2025年中考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之圖形的旋轉(zhuǎn)一．選擇題（共16小題）1．（2025?北京）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．2．（2025?黑龍江）我國古代有很多關(guān)于數(shù)學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．B．C． D．3．（2025?內(nèi)蒙古）下列汽車電子控制裝置顯示的圖案中，是中心對稱圖形的為（）A． B． C． D．4．（2025?齊齊哈爾）社會規(guī)則營造良好的社會秩序，我們要了解并遵守社會規(guī)則．下列標(biāo)志是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．5．（2025?吉林）如圖，風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉片在風(fēng)的吹動下轉(zhuǎn)動，使風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能．圖中的三個(gè)葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α后，能夠與它本身重合，則角α的大小可以為（）A．90° B．120° C．150° D．180°6．（2025?天津）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，點(diǎn)B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′，C′，B′C′的延長線與邊BC相交于點(diǎn)D，連接CC′．若AC＝4，CD＝3，則線段CC′的長為（）A．125 B．165 C．4 7．（2025?山西）科技創(chuàng)新型企業(yè)的不斷涌現(xiàn)，促進(jìn)了我國新質(zhì)生產(chǎn)力的快速發(fā)展．以下四個(gè)科技創(chuàng)新型企業(yè)的品牌圖標(biāo)中，為中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．8．（2025?福建）中國古算詩詞歌賦較多．古算詩詞題，是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的一種文學(xué)浪漫形式．下列分別是古算詩詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．9．（2025?揚(yáng)州）窗欞是中國傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的重要元素，既散發(fā)著古典之韻，又展現(xiàn)了幾何之美．下列窗欞圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．10．（2025?江西）下列圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．11．（2025?山東）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．12．（2025?安徽）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，點(diǎn)E為邊AB上的動點(diǎn)．將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接FB，F(xiàn)C，EC，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．EC﹣ED的最大值是25 B．FB的最小值是10 C．EC+ED的最小值是42 D．FC的最大值是1313．（2025?煙臺）2025年4月24日，神舟二十號載人飛船成功發(fā)射，以壯麗升空將第10個(gè)中國航天日從紀(jì)念變?yōu)閼c祝．下列航天圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．14．（2025?內(nèi)江）古錢幣是我國珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．下列選項(xiàng)是在《中國古代錢幣》特種郵票中選取的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．15．（2025?自貢）起源于中國的圍棋深受青少年喜愛．以下由黑白棋子形成的圖案中，為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．16．（2025?臺灣）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在一圓上，固定A點(diǎn)將△ABC依順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的三角形為△AB′C′，且B′會落在同一圓上，其中AB與AC'的夾角為x°．若BC=54°，CA=62°，則A．27 B．31 C．32 D．37二．填空題（共4小題）17．（2025?深圳）如圖，以矩形ABCD的B點(diǎn)為圓心，BC的長為半徑作⊙B，交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EG，點(diǎn)G落在⊙B上，且點(diǎn)F為EG中點(diǎn)．若AF＝1，AE＝3，則CD的長為．18．（2025?山西）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．19．（2025?南充）如圖，AC為正方形ABCD的對角線，CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)E，把△CBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，延長CE交AF于點(diǎn)M，連接DM，交AC于點(diǎn)N．給出下列結(jié)論：①CM⊥AF；②CF＝AF；③∠CMD＝45°；④ANCN=220．（2025?自貢）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△ABC的頂點(diǎn)C，A分別在x軸，y軸正半軸上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC為邊作等邊△BCD，連接OD，則OD的最大值為．三．解答題（共5小題）21．（2025?北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，點(diǎn)D在射線BC上，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°﹣2α得到線段AE（點(diǎn)E不在直線AB上），過點(diǎn)E作EF∥AB，交直線BC于點(diǎn)F．（1）如圖1，α＝45°，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，求證：BF＝AC；（2）如圖2，點(diǎn)D，F(xiàn)都在BC的延長線上，用等式表示DF與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明．22．（2025?蘇州）綜合與實(shí)踐小明同學(xué)用一副三角板進(jìn)行自主探究．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm．【觀察感知】（1）如圖①，將這副三角板的直角頂點(diǎn)和兩條直角邊分別重合，AB，DE交于點(diǎn)F，求∠AFD的度數(shù)和線段AD的長．（結(jié)果保留根號）【探索發(fā)現(xiàn)】（2）在圖①的基礎(chǔ)上，保持△CDE不動，把△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得點(diǎn)A落在邊DE上（如圖②）．①求線段AD的長；（結(jié)果保留根號）②判斷AB與DE的位置關(guān)系，并說明理由．23．（2025?上海）某小組對分割梯形組成等腰三角形展開研究．（1）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，D是梯形的頂點(diǎn)，將△ADE繞E旋轉(zhuǎn)180°得到△BFE，若AD＝a，且此時(shí)DF＝DC，求BC的長（用含a的代數(shù)式嘗試表示）；（2）如圖2，梯形MNPQ，MN∥PQ，MQ＝NP，請?jiān)O(shè)計(jì)一種方法，用一條直線或兩條直線分割梯形為若干部分，再進(jìn)行一系列的圖形運(yùn)動，拼成一個(gè)等腰三角形，在圖2中畫出圖形，要求：①所得的部分不重疊，不間隙地拼；②在答題紙橫線上并寫出等腰三角形的腰是哪條線段；③在答題紙橫線上寫出這一或兩條直線的頂點(diǎn)．（模仿1中的表述：點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，D是梯形的頂點(diǎn)）24．（2025?重慶）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接AD．將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接DE．（1）如圖1，α＝∠BAC＝60°，∠CAE＝20°，求∠ADB的度數(shù)；（2）如圖2，α＝∠BAC＝90°，BD＜CD，過點(diǎn)D作DG⊥BC，DG交CA的延長線于G，連接BG．點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，點(diǎn)H是BG的中點(diǎn)，連接FH，CF．用等式表示線段FH與CF的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖3，∠BAC＝120°，α＝60°，AB＝8，連接BE，CE．點(diǎn)D從點(diǎn)B移動到點(diǎn)C過程中，將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BM，連接EM，作MN⊥CA交CA的延長線于點(diǎn)N．當(dāng)CE取最小值時(shí)，在直線AB上取一點(diǎn)P，連接PE，將△APE沿PE所在直線翻折到△ABC所在的平面內(nèi)，得△QPE，連接BQ，MQ，NQ，當(dāng)BQ取最大值時(shí)，請直接寫出△MNQ的面積．25．（2025?自貢）如圖1，自貢彩燈公園內(nèi)矗立著一座高塔，它見證過自貢燈會的輝煌歷史．小蕊參加了測量該塔高度的課外實(shí)踐活動，小組同學(xué)研討完測量方案后，活動如下．（1）制作工具如圖2，在矩形木板HIJK上O點(diǎn)處釘上一顆小鐵釘，系上細(xì)繩，繩的另一端系小重物G，過點(diǎn)O畫射線QM∥HK．測量時(shí)豎放木板，當(dāng)重垂線OG∥HI時(shí)，將等腰直角三角尺ACB的直角頂點(diǎn)C緊靠鐵釘，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動三角尺，通過OB邊瞄準(zhǔn)目標(biāo)N，測量∠MOB可得仰角度數(shù)，采用同樣方式，可測俯角度數(shù)．測量時(shí)，QM是否水平呢？小蕊產(chǎn)生了疑問，組長對她說：“因?yàn)镺G始終垂直于水平面，滿足OG⊥QM就行．”求證：OG⊥QM．（2）獲取數(shù)據(jù)如圖3，同學(xué)們利用制作的測量工具，在該塔對面高樓上進(jìn)行了測量．已知該樓每層高3米，小蕊在15樓陽臺P處測得塔底U的仰角為5.1°，在25樓對應(yīng)位置D處測得塔底U的俯角為9.1°，塔頂T的仰角為14.5°．如圖4，為得到仰角與俯角的正切值，小蕊在練習(xí)本上畫了一個(gè)Rt△VWZ，∠W＝90°，∠WVZ＝14.5°，VW＝10.0cm．在邊WZ上取兩點(diǎn)X，Y，使∠YVW＝5.1°，∠XVY＝4.0°，量得YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，則tan5.1°≈，tan9.1°≈，tan14.5°≈（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．（3）計(jì)算塔高請根據(jù)小蕊的數(shù)據(jù)，計(jì)算該塔高度（結(jié)果取整數(shù)）．（4）反思改進(jìn)小蕊的測量結(jié)果與該塔實(shí)際高度存在2米的誤差．為減小誤差，小組同學(xué)想出了許多辦法．請你也幫小蕊提出兩條合理的改進(jìn)建議（總字?jǐn)?shù)少于50字）．

2025年中考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之圖形的旋轉(zhuǎn)參考答案與試題解析一．選擇題（共16小題）題號1234567891011答案DBBDBDDDCAB題號1213141516答案ADDCD一．選擇題（共16小題）1．（2025?北京）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】D【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，由此即可判斷．【解答】解：A、B中的圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A、B不符合題意；C、圖形是中心對稱圖形，不軸對稱圖形，故C不符合題意；D、圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查中心對稱圖形，軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義．2．（2025?黑龍江）我國古代有很多關(guān)于數(shù)學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義解答即可．【解答】解：A．圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B．圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意；C．圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；D．圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形，熟知一個(gè)圖形繞著某固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原來的圖形重合，則稱這個(gè)圖形是中心對稱圖形；如果一個(gè)圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠重合，則稱這個(gè)圖形是軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關(guān)鍵．3．（2025?內(nèi)蒙古）下列汽車電子控制裝置顯示的圖案中，是中心對稱圖形的為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：“繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原圖形重合，那么這個(gè)圖形是中心對稱圖形，”進(jìn)行判斷即可．【解答】解：是中心對稱圖形的為選項(xiàng)B中的圖案．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查中心對稱圖形的定義，熟練掌握該知識點(diǎn)是關(guān)鍵．4．（2025?齊齊哈爾）社會規(guī)則營造良好的社會秩序，我們要了解并遵守社會規(guī)則．下列標(biāo)志是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】D【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，由此即可判斷．【解答】解：A、B、C中的標(biāo)志不是中心對稱圖形，故A、B、C不符合題意D、此標(biāo)志是中心對稱圖形，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查中心對稱圖形，關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形的定義．5．（2025?吉林）如圖，風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉片在風(fēng)的吹動下轉(zhuǎn)動，使風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能．圖中的三個(gè)葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α后，能夠與它本身重合，則角α的大小可以為（）A．90° B．120° C．150° D．180°【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】先求出正三角形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：360°÷3＝120°，圖中的三個(gè)葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α后，能夠與它本身重合，則角α的大小可以為120°．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形、正多邊形的性質(zhì)，掌握正三角形的中心角是關(guān)鍵．6．（2025?天津）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，點(diǎn)B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′，C′，B′C′的延長線與邊BC相交于點(diǎn)D，連接CC′．若AC＝4，CD＝3，則線段CC′的長為（）A．125 B．165 C．4 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】D【分析】連接AD，交CC'于點(diǎn)O，由旋轉(zhuǎn)得AC＝AC＝4，∠AC'B'＝∠ACB＝90°，則∠AC'D＝90°，可證明Rt△ACD≌Rt△AC'D，則C'D＝CD＝3，可知AD垂直平分CC'，可得CC'＝2OC，AD⊥CC'．由勾股定理得AD=AC2+CD2【解答】解：連接AD，交CC'于點(diǎn)O，由旋轉(zhuǎn)得：AC＝AC＝4，∠AC'B'＝∠ACB＝90°，∴∠AC'D＝90°．在Rt△AC'D和Rt△ACD中，AD=ADAC=AC′∴Rt△ACD≌Rt△AC'D（HL），∴C'D＝CD＝3，∴AD垂直平分CC'，∴CC'＝2OC，AD⊥CC'．∵∠ACB＝90°，AC＝4，CD＝3，∴AD=A∵S△ACD∴OC=CD?AC∴CC′=2×12故選：D．【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．7．（2025?山西）科技創(chuàng)新型企業(yè)的不斷涌現(xiàn)，促進(jìn)了我國新質(zhì)生產(chǎn)力的快速發(fā)展．以下四個(gè)科技創(chuàng)新型企業(yè)的品牌圖標(biāo)中，為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】D【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形．【解答】解：選項(xiàng)A、B、C都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，選項(xiàng)D能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．8．（2025?福建）中國古算詩詞歌賦較多．古算詩詞題，是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的一種文學(xué)浪漫形式．下列分別是古算詩詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：A．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．9．（2025?揚(yáng)州）窗欞是中國傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的重要元素，既散發(fā)著古典之韻，又展現(xiàn)了幾何之美．下列窗欞圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】C【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．10．（2025?江西）下列圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念判斷．【解答】解：A、圖案是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，符合題意；B、圖案是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意；C、圖案是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意；D、圖案不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．11．（2025?山東）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】B【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，由此即可判斷．【解答】解：A、C、D中的圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A、C、D不符合題意；B、圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故B符合題意．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查中心對稱圖形，軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義．12．（2025?安徽）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，點(diǎn)E為邊AB上的動點(diǎn)．將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接FB，F(xiàn)C，EC，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．EC﹣ED的最大值是25 B．FB的最小值是10 C．EC+ED的最小值是42 D．FC的最大值是13【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】A【分析】先通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到相關(guān)線段和角的關(guān)系，再利用勾股定理建立線段之間的聯(lián)系，最后根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系以及幾何性質(zhì)來分別判斷各個(gè)結(jié)論的正確性．【解答】解：∵將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，又∵∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，在DG上取一點(diǎn)H，使得DH＝AD＝1，延長FH交AB于點(diǎn)I，則四邊形ABGD是矩形，∴∠GDA＝∠ADE+∠EDG＝90°＝∠EDG+∠HDF．∴∠ADE＝∠HDF，∴△DHF≌△DAE（SAS），∴∠DHF＝∠DAE＝90°，∴FH⊥DG，即點(diǎn)F在FH上運(yùn)動，∴四邊形DAIH和四邊形BGHI是矩形，∴HI＝AD＝BG＝1，AI＝DH＝1，BI＝4﹣1＝3，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，∴DE=12+(4?BE∴EC?ED=3∴BE最大時(shí)，EC﹣ED最大，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，F(xiàn)與H重合時(shí)，BF最小，此時(shí)EC=42+32=5，BF=HI2作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)M，連接MC，則ED＝EM，AD＝AM＝1，∠BAM＝∠BAD＝90°，過M作MN⊥CB于點(diǎn)N，此時(shí)EC+ED≥CM，當(dāng)C、E、M三點(diǎn)共線時(shí)，EC+ED最小，∵M(jìn)N⊥CB，∠ABN＝180°﹣90°＝90°，∴四邊形AMNB是矩形，∴BN＝AM＝1，CN＝3+1＝4，AB＝MN＝4，∴EC+ED的最小值=AC=42+當(dāng)E與A重合時(shí)，CF=G當(dāng)E與B重合時(shí)，過C作CQ⊥FH，則四邊形CQIB是矩形，如圖，∴CQ＝IB＝4﹣1＝3，QI＝BC＝3，∵△DHF≌△DAE，∴FH＝AE＝4，∴QF＝FH+HI﹣QI＝4+1﹣3＝2，∴FC=C綜上，F(xiàn)C最大值為13.故D項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理以及幾何最值問題，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，并能根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)準(zhǔn)確分析線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2025?煙臺）2025年4月24日，神舟二十號載人飛船成功發(fā)射，以壯麗升空將第10個(gè)中國航天日從紀(jì)念變?yōu)閼c祝．下列航天圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】D【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心．【解答】解：選項(xiàng)A、B、C的圖形均不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；選項(xiàng)D的圖形能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形關(guān)鍵是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．14．（2025?內(nèi)江）古錢幣是我國珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．下列選項(xiàng)是在《中國古代錢幣》特種郵票中選取的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】D【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形；據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，B不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意，C不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意，D是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查中心對稱圖形，軸對稱圖形，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．15．（2025?自貢）起源于中國的圍棋深受青少年喜愛．以下由黑白棋子形成的圖案中，為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對稱圖形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】C【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心．據(jù)此判斷即可．【解答】解：選項(xiàng)A、B、D都不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項(xiàng)C能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．16．（2025?臺灣）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在一圓上，固定A點(diǎn)將△ABC依順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的三角形為△AB′C′，且B′會落在同一圓上，其中AB與AC'的夾角為x°．若BC=54°，CA=62°，則A．27 B．31 C．32 D．37【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形的外接圓與外心．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】D【分析】連接BB'，依題意得：∠CAB＝27°，∠AB'B＝58°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△AB'C'≌△ABC，則∠C'AB'＝∠CAB＝27°，AB＝AB'，進(jìn)而得∠ABB'＝∠AB'B＝58°，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠B'AB＝64°，繼而得∠C'AB＝37°，由此即可得出x的值．【解答】解：連接BB'，如圖所示：依題意得：∠CAB＝27°，∠AB'B=1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△AB'C'≌△ABC，∴∠C'AB'＝∠CAB＝27°，AB＝AB'，∴∠ABB'＝∠AB'B＝58°，在△AB'B中，∠B'AB+∠ABB'+∠AB'B＝180°，∴∠B'AB+58°+58°＝180°∴∠B'AB＝64°，∴∠C'AB＝∠B'AB﹣∠C'AB'＝64°﹣27°＝37°，∴x的值為37．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）17．（2025?深圳）如圖，以矩形ABCD的B點(diǎn)為圓心，BC的長為半徑作⊙B，交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EG，點(diǎn)G落在⊙B上，且點(diǎn)F為EG中點(diǎn)．若AF＝1，AE＝3，則CD的長為6．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】6．【分析】由矩形的性質(zhì)得∠A＝∠D＝90°，由勾股定理得EF=AE2+AF2=32+12=10，所以，EC=EG=2EF=210，再證明△EAF∽△CDE，可得CD：DE＝3：1，設(shè)DE【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°；在Rt△AEF中，AE＝3，AF＝1，∠A＝90，∴EF=A∵點(diǎn)F是EG的中點(diǎn)，∴EG=2EF=210由旋轉(zhuǎn)得，CE=EG=210，∠CEG∴∠AEF+∠CED＝90°，又∵∠CED+∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，又∵∠D＝∠A＝90°，∴△EAF∽△CDE，∴CDDE∵AE＝3，AF＝1，∴CDDE即CD＝3DE，設(shè)DE＝m，則CD＝3m，在Rt△CDE中，DE2+CD2＝CE2，∴m2解得x＝2（負(fù)值舍去），∴CD＝3×2＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題主要考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2025?山西）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(32，3【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】(32【分析】將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到OA1，過A1作A1B⊥x軸于點(diǎn)B，則∠A1BO＝90°，OA＝OA1＝6，∠AOA1＝45°，然后通過OB＝OA1cos45°，A1B＝OA1sin45°，即可求解．【解答】解：如圖，將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到OA1，過A1作A1B⊥x軸于點(diǎn)B，則∠A1BO＝90°，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），∴OA＝6，由題意得，OA＝OA1＝6，∠AOA1＝45°，∴OB=OA1cos45°=3∴點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(32故答案為：(32【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．19．（2025?南充）如圖，AC為正方形ABCD的對角線，CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)E，把△CBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，延長CE交AF于點(diǎn)M，連接DM，交AC于點(diǎn)N．給出下列結(jié)論：①CM⊥AF；②CF＝AF；③∠CMD＝45°；④ANCN=2?1．以上結(jié)論正確的是【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；角平分線的定義；三角形三邊關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的計(jì)算；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】①③④．【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得△CBE≌△ABF，可得CE＝AF，∠BCE＝∠FAB，BE＝BF，進(jìn)而由∠BEC+∠BCE＝∠FAB+∠AEM＝90°，即可判斷①；由CF＝BC+BF＝AB+BF＞AF，即可判斷②；由A、M、B、C、D在以AC為直徑的圓上，可以證明∠CAD＝∠CMD＝45°，即可判斷③，設(shè)AD＝CD＝BC＝a，由勾股定理解三角形可得AN=(2?1)a，CN=AC?AN=2【解答】解：∵把△CBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，∴△CBE≌△ABF，∴CE＝AF，∠BCE＝∠FAB，BE＝BF，∵正方形ABCD，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，又∵∠AEM＝∠BEC，∴∠BEC+∠BCE＝∠FAB+∠AEM＝90°，∴∠AMC＝90°，即CM⊥AF，故①結(jié)論正確，符合題意；∵AB+BF＞AF，CF＝BC+BF＝AB+BF，∴CF＞AF，故②結(jié)論錯誤，不符合題意；∵正方形ABCD，∴∠CAB＝∠CAD＝∠ACB＝45°，∴∠AMC＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、M、B、C、D在以AC為直徑的圓上，如圖，∵CD=∴∠CAD＝∠CMD＝45°，故結(jié)論③正確，符合題意；如圖，過N點(diǎn)作NG⊥AC，交AD于G，∵CE平分∠ACB，∠ACB＝45°，∴∠ACM＝22.5°，∵AM=∴∠ACM＝∠ADM＝22.5°，∵∠CAD＝45°，∴∠AGN＝90°﹣∠CAD＝45°，∠DNG＝180°﹣∠CAD﹣∠ANG﹣∠ADN＝22.5°，∴∠CAD＝∠AGN＝45°，∠GDN＝∠DNG＝22.5°，∴AN＝NG＝GD，設(shè)AD＝CD＝BC＝a，在Rt△ANG中，AN2+NG2＝AG2，∴2AN2＝（a﹣AN）2，∴AN=(2∵AC=A∴CN=AC?AN=2∴ANCN故結(jié)論④正確，符合題意；綜上，①③④結(jié)論正確，故答案為：①③④．【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的三邊關(guān)系等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．20．（2025?自貢）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△ABC的頂點(diǎn)C，A分別在x軸，y軸正半軸上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC為邊作等邊△BCD，連接OD，則OD的最大值為3+13【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【專題】三角形；圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱．【答案】3+【分析】解直角三角形得出AC=23，由等邊三角形的性質(zhì)可得CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，取AC的中點(diǎn)E，連接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延長線于F，則AE=CE=OE=3，∠FCE＝30°，求出EF=32，CF=32，從而可得DF=72，由勾股定理可得DE【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC=BC÷tan30°=2÷3∵△BCD為等邊三角形，∵CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，如圖，取AC的中點(diǎn)E，連接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延長線于F，則AE=CE=OE=12AC=3，∠FCE＝180°﹣∠∴EF=12CE=∴DF=DC+CF=7∴DE=E根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：OD≤DE+OE，∴OD≤3∵OD的最大值為3+故答案為：3+【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形三邊關(guān)系，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）21．（2025?北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，點(diǎn)D在射線BC上，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°﹣2α得到線段AE（點(diǎn)E不在直線AB上），過點(diǎn)E作EF∥AB，交直線BC于點(diǎn)F．（1）如圖1，α＝45°，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，求證：BF＝AC；（2）如圖2，點(diǎn)D，F(xiàn)都在BC的延長線上，用等式表示DF與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】幾何綜合題．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)α＝45°，得出∠BAC＝∠ABC＝45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得AE＝AD＝AC，∠EAB＝90°﹣∠BAC＝45°，進(jìn)而證明四邊形ABFE是平行四邊形，得出BF＝AE，BF＝AC；即可得證；（2）在DB上取一點(diǎn)G，使得AG＝AB，證明△DAG≌△EAB（SAS），得出DG＝BE，∠AGD＝∠ABE＝180°﹣∠AGC＝180°﹣α，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠FBE＝180°﹣2α，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BFE＝∠ABF＝α，進(jìn)而得出∠BEF＝α，根據(jù)等角對等邊可得BE＝BF，則DG＝BF，根據(jù)三線合一可得GC＝BC，進(jìn)而根據(jù)DF＝BD﹣BF＝BD﹣DG＝BG＝2BC，即可得證．【解答】證明：（1）∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°﹣2×45°＝90°得到線段AE，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，∴AE＝AD＝AC，∠EAB＝90°﹣∠BAC＝45°，∴∠EAB＝∠ABC，∴BC∥AE，∵EF∥AB，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴BF＝AE，∴BF＝AC；（2）DF＝2BC，證明：如圖，在DC上取一點(diǎn)G，使得CG＝CB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠ACB＝90°，在Rt△ACG和Rt△ACB中，AC=AC∠ACG=ACB∴Rt△ACG≌Rt△ACB（SAS），∴AG＝AB，∴∠AGB＝∠ABG＝α，∴∠BAG＝180°﹣2α，∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°﹣2α得到線段AE，∴DA＝EA，∴∠DAE＝∠GAB＝180°﹣2α，∴∠DAG＝∠EAB，∴△DAG≌△EAB（SAS），∴DG＝BE，∠AGD＝∠ABE＝180°﹣∠AGC＝180°﹣α，又∵∠ABC＝α，∵∠FBE＝∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∵EF∥AB，∴∠BFE＝∠ABF＝α，∴∠BEF＝180°﹣∠FBE﹣∠BFE＝α，∴BE＝BF，∴DG＝BF，∵AG＝AB，AC⊥BC，∴GC＝BC，∴DF＝BD﹣BF＝BD﹣DG＝BG＝2BC．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2025?蘇州）綜合與實(shí)踐小明同學(xué)用一副三角板進(jìn)行自主探究．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm．【觀察感知】（1）如圖①，將這副三角板的直角頂點(diǎn)和兩條直角邊分別重合，AB，DE交于點(diǎn)F，求∠AFD的度數(shù)和線段AD的長．（結(jié)果保留根號）【探索發(fā)現(xiàn)】（2）在圖①的基礎(chǔ)上，保持△CDE不動，把△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得點(diǎn)A落在邊DE上（如圖②）．①求線段AD的長；（結(jié)果保留根號）②判斷AB與DE的位置關(guān)系，并說明理由．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【答案】（1）∠AFD＝15°，AD＝（62?43）cm；（2）①AD＝（6+23）cm；②【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠ABC＝45°，再求出∠CDE＝60°，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得∠AFD＝15°，最后根據(jù)解直角三角形可得AC，CD的長，根據(jù)線段的和差即可得；（2）①過點(diǎn)C作CG⊥DE，垂足為G，先解直角三角形可得CG，DG的長，再利用勾股定理可得AG的長，然后根據(jù)線段的和差即可得；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAG＝∠ACG＝45°，則可得∠DAB＝90°，由此即可得．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，∴∠CDE＝60°，∴∠AFD＝∠CDE﹣∠A＝60°﹣45°＝15°，在Rt△ABC中，AC=AB?sin∠ABC=12×2在Rt△CDE中，CD=CE?tanE=12×3∴AD=AC?CD=(62（2）①如圖，過點(diǎn)C作CG⊥DE，垂足為G，∵△CDG中，∠CGD＝90°，∠CDE＝60°，CD=43∴DG=CD?cos∠CDE=23cm，CG＝CD?sin∠CDE＝6∵△CGA中，∠CGA＝90°，CA=62cm，CG＝6∴AG=A∴AD=AG+DG=(6+23②AB⊥DE，理由如下：∵在Rt△CGA中，∠CGA＝90°，AG＝CG＝6cm，∴∠CAG＝∠ACG＝45°，又∵∠BAC＝45°，∴∠DAB＝∠CAG+∠BAC＝45°+45°＝90°，∴AB⊥DE．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．23．（2025?上海）某小組對分割梯形組成等腰三角形展開研究．（1）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，D是梯形的頂點(diǎn)，將△ADE繞E旋轉(zhuǎn)180°得到△BFE，若AD＝a，且此時(shí)DF＝DC，求BC的長（用含a的代數(shù)式嘗試表示）；（2）如圖2，梯形MNPQ，MN∥PQ，MQ＝NP，請?jiān)O(shè)計(jì)一種方法，用一條直線或兩條直線分割梯形為若干部分，再進(jìn)行一系列的圖形運(yùn)動，拼成一個(gè)等腰三角形，在圖2中畫出圖形，要求：①所得的部分不重疊，不間隙地拼；②在答題紙橫線上并寫出等腰三角形的腰是哪條線段；③在答題紙橫線上寫出這一或兩條直線的頂點(diǎn)．（模仿1中的表述：點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，D是梯形的頂點(diǎn)）【考點(diǎn)】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換；列代數(shù)式；規(guī)律型：圖形的變化類；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】作圖題；梯形；幾何直觀．【答案】（1）3a；（2）見解析．【分析】（1）如圖1中，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H．證明BG＝AD＝a，BH＝AD＝a，再證明FH＝HC＝2a可得結(jié)論；（2）取MN，MQ，PN的中點(diǎn)J，K，T，連接JK，延長JK交PQ的延長線于點(diǎn)L，連接JT，延長JT交QP的延長線于點(diǎn)G即可，【解答】解：（1）如圖1中，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H．∵AB⊥BC，AD∥BC，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵∠DHB＝90°，∴四邊形ABHD是矩形，∴AD＝BH＝a，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝EB，∵∠A＝∠EBF＝90°，∠AED＝∠FEB，∴△AED≌△BEF（ASA），∴AD＝FB＝a，∵DF＝DC，DH⊥CF，∴FH＝HC＝2a，∴BC＝BH+CH＝3a；（2）圖形如圖2所示．方法：取MN，MQ，PN的中點(diǎn)J，K，T，連接JK，延長JK交PQ的延長線于點(diǎn)L，連接JT，延長JT交QP的延長線于點(diǎn)G，【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．24．（2025?重慶）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接AD．將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接DE．（1）如圖1，α＝∠BAC＝60°，∠CAE＝20°，求∠ADB的度數(shù)；（2）如圖2，α＝∠BAC＝90°，BD＜CD，過點(diǎn)D作DG⊥BC，DG交CA的延長線于G，連接BG．點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，點(diǎn)H是BG的中點(diǎn)，連接FH，CF．用等式表示線段FH與CF的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖3，∠BAC＝120°，α＝60°，AB＝8，連接BE，CE．點(diǎn)D從點(diǎn)B移動到點(diǎn)C過程中，將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BM，連接EM，作MN⊥CA交CA的延長線于點(diǎn)N．當(dāng)CE取最小值時(shí)，在直線AB上取一點(diǎn)P，連接PE，將△APE沿PE所在直線翻折到△ABC所在的平面內(nèi)，得△QPE，連接BQ，MQ，NQ，當(dāng)BQ取最大值時(shí)，請直接寫出△MNQ的面積．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】幾何綜合題；三角形；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）100°；（2）HF=2（3）103【分析】（1）利用AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，得出△ABC是等邊三角形，得出∠ABC＝∠ACB＝60°，由旋轉(zhuǎn)得∠DAE＝60°，則可求出∠DAC，再利用外角即可求解；（2）連接CE，DH，利用α＝∠BAC＝90°，AB＝AC，得∠ABD＝∠ACB＝45°，證明△BAD≌△CAE，得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，得出∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，再證明DG＝DC，得出△BDG≌△ECD，可得∠BGD＝∠EDC，BG＝DE，再通過點(diǎn)H是BG的中點(diǎn)，和點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，證明DH=HG=12BG，DF＝CF=1（3）取BC中點(diǎn)U，AC中點(diǎn)V，連接AU，EV，UV，通過證明△ADU≌△AEV，得出∠AVE＝∠AUD＝90°，由點(diǎn)V為固定點(diǎn)，∠AVE＝90°，得點(diǎn)E在過點(diǎn)V且垂直于AC的直線上運(yùn)動，由點(diǎn)到直線的最短距離可得，當(dāng)CE取最小值時(shí)，即CE垂直于點(diǎn)E運(yùn)動軌跡的直線，即點(diǎn)E和點(diǎn)V重合時(shí)，CE最小，此時(shí)，由翻折可知AE＝QE，則點(diǎn)Q的軌跡為以點(diǎn)E為圓心，AE＝4為半徑的圓，由點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離可知當(dāng)B、E、Q依次共線時(shí)，BQ取最大值，此時(shí)，連接MA，過點(diǎn)B作BS⊥CN于點(diǎn)S，過點(diǎn)Q作QR⊥CN于點(diǎn)R，證明△MAE≌△BDE，得出MA＝BD＝43，∠MAE＝∠BDE，通過證明∠MAN＝30°，得出MN=12MA＝23，AN=3MN＝6，再計(jì)算出AS=12AB＝4，BS=3AS＝43，即可求出SE＝8，則BE=BS2+SE2=47，通過△BES∽△QER，求出ER=877【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，由旋轉(zhuǎn)得∠DAE＝60°，∴∠DAC＝∠DAE＝∠CAE＝60°﹣20°＝40°，∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB＝100°；（2）HF=2如圖，連接CE，DH，∵α＝∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB＝45°，由旋轉(zhuǎn)知AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，即∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∵DG⊥BC，∴∠CDG＝∠BDG＝∠DCE＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠CGD＝∠ACB＝45°，∴DG＝DC，∴△BDG≌△ECD（SAS），∴∠BGD＝∠EDC，BG＝DE，∵點(diǎn)H是BG的中點(diǎn)，∠BDG＝90°，∴DH=HG=1∴∠HDG＝∠HGD，∴∠HDG＝∠EDC，∴∠HDG+∠GDE＝∠EDC+∠GDE，即∠HDF＝∠GDC＝90°，∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∠DCE＝90°，∴DF=CF=1∴DH＝DF，∴△HDF是等腰直角三角形，∴HF=2即HF=2（3）如圖，取BC中點(diǎn)U，AC中點(diǎn)V，連接AU，EV，UV，∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，∴∠ACU＝30°，∠CAU=12∠BAC=60°，AU∴AU=1∵V是AC中點(diǎn)，∴AV=1∴AU＝AV，由旋轉(zhuǎn)知AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∠DAE＝∠CAU＝60°，∴∠DAU＝∠EAV，∴△ADU≌△AEV（SAS），∴∠AVE＝∠AUD＝90°，由點(diǎn)V為固定點(diǎn)，∠AVE＝90°，得點(diǎn)E在過點(diǎn)V且垂直于AC的直線上運(yùn)動，由點(diǎn)到直線的最短距離可得，當(dāng)CE取最小值時(shí)，即CE垂直于點(diǎn)E運(yùn)動軌跡的直線，即點(diǎn)E和點(diǎn)V重合時(shí)，CE最小，此時(shí)如圖，由翻折可知AE＝QE，∴點(diǎn)Q的軌跡為以點(diǎn)E為圓心，AE＝4為半徑的圓，由點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離可知當(dāng)B、E、Q依次共線時(shí)，BQ取最大值，此時(shí)如圖，連接MA，過點(diǎn)B作BS⊥CN于點(diǎn)S，過點(diǎn)Q作QR⊥CN于點(diǎn)R，由旋轉(zhuǎn)知BM＝BE，∠MBE＝60°，∴△BEM是等邊三角形，∴∠BEM＝60°，BE＝EM，∵△ADE是等邊三角形，∴∠AED＝60°，AE＝DE，∴∠BEM＝∠AED＝60°，∴∠AEM＝∠DEB，∴△MAE≌△BDE（SAS），∴MA＝BD，∠MAE＝∠BDE，∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠DAE＝∠BAD＝60°，∴AD⊥BC，∴AD=12AB＝4，∴MA=BD=43∵E為AC中點(diǎn)，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠ACB＝30°，∴∠MAE＝∠BDE＝180°﹣∠EDC＝150°，∴∠MAN＝180°﹣∠MAE＝30°，∴MN=12MA=23，∵∠BAS＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠ABS＝30°，∴AS=12AB＝4，∴SE＝AS+AE＝4+4＝8，∴BE=B∵BS⊥CN，QR⊥CN．∴∠BSE＝∠QRE＝90°，又∵∠BES＝∠QER，∴△BES∽△QER，∴BEEQ即47解得ER=8∴NR=NA+AE+ER=10+8∵M(jìn)N⊥CA，QR⊥CN，∴S△MNQ【點(diǎn)評】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．25．（2025?自貢）如圖1，自貢彩燈公園內(nèi)矗立著一座高塔，它見證過自貢燈會的輝煌歷史．小蕊參加了測量該塔高度的課外實(shí)踐活動，小組同學(xué)研討完測量方案后，活動如下．（1）制作工具如圖2，在矩形木板HIJK上O點(diǎn)處釘上一顆小鐵釘，系上細(xì)繩，繩的另一端系小重物G，過點(diǎn)O畫射線QM∥HK．測量時(shí)豎放木板，當(dāng)重垂線OG∥HI時(shí)，將等腰直角三角尺ACB的直角頂點(diǎn)C緊靠鐵釘，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動三角尺，通過OB邊瞄準(zhǔn)目標(biāo)N，測量∠MOB可得仰角度數(shù)，采用同樣方式，可測俯角度數(shù)．測量時(shí)，QM是否水平呢？小蕊產(chǎn)生了疑問，組長對她說：“因?yàn)镺G始終垂直于水平面，滿足OG⊥QM就行．”求證：OG⊥QM．（2）獲取數(shù)據(jù)如圖3，同學(xué)們利用制作的測量工具，在該塔對面高樓上進(jìn)行了測量．已知該樓每層高3米，小蕊在15樓陽臺P處測得塔底U的仰角為5.1°，在25樓對應(yīng)位置D處測得塔底U的俯角為9.1°，塔頂T的仰角為14.5°．如圖4，為得到仰角與俯角的正切值，小蕊在練習(xí)本上畫了一個(gè)Rt△VWZ，∠W＝90°，∠WVZ＝14.5°，VW＝10.0cm．在邊WZ上取兩點(diǎn)X，Y，使∠YVW＝5.1°，∠XVY＝4.0°，量得YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，則tan5.1°≈0.09，tan9.1°≈0.16，tan14.5°≈0.26（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．（3）計(jì)算塔高請根據(jù)小蕊的數(shù)據(jù)，計(jì)算該塔高度（結(jié)果取整數(shù)）．（4）反思改進(jìn)小蕊的測量結(jié)果與該塔實(shí)際高度存在2米的誤差．為減小誤差，小組同學(xué)想出了許多辦法．請你也幫小蕊提出兩條合理的改進(jìn)建議（總字?jǐn)?shù)少于50字）．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】幾何綜合題．【答案】（1）見解析；（2）0.09，0.16，0.26；（3）50米；（4）見解析．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)正切的定義計(jì)算即可得解；（3）延長DR交TU于F，延長PS交TU于E，則四邊形DPEF為矩形，由矩形的性質(zhì)可得DP＝EF，DF＝PE，由題意可得DP＝30米，∠EPU＝5.1°，∠FDU＝9.1°，∠TDF＝14.5°，設(shè)EU＝x米，則FU＝（30﹣x）米，解直角三角形得出30?x0.16=x0.09，求出FU＝19.2米，PE＝（4）結(jié)合題意提出合理的建議即可．【解答】（1）證明：∵四邊形HIJK為矩形，∴∠H＝90°，∵QM∥HK，∴∠IQM＝∠H＝90°，又∵OG∥HI，∴∠MOG＝∠IQM＝90°，∴OG⊥QM；（2）解：在Rt△VWY中，∠W＝90°，∠YVW＝5.1°，VW＝10.0cm，YW＝0.91cm，∴tan5.1°=tan∠YVW=YW∵∠XVY＝4.0°，∠YVW＝5.1°，XY＝0.70cm，YW＝0.91cm，∴∠XVW＝∠XVY+∠YVW＝9.1°，XW＝XY+YW＝1.6lcm，∵在Rt△VWX中，∠W＝90°，∠XVW＝9.1°，VW＝10.0cm，XW＝16．lcm，∴tan9.1°=tan∠XVW=XW∵YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，∴ZW＝ZX+XY+YW＝2.55cm，∵在Rt△VWZ中，∠W＝90°，∠ZVW＝14.5°，VW＝10.0cm，ZW＝2.55cm，∴tan14.5°=tan∠ZVW=ZW故答案為：0.09，0.16，0.26；（3）解：如圖，延長DR交TU于F，延長PS交TU于E，則∠DFE＝∠PEF＝∠DFT＝∠DPE＝90°，∴四邊形DPEF為矩形，∴DP＝EF，DF＝PE，由題意可得：DP＝（25﹣15）×3＝30米，∠EPU＝5.1°，∠FDU＝9.1°，∠TDF＝14.5°，設(shè)EU＝x米，則FU＝EF﹣EU＝（30﹣x）米，∵tan∠EPU=EUPE=∴PE=x0.09，DF∴30?x0.16解得：x＝10.8，∴FU＝30﹣10.8＝19.2米，PE＝DF=10.8∵tan∠TDF=TF∴TF＝31.2米，∴TU＝TF+UF＝19.2+31.2≈50米，即該塔高度為50米；（4）解：提出合理建議為：①多次測量取平均值；②取角的正切值用分?jǐn)?shù)．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運(yùn)算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級運(yùn)算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號，什么時(shí)要加括號．注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問題1．在同一個(gè)式子或具體問題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．2．規(guī)律型：圖形的變化類圖形的變化類的規(guī)律題首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．3．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實(shí)踐．4．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．5．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．6．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．7．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡便方法來解決．8．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．9．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．10．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角