]答案：\(0\)。練習題1.計算\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-x-\frac{x^3}{3}}{x^5}\)；2.計算\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3}\)；3.計算\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-\sinx-1}{x^2}\)；4.計算\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1+\frac{x^2}{2}}{x^4}\)；5.計算\(\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}\)。答案解析1.泰勒展開：\(\tanx=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)\)，分子\(=\frac{2x^5}{15}+o(x^5)\)，極限為\(\frac{2}{15}\)；2.泰勒展開：\(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)，分子\(=\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)，極限為\(\frac{1}{3}\)；3.泰勒展開：\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)，\(\sinx=x+o(x^2)\)，分子\(=\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)，極限為\(\frac{1}{2}\)；4.泰勒展開：\(\cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\)，分子\(=\frac{x^4}{24}+o(x^4)\)，極限為\(\frac{1}{24}\)；5.泰勒展開：\((1+x)^{1/x}=e^{\ln(1+x)/x}=e^{1-x/2+x^2/3-\cdots}=e\cdote^{-x/2+x^2/3-\cdots}=e(1-x/2+x^2/3-\cdots)\)，分子\(=e(-x/2+x^2/3-\cdots)\)，極限為\(-e/2\)。1.4函數(shù)的連續(xù)性與間斷點考點解析1.連續(xù)性定義：函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)，當且僅當\(\lim_{x\toa}f(x)=f(a)\)；2.間斷點分類：第一類間斷點：左右極限都存在（可去間斷點：左右極限相等但不等于\(f(a)\)；跳躍間斷點：左右極限不等）；第二類間斷點：左右極限至少一個不存在（無窮間斷點：極限為∞；振蕩間斷點：極限振蕩不存在，如\(f(x)=\sin(1/x)\)在\(x=0\)處）。典型例題例1.4.1討論函數(shù)\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性。解析：\(f(0)\)無定義，但\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，故\(x=0\)是可去間斷點，補充定義\(f(0)=1\)后函數(shù)連續(xù)。例1.4.2討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\\0,&x=0,\\x-1,&x>0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性。解析：左極限\(\lim_{x\to0^-}f(x)=0+1=1\)，右極限\(\lim_{x\to0^+}f(x)=0-1=-1\)，左右極限不等，故\(x=0\)是跳躍間斷點。練習題1.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處的連續(xù)性；2.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}e^x,&x<0,\\x+1,&x\geq0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性；3.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處的間斷點類型；4.討論函數(shù)\(f(x)=\sin(1/x)\)在\(x=0\)處的間斷點類型；5.設(shè)\(f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq1,\\ax+b,&x>1\end{cases}\)在\(x=1\)處連續(xù)，求\(a,b\)的值。答案解析1.可去間斷點：\(\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)，但\(f(1)\)無定義；2.連續(xù)：左極限\(\lim_{x\to0^-}e^x=1\)，右極限\(\lim_{x\to0^+}(x+1)=1\)，且\(f(0)=1\)；3.無窮間斷點：\(\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty\)，\(\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty\)；4.振蕩間斷點：\(\lim_{x\to0}\sin(1/x)\)振蕩于\([-1,1]\)，不存在；5.連續(xù)條件：\(\lim_{x\to1^-}x^2=1=f(1)\)，\(\lim_{x\to1^+}(ax+b)=a+b=1\)，故\(a+b=1\)（如\(a=1,b=0\)）。第二章導數(shù)與微分2.1復合函數(shù)與隱函數(shù)求導考點解析1.復合函數(shù)求導：若\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)，則\(y'=f'(u)\cdotg'(x)\)（鏈式法則）；2.隱函數(shù)求導：對方程\(F(x,y)=0\)兩邊對\(x\)求導，注意\(y\)是\(x\)的函數(shù)（如\(y'=-\frac{F_x}{F_y}\)）；3.參數(shù)方程求導：若\(x=\phi(t)\)，\(y=\psi(t)\)，則\(\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\)，二階導數(shù)\(\frac{d^2y}{dx^2}=\fracfjhvhnb{dt}\left(\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\right)\cdot\frac{1}{\phi'(t)}\)。典型例題例2.1.1求\(y=\ln(\secx+\tanx)\)的導數(shù)。解析：復合函數(shù)求導，令\(u=\secx+\tanx\)，則\(y=\lnu\)，故：\[y'=\frac{1}{u}\cdotu'=\frac{1}{\secx+\tanx}\cdot(\secx\tanx+\sec^2x)=\secx.\]答案：\(\secx\)。例2.1.2求由方程\(x^2+y^2=1\)確定的隱函數(shù)\(y\)的導數(shù)\(\frac{dy}{dx}\)。解析：兩邊對\(x\)求導，\(2x+2yy'=0\)，解得：\[y'=-\frac{x}{y}.\]答案：\(-\frac{x}{y}\)。例2.1.3求參數(shù)方程\(x=a\cost\)，\(y=a\sint\)（\(a>0\)）的二階導數(shù)\(\frac{d^2y}{dx^2}\)。解析：一階導數(shù)：\(\frac{dy}{dx}=\frac{y'_t}{x'_t}=\frac{a\cost}{-a\sint}=-\cott\)；二階導數(shù)：\(\frac{d^2y}{dx^2}=\fracdjxtrnb{dt}(-\cott)\cdot\frac{1}{x'_t}=\csc^2t\cdot\frac{1}{-a\sint}=-\frac{\csc^3t}{a}\)。答案：\(-\frac{\csc^3t}{a}\)。練習題1.求\(y=\sin(\cosx)\)的導數(shù)；2.求由方程\(e^y+xy=e\)確定的隱函數(shù)\(y\)在\(x=0\)處的導數(shù)；3.求參數(shù)方程\(x=t^2\)，\(y=t^3\)的二階導數(shù)；4.求\(y=\arctan(\sqrt{x})\)的導數(shù)；5.求\(y=e^{\sin^2x}\)的導數(shù)。答案解析1.復合函數(shù)：\(y'=\cos(\cosx)\cdot(-\sinx)=-\sinx\cos(\cosx)\)；2.隱函數(shù)：\(x=0\)時\(e^y=e\)，故\(y=1\)；方程兩邊求導得\(e^yy'+y+xy'=0\)，代入\(x=0,y=1\)得\(ey'+1=0\)，故\(y'=-1/e\)；3.參數(shù)方程：一階導數(shù)\(dy/dx=3t^2/2t=3t/2\)；二階導數(shù)\(d^2y/dx^2=d/dt(3t/2)\cdot1/(2t)=3/2\cdot1/(2t)=3/(4t)\)；4.復合函數(shù)：\(y'=1/(1+x)\cdot1/(2\sqrt{x})=1/(2\sqrt{x}(1+x))\)；5.復合函數(shù)：\(y'=e^{\sin^2x}\cdot2\sinx\cosx=e^{\sin^2x}\sin2x\)。2.2極值與拐點考點解析1.極值必要條件：若\(f(x)\)在\(x=a\)處可導且取得極值，則\(f'(a)=0\)（駐點）；2.極值充分條件：第一充分條件：\(f'(x)\)在\(a\)左側(cè)正、右側(cè)負（極大值），左側(cè)負、右側(cè)正（極小值）；第二充分條件：\(f''(a)<0\)（極大值），\(f''(a)>0\)（極小值）；3.拐點：曲線凹凸性改變的點，必要條件\(f''(a)=0\)，充分條件\(f''(x)\)在\(a\)兩側(cè)變號。典型例題例2.2.1求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的極值與拐點。解析：1.求導：\(f'(x)=3x^2-6x\)，\(f''(x)=6x-6\)；2.駐點：\(f'(x)=0\)得\(x=0,2\)；3.極值判斷：\(x=0\)：\(f''(0)=-6<0\)，故極大值\(f(0)=2\)；\(x=2\)：\(f''(2)=6>0\)，故極小值\(f(2)=-2\)；4.拐點：\(f''(x)=0\)得\(x=1\)，\(x<1\)時\(f''(x)<0\)（凸），\(x>1\)時\(f''(x)>0\)（凹），故拐點為\((1,0)\)。練習題1.求\(f(x)=x^4-2x^2+1\)的極值；2.求\(f(x)=\ln(x^2+1)\)的拐點；3.求\(f(x)=xe^{-x}\)的極大值；4.求\(f(x)=x^3-3x\)的極值與拐點；5.求\(f(x)=\cosx+\frac{x^2}{2}\)的極小值。答案解析1.極值：\(f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)\)，駐點\(x=0,\pm1\)；\(f''(x)=12x^2-4\)，\(f''(0)=-4<0\)（極大值\(f(0)=1\)），\(f''(\pm1)=8>0\)（極小值\(f(\pm1)=0\)）；2.拐點：\(f'(x)=2x/(x^2+1)\)，\(f''(x)=2(1-x^2)/(x^2+1)^2\)，\(f''(x)=0\)得\(x=\pm1\)，拐點為\((\pm1,\ln2)\)；3.極大值：\(f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)\)，駐點\(x=1\)；\(f''(x)=-e^{-x}(1-x)-e^{-x}=e^{-x}(x-2)\)，\(f''(1)=-e^{-1}<0\)，極大值\(f(1)=1/e\)；4.極值與拐點：\(f'(x)=3x^2-3\)，駐點\(x=\pm1\)，極大值\(f(-1)=2\)，極小值\(f(1)=-2\)；\(f''(x)=6x\)，拐點為\((0,0)\)；5.極小值：\(f'(x)=-\sinx+x\)，\(f''(x)=-\cosx+1\geq0\)，故\(f'(x)\)單調(diào)遞增；\(f'(0)=0\)，\(x<0\)時\(f'(x)<0\)，\(x>0\)時\(f'(x)>0\)，故極小值\(f(0)=1\)。第三章一元函數(shù)積分學3.1換元積分與分部積分考點解析1.第一類換元法（湊微分）：\(\intf(g(x))g'(x)dx=\intf(u)du\)（\(u=g(x)\)）；2.第二類換元法：適用于根號函數(shù)（如\(x=a\sint\)處理\(\sqrt{a^2-x^2}\)，\(x=a\tant\)處理\(\sqrt{a^2+x^2}\)，\(x=a\sect\)處理\(\sqrt{x^2-a^2}\)）；3.分部積分法：\(\intudv=uv-\intvdu\)，選擇\(u\)的順序：對數(shù)函數(shù)>反三角函數(shù)>多項式函數(shù)>指數(shù)函數(shù)>三角函數(shù)。典型例題例3.1.1求\(\int\sin^2x\cos^3xdx\)。解析：湊微分，\(\cos^3x=\cos^2x\cosx=(1-\sin^2x)\cosx\)，令\(u=\sinx\)，則\(du=\cosxdx\)，故：\[\intu^2(1-u^2)du=\int(u^2-u^4)du=\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C=\frac{\sin^3x}{3}-\frac{\sin^5x}{5}+C.\]答案：\(\frac{\sin^3x}{3}-\frac{\sin^5x}{5}+C\)。例3.1.2求\(\intxe^xdx\)。解析：分部積分，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)，故：\[uv-\intvdu=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C.\]答案：\(e^x(x-1)+C\)。例3.1.3求\(\int\sqrt{a^2-x^2}dx\)（\(a>0\)）。解析：第二類換元法，令\(x=a\sint\)（\(t\in[-\pi/2,\pi/2]\)），則\(dx=a\costdt\)，\(\sqrt{a^2-x^2}=a\cost\)，故：\[\inta\cost\cdota\costdt=a^2\int\cos^2tdt=a^2\int\frac{1+\cos2t}{2}dt=\frac{a^2}{2}(t+\frac{\sin2t}{2})+C.\]回代\(t=\arcsin(x/a)\)，\(\sin2t=2\sint\cost=2(x/a)(\sqrt{a^2-x^2}/a)\)，故：\[\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C.\]答案：\(\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\)。練習題1.求\(\int\tanxdx\)；2.求\(\int\frac{1}{x^2+a^2}dx\)（\(a>0\)）；3.求\(\intx\cosxdx\)；4.求\(\int\sqrt{x^2+a^2}dx\)（\(a>0\)）；5.求\(\int\lnxdx\)。答案解析1.湊微分：\(\int\tanxdx=\int\sinx/\cosxdx=-\int1/\cosxd(\cosx)=-\ln|\cosx|+C\)；2.湊微分：\(\int1/(x^2+a^2)dx=(1/a)\arctan(x/a)+C\)；3.分部積分：\(u=x\)，\(dv=\cosxdx\)，則\(du=dx\)，\(v=\sinx\)，故積分\(=x\sinx-\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C\)；4.第二類換元：令\(x=a\tant\)，則\(dx=a\sec^2tdt\)，\(\sqrt{x^2+a^2}=a\sect\)，積分\(=a^2\int\sec^3tdt=(a^2/2)(\sect\tant+\ln|\sect+\tant|)+C\)，回代得\((x/2)\sqrt{x^2+a^2}+(a^2/2)\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C\)；5.分部積分：\(u=\lnx\)，\(dv=dx\)，則\(du=1/xdx\)，\(v=x\)，故積分\(=x\lnx-\int1dx=x\lnx-x+C\)。3.2反常積分考點解析1.無窮區(qū)間反常積分：\(\int_a^\inftyf(x)dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^bf(x)dx\)，收斂當且僅當極限存在；2.無界函數(shù)反常積分：\(\int_a^bf(x)dx\)（\(x=a\)為瑕點）\(=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx\)，收斂當且僅當極限存在；3.斂散性判斷：無窮區(qū)間：\(\int_a^\infty1/x^pdx\)，\(p>1\)收斂，\(p\leq1\)發(fā)散；無界函數(shù)：\(\int_a^b1/(x-a)^pdx\)，\(p<1\)收斂，\(p\geq1\)發(fā)散。典型例題例3.2.1判斷\(\int_0^\inftye^{-x}dx\)的斂散性。解析：計算極限：\(\lim_{b\to\infty}\int_0^be^{-x}dx=\lim_{b\to\infty}(-e^{-b}+1)=1\)，故收斂。