13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題林州市紅旗渠大道學(xué)校郝芳云人教版

八年級

上冊第十三章軸對稱13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題林州市九中楊改青第十三章軸對稱

如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？

兩點(diǎn)之間,線段最短①②③溫故知新

引出課題4

連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡單說成：垂線段最短PA2OA1aA3…

“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.溫故知新

引出課題

問題

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？創(chuàng)設(shè)情境

引入新知lAB精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，就利用數(shù)學(xué)知識幫將軍解答了這個(gè)問題．這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．

BAl創(chuàng)設(shè)情境

引入新知lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC+CB的和最??？分析：ABl如果點(diǎn)A、B在直線l的異側(cè)時(shí)聯(lián)想：lABC圖片B請問：怎樣走才能使總路程最短呢？ACBl兩點(diǎn)之間，線段最短思考：能把A、B兩點(diǎn)從直線l

的同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)嗎？

分析：lABClABC

作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′；典例剖析

兩點(diǎn)一線型問題1

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。緽·lA·B′（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．

則點(diǎn)C即為所求．CABl

B/CM為什么這樣做就能得到最短距離呢？即MA+MB′>CA+CB′

由三角形任意兩邊之和大于第三邊可知：推理論證:兩點(diǎn)一線型

MA+MB′>AB′由軸對稱性質(zhì)可知：CB′=CB,MB′=MB即MA+MB′>CA+CBMA+MB>CA+CB問題1歸納lABClABCB′lABC

轉(zhuǎn)化為

數(shù)學(xué)問題

用舊知

解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問題ABl如圖，馬棚A建在草地和小河所夾的角的內(nèi)部，牧馬人要把馬從馬棚A牽到草地邊吃草，然后到河邊飲水，最后再回到馬棚草地小河A問題：請你確定這一過程的最短路徑.情境變換

問題呈現(xiàn)如圖，在l1、l2之間有一點(diǎn)A,要使AM+MN+NA最小,點(diǎn)M、N應(yīng)該在

l1、l2的什么位置

?l1l2AMN典例剖析

兩點(diǎn)一線型l1l2MNA’AA’’典例剖析

兩點(diǎn)一線型如圖，在l1、l2之間有一點(diǎn)A,要使AM+MN+NA最小,點(diǎn)M、N應(yīng)該在

l1、l2的什么位置

?解：如圖：M、N即為所求。ABPQNlM如圖：一天牧馬人要從馬棚A牽出馬到草地邊吃草，再到河邊飲水，最后回到帳篷B，請你幫他確定這一天的最短路線。l2l1情境再換

問題

又現(xiàn)PQABA’B’l1l2典例剖析

兩點(diǎn)兩線型19類型問題作法圖例原理兩點(diǎn)一線型ABl直線l上找一點(diǎn)C，使AC+BC的值最小.AClBB′

作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B＇，連接AB＇,交直線l于C，則點(diǎn)C即為所求。

通過軸對稱把直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最短的問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離最短問題.歸納感悟20類型問題作法圖例原理一點(diǎn)兩線型在直線l1和直線l2上分別找點(diǎn)M，N，使△PMN的周長最小.

過點(diǎn)P分別作關(guān)于直線l1和l2的對稱點(diǎn)P′，P＂，連接P′P′′分別交l1和l2于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N即為所求通過軸對稱把周長最小問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離最短問題,△PMN周長的最小值為MP+MN+NP＝P′P′′，依據(jù)是兩點(diǎn)之間，線段最短.Ol1l2POl1l2PP′P′′MN歸納感悟21類型問題作法圖例原理兩點(diǎn)兩線型通過軸對稱把周長最小問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離最短問題,四邊形PQMN周長的最小值為MP+PQ+NQ+MN＝P′Q′+PQ，依據(jù)是兩點(diǎn)之間，線段最短.在直線l1和直線l2上分別找點(diǎn)M，N，使四邊形PQNM的周長最小.Ol1l2PQ

分別作點(diǎn)P,Q關(guān)于直線l1和l2的對稱點(diǎn)P′，Q′，連接P′Q′分別交l1和l2于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N即為所求.Ol1l2PMN歸納感悟小露一手：已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的定點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R，使△PQR的周長最短嗎？

如圖，臺球桌上有一個(gè)黑球，一個(gè)白球，如何用球桿去擊白球使其撞到AB邊反彈后再撞到黑球?

DBAC走進(jìn)生活如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長最小時(shí)，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為多少？

ABDC挑戰(zhàn)自我ABDCA′A″NM挑戰(zhàn)自我解題思路：課堂小結(jié)1、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？2、你有何感受？271、課本第93頁第15題；作業(yè)布置