2.1等式與不等式性質(zhì)（第1課時）導(dǎo)學(xué)案1.掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，能夠運用其解決簡單的問題．2.進一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實數(shù)的大小． 3.通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識和大膽猜測、樂于探究的良好思維品質(zhì)。教學(xué)重點：掌握不等式性質(zhì)及其應(yīng)用；不等式性質(zhì)的探究與應(yīng)用（如傳遞性、可加性、可乘性）。教學(xué)難點：不等式性質(zhì)的條件限制（如乘負數(shù)時不等號方向改變）及實際問題的建模轉(zhuǎn)化。一、自主學(xué)習(xí)——溫故知新1.用不等式(組)表示不等關(guān)系知識梳理常見的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超過符號語言><≥≤注意點：(1)仔細審題，注意同一個題目的單位是否一致．(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B接．(3)多個不等關(guān)系用不等式組表示．2.作差法比較大小基本事實依據(jù)a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a<b?a－b<0結(jié)論要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小注意點：(1)利用作差法比較大小，只需判斷差的符號，通常將差化為完全平方的形式或多個因式的積的形式．(2)對于兩個正值，也可采用作商的方法，比較商與1的大?。?3)對于某些問題也可以采用取中間值的方法比較大小．3.重要不等式知識梳理一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．第二環(huán)節(jié)合作探究課堂導(dǎo)入1：奶茶店“第二杯半價”【教師展示廣告】“所有顧客購買第二杯奶茶一律半價！”追問：若廣告語是假的，如何否定？（引出“存在一位顧客第二杯不半價”）【設(shè)計意圖】用商業(yè)廣告激發(fā)興趣，自然過渡到“全稱命題的否定”，為類比不等式性質(zhì)埋下伏筆。【教學(xué)建議】追問學(xué)生：“半價”是否包含“免費”？強化“≤”與“<”的區(qū)別。課堂導(dǎo)入2：電梯限載標(biāo)志【展示圖片】電梯口標(biāo)“限載8人，總重不超過1000kg”。問題鏈：如何用不等式表示“總重不超過1000kg”？（設(shè)總重為W，則W≤若改為“限載8人且總重至少800kg”，如何列式？（W≥【設(shè)計意圖】通過身邊場景抽象不等關(guān)系，突出“文字→符號”的轉(zhuǎn)化過程?！窘虒W(xué)建議】讓學(xué)生現(xiàn)場估算自身體重，計算電梯滿載時的總重范圍，強化數(shù)據(jù)意識。第三環(huán)節(jié)導(dǎo)入新知大家知道，相等關(guān)系與不等關(guān)系是數(shù)學(xué)也是日常生活中最基本的關(guān)系．例如長與短、遠與近的比較；例如同學(xué)們之間高與矮、輕與重的比較；例如國家人口的多少、面積的大小的比較；再例如新冠疫苗接種速度的快與慢的比較．正所謂，“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”．在現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等．類似于這樣的問題，反映在數(shù)量關(guān)系上，就是相等與不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．問題1生活中，我們經(jīng)常在路上或橋上看到下列標(biāo)志，你知道它們的含義嗎？你能用一個數(shù)學(xué)式子表示下列關(guān)系嗎？探究點1：不等式性質(zhì)的“等式遷移”問題2你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%；（3）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．①你能寫出其他的可能情況嗎？①你能寫出其他的可能情況嗎？以上我們根據(jù)實際問題所蘊含的不等關(guān)系抽象出了不等式．接著，就可以用不等式研究相應(yīng)的問題了．探究點2：不等式性質(zhì)問題3某種雜志以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本．據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本．如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元？求出不等式①的解集，就能知道滿足條件的雜志的定價范圍．如何解不等式①呢？與解方程要用等式的性質(zhì)一樣，解不等式要用不等式的性質(zhì)．為此，我們需要先研究不等式的性質(zhì)．知識梳理常見的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超過符號語言><≥≤注意點：(1)仔細審題，注意同一個題目的單位是否一致．(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B接．(3)多個不等關(guān)系用不等式組表示．實際上，在初中我們已經(jīng)通過具體實例歸納了一些不等式的性質(zhì)．那么，這些性質(zhì)為什么是正確的？還有其他不等式的性質(zhì)嗎？回答這些問題要用到關(guān)于兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實．關(guān)于實數(shù)大小的比較，有以下基本事實：這個基本事實可以表示為從上述基本事實可知，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大?。?是正數(shù)與負數(shù)的分界點，它為實數(shù)比較大小提供了“標(biāo)桿”探究點3：作差法比較大小分析：通過考查這兩個多項式的差與0的大小關(guān)系，可以得出它們的大小關(guān)系．這里，我們借助多項式減法運算，得出了一個明顯大于0的數(shù)（式）．這是解決不等式問題的常用方法．注意點：(1)利用作差法比較大小，只需判斷差的符號，通常將差化為完全平方的形式或多個因式的積的形式．(2)對于兩個正值，也可采用作商的方法，比較商與1的大?。?3)對于某些問題也可以采用取中間值的方法比較大小．典例分析探究圖2.13是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客．你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？問題4你能比較大正方形ABCD與四個相同的直角三角形的面積之和的大小嗎？從中你能得出哪個不等式？它們之間有可能相等嗎？如果相等，則應(yīng)該滿足什么條件呢？提示設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長為a，b(a≠b)，則正方形的邊長為eq\r(a2＋b2).這4個直角三角形的面積和為2ab，正方形的面積為a2＋b2，由于正方形ABCD的面積大于4個直角三角形的面積和，我們就得到了一個不等式a2＋b2>2ab.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼＝b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有a2＋b2＝2ab.于是就有a2＋b2≥2ab.問題5你能證明問題4中得到的不等式嗎？事實上，利用完全平方公式，得反思感悟用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語：至多、至少、大于等．(2)適當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)表示變量．(3)用不等號表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式．注意隱性不等關(guān)系，如由變量的實際意義限制的范圍．

1.公司運輸一批木材，總重600噸，車隊有兩種貨車，A型貨車載重量30噸，型貨車載重量24噸，設(shè)派出A型貨車輛，型貨車輛，則運輸方案應(yīng)滿足的關(guān)系式是（

）【答案】B【知識點】用不等式表示不等關(guān)系【分析】根據(jù)已知列出不等式，化簡即可得出答案.故選：B.【答案】A【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷.故選：A.3.下列結(jié)論不正確的是A．若a＞b，c＞0，則ac＞bc B．若a＞b，則a﹣c＞b﹣c【答案】D【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、判斷命題的真假【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】對于選項A：由于a＞b，c＞0，根據(jù)不等式性質(zhì)2，則ac＞bc，故正確.對于選項B：由于a＞b，根據(jù)不等式性質(zhì)1，則a﹣c＞b﹣c，故正確.對于選項C：由于ac2＞bc2，根據(jù)不等式性質(zhì)2，則a＞b，故正確.對于選項D：當(dāng)a＝0，b＝﹣1時，沒有意義，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查判斷命題的真假，熟記不等式的性質(zhì)，靈活運用特殊值法處理即可，屬于常考題型.【答案】D【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確【解析】因為該題為選擇題，故可以用特值法，取符合條件的，代入進行比較即可.故選：D.【點睛】本題主要考查不等式比較大小，屬于基礎(chǔ)題.【答案】C【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】通過特殊值判斷A，B，D，由不等式的性質(zhì)判斷C即可故選：C6.已知a＞b，則下列不等式一定正確的是（）【答案】C【知識點】由不等式的性質(zhì)證明不等式、由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】分別找到特例，說明A，B，D三個選項不成立，從而得到答案.所以正確答案為C項.【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，通過列舉反例，排除法得到答案，屬于簡單題.【答案】A【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】對于A，舉例判斷，對于BCD，利用不等式的性質(zhì)判斷.故選：A.【答案】A【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確故選：A.9.(多選題)若x<a<0，則下列不等式不一定成立的是（

）A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax【答案】ACD【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用作差法比較得出B選項正確，即可判定選項.【詳解】∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2，∴x2>ax>a2，故選項B一定成立.故選：ACD．【答案】CD【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確故選：【點睛】本題考查了不等式正誤判斷，意在考查學(xué)生對于不等式性質(zhì)的綜合運用.【答案】C【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】對A、D，可借助特殊值法舉出反例即可得；對B、C，借助不等式的基本性質(zhì)即可得.故選：C.【答案】B【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分析ABC，采用舉例的方式分析D，由此得到正確的結(jié)果.故選：B.3.（2025高一·上?！ｎ}練習(xí)）下列說法不正確的是（

）【答案】A【知識點】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷即可.故選：A【答案】C【知識點】由已知