向量基礎(chǔ)題目及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,x)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(x\)的值為（）A.1B.2C.3D.42.已知向量\(\overrightarrow{a}=(3,-1)\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)的值是（）A.1B.\(\sqrt{10}\)C.2D.103.若\(\overrightarrow{AB}=(2,3)\)，\(A(1,2)\)，則點(diǎn)\(B\)的坐標(biāo)為（）A.\((3,5)\)B.\((-1,-1)\)C.\((1,1)\)D.\((2,3)\)4.向量\(\overrightarrow{a}=(1,1)\)，\(\overrightarrow=(-1,1)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)等于（）A.0B.1C.2D.-15.與向量\(\overrightarrow{a}=(3,4)\)同向的單位向量是（）A.\((\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)B.\((-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)C.\((\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)D.\((-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)6.已知向量\(\overrightarrow{a}=(m,1)\)，\(\overrightarrow=(1,-2)\)，若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)7.若\(\overrightarrow{a}=(2,1)\)，\(\overrightarrow=(x,-2)\)，且\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(5,-1)\)，則\(x\)的值為（）A.3B.4C.5D.68.向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，則\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow\)等于（）A.\((-1,-8)\)B.\((-1,0)\)C.\((1,-8)\)D.\((1,0)\)9.已知\(\vert\overrightarrow{a}\vert=3\)，\(\vert\overrightarrow\vert=4\)，\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角為\(60^{\circ}\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)的值為（）A.6B.\(6\sqrt{3}\)C.12D.\(12\sqrt{3}\)10.若\(\overrightarrow{OA}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{OB}=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{AB}\)等于（）A.\((2,2)\)B.\((-2,-2)\)C.\((4,6)\)D.\((-4,-6)\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于向量的說法正確的是（）A.零向量與任意向量平行B.單位向量都相等C.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，\(\overrightarrow\parallel\overrightarrow{c}\)，則\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{c}\)D.向量的模是非負(fù)實數(shù)2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-1,x)\)，若\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角為鈍角，則\(x\)的值可能為（）A.-2B.-1C.0D.13.下列向量中，能作為平面內(nèi)一組基底的是（）A.\(\overrightarrow{e_1}=(0,0)\)，\(\overrightarrow{e_2}=(1,2)\)B.\(\overrightarrow{e_1}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow{e_2}=(-2,4)\)C.\(\overrightarrow{e_1}=(3,5)\)，\(\overrightarrow{e_2}=(-3,-5)\)D.\(\overrightarrow{e_1}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{e_2}=(3,2)\)4.向量\(\overrightarrow{a}=(2,-1)\)，\(\overrightarrow=(-1,m)\)，\(\overrightarrow{c}=(-1,2)\)，若\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\parallel\overrightarrow{c}\)，則\(m\)的值可以是（）A.-1B.1C.\(\frac{1}{2}\)D.25.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則下列運(yùn)算正確的是（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)\)（\(\lambda\)為實數(shù)）D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)6.若向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)滿足\(\vert\overrightarrow{a}\vert=2\)，\(\vert\overrightarrow\vert=3\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=-3\)，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角可能為（）A.\(120^{\circ}\)B.\(150^{\circ}\)C.\(\frac{2\pi}{3}\)D.\(\frac{5\pi}{6}\)7.下列向量中與向量\(\overrightarrow{a}=(1,-1)\)垂直的有（）A.\((1,1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,-1)\)D.\((-1,-1)\)8.已知向量\(\overrightarrow{OA}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow{OB}=(2,m)\)，若\(\angleAOB\)為直角，則\(m\)的值可能是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.2D.-29.若向量\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)，且\(\vert\overrightarrow{a}\vert=1\)，則\(x\)，\(y\)滿足的方程可能是（）A.\(x^{2}+y^{2}=1\)B.\(x^{2}-y^{2}=1\)C.\(y=\sqrt{1-x^{2}}\)D.\(y=-\sqrt{1-x^{2}}\)10.向量\(\overrightarrow{a}=(3,4)\)，將\(\overrightarrow{a}\)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)\(90^{\circ}\)得到向量\(\overrightarrow\)，則\(\overrightarrow\)的坐標(biāo)可能為（）A.\((-4,3)\)B.\((4,-3)\)C.\((-3,4)\)D.\((3,-4)\)判斷題（每題2分，共10題）1.向量\(\overrightarrow{a}=(1,0)\)與向量\(\overrightarrow=(0,1)\)垂直。（）2.若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，且\(x_1y_2-x_2y_1=0\)，則\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)。（）3.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律。（）4.單位向量的模都為1。（）5.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）6.兩個向量相加的結(jié)果還是向量。（）7.若\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)是相反向量，則\(\overrightarrow{a}=-\overrightarrow\)且\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\vert\overrightarrow\vert\)。（）8.向量\(\overrightarrow{a}=(1,1)\)在向量\(\overrightarrow=(1,0)\)上的投影向量為\((1,0)\)。（）9.零向量沒有方向。（）10.若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)是兩個非零向量，則\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert\leqslant\vert\overrightarrow{a}\vert+\vert\overrightarrow\vert\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow=(-1,2)\)，求\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow\)的坐標(biāo)。答案：先計算\(2\overrightarrow=2(-1,2)=(-2,4)\)，再求\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow=(2,3)+(-2,4)=(2-2,3+4)=(0,7)\)。2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(3,-4)\)，求\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)。答案：根據(jù)向量模的計算公式\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，這里\(x=3\)，\(y=-4\)，則\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。3.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(x,1)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，求\(x\)的值。答案：因為\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系\(x_1y_2-x_2y_1=0\)，即\(1\times1-2x=0\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)。4.已知\(\vert\overrightarrow{a}\vert=2\)，\(\vert\overrightarrow\vert=3\)，\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角為\(60^{\circ}\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)。答案：根據(jù)向量數(shù)量積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為夾角），所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=2\times3\times\cos60^{\circ}=2\times3\times\frac{1}{2}=3\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論向量平行和垂直在平面幾何中的應(yīng)用。答案：向量平行可用于證明線線平行、求線段比例等；向量垂直可證明線線垂直，求三角形高、判斷直角三角形等。比如證明平行四邊形對邊平行可用向量平行，證明直角三角形用向量垂直。2.闡述向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。答案：向量\(\overrightarrow{a}\)在向量\(\overrightarrow\)上的投影為\(\vert\overrightarrow{a}\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)夾角），而向量數(shù)量積\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\vert\overrightarrow{a}\vert\ver