2024屆奉賢中學(xué)高三（下）數(shù)學(xué)開學(xué)一?填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.函數(shù)的定義域是________.【答案】且【解析】【分析】根據(jù)分明不為零以及偶次根式下被開方數(shù)非負(fù)列不等式求解.【詳解】由題意，要使函數(shù)有意義，則，解得，且；故函數(shù)的定義域為：且.故答案為：且.【點睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.函數(shù)y=2x+6從x=2到x=2.5的平均變化率是_________.【答案】2【解析】【分析】計算自變量的增量與函數(shù)值的增量，可得平均變化率.【詳解】函數(shù)y=2x+6從x=2到x=2.5的平均變化率是=2.故答案為2.【點睛】本題考查平均變化率的概念、計算，屬于簡單題.3.若一個圓錐的母線長是底面半徑的3倍，則該圓錐的側(cè)面積是底面積的_________倍；【答案】3；【解析】【分析】分別計算側(cè)面積和底面積后再比較．【詳解】由題意，，，∴．故答案為3．【點睛】本題考查圓錐的側(cè)面積，掌握側(cè)面積計算公式是解題關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．4.已知兩個單位向量，滿足，則向量，的夾角為______．【答案】##【解析】【分析】首先根據(jù)平面向量的運算律求出，再根據(jù)夾角公式計算可得；【詳解】解：由單位向量，滿足，得，所以，，所以，又,所以.故答案為：5.已知虛數(shù)是方程的一個根，則____【答案】3【解析】【分析】根據(jù)實系數(shù)的一元二次方程的兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出、的值．詳解】虛數(shù)是方程的一個根，共軛虛數(shù)也是此方程的一個根，；；．故答案為：3．【點睛】本題考查了實系數(shù)的一元二次方程兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)以及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．6.下列命題中錯誤的是__．①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都加上或減去同一個常數(shù)后，均值與方差都不變；②在一組樣本數(shù)據(jù)（不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為；③在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，若由獨立性檢驗知，在犯錯誤率不超過0.01的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系．若某人吸煙，則他有的可能性患肺?。敬鸢浮竣佗冖邸窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)均值和方差的性質(zhì)，相關(guān)系數(shù)的特點，獨立性檢驗的相關(guān)知識，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對于①，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)都加上或減去同一個常數(shù)后，均值改變，方差不變，所以①錯誤；對于②，在散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)系數(shù)為，所以②錯誤；對于③，由獨立性檢驗得，有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時，是指有的可能性使推斷出現(xiàn)錯誤，所以③錯誤．綜上，錯誤的命題序號是①②③．故答案為：①②③.7.從1，2，3，…，15中，甲，乙兩人各任取一數(shù)（不重復(fù)），已知甲取到的是5的倍數(shù)，則甲數(shù)大于乙數(shù)的概率是_______．【答案】【解析】【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出甲數(shù)大于乙數(shù)包含的基本事件個數(shù)，再由古典概型的概率公式求解.【詳解】從1，2，3，…，15中，甲、乙兩人各取一數(shù)(不重復(fù))，甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，則基本事件總數(shù)，則甲數(shù)大于乙數(shù)包含的基本事件有：，，，，共27個，∴甲數(shù)大于乙數(shù)的概率．故答案為：8.在的展開式中，項的系數(shù)為__________.（結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】45【解析】【分析】由二項式展開得項只能展開式中，進(jìn)一步結(jié)合二項式系數(shù)即可求解.【詳解】，項只能在展開式中，即為，系數(shù)為.故選：45.9.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心F位于焦點處，以頂點O為坐標(biāo)原點，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，若P是該拋物線上一點，點，則的最小值為__________．【答案】3【解析】【分析】由題意可知點在拋物線上，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，結(jié)合拋物線定義求的最小值.【詳解】設(shè)拋物線的方程為，因為，，所以點在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，在方程中取可得，所以點在拋物線內(nèi)，過點作與準(zhǔn)線垂直，垂足，點作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線與準(zhǔn)線垂直時等號成立，所以的最小值為3.故答案為：3.10.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足.若，且在單調(diào)遞增，則滿足的x的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，是周期為的周期函數(shù)，的最小正周期為8，結(jié)合與的單調(diào)性，易知在一個周期內(nèi)，由，可得，再結(jié)合周期求出范圍即可.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，由，可得關(guān)于對稱，因為，所以，則，因為是偶函數(shù)，所以，因為，所以，則，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).因為是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，令中，則，則，又因為關(guān)于對稱，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，綜上可得在，上單調(diào)遞增，，上單調(diào)遞減.因為的最小正周期為，結(jié)合圖象可知，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令中，則，則，當(dāng)，又，所以，當(dāng)，又，所以，所以當(dāng)時，，解得.又因為與均為周期函數(shù)，且8均為其周期，所以的x的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題解題的關(guān)鍵是求出與的周期性，由，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和周期性求解即可.11.若函數(shù)()的最大值為11，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)絕對值的幾何意義圓的三角代換即可求解.【詳解】的幾何意義為：以原點為圓心，為半徑的圓周上點到與到軸距離之和的最大值為11，故.所以.故答案為：50.12.已知為數(shù)列的前n項和，數(shù)列滿足，且，是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，則______．【答案】0【解析】【分析】利用數(shù)列通項公式與前n項和公式的關(guān)系求通項的遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列求出通項公式.根據(jù)和f(x)是R上奇函數(shù)可得f(x)是周期為4的函數(shù)，且f(0)＝f(2)＝0.，將用二項式定理展開，其中能被4整除的部分在計算時即可“去掉”，由此即可求出答案.【詳解】，，兩式相減得，，即，，即數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，，.是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，令，則，又＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(－x)]＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，即是以4為周期的周期函數(shù).其中能被4整除，.故答案為：0．【點睛】本題綜合考察了數(shù)列求通項公式的兩個方法：利用通項公式和前n項和公式的關(guān)系，以及構(gòu)造等比數(shù)列，考察了函數(shù)周期的求法，還考查了利用二項式定理處理整除問題，屬于難題.二?單選題（本大題共4題，滿分20分）13.已知實數(shù)、，那么是的（）條件．A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】等式兩邊平方結(jié)合反例即可判斷.【詳解】因為，所以必要性不成立；當(dāng)時，滿足，但，所以充分性不成立；所以是的既不充分也不必要條件.故選:D．14.設(shè)兩個正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖所示．則有A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于對稱，在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；越大，曲線的最高點越底且彎曲較平緩；反過來，越小，曲線的最高點越高且彎曲較陡峭，選A．15.在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為4，M為母線的中點，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個命題，正確的個數(shù)為（）①圓的面積為；②橢圓的長軸長為；③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為；④拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】對于①，利用圓錐的幾何性質(zhì)確定圓的半徑，即可求得圓的面積；對于②，結(jié)合圓錐的軸截面可求得橢圓的長軸長；對于③，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程，確定雙曲線上的點的坐標(biāo)，即可求得雙曲線方程，進(jìn)而求得雙曲線兩漸近線的夾角正切值；對于④，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程，確定拋物線上的點的坐標(biāo)，即可求得參數(shù)，由此可判斷出答案.【詳解】對于①，M為母線的中點，因此截面圓的半徑為底面圓的半徑的，即截面圓半徑為2，則圓的面積為，故①正確；對于②，如圖，在圓錐的軸截面中，作,垂足為C，由題意可得M為母線的中點，則,故橢圓的長軸長為,②正確；對于③，如圖，在與平面垂直且過點M的平面內(nèi)，建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點與點P到底面距離相等，則點M坐標(biāo)為，雙曲線與底面圓的一個交點為D，其坐標(biāo)為，則設(shè)雙曲線方程為，則，將代入雙曲線方程，得，設(shè)雙曲線的漸近線與軸的夾角為，則，故雙曲線兩漸近線的夾角正切值為，③錯誤；對于④，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線與底面圓的一個交點為H，則，則,設(shè)拋物線方程為，則，即拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，④錯誤，故正確的命題有2個，故選：B16.如圖，正四棱錐的底面邊長和高均為2，M是側(cè)棱PC的中點，若過AM作該正四棱錐的截面，分別交棱PB?PD于點E?F(可與端點重合)，則四棱錐的體積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè),則，然后利用等體積法由，得到，再消元得到，令，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè),則所以，，，所以，則，令，因為，所以，所以，所以，故選：D【點睛】方法點睛：求解棱錐的體積時，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以便于求解．三?解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.在三棱錐中，，，.（1）求證：；（2）若為上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點，連接，，證明平面即可；（2）首先證明平面，然后以射線，，為，，正半軸建系，然后算出和平面的法向量即可得到答案.【詳解】（1）取中點，連接，，因為，，所以，，又因為，所以平面，即.（2）由（1）得，平面，又因為平面，所以平面平面，易得，，所以，即，又因為平面平面，所以平面，如圖所示，以射線，，為，，正半軸建系，，，，，，，，，設(shè)為平面一個法向量，則有，取，設(shè)為直線與平面所成角，則.即直線與平面所成角的正弦值為.18.在△中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，，，.（1）求角B大??；（2）設(shè)，當(dāng)時，求的最小值及相應(yīng)的x.【答案】（1）（2）當(dāng)時，有最小值.【解析】【分析】（1）利用向量垂直的充要條件和正弦定理即可求解；（2）先利用兩角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化簡，再用輔助角公式化為，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最小值及其取得最小值時的值.【小問1詳解】由已知條件得，由正弦定理得，即，,則，∵，∴，又∵,∴;【小問2詳解】,∵,∴,，則的最小值，其中，即當(dāng)時，有最小值.19.一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng).實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.（1）設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）實驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）分布列見解析，（2）（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能【解析】【分析】（1）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進(jìn)行檢驗，即可得解.【小問1詳解】依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.【小問2詳解】（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.20.已知點為雙曲線的左右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且的面積為.圓的方程是.（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為，求的值；（3）過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于兩點，中點為，若恒成立，試確定圓半徑.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由面積可求，再根據(jù)雙曲線的定義可求，從而可求雙曲線的方程；（2）求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)兩漸近線的夾角為，根據(jù)到角公式可求與，根據(jù)點到直線的距離公式可求，根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算結(jié)合在雙曲線上即可求解；（3）由題意可得，設(shè)，，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及可得，根據(jù)點到直線的距離公式可求，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r亦可求得.【小問1詳解】因為的面積為，所以，所以，解得，此時，所以，故雙曲線的方程為.【小問2詳解】由題意得兩條漸近線分別為，設(shè)雙曲線上的點，設(shè)兩漸近線的夾角為，則，得．則點到兩條漸近線的距離分別為，因為在雙曲線上，所以，又，所以.【小問3詳解】中點為，若，則．設(shè)，，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線，由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以,所以圓心到直線的距離.當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，直線，得，也滿足，