初三數(shù)學(xué)一元二次方程練習(xí)題合集一、引言一元二次方程是初三數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，也是中考的重點(diǎn)考查對(duì)象（占比約15%-20%）。它不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)、圓等知識(shí)的基礎(chǔ)，還能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、代數(shù)運(yùn)算和實(shí)際應(yīng)用能力。本合集涵蓋概念理解、解法技巧、根的判別式、韋達(dá)定理、實(shí)際應(yīng)用五大模塊，題型包括選擇、填空、解答，難度從基礎(chǔ)到綜合逐步提升，旨在幫助學(xué)生系統(tǒng)鞏固知識(shí)點(diǎn)，突破易錯(cuò)點(diǎn)，提升解題能力。二、一元二次方程的概念理解核心知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程的定義（只含一個(gè)未知數(shù)，最高次數(shù)為2的整式方程）；一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）。（一）選擇題1.下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A.\(x+2y=1\)（二元一次方程）B.\(x^2-2x+3=0\)（符合定義）C.\(x+\frac{1}{x}=2\)（分式方程）D.\(x^2-2x=x^2+1\)（化簡后為\(-2x-1=0\)，一元一次方程）解析：根據(jù)一元二次方程的定義，排除含多個(gè)未知數(shù)、分式或化簡后次數(shù)低于2的選項(xiàng)。答案：B（二）填空題1.若方程\((m-1)x^2+2x-3=0\)是一元二次方程，則\(m\)的取值范圍是________。解析：二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，故\(m-1\neq0\)，即\(m\neq1\)。答案：\(m\neq1\)二、一元二次方程的解法技巧核心知識(shí)點(diǎn)：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法（提公因式、十字相乘法）。（一）直接開平方法（適用于\((x+a)^2=b\)，\(b\geq0\)）1.解方程：\((x-2)^2=9\)解析：兩邊開平方得\(x-2=\pm3\)，解得\(x_1=5\)，\(x_2=-1\)。答案：\(x_1=5\)，\(x_2=-1\)（二）配方法（步驟：移項(xiàng)→二次項(xiàng)系數(shù)化為1→配方→開平方）1.用配方法解方程：\(x^2+6x-7=0\)解析：1.移項(xiàng)：\(x^2+6x=7\)；2.配方：加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方（\(6/2=3\)，\(3^2=9\)），得\(x^2+6x+9=7+9\)；3.寫成完全平方：\((x+3)^2=16\)；4.開平方：\(x+3=\pm4\)；5.解得：\(x_1=1\)，\(x_2=-7\)。答案：\(x_1=1\)，\(x_2=-7\)（三）公式法（\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，需先算判別式\(\Delta\)）1.用公式法解方程：\(2x^2-5x+1=0\)解析：1.確定系數(shù)：\(a=2\)，\(b=-5\)，\(c=1\)；2.計(jì)算\(\Delta=(-5)^2-4\times2\times1=25-8=17\)；3.代入公式：\(x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}\)。答案：\(x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}\)，\(x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}\)（四）因式分解法（優(yōu)先選擇，快捷高效）1.解方程：\(x^2-3x=0\)（提公因式）解析：提公因式\(x\)得\(x(x-3)=0\)，解得\(x_1=0\)，\(x_2=3\)。答案：\(x_1=0\)，\(x_2=3\)2.解方程：\(x^2-5x+6=0\)（十字相乘法）解析：分解為\((x-2)(x-3)=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=3\)。答案：\(x_1=2\)，\(x_2=3\)三、根的判別式（\(\Delta=b^2-4ac\)）核心知識(shí)點(diǎn)：\(\Delta>0\)→兩不相等實(shí)根；\(\Delta=0\)→兩相等實(shí)根；\(\Delta<0\)→無實(shí)根。（一）選擇題1.方程\(x^2+2x+3=0\)的根的情況是（）A.有兩不相等實(shí)根B.有兩相等實(shí)根C.無實(shí)根D.無法確定解析：\(\Delta=2^2-4\times1\times3=4-12=-8<0\)，無實(shí)根。答案：C（二）填空題1.若方程\(kx^2+4x+1=0\)有兩相等實(shí)根，則\(k=\________\)。解析：\(\Delta=4^2-4\timesk\times1=16-4k=0\)，解得\(k=4\)（注意\(k\neq0\)，此處滿足）。答案：4（三）解答題1.證明：無論\(m\)取何值，方程\(x^2-(m+1)x+m=0\)總有實(shí)根。解析：計(jì)算\(\Delta=(m+1)^2-4\times1\timesm=m^2+2m+1-4m=(m-1)^2\)。由于\((m-1)^2\geq0\)，故\(\Delta\geq0\)，方程總有實(shí)根（當(dāng)\(m=1\)時(shí)，兩相等實(shí)根；\(m\neq1\)時(shí)，兩不相等實(shí)根）。證明：略四、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）核心知識(shí)點(diǎn)：若\(x_1\)、\(x_2\)是\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的根，則\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)（前提：\(\Delta\geq0\)）。（一）填空題1.方程\(2x^2-3x-1=0\)的兩根之和為________，兩根之積為________。解析：直接應(yīng)用韋達(dá)定理，\(x_1+x_2=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}\)，\(x_1x_2=\frac{-1}{2}\)。答案：\(\frac{3}{2}\)；\(-\frac{1}{2}\)（二）解答題1.已知方程\(x^2+4x-5=0\)的兩根為\(x_1\)、\(x_2\)，求\(x_1^2+x_2^2\)的值。解析：1.韋達(dá)定理：\(x_1+x_2=-4\)，\(x_1x_2=-5\)；2.變形：\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)；3.代入：\((-4)^2-2\times(-5)=16+10=26\)。答案：262.已知方程\(3x^2+mx+2=0\)的一個(gè)根是\(\frac{1}{3}\)，求另一個(gè)根及\(m\)的值。解析：方法一（韋達(dá)定理）：設(shè)另一個(gè)根為\(x_2\)，則\(\frac{1}{3}+x_2=-\frac{m}{3}\)，\(\frac{1}{3}x_2=\frac{2}{3}\)。由\(\frac{1}{3}x_2=\frac{2}{3}\)得\(x_2=2\)，代入和的公式得\(\frac{1}{3}+2=-\frac{m}{3}\)，解得\(m=-7\)。方法二（代入法）：將\(x=\frac{1}{3}\)代入方程，得\(3\times(\frac{1}{3})^2+m\times\frac{1}{3}+2=0\)，解得\(m=-7\)。方程變?yōu)閈(3x^2-7x+2=0\)，因式分解得\((3x-1)(x-2)=0\)，另一個(gè)根為2。答案：另一個(gè)根為2，\(m=-7\)五、一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用核心知識(shí)點(diǎn)：增長率問題、面積問題、利潤問題（等量關(guān)系是關(guān)鍵）。（一）增長率問題1.某公司2022年的利潤為100萬元，2024年的利潤為144萬元，求這兩年的平均年增長率。解析：設(shè)平均年增長率為\(x\)，則2023年利潤為\(100(1+x)\)，2024年利潤為\(100(1+x)^2\)。列方程：\(100(1+x)^2=144\)，解得\(x_1=0.2=20\%\)，\(x_2=-2.2\)（舍去）。答案：20%（二）面積問題1.用長20米的籬笆圍一個(gè)矩形菜園（一邊靠墻），若菜園面積為48平方米，求矩形的長和寬。解析：設(shè)與墻垂直的邊長為\(x\)米（寬），則與墻平行的邊長為\(20-2x\)米（長）。列方程：\(x(20-2x)=48\)，整理得\(x^2-10x+24=0\)，解得\(x_1=4\)，\(x_2=6\)。當(dāng)\(x=4\)時(shí)，長為\(20-2×4=12\)米（符合墻長限制）；當(dāng)\(x=6\)時(shí)，長為\(20-2×6=8\)米（符合墻長限制）。答案：長12米、寬4米或長8米、寬6米（三）利潤問題1.某商店銷售某種商品，每件成本50元，售價(jià)80元時(shí)每天可售100件。若售價(jià)每降1元，每天可多售10件，求售價(jià)為多少時(shí)，每天利潤為2160元。解析：設(shè)售價(jià)降\(x\)元，則每件利潤為\(80-50-x=30-x\)元，銷售量為\(100+10x\)件。列方程：\((30-x)(100+10x)=2160\)，整理得\(x^2-20x+84=0\)，解得\(x_1=6\)，\(x_2=14\)。當(dāng)\(x=6\)時(shí)，售價(jià)為\(80-6=74\)元；當(dāng)\(x=14\)時(shí)，售價(jià)為\(80-14=66\)元。答案：售價(jià)74元或66元（若需減少庫存，選66元）六、綜合題（知識(shí)點(diǎn)融合）1.已知關(guān)于\(x\)的方程\(x^2+2kx+k^2-1=0\)。（1）求證：方程總有兩不相等實(shí)根；（2）若方程的兩根為\(x_1\)、\(x_2\)，且\(x_1^2+x_2^2=4\)，求\(k\)的值。解析：（1）計(jì)算\(\Delta=(2k)^2-4×1×(k^2-1)=4k^2-4k^2+4=4>0\)，故總有兩不相等實(shí)根。（2）由韋達(dá)定理，\(x_1+x_2=-2k\)，\(x_1x_2=k^2-1\)。變形得\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-2k)^2-2(k^2-1)=4k^2-2k^2+2=2k^2+2\)。由\(2k^2+2=4\)，得\(k^2=1\)，解得\(k=±1\)。答案：（1）略；（2）\(k=1\)或\(k=-1\)七、總結(jié)與提醒1.易錯(cuò)點(diǎn)：忽略二次項(xiàng)系數(shù)\(a\neq0\)（如求參數(shù)范圍時(shí)）；韋達(dá)定理應(yīng)用前未驗(yàn)證\(